数值分析18(数值微分).
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
数值分析课程课件 数值微分
f ( x1 ).
对上式两端求导，记 x1 x0 h
，有P1(x)
1 [ h
f
(x0 )
f
(x1)],
于是有下列求导公式：
P1( x0 )
1 h
[
f
(
x1
)
f ( x0 )];
P1( x1 )
1 h
[
f
(
x1
)
f ( x0 )],
第三章 数值积分与数值微分
而利用余项公式(3.5.2)知，带余项的两点公式是(当n=1时)，
第三章 数值积分与数值微分
而利用余项公式(3.5.2)知,带余项的三点求导公式(n=2)如 下：
f
' x0
1 [3 f 2h
x0 4 f
x1
f
x2
]
h2 3
f
" ,
f
' x1
1 2h
[
f
x0
f
x2
]
h2 6
f " ,
f 'x2
式
f (x) Pn(x) （3.5.1）
统称插值型的求导公式。
第三章 数值积分与数值微分
必须指出，即使f (x) 与Pn (x) 的值相差不多，导数的近似值 Pn(x)
与导数的真值 f (x) 在某些点仍然可能差别很大，因而在使用求导
公式(3.5.1)时应特别注意误差的分析。
依据插值余项定理，求导公式（3.5.1）的余项为
Gh
G1
h
数值分析-第八章数值微分与数值积分
ab
f
x dx
n
i1
xxii1
f
x dx
n
i1
xi
xi1 2
f
xi1
f
xi
h 2
n
i1
f
xi1
f
xi
h 2
f
a
n1
2
i1
f
a ih
f
b
Tn
11
复合梯形公式的误差:
RTn
f
n h3 f i1 12
i
h3 nf 12
ba3
12
1 n2
f
二 复合Simpson公式
ab f x dxin1xxii1 f xdx
n
i1
xi
xi1 6
我们的目的是导出一组与函数无关的求导系数和求积系数.
从而得到能够对任意函数都通用的公式.
2
§2 数值微分 一 二点公式 给出两个点及其函数值,做一个一次插值多项式,对这个插 值多项式求导,得到:
fx0fx0,x 1 fx 1fx0,x 1
其几何意义就是用割线的斜率近似代替切线的斜率. 当然也可以用泰勒展开来导出上述公式.
a b公式
7
三 N-C公式的截断误差
Rnfa bfxdxba n Ck nfxk k0 ab f x dx ab Ln x dx
ab
f
n1 n 1!
第八章 数值微分和数值积分
《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分-文档资料
(a
b).得到的求积公式就是中矩形公式。再令
数
f (x) x2, 代入(1.4)式的第三式有
值
分 析 》
A0 x02
(b
a)( a
b)2 2
b
a 4
(a2
b2)
b x2dx 1 (b3 a3 ),
a
3
说明中矩形公式对f (x) x2不精确成立，故它的代数精确度为1.
当f(x)=x2时(1.4)式的第三个式子不成立，因为
b a (a2 b2 ) b x2dx 1 (b3 a3).
2
a
3
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
A1
1（b a）.于是得 2
数 值
I ( f ) b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
分
析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式，
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
常用数值分析方法
常用数值分析方法1.插值方法插值是通过已知数据点的近似值，获得未知位置上的函数值。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
插值方法通常用于数据的光滑处理、曲线拟合和函数逼近等问题。
2.数值微分与积分方法数值微分是通过有限差分等方法，对实际问题的函数进行求导。
数值积分则是通过数值方法求解复杂函数的积分。
常用的数值微分与积分方法包括欧拉法、龙格-库塔法和辛算法等。
3.非线性方程求解非线性方程求解是求解形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个非线性函数。
常用的非线性方程求解方法包括二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法基于不同的数学原理来逼近方程的根。
4.线性方程组求解线性方程组求解是求解形如Ax=b的方程组，其中A是一个矩阵，b 是一个向量。
常用的线性方程组求解方法包括高斯消元法、LU分解和迭代法等。
这些方法可以高效地求解大规模的线性方程组。
5.最小二乘法最小二乘法是一种用于拟合实验或观测数据的方法。
它通过最小化观测数据与理论模型之间的残差平方和，得到最佳的参数估计。
最小二乘法广泛应用于曲线拟合、回归分析和信号处理等领域。
6.数值优化数值优化是在约束条件下求解最优化问题的方法。
常用的数值优化方法包括梯度下降法、共轭梯度法和拟牛顿法等。
这些方法可以在函数复杂或维度高的情况下，有效地寻找最优解。
7.偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法是用数值方法解决偏微分方程的方法。
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法广泛应用于物理学、工程学和金融学等领域，可以模拟和预测复杂现象。
总之，数值分析方法在科学和工程领域中起着重要的作用。
通过数学和计算机的结合，数值分析使得复杂计算变得简单，从而有效解决各种实际问题。
数值分析基础
数值分析基础数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算的学科，它涉及到数学、计算机科学和工程学等多个领域。
数值分析基础是数值计算领域最基本的理论和方法，为实现高精度、高效率的数值计算提供了重要的基础。
一、数值分析的概念数值分析是通过数值方法解决数学问题的过程。
它的基本思想是将连续的数学问题转化为离散的数值问题，并利用计算机进行求解。
数值分析的应用范围非常广泛，包括线性代数方程组的求解、非线性方程求根、插值与逼近、数值微积分、常微分方程的初值问题和边值问题的数值解等。
二、数值计算的误差分析在数值分析中，误差分析是非常重要的一环。
数值计算过程中产生的误差可以分为截断误差和舍入误差。
截断误差是由于在离散化和近似计算中引入的近似误差，而舍入误差是由于计算机在表示实数时的有限精度引起的。
准确估计和控制误差是数值计算的核心问题之一。
三、常用的数值计算方法1. 插值与逼近方法：插值是在给定一组数据点的情况下，通过构造一个函数来近似这组数据点之间未知函数值的方法。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
逼近是通过在给定函数空间中寻找一个尽可能接近原函数的近似函数的方法，常见的逼近方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。
2. 数值积分方法：数值积分是计算定积分的近似值的方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和复合求积法。
3. 数值微分方法：数值微分是通过差商逼近导数的计算方法。
常见的数值微分方法有中心差商、前向差商和后向差商。
4. 数值求解线性方程组的方法：线性方程组求解是数值计算中的一个重要问题。
常用的求解方法有直接法和迭代法。
5. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法是通过数值方法求解微分方程的方法。
常用的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法和变步长方法等。
四、数值计算的应用领域数值分析在各个学科领域都有广泛的应用。
在物理学中，数值分析被用于求解天体运动、弹道问题等。
在工程学中，数值分析被用于优化设计、结构力学分析等。
数值微分 计算方法讲解
（1）称为x0点的向前差商公式， (2) 称为x1点的向后差商公式。
i 0,1
(1) (2)
数值分析
数值分析
例1 设f(x)=lnx，x0=1.8，用2点公式计算f’(x0)。
解：计算f '( x0 )的误差为
hf "( ) h 2 2 2 ,
这里 1.8 1.8 h 或 1.8 h 1.8
k0
lk
(x)
(x x0 ) ( xk x0 )
( x xk1 )( x xk1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 )
(x xn ) (xk xn )
称为n+1点求导公式。
数值分析
数值分析
常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式.
当n=1时,有
f R1 ( xi ) f ( xi ) L'1( xi )
f (n1)
注意到在插值节点处
n1
(
xi
)
d dx
( x ) 0,此时的余项为
(n 1)!
(n1)
(n1)
f f Rn( xi ) f ( xi ) L'n( xi )
(
n
(i
1)!
)
n 1
(
xi
)
(n
(i
1)!
)
n k0
( xi
xk
)
ki
因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值
n
f ( xi ) L'n( xi ) f ( xk )l 'k ( xi ) i 0,1, ..., n
f
'( xi )h
1 2
f
数值分析第四章数值微分
如何选择合适的步长h,需要进行误差分析。
在x=a处做泰勒展开
误差分析
h h f (a h) f (a ) hf (a ) f (a ) f (a ) 2! 3! 4 5 h (4) h (5) f ( a) f (a) 4! 5!
f (a h) f (a h) 代入： G( h) 2h
（2）向后差商数值微分公式 f (a ) f (a h) f (a ) f (a h) f (a ) lim h 0 h h
中点方法与误差分析
（3）中心差商数值微分公式 f (a h) f (a h) f (a ) lim h 0 2h f (a h) f (a h) G ( h) 2h f (a h) f (a h) 中点方法 2h
h (2) 1 ( f 1 f 0 ) f ( ) 2 h
--------(4)
f ( x1 ) L1 ( x1 ) E1 ( x1 )
h (2) 1 ( f 1 f 0 ) f ( ) 2 h
(4)(5)式称为带余项的两点求导公式
1 f ( x0 ) f ( x1 ) ( f 1 f 0 ) h
( n 1) jk
--------(2)
k 0,1,, n
--------(3)
(2)式称为插值型求导公式, (3)式为相应产生的误差
由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式,而高次 插值会产生Runge现象,因此实际应用中多采用低次插 值型求导公式
二、低阶插值型求导公式
1.两点公式
从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。
f (2) 0.353553
数值分析(20)数值微分
k0
lk
(x)
(x x0 ) ( xk x0 )
( x xk1 )( x xk1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 )
(x xn ) (xk xn )
称为n+1点求导公式。
数值分析
数值分析
常用的数值微分公式是 n = 1 ,2 的插值型微分公式.
当n=4时,可得到5点公式：
中点求导公式：
f ( x0 )
f ( x0 2h) 8 f ( x0 h) 8 f ( x0 h) 12h
f ( x0 2h)
h4
f (5) (
)
30
(6),
x0 2h x0 2h,
h0
数值分析
数值分析
端点求导公式：
(4)
设
f ( x0 h) f ( x0 h) e( x0 h)
f ( x0 h) f ( x0 h) e( x0 h)
则(4)式为
f ( x0 )
f ( x0
h)
f ( x0
h)
e( x0
h) e( x0
h)
2h
2h
h2 6
(2)对f ( x)在点xi以h为增量作Taylor展开有
f ( xi
h)
f (xi )
f
'( xi )h
1 2
f
''( xi )h2
1 3!
f（3）( xi )h3
O(h4 )
f ( xi
h)
f (xi )
f
1 '( xi )h 2
数值分析--数值积分与数值微分
n 1 ( x )
(a, b)
(2―2)
第4章 数值积分与数值微分
这里yi=f(xi),对式(2―1)两边积分得
《 数 值 分 析 》
b a
f ( x )dx
n
b a
pn ( x )dx
b n
b a
Rn ( x )dx dx ] yi
[
i0 a
x xk xi xk f
《 数 值 分 析 》
相当复杂。例如定积分
的被积函数
b a
dx 1 x
4
4
1 1 x
的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第4章 数值积分与数值微分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左
矩形公式
b a
《 数 值 分 析 》
f ( x )dx (b a ) f (a )
k 0 k i
第4章 数值积分与数值微分
称C(n)i为柯特斯求积系数。
很显然,当n=1时,可算得
C0
《 数 值 分 析 》
(1 )
1 0
( s 1) d s 1 2
ba 2
1 2
C1
(1 )
1 0
sd s
此时式(2―5)为
b a
f ( x )dx
[ f ( a ) f ( b )]
于是
b a
f ( x )dx
ba 6
[ f (a ) 4 f (
ab 2
) f ( b )]
(2―8)
第4章 数值积分与数值微分
数值分析第七章数值微分与数值积分
a
k 0 n
b
定理
2n 阶Newton-Cotes 公式至少具有 2n+1 次代数精度. 证明 只要验证, 当 f (x)=x2n+1时, 余项为0.
按余项公式, 由于 f (2n+1)(x)=(2n+1)!, 从而有
I (1) 1dx 2
1
1
I ( x ) x 2dx 2 3
2 1 1
1
1 ~ I (1) (5 8 5) 2 9 ~ 2 I ( x ) (5 0.6 2) 9 2 3.
I ( x ) x dx 2 5
4 4 1 1
~ 4 I ( x ) (5 0.36 2) 9 0.4 ~ 6 I ( x ) (5 0.63 2) 9 0.24
a a
b
b
b a
f ( x ) n ( x xk ) dx. ( n 1)! k 0
( n 1 )
13
当节点等距分布时：
ba xk a k h, h , k 0, 1, ... , n n
Ak
n
xn x0
(x xj) dx j k ( xk x j )
令 x ath
(t j ) h (b a )( 1)n k h dt 0 n k !( n k )! jk (k j ) h
注: Cotes 系数仅取决于 n 和 k，可查表得到. 与 f (x) 及区间[a, b]均无关.
( t j )dt 0 jk
数值分析解决实际问题
数值分析解决实际问题数值分析是一种利用数值计算方法解决实际问题的数学分支。
它通过数值计算和近似方法，对实际问题进行数值求解和模拟，从而得到问题的近似解或数值解。
数值分析在科学研究、工程设计、经济决策等领域都有广泛的应用。
本文将介绍数值分析的基本原理和常用方法，并通过实例说明数值分析如何解决实际问题。
一、数值分析的基本原理数值分析的基本原理是将实际问题转化为数学模型，然后利用数值计算方法对模型进行求解。
数值计算方法是一种近似计算的方法，通过将问题离散化，将连续的问题转化为离散的问题，然后利用数值计算方法对离散问题进行求解，从而得到连续问题的近似解。
二、数值分析的常用方法1. 插值法插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。
常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
插值法在实际问题中常用于数据的拟合和曲线的绘制。
2. 数值积分法数值积分法是一种通过数值计算来求解定积分的方法。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。
数值积分法在实际问题中常用于求解曲线下面积、计算物体的质量和求解概率密度函数等。
3. 数值微分法数值微分法是一种通过数值计算来求解导数的方法。
常用的数值微分方法有前向差分法、后向差分法和中心差分法。
数值微分法在实际问题中常用于求解速度、加速度和力等。
4. 数值方程求解法数值方程求解法是一种通过数值计算来求解方程的根的方法。
常用的数值方程求解方法有二分法、牛顿法和割线法。
数值方程求解法在实际问题中常用于求解非线性方程和求解方程组等。
5. 数值优化法数值优化法是一种通过数值计算来求解最优化问题的方法。
常用的数值优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法。
数值优化法在实际问题中常用于求解最小化问题和最大化问题等。
三、数值分析解决实际问题的实例1. 求解微分方程假设有一个弹簧振子的运动方程为m*d^2x/dt^2+kx=0，其中m为质量，k为弹簧常数，x为位移。
我们可以将该微分方程转化为差分方程，然后利用数值计算方法求解差分方程，从而得到弹簧振子的位移随时间的变化。
数值分析重点公式
数值分析重点公式数值分析是数学和计算机科学的交叉学科，研究如何在实际问题中获取精确或近似数值解的方法。
在数值分析中，有许多重要的公式和方法用于解决各种数学和科学问题。
下面是一些数值分析中的重点公式：1.泰勒展开公式：泰勒展开公式可以将一个函数表示为无限级数。
对于一个无穷可微的函数f(x)，其泰勒展开可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...2. 拉格朗日插值公式：拉格朗日插值公式是一种用于通过已知数据点构造一个多项式函数的方法。
对于n个已知点(xi, yi)，拉格朗日插值多项式可以表示为：L(x) = Σ yi * l(i)(x)其中l(i)(x)是拉格朗日基函数，定义为：l(i)(x) = Π (x-xj)/(xi-xj) for j ≠ i3.数值微分公式：数值微分公式用于计算函数的导数。
常用的数值微分公式包括前向差分、后向差分和中心差分。
前向差分公式如下：fd'(x) = (f(x+h) - f(x))/h后向差分公式如下：bd'(x) = (f(x) - f(x-h))/h中心差分公式如下：cd'(x) = (f(x+h) - f(x-h))/(2h)其中h是一个小的非零常数，用于控制近似的精度。
4.数值积分公式：数值积分公式用于计算函数的定积分。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法则。
梯形法则可以表示为：T(f) = h/2 * [f(x0) + 2Σf(xi) + f(xn)]其中h是区间宽度，n是等分的子区间数，xi是区间的分点。
5.龙格-库塔法：龙格-库塔法是解常微分方程组的一种常用方法。
常见的龙格-库塔法有四阶和五阶，其中四阶龙格-库塔法可表示为：yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6其中：k1 = hf(xn, yn)k2 = hf(xn + h/2, yn + k1/2)k3 = hf(xn + h/2, yn + k2/2)k4 = hf(xn + h, yn + k3)以上只是数值分析中的一些重点公式，这些公式是解决各种数学和科学问题的基础。
数值分析应用例题和知识点总结
数值分析应用例题和知识点总结数值分析是数学的一个重要分支，它主要研究如何用数值方法求解数学问题，包括数值逼近、数值微分和积分、线性方程组的求解、非线性方程的求解、插值与拟合等。
以下将通过一些具体的例题来展示数值分析的应用，并对相关知识点进行总结。
一、数值逼近数值逼近是用简单的函数（如多项式、分段多项式等）来近似地表示复杂的函数。
例题：给定函数＄f(x) ＝＼sin(x)＄，在区间＄0, ＼pi$ 上，用一次多项式（直线）来逼近它。
解：设逼近的一次多项式为＄p(x) ＝ ax ＋ b$。
在区间两端点，即＄x ＝ 0$ 时，＄p(0) ＝ b$，且＄f(0) ＝ 0$；＄x ＝＼pi$ 时，＄p(＼pi) ＝ a\pi ＋ b$，＄f(＼pi) ＝ 0$。
由此可得到方程组：＼＼begin{cases}b ＝ 0 ＼＼a\pi ＋ b ＝ 0＼end{cases}＼解得＄a ＝ 0$，＄b ＝ 0$，所以逼近的一次多项式为＄p(x) ＝ 0$，显然这个结果不太理想。
知识点总结：1、数值逼近的方法有很多，如泰勒展开、拉格朗日插值、牛顿插值等。
2、误差是衡量逼近效果的重要指标，包括截断误差和舍入误差。
二、数值微分数值微分是通过已知的函数值来近似计算函数的导数。
例题：已知函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 附近的三个点＄x_0 ＝09$，＄x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝ 11$ 处的函数值分别为＄081$，＄1$，＄121$，用中心差分公式求＄f'（1)＄的近似值。
解：中心差分公式为＄f'（x) ＼approx ＼frac{f(x ＋ h) f(x h)｝｛2h}＄，取＄h ＝ 01$，则：＼f'（1) ＼approx ＼frac{f(11) f(09)｝｛02} ＝＼frac{121 081}｛02}＝ 2＼而＄f'（x) ＝ 2x$，＄f'（1) ＝ 2$，可见近似效果较好。
数值微分公式
数值微分公式数值微分公式是数值分析的一个重要分支，用于近似计算函数的导数和高阶导数。
数值微分法是许多科学和工程问题中的基本问题，解决这些问题需要计算导数。
但是，实际上，很少有函数的导数可以直接计算。
因此，必须使用数值微分公式。
本文将介绍数值微分公式的原理、分类和具体的计算方法。
一、数值微分公式的原理数值微分公式是由函数在某点附近的微分法则推导出来的近似式。
在微积分中，导数的定义是函数f在点x处的极限，即： $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$在实际应用中，相对于h的微小量可以忽略不计。
因此，可以将$h$写成$x$的一个小量$\Delta x$，即：$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$数值微分公式的目的是近似原函数在给定点处的导数。
根据微积分的定义，可以得出导函数在给定点处的某个近似值。
换句话说，通过在某个小范围内对函数进行采样，可以得到导数的近似值。
二、数值微分公式的分类根据计算导数的方法的复杂性和准确性，可以将数值微分公式分为三类：前向差分、后向差分和中心差分。
1. 前向差分前向差分是计算函数在$x$点处$f'(x)$的近似值的一种方式。
前向差分的定义式为：$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，$h>0$是一个小的参数，表示采样区间的长度。
这个公式可以被解释为在$x$处的切线的斜率，它利用了函数在$x$处的切线来逼近导数的值。
显然，$h$越小，这个近似值会更精确。
但与此同时，数值误差也会增加，因为数值计算的精度在计算越小的$h$时会下降。
2. 后向差分后向差分是计算函数在$x$点处$f'(x)$的近似值的另一种方式。
后向差分的计算公式为：$f'(x) \approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$与前向差分的计算公式相比，后向差分的参数$h$的符号相反。
常用数值分析方法
常用数值分析方法常用数值分析方法指的是应用数值计算方法研究和解决实际问题的一类方法。
它涉及到计算机科学、数学、算法及相关工程应用等多个领域的交叉应用，被广泛应用于科学研究、工程设计、经济分析、物理模拟、天气预测等领域。
以下是常用的数值分析方法的介绍。
1.插值法：插值法是通过已知数值点的函数值来推导任意点的函数值。
其中最常用的方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。
插值法在数值计算、图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
2.数值微分与积分：数值微分和积分方法是通过一系列近似计算来求解微分和积分问题，常用的方法有数值微分公式、数值积分公式和龙格-库塔方法等。
这些方法在工程数学、物理学、金融学等领域得到了广泛应用。
3.非线性方程求解：非线性方程求解方法用于求解形如f(x)=0的非线性方程，在科学计算和工程设计中具有重要作用。
常用的方法有二分法、牛顿法、割线法、迭代法等。
4.数值优化：数值优化方法是求解最优化问题的一种方法，常用的算法有梯度下降法、共轭梯度法、拟牛顿法、模拟退火算法、遗传算法等。
这些方法被广泛应用于机器学习、数据挖掘、工程设计等领域。
5.差分方程与差分法：差分方程是运用差分近似的数值方法来求解常微分方程的一种方法。
常用的差分法有向前差分法、向后差分法、中心差分法等。
差分法在数值模拟、物理仿真等领域有广泛应用。
6.线性代数方程组的数值解法：数值解线性代数方程组是数值分析中的经典问题之一、常用的算法有高斯消元法、LU分解法、迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法、稀疏矩阵迭代法）等。
7.数值逼近与最小二乘拟合：数值逼近和最小二乘拟合方法是通过一系列近似计算来拟合和逼近已知的数据集。
常用的方法有多项式拟合、最小二乘法、曲线拟合、样条插值等。
这些方法在数据分析、信号处理、模糊识别等方面有广泛应用。
8.数值统计：数值统计方法是通过数值计算和统计学方法来处理和分析实际数据。
常用的方法有假设检验、参数估计、方差分析、回归分析等。
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x y
x1 y1
x2 y2
· · · · · · · · · · xm · · · · · · · · · · ym
f ( x)=sin3 ( xtan x cosh x)
函数复杂或仅仅给定
离散的观察数据(函数值)？
01:36
4/23
回顾1
f ( x h) f ( x ) f ( x ) lim h 0 h
2. 符号微分diff
syms x; f=(sin((x^tan(x))*cosh(x)))^3; f1=diff(f,1)
01:36
17/23
Matlab微分
3. gradient
[x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); z = x .* exp(-x.^2 - y.^2); [px,py] = gradient(z,.2,.2); contour(z), hold on, quiver(px,py), hold off
设f ( x )是区间[a , b]上的连续函数, x1 , , xn 是[a , b]中的点, 而且a1 , , an 0, 那么在a , b 之间存在数 使得 (a1 + an ) f ( ) a1 f ( x1 )+ an f ( xn )
思路 : 设n个函数值中最小和最大的分别是f ( xi )和f ( x j ), (a1 + an ) f ( xi ) a1 f ( x1 )+ an f ( xn ) (a1 + a n ) f ( x j ) a1 f ( x1 )+ an f ( xn ) f ( xi ) f (xj ) a1 + an 根据介值定理 , xi 和x j 之间存在常数 使得
一阶导数中心差分公式
f ( x h) f ( x h) h2 f ( x )= f ( ) 2h 6
h2 h3 h4 (4 ) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x )+ f ( x )+ f (1 ) 2 6 24
h2 h3 h4 (4 ) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( 2 ) 2 6 24
h2 h3 h4 (4) h5 (5) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x )+ f ( x) f ( x) 2 6 4! 5!
f ( x h) f ( x h) h2 h4 (5) F2 (h) =f ( x ) f ( x ) f ( x) 2h 6 5!
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舍入误差 到目前为止,所有公式都破坏了不要进行相近数 相减的规则。这对于数值微分是一个极大的困 难,但是它在本质上式不可能避免的。
例2. 求f(x)=ex 在x=0处导数的近似。 h 前向差分 误差 中心差分 误差
01:36
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例3. 基于中心差分公式的研究更高阶近似公式
h2 h3 h4 ( 4 ) h5 (5 ) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x )+ f ( x )+ f ( x) f ( x) 2 6 4! 5!
导数的概念是精确刻画函数在一点及其附 近的局部变化率的有力工具。
( x x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 2! ( x x0 ) n ( n ) ( x x0 )n1 ( n1) f ( x0 ) f ( ) ( n)! ( n 1)!
当h 0.1, 0.05, 0.025时,
F ( h) 0.4516049081 F ( h / 2) 0.4540761693 F1 ( h) 0.4548999231 F ( h / 4) 0.4546926288 F1 ( h / 2) 0.4548981152 F2 (h) 0.454897994
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a1 f ( x1 )+ an f ( xn ) f ( )= a1 + an
8/23
h2 h3 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x )+ f (1 ) 2 6 h2 h3 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( 2 ) 2 6
01:36
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Integrals as Sums and Derivatives as Difference
应用1 Sharpening
参考文献: GradientShop: Gradient-Domain Image and Video Processing
Q Fn ( h) cn hn +cn1hn1
Q Fn ( h / 2) cn hn /2n +cn1hn1 / 2n1
Q
2n Fn ( h ) Fn ( h ) 2 2n 1
+d n1h
n 1
+
2n 1
Richardson 外推 Q
n n
01:36
h2 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) 2! hn ( n ) hn 1 f ( x) f ( n1) ( ) ( n)! ( n 1)!
5/23
h2 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( ) 2
Richardson 外推 Q
n 2, F4
22 F2 ( h ) F2 ( h ) 2 22 1
2n Fn ( h ) Fn ( h ) 2 2n 1
= 4 =
f ( x h ) f ( x h ) 2 2 h
f ( x h ) f ( x h ) 2h
一阶前向差分公式
f ( x h) f ( x ) h f ( x )= f ( ) h 2
前向差分公式是近似一阶导数的一阶方法。一般地 如果误差是O(hn ), 我们就称公式是n阶近似。
称这个公式一阶的微妙之处是 与h有关。一阶的概念是当h 0时, 误差应正比于h。当h 0时, 是移动的, 因此比例常数改变了。但 只要f ( x )连续, 当h 0时比例常数f ( )趋于f ( x ), 这就使得称公式 为一阶的是恰当的。
2n Fn ( h ) Fn ( h ) 2
Q Fn ( h 2 ) (1 ) Fn ( h)
01:36
外推 2 / (2 1),1 1 / (2 1)
n
14/23
例4. 推导中心差分公式的Richardson外推公式
f ( x h) f ( x h) h2 f ( x )= f ( ) 2h 6
《数值分析》 19
导数的数值计算方法
数值求导的外推方法
01:36
1/23
重温微积分 微分(Differentiation) 积分(Integration) Integrals as Sums and Derivatives as Difference 凡線面體皆設為由小漸大,一剎那中所增之積即微分也。 其全積即積分也 微分与积分构成了一对互逆的运算
a
b
(u( x )v( x )) u( x )v( x ) u( x )v ( x )
u( x )v ( x ) u( x )v ( x )dx v ( x )u( x )dx
01:36
3/23
Integrals as Sums and Derivatives as Difference
/3
h f ( x h )8 f ( x h ) 8 f ( x ) f ( x h ) 2 2 6h
01:36 是否可以进一步地外推?
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例5. 用Richardson外推公式计算f(x)=x2e-x在x=0.5的导数。
1 解F ( h) [(1 / 2 h)2 e (1/ 2 h ) (1 / 2 h)2 e (1/ 2 h) ] 2h
01:36
6/23
回顾2 介值定理(Intermediate Value Theorem)
设f ( x )是区间[a, b]上的连续函数, 则对于最大值M 和最小值 m之间的任何一个值一定存在 [a, b]使得f ( ) 。
01:36
7/23
回顾2 一般介值定理(Intermediate Value Theorem)
F4 ( h) 4 / 3F2 ( h / 2) 1 / 3F2 ( h)
12/23
松弛思想
目标值Q有两个精度相当的近似值F1和F2,如 果将这两个近似值加工成更高精度的结果呢? 改善精度的一种简便而有效的办法是,取两者的 某种加权平均值作为改进值,即令
Q (1 )F1 F2 或Q F1 ( F2 F1 )
f ( x h / 2) f ( x h / 2) h2 h4 (5) F2 (h / 2) f ( x ) f ( x ) f ( x) 2 4 h 6 2 5! 2
Байду номын сангаас
F4
01:36
4 F2 ( h ) F2 ( h ) 2 41
4 =f ( x ) O( h )
二阶导数高阶导数近似
f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) h2 （4） f ( x )= f ( ) 2 01:36 h 12