信息安全数学基础第一章-第一章第1节

5. 当b 2k, c k时, 有- b k r k b .
2
2
当b 2k, c k 1时, 有- b k r k b .
2
2
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当b 2k 1, c k时, 有
-
b-1 = 2
k
r
k
1
b
2
1
即
-
b 2
-
b
2
1
k
r
k
b
2
1
b 2
.
于是无论b取偶数还是奇数,总有
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
令r a bq, 则有 a = bq + r, 0 r b
(q, r的唯一性) 若有整数q,r和q1 ,r1 ,使得
a bq r, 0 r b
b(q q1 ) r1 r.
a bq1 r1 , 0 r1 b
若q q1 , 则 | b(q q1 ) | b, 而 | r1 r | b, 矛盾. 故q = q1 ,从而r r1 .
n的素数的倍数划去即可.
2、要划掉素数p的倍数,可以从p2开始划起, 因对于每一个小于p2的合数a, 它的最小素因数
a p, 因而在之前已被划掉了.
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例2 求出所有不超过N 100的素数. 解 小于等于 100 10的所有素数为2, 3, 5, 7, 划去2, 3, 5, 7的倍数和1,余下的即为1 ~ 100之间的素 数.
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注 : 如果将条件b 0, 改为b 0, 则定理9中结 论可改为
a bq r, 0 r | b | 推论 b | a a被b除所得的余数r 0. 由定理7和欧几里得除法, 可得判断一个整数 是否为素数的方法.
例3 证明N 137为素数.
证 因小于等于 137 12 的素数有2, 3, 5, 7,11,
2
RSA方案是1977年麻省理工的Rivest.Shamin和 Adleman根据前人关于“公开密钥体制”的理论设 想发明了一种应用欧拉定理实现的密码体制，简称 为RSA公开密钥体制（或 RSA 方案）。
RSA 方案主要是使用了一个大整数（目前通常取 这个数有1024比特长），它是两个素数的乘积，这 个大数是公开的，而它的两个素因子是保密的。如果 有人能将这个大整数分解因子而得到两个素数的乘积 就能破译这个密码体制，所以RSA的安全性是建立在 大整数因子分解问题的基础上的。这是一个经典的数 论问题。
a = bq + r, c r b c
证 (q, r的存在性) 考虑数列 L ,-3b c,-2b c,-b c,c,b c,2b c,3b c,L 则a必在上述数列的某两项之间, 即存在整数q, 使得
qb c a (q 1)b c c a bq b c
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令r a bq, 则有 a = bq + r, c r b c
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例2 一切奇素数皆可表为4m 1的形式， 一切大于3的奇素数皆可表为6m 1的形式。
例3 2n 1和2n （1 n>2且n Z),证明其中一数 必为合数。
例4 奇素数p均可表示为两个自然数的平方差。 练习 一个大于11的自然数一定可表示为
两个合数之和。
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欧几里得除法的推广形式
定理10 (欧几里得除法) 设a, b是两个整数,其 中b 0,则对任意整数c,存在唯一的整数 q, r,使得
注 :当整数n 0, 1时, n和 n同为素数或合数.因此, 通常素数总是指正整数, 用p表示.
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定理6 设n是一个正合数, p是n的一个大于1 的最小正因数, 则p是素数,且p n.
证 若p是合数, 则存在整数q, 1 q p, 使得
q | p. 又 p | n, 于是q | n, 这与p是n的最小正因数的
3
RSA方案所用的数论知识：素数、素数的分解、 模论、欧拉函数、欧拉定理、费马定理、素性检 验、孙子定理等等。 三、学习方法 四、学习成绩 五、答疑时间
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第一章 整数的可除性
5பைடு நூலகம்
*** 整除的概念 欧几里得除法
一、整除基本概念及性质
定义1 设a, b是任意两个整数,其中b 0, 如果 存在一个整数q使得等式
于是有
b cq1，a bq2
a bq2 (cq1 )q2 c(q1q2 )
因q1q2是整数, 所以c | a.
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定理2 设a,b,c 0是三个整数. 若c | a,c | b, 则c | a b.
证 因c | a, c | b, 所以存在整数q1 , q2 , 使得
a cq1 , b cq2
n p1 p2 L pk 1，
则n pi (i = 1,2,L , k), 所以n是合数.于是n的大于 1的最小正因数p是素数, 这里 p 某个pi (1 i k), 因此 p | p1 p2 L pk , p | 1
这是不可能的.故素数有无穷多个.
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三、欧几里得除法(带余除法)
定理9 (欧几里得除法) 设a, b是两个整数,其 中b 0,则存在唯一的整数 q, r,使得
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又 137 68 2 1, 137 45 3 2, 137 27 5 2, 137 19 7 4, 137 12 11 5.
所以2, 3, 5, 7,11皆不能整除137, 由定理7知, N 137
为素数.
一般地,对于整数N ,先求出不超过 N的所 有素数,若这些素数都不能整除N ,则N为素数,否 则N 为合数.
证 因a | b, b | a, 所以存在整数q1 , q2 , 使得
a bq1 , b aq2 a bq1 (aq2 )q1 a(q1q2 ) 于是q1q2 =1, 因q1 , q2是整数,所以
q1 q2 1,
从而a b.
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二、素数(质数)及其判别法 1. 素数
定义2 设整数n 0， 1，如果除了 1和 n 外，n没有其它因数,则n叫做素数(或质数或不可 约数),否则n叫做合数.
假设矛盾,所以 p是素数. 因n是合数, p是n的大于1的最小正因数,所以
存在整数n1 ,使得 n pn1 1 p n1 n
因此 p2 n, 故 p n.
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整数为素数的判别法 定理7 设n是一个正整数, 如果对所有的素数
p n,都有p | n, 则n是素数.
2.素数的求法(Eratosthenes筛法) 1、要求出不超过n的一切素数,只须把不超过
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定义3 对定理10中c的某些特殊取值:
1. 当c 0时, 有0 r b, 这时r叫做最小非负余数.
2.当c 1时, 有1 r b, 这时r叫做最小正余数.
3.当c b 1时, 有-b + 1 r 0, 这时r叫做最大非 正余数.
4.当c b时, 有 b r 0, 这时r叫做最大负余数.
(q, r的唯一性) 若有整数q,r和q1 ,r1 ,使得
a bq r, c r b c a bq1 r1 , c r1 b c b(q q1 ) r1 r. 若q q1 , 则 | b(q q1 ) | b, 而 | r1 r | b, 矛盾.
故q = q1 ,从而r r1 .
a = bq + r, 0 r b 其中q叫做a被b除所得的不完全商, r叫做a被b除所 得的余数.
证 (q, r的存在性) 考虑数列 L ,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,L
则a必在上述数列的某两项之间, 即存在整数q,
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使得 qb a (q 1)b 0 a bq b
信息安全数学基础
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一、信息安全数学基础的内容及其作用
内容：数论、代数、椭圆曲线
作用：基础
二、数论在信息安全中的应用
在了解通讯安全的有关概念（如明文、密文、密钥） 和通讯安全中的基本问题（如保密、数字签名、密钥 管理、分配和共享）理解公钥体制（单向函数概念）， 以及加密和数字签名的方法（基于大数分解的RSA方 案）
a b cq1 cq2 c(q1 q2 ) 因q1 q2是整数, 所以c | a b.
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定理3 设a,b,c 0是三个整数.若c | a,c | b, 则对任意整数s,t,有c | sa tb.
证 因c | a, c | b, 所以存在整数q1 , q2 , 使得
a cq1 , b cq2
-
b 2
r
b 2
或
-
b 2
r
b 2
.
这时r叫做绝对值最小余数.
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10
例1 设a, b, c 0是三个整数, c | a, c | b. 如果存 在整数s, t, 使得
sa tb 1, 则c 1.
证 因c | a, c | b, 且sa tb 1, 所以有
c | sa tb c | 1,
故c 1.
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定理5 设a, b都是非零整数,若a | b, b | a, 则 a b.
(3) 对任何整数b 0, 有b | 0. (4) 对任何整数b, 有1|b. (5) 对任何整数a 0, 有a | a.
(6) 若b | a, 则b | (a),(b) | (a).
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定理1 设a,b 0,c 0是三个整数. 若c | b,b | a, 则c | a.
证 设c | b，b | a，则存在整数q1，q2，使得
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故1 ~ 100之间的素数有 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97共25个.
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定理8 素数有无穷多个.
证(反证法) 假设整数中只有有限个素数, 设为p，1 p， 2 L，p， k 令
a bq 成立,则称b整除a或者a被b整除,记作b | a. 此时q可 写成a / b或 a .
b 如果b | a, 则b叫做a的因数, 而a叫做b的倍数.
如果b不能整除a,则记作b | a.
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注 : (1) 当b遍历整数a的所有因数时, b也遍历整数 a的所有因数.
(2) 当b遍历整数a的所有因数时, a / b也遍历整数 a的所有因数.
于是对任意整数s, t,
sa tb s(cq1 ) t(cq2 ) c(sq1 tq2 )
因sq1 tq2是整数, 所以c | sa tb. 定理4 设 a1 , a2 ,L , an , c 0是整数.若c | ai ,
(i 1, 2,L , n), 则对任意整数s1 , s2 ,L , sn ,有 c | s1a1 s2a2 L snan .