数值分析常微分方程的数值解法
数值分析第九章常微分方程数值解法
松弛法
通过迭代更新函数值并逐步放松约束 条件来逼近解，适用于刚性和非刚性 问题。
利用线性组合迭代函数值来逼近解， 具有更高的收敛速度和稳定性。
03
数值解法的稳定性分析
数值解法的稳定性定义
数值解法的稳定性是指当微分方程的初值有微小的扰动时， 其数值解的近似值的变化情况。如果数值解在微小扰动下变 化较小，则称该数值方法是稳定的。
更高的精度和稳定性。
数值逼近法
泰勒级数法
将微分方程的解展开为泰勒级数，通过截断级数来逼 近解。
多项式逼近法
利用多项式来逼近微分方程的解，通过选取合适的基 函数和系数来提高逼近精度。
样条插值法
利用样条函数来逼近微分方程的解，具有更好的光滑 性和连续性。
迭代法
雅可比迭代法
通过迭代更新函数值来逼近微分方程 的解，具有简单易行的优点。
初值和边界条件的处理
根据实际问题，合理设定初值和边界 条件，以获得更准确的数值解。
收敛性和误差分析
对数值解进行收敛性和误差分析，评 估解的精度和稳定性。
数值解法的应用案例分析
人口增长模型
通过数值解法求解人口增长模型，预测未来人口数量，为政策制 定提供依据。
化学反应动力学
利用数值解法研究化学反应的动力学过程，模拟反应过程和结果。
数值分析第九章常微分方 程数值解法
• 引言 • 常微分方程数值解法的基本思想 • 数值解法的稳定性分析 • 数值解法的收敛性和误差分析 • 数值解法的实现和应用案例
01
引言
常微分方程的应用背景
自然科学
描述物理、化学、生物等自然 现象的变化规律。
工程领域
控制系统设计、航天器轨道计 算等。
数值分析常微分方程数值解法
第8页/共105页
➢ 数值积分方法(Euler公式)
设将方程 y=f (x, y)的两端从 xn 到xn+1 求积分, 得
y( xn1) y( xn )
xn1 f ( x, y( x))dx :
xn
xn1 F ( x)dx
xn
用不同的数值积分方法近似上式右端积分, 可以得到计算 y(xn+1)的不同的差分格 式.
h2 2
y''( )
Rn1
:
y( xn1)
yn1
h2 2
y''( )
h2 2
y''( xn ) O(h3 ).
局部截断误差主项
19
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➢ 向后Euler法的局部截断误差
向后Euler法的计算公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ), n 0, 1, 2,
定义其局部截断误差为
y 计算 的n递1 推公式，此类计算格式统称为差分格式.
3
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数值求解一阶常微分方程初值问题
y' f ( x, y), a x b,
y(a)
y0
难点: 如何离散 y ?
➢ 常见离散方法
差商近似导数 数值积分方法 Taylor展开方法
4
第5页/共105页
➢ 差商近似导数(Euler公式)
(0 x 1)
y(0) 1.
解 计算公式为
yn1
yn
hfn
yn
h( yn
2xn ), yn
y0 1.0
n 0, 1, 2,
取步长h=0.1, 计算结果见下表
13
常微分方程的数值解法及其应用研究
常微分方程的数值解法及其应用研究引言：常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术和社会经济等领域。
常微分方程的解析解往往难以获得，因此数值解法的研究成为解决实际问题的有效手段。
本文将介绍常微分方程的数值解法以及其在各个领域的应用。
一、常微分方程的数值解法1. 欧拉方法欧拉方法是最基本的数值解法之一，通过将微分方程中的函数进行逐步的线性近似，得到方程的递推关系，并根据该关系逼近解析解。
欧拉方法具有简单、易于实现的优点，但在稳定性和精度方面存在一定的局限性。
2. 改进的欧拉方法改进的欧拉方法通过使用中点梯形公式，对欧拉方法的误差进行修正，提高了数值解的准确性。
改进的欧拉方法在简单性和准确性方面取得了一定的平衡。
3. 4阶龙格-库塔法4阶龙格-库塔法是一类常用的数值解法，通过计算多个近似解，并按照一定的权重进行加权平均，得到更高精度的数值解。
4阶龙格-库塔法具有高精度和较好的稳定性，被广泛应用于各个领域。
4. 多步法多步法是一类基于历史步长的数值解法，利用之前计算的步长来估计下一个步长的近似值。
常见的多步法包括亚当斯方法和预报校正方法等。
多步法在一定程度上提高了数值解的稳定性和准确性。
5. 常微分方程的辛方法辛方法是一类特殊的数值解法，能够保持微分方程的守恒性质。
辛方法在长时间积分和保持能量守恒方面具有优势，被广泛应用于天体力学和分子动力学等领域。
二、常微分方程数值解法的应用1. 物理科学中的应用常微分方程的数值解法在物理学中有广泛的应用，如天体力学中的行星轨道计算、量子力学中的薛定谔方程求解等。
数值解法处理了复杂的物理现象，为物理学研究提供了可行的途径。
2. 工程技术中的应用常微分方程的数值解法在工程技术中被广泛应用，如电路分析、结构力学、流体力学等。
通过数值解法，可以模拟和分析复杂的工程问题，提供设计和优化方案。
3. 经济学中的应用经济学中的许多问题可以转化为常微分方程的形式，如经济增长模型、市场供需关系等。
求常微分方程的数值解
求常微分方程的数值解一、背景介绍常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述自然界中变化的数学模型。
常微分方程的解析解往往难以求得，因此需要寻找数值解来近似地描述其行为。
求解常微分方程的数值方法主要有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
二、数值方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的求解常微分方程的数值方法之一。
它基于导数的定义，将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
欧拉法的公式如下：$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\Delta t$$其中，$y_n$表示第$n$个时间步长处的函数值，$f(t_n,y_n)$表示在$(t_n,y_n)$处的导数，$\Delta t$表示时间步长。
欧拉法具有易于实现和理解的优点，但精度较低。
2. 改进欧拉法（Heun方法）改进欧拉法又称Heun方法或两步龙格-库塔方法，是对欧拉法进行了精度上提升后得到的一种方法。
它利用两个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
改进欧拉法的公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\Delta t,y_n+k_1\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\Delta t$$改进欧拉法比欧拉法精度更高，但计算量也更大。
3. 龙格-库塔法（RK4方法）龙格-库塔法是求解常微分方程中最常用的数值方法之一。
它通过计算多个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
RK4方法是龙格-库塔法中最常用的一种方法，其公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_1\Delta t}{2})$$ $$k_3=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_2\Delta t}{2})$$ $$k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+k_3\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$$三、数值求解步骤对于给定的常微分方程，可以通过以下步骤求解其数值解：1. 确定初值条件：确定$t=0$时刻的函数值$y(0)$。
常微分方程中的数值方法
常微分方程中的数值方法常微分方程是数学中的一个重要分支。
它主要研究的对象是随时间变化的函数。
在实际应用中，我们需要求解这些函数的解析解，但通常情况下，解析解并不容易得到，甚至是不可能得到。
因此，我们需要使用数值方法来求解这些函数的数值近似解。
在本文中，我们将介绍常微分方程中的数值方法。
一、欧拉法欧拉法是常微分方程数值解法中最基本的一种方法。
它是根据欧拉公式推导而来的。
具体地，我们可以将一阶常微分方程dy/dt=f(t,y)写成如下形式：y(t+h)=y(t)+hf(t,y(t))其中，h是步长，f(t,y)是t时刻y的导数。
欧拉法就是通过上面的公式进行逐步逼近，然后得到最终的数值解。
欧拉法的计算过程非常简单，但所得到的解可能会出现误差。
这是因为欧拉法忽略了f(t+h,y(t+h))和f(t,y(t))之间的变化。
因此，我们需要使用更为精确的数值方法来解决这个问题。
二、改进欧拉法为了解决欧拉法中的误差问题，我们可以使用改进欧拉法。
改进欧拉法又称作四阶龙格-库塔法。
它的基本思想是对欧拉法公式进行改进，以提高计算精度。
具体地，根据龙格-库塔公式，可将改进欧拉法表示为：y(t+h)=y(t)+1/6(k1+2k2+2k3+k4)其中，k1=h*f(t,y)k2=h*f(t+h/2,y+k1/2)k3=h*f(t+h/2,y+k2/2)k4=h*f(t+h,y+k3)改进欧拉法的计算过程比欧拉法要复杂些，但所得到的数值解比欧拉法更精确。
这种方法适用于一些特殊的问题，但在求解一些更为复杂的问题时，还需要使用其他的数值方法。
三、龙格-库塔法龙格-库塔法是求解常微分方程中数值解的常用方法之一。
它最常用的是四阶龙格-库塔法。
这种方法的基本思想是使用四个不同的斜率来计算数值解。
具体地，我们可以将四阶龙格-库塔法表示为：y(t+h)=y(t)+1/6(k1+2k2+2k3+k4)其中，k1=h*f(t,y)k2=h*f(t+h/2,y+k1/2)k3=h*f(t+h/2,y+k2/2)k4=h*f(t+h,y+k3)与改进欧拉法相比，龙格-库塔法的计算复杂度更高，但所得到的数值解更为精确。
数值分析-常微分方程初值问题的解法
2 e O ( h ) n 1
2阶的方法
是个隐式的方法， 要用迭代法求解
5、欧拉公式的改进：
• 隐式欧拉法 向后差商近似导数
y ( x ) y ( x ) 1 0 y ( x ) 1 h
y ( x1 ) y0 h f ( x1 , y ( x1 ))
多一个初值, 可能影响精度
• 改进欧拉法
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 y Step 2: 再将 y
n1 n1
代入隐式梯形公式的右边作校正，得到
y y h f( x ,y ) n 1 n n n h y y x ,y )f( x ,y ) ] n 1 n [f( n n n 1 n 1 2
局部截断误差
2 h h y ( x ) y ( x ) [ f ( x , y ( x )) f ( x , y ( x ))] f ' ' ' ( ) n 1 n n n n 1 n 1 2 12
所以，有
h y y [ f ( x , y ) f ( x , y )] n 1 n n n n 1 n 1 2
例如：
=x+y , x [01 ,] y (0 )1 y
x
其解析解为： y x 1 2 e
但是, 只有一些特殊类型的微分方程问题能够得到用解析 表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解 析解。 因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
y =e , x [0,1] 例如： y(0) 1
i 0 ,, 1, 9
算例 分别用显式Euler方法，梯形方法和预估－校正Euler方法
数值分析 第9章 常微分方程初值问题数值解法
9 .2 .2 梯形方法/* trapezoid formula */— 显、隐式两种算法的平均 为得到比欧拉法精度高的计算公式, 在等式( 2.4) 右端积分 中若用梯形求积公式近似, 并用yn 代替y ( xn ) , yn+1 代替y ( xn+1 ) ,则得
h yn 1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 )], 2
yn 1 yn f ( xn , yn ), xn 1 xn
即 yn+1 = yn + hf ( xn , yn ) . ( 2 .1)
这就是著名的欧拉( Euler ) 公式.
• 若初值y0 已知, 则依公式( 2.1)可逐步算出
• y1 = y0 + hf ( x0 , y0 ) ,
为了分析迭代过程的收敛性, 将( 2. 7) 式与(2. 8 )式相减, 得
h ( k 1) (k ) yn 1 yn [ f ( x , y ) f ( x , y 1 n 1 n 1 n 1 n 1 )] 2
于是有
| yn 1 y
( k 1) n 1
hL (k ) | | yn 1 yn 1 |, 2
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |, y1, y2 R,
定理1 设f在区域Ｄ＝{(x,y)|a≤x ≤b,y∈R}上连续， 关于y满足利普希茨条件，则对任意x0 ∈[a,b], y0 ∈R，常微分方程初值问题(1.1)式和(1.２)式当x ∈[a,b]时存在唯一的连续可微解y(x). 定理２ 设f在区域Ｄ上连续，且关于y满足利 普希茨条件，设初值问题
1 2 1 2 dy x ydy xdx y x c 2 2 dx y y (0) 2 y2 x2 4
常微分方程的数值解法与实际应用研究
常微分方程的数值解法与实际应用研究引言：常微分方程是数学中一种重要的数学工具，广泛应用于物理、经济、生物等领域的实际问题的数学建模。
在解析求解常微分方程存在困难或不可行的情况下，数值解法提供了一种有效的求解方法，并被广泛应用于实际问题的研究中。
本文将介绍常微分方程的数值解法以及一些实际应用的研究案例。
一、常微分方程的数值解法：1. 欧拉法：欧拉法是一种基础的数值解法，通过将微分方程离散化，近似得到方程的数值解。
欧拉法的基本思想是根据微分方程的导数信息进行近似计算，通过逐步迭代来逼近真实解。
但是欧拉法存在截断误差较大、收敛性较慢等问题。
2. 改进的欧拉法（改进欧拉法推导过程略）：为了解决欧拉法的问题，改进的欧拉法引入了更多的导数信息，改善了截断误差，并提高了算法的收敛速度。
改进欧拉法是一种相对简单而可靠的数值解法。
3. 四阶龙格-库塔法：四阶龙格-库塔法是常微分方程数值解法中最常用和最经典的一种方法。
通过多次迭代，四阶龙格-库塔法可以获得非常精确的数值解，具有较高的精度和稳定性。
二、常微分方程数值解法的实际应用研究：1. 建筑物的结构动力学分析：建筑物的结构动力学分析需要求解一些动力学常微分方程，例如考虑结构的振动和应力响应。
利用数值解法可以更好地模拟建筑物的振动情况，并对其结构进行安全性评估。
2. 生态系统模型分析：生态系统模型通常包含一系列描述物种数量和相互作用的微分方程。
数值解法可以提供对生态系统不同时间点上物种数量和相互作用的变化情况的模拟和预测。
这对于环境保护、物种保护以及生态系统可持续发展方面具有重要意义。
3. 电路模拟与分析：电路模拟与分析通常涉及电路中的电容、电感和电阻等元件，这些元件可以通过常微分方程进行建模。
数值解法可以提供电路中电压、电流等关键参数的模拟和分析，对电路设计和故障诊断具有重要帮助。
4. 化学反应动力学研究：化学反应动力学研究需要求解涉及反应速率、物质浓度等的微分方程。
常微分方程的数值解法
常微分方程的数值解法常微分方程是研究变量的变化率与其当前状态之间的关系的数学分支。
它在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
解常微分方程的精确解往往十分困难甚至不可得，因此数值解法在实际问题中起到了重要的作用。
本文将介绍常见的常微分方程的数值解法，并比较其优缺点。
1. 欧拉方法欧拉方法是最简单的数值解法之一。
它基于近似替代的思想，将微分方程中的导数用差商近似表示。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
欧拉方法的计算简单，但是由于误差累积，精度较低。
2. 改进欧拉方法为了提高欧拉方法的精度，改进欧拉方法应运而生。
改进欧拉方法通过使用两个点的斜率的平均值来计算下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）根据微分方程的定义使用近似来计算下一个点的值。
改进欧拉方法相较于欧拉方法而言，精度更高。
3. 龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta）是常微分方程数值解法中最常用的方法之一。
它通过迭代逼近精确解，并在每一步中计算出多个斜率的加权平均值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）计算各阶导数的导数值。
（4）根据权重系数计算下一个点的值。
与欧拉方法和改进欧拉方法相比，龙格-库塔法的精度更高，但计算量也更大。
4. 亚当斯法亚当斯法（Adams）是一种多步法，它利用之前的解来近似下一个点的值。
具体步骤如下：（1）确定初始条件，即问题的初值。
（2）选择相应的步长h。
（3）通过隐式或显式的方式计算下一个点的值。
亚当斯法可以提高精度，并且比龙格-库塔法更加高效。
5. 多步法和多级法除了亚当斯法，还有其他的多步法和多级法可以用于解常微分方程。
多步法通过利用多个点的值来逼近解，从而提高精度。
而多级法则将步长进行分割，分别计算每个子问题的解，再进行组合得到整体解。
数值分析中的常微分方程数值求解
数值分析中的常微分方程数值求解常微分方程是自然科学中一类最为普遍的数学模型，涉及到热力学、物理、化工等多个领域。
然而，解常微分方程并非易事。
尤其是当我们面对一些复杂、非线性、多维的方程组时，常微分方程数值求解成为了一个十分关键的问题。
因此，数值求解方法成为了常微分方程研究中的重要组成部分。
本文将介绍一些数值解常微分方程的常见方法和应用。
1. 一般线性方法一般线性方法（general linear methods）是经典的常微分方程数值解法之一。
它以一种特殊的形式给出步进公式：$$ y_{n+1}=\sum_{i=0}^{s-1}\alpha_i y_{n-i}+h\sum_{i=0}^{s-1}\beta_i f(t_{n-i},y_{n-i}) $$ 其中，$y_{n}$为第$n$步的项值，$f(t_n,y_n)$为时间$t_n$处函数$y(t)$的导数。
$\alpha_i$和$\beta_i$是常数，可以通过确定如下特征方程来选择：$$ \sum_{i=0}^{s-1}\alpha_i\ lambda^{i}=0,~(\lambda\in C) $$ 与此同时，也可以通过选择$\beta_i$来使方法达到一定的准确性和稳定性。
2. Runge-Kutta方法比一般线性方法更为流行的方法是Runge-Kutta方法。
通常附加一个或多个修正以获得更好的数值稳定性和误差控制。
第1阶Runge-Kutta方法仅使用导数$f(t_n,y_n)$估算下一个项的值：$$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$$ 许多高阶方法可以使用中间的“插值”来更准确地估计下一个步骤：$$y_{n+1}=y_n+h\sum_{i=1}^kb_ik_i$$$$k_i=f(t_n+c_ih,y_n+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_j)$$ $k_i$是第$i$台车的估计值，$a_{ij}$和$b_i$在经典Runge-Kutta方法和其他变体中具有不同的取值。
数值分析第九章常微分方程数值解法
数值分析第九章常微分方程数值解法常微分方程数值解法是数值分析中非常重要的一部分内容。
常微分方程是描述自然现象中动态变化规律的数学模型，解常微分方程可以揭示系统的变化趋势和规律。
然而，大多数常微分方程是无法通过解析方法求出解的，因此需要借助计算机进行数值计算。
数值解常微分方程方法主要包括：Euler方法、改进的Euler方法、四阶Runge-Kutta方法和龙格-库塔方法。
Euler方法是最简单的方法之一，它采用的是一阶Taylor展开式。
将待求的函数值与函数的一阶导数值代入Taylor展开式中，可以得到函数值在下一个时间步长上的近似值。
Euler方法的优点是简单易于实现，但其精度不够高，容易积累误差。
改进的Euler方法是对Euler方法的改进，它通过使用中间点上的导数值来减小误差。
改进的Euler方法的精度相比Euler方法要高一些，但仍然不够高。
四阶Runge-Kutta方法是目前使用较为广泛的数值解常微分方程的方法之一、它通过计算不同时间点上的斜率来估计函数值，在多个时间点上计算斜率的平均值来提高精度。
四阶Runge-Kutta方法的精度比Euler方法和改进的Euler方法要高，但计算量也相对较大。
龙格-库塔方法是数值解常微分方程中最常用的方法之一、它是四阶Runge-Kutta方法的延伸，通过计算不同时间点上的斜率来估计函数值，然后利用这些估计值计算更准确的斜率，在不同步长上进行迭代计算，直到满足所需精度。
龙格-库塔方法的精度比四阶Runge-Kutta方法要高，但计算量也相对较大。
除了以上几种方法外，还有一些其他数值解常微分方程的方法，如Adams法、Gear法等。
这些方法在不同场景下有着不同的适用性和优劣势。
总结起来，数值解常微分方程方法是研究常微分方程数值计算中的重要内容。
不同的方法有着不同的精度和计算量，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行数值计算。
然而，需要注意的是，数值解只是在给定的步长下对函数的近似值，可能会引入误差。
数值解常微分方程的方法和技巧
数值解常微分方程的方法和技巧在科学和工程领域，我们经常遇到一些复杂的常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs），这些方程往往很难用解析方法得到精确解。
而数值解常微分方程的方法和技巧提供了一种有效的途径来近似求解这些方程。
本文将介绍一些常用的数值解ODEs的方法和技巧。
一、欧拉方法（Euler Method）欧拉方法是最简单的数值解ODEs的方法，它利用初始条件和微分方程的导数来计算下一个点的近似值。
具体来说，假设我们要求解的ODE为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数，初始条件为x0 = x(0)，y0 = y(0)。
欧拉方法的迭代公式为：y[i+1] = y[i] + h * f(x[i], y[i])其中，h是步长，x[i]表示第i个点的x坐标，y[i]表示对应的y坐标。
二、龙格-库塔方法（Runge-Kutta Method）龙格-库塔方法是一族常用的数值解ODEs方法，其基本思想是通过计算不同阶数的导数来提高求解的精度。
最常用的龙格-库塔方法是四阶龙格-库塔方法，也称为RK4方法。
它的迭代公式如下：k1 = h * f(x[i], y[i])k2 = h * f(x[i] + h/2, y[i] + k1/2)k3 = h * f(x[i] + h/2, y[i] + k2/2)k4 = h * f(x[i] + h, y[i] + k3)y[i+1] = y[i] + 1/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)其中，k1、k2、k3、k4是中间变量，h是步长。
三、改进的欧拉方法（Improved Euler Method）改进的欧拉方法是对欧拉方法的改进，它通过使用导数的平均值来提高求解的精度。
其迭代公式为：k1 = h * f(x[i], y[i])k2 = h * f(x[i] + h, y[i] + k1)y[i+1] = y[i] + 1/2 * (k1 + k2)其中，k1、k2是中间变量，h是步长。
数值分析2.5__常微分方程的数值解
三、单步法的局部截断误差和精度 有关） 单步法的一般形式为 ： （ϕ与f 有关） 显式单步法 + hϕ ( x n , y n , y n +1 , h)
yn +1 = yn + hϕ ( xn , yn , h)
整体截断误差： 整体截断误差：从x0开始，考虑每一步产生的 开始， 误差，直到x 误差，直到 n，则有误差 e = y ( x ) − y
y′′ = f ( x, y, y′) a ≤ x ≤ b (3) y ( a ) = y0 , y (b) = yn
(1)，(2)式称为初值问题，(3)式称为边值问题。 ， 式称为初值问题 式称为初值问题， 式称为边值问题 式称为边值问题。 在实际应用中还经常需要求解常微分方程组： 在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：
xn 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 y(xn) 0 0.1923 0.3448 0.4412 0.4878 0.5000 0.4918 0.4730 yn 0 0.2000 0.3840 0.5170 0.5824 0.5924 0.5705 0.5354 yn-y(xn) 0 0.0077 0.0392 0.0758 0.0946 0.0924 0.0787 0.0624
并将数值解和该问题的解析解比较。 并将数值解和该问题的解析解比较。 x 解析解： y ( x) = 2 1+ x 方法的具体格式： 解：Euler方法的具体格式： 方法的具体格式
y n +1
yn 2 = y n + h( − 2 y n ) xn
取h=0.2, xn=nh,(n=0,1,2…,15), f(x,y)=y/x – 2y2 计算中取f(0,0)=1. 计算结果如下： 计算结果如下： 计算中取
常微分方程数值解法
常微分方程数值解法常微分方程是研究函数的导数与自变量之间的关系的数学分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域的建模与分析。
在实际问题中，我们常常遇到无法通过解析方法求得精确解的常微分方程，因此需要利用数值解法进行求解。
本文将介绍几种常用的常微分方程数值解法。
一、欧拉方法(Euler's Method)欧拉方法是最基本的数值解法之一。
它的思想是将微分方程转化为差分方程，通过逐步逼近解的方式求得数值解。
具体步骤如下：1. 将微分方程转化为差分方程：根据微分方程的定义，可以得到差分方程形式。
2. 选择步长：将自变量范围进行离散化，确定步长h。
3. 迭代计算：根据差分方程递推公式，利用前一步的数值解计算后一步的数值解。
二、改进的欧拉方法(Improved Euler's Method)改进的欧拉方法通过使用欧拉方法中的斜率来进行更准确的数值计算。
具体步骤如下：1. 计算欧拉方法的斜率：根据当前节点的数值解计算斜率。
2. 根据斜率计算改进的数值解：将得到的斜率代入欧拉方法的递推公式中，计算改进的数值解。
三、龙格-库塔方法(Runge-Kutta Method)龙格-库塔方法是一类常微分方程数值解法，其中最著名的是四阶龙格-库塔方法。
它通过计算各阶导数的加权平均值来逼近解，在精度和稳定性方面相对较高。
具体步骤如下：1. 计算每一步的斜率：根据当前节点的数值解计算每一步的斜率。
2. 计算权重：根据斜率计算各个权重。
3. 计算下一步的数值解：根据计算得到的权重，将其代入龙格-库塔方法的递推公式中，计算下一步的数值解。
四、多步法(多步差分法)多步法是需要利用多个前面节点的数值解来计算当前节点的数值解的数值方法。
常见的多步法有Adams-Bashforth法和Adams-Moulton法。
具体步骤如下：1. 选择初始值：根据差分方程的初始条件，确定初始值。
2. 迭代计算：根据递推公式，利用前面节点的数值解计算当前节点的数值解。
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题的数值解法在实际应用中，对于某些微分方程，我们并不能直接给出其解析解，需要通过数值方法来求得其近似解，以便更好地理解和掌握现象的本质。
常微分方程初值问题（IVP）即为一种最常见的微分方程求解问题，其求解方法有多种，本文将对常微分方程初值问题的数值解法进行较为详细的介绍。
一、欧拉法欧拉法是最基本的一种数值解法，它采用泰勒级数展开并截断低阶项，从而获得一个差分方程近似求解。
具体来讲，设 t 为独立变量，y(t) 为函数 y 关于 t 的函数，方程为：$$y'(t) = f(t, y(t)), \qquad y(t_0) = y_0$$其中 f(t,y(t)) 为已知的函数，y(t_0) 为已知的初值。
将函数 y(t) 进行泰勒级数展开：$$y(t+h) = y(t) + hf(t, y(t)) + O(h^2)$$其中 h 表示步长，O(h^2) 表示其他高阶项。
为了使误差较小，一般取步长 h 尽可能小，于是我们可以用欧拉公式表示数值解：$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n), \qquad y_0 = y(t_0)$$欧拉法的优点是容易理解和实现，但是由于截取低阶项且使用的单步法，所以误差较大，精度较低，在具体应用时需要慎重考虑。
二、龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种多步法，比欧拉法更加精确。
龙格-库塔法的主要思想是使用不同的插值多项式来计算近似解，并且将时间步长分解，每次计算需要多次求解。
以下简要介绍二阶和四阶龙格-库塔法。
二阶龙格-库塔法将时间步长 h 分解成两步 h/2，得到近似解表达式：$$\begin{aligned} k_1 &= hf(t_n, y_n)\\ k_2 &= hf(t_n+h/2,y_n+k_1/2)\\ y_{n+1} &= y_n+k_2+O(h^3)\\ \end{aligned}$$四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是龙格-库塔法中应用最为广泛的一种方法，其需要计算的中间值较多，但是具有更高的精度。
《数值分析》第5讲：常微分方程数值解
1 2
y(3) ( xn )2 p2h3
o(h4 )
对照
y( xn1 )
yn
y'( xn )h
1 2
y''( xn )h2
第五章：常微分方程数值解
得
212 p2
1
1
可解得
yn1 yn h(1K1
K1 f ( xn , yn )
2
K
2
)
K
2
f ( xn p , yn
phK1 )
12
第五章：常微分方程数值解
§5.3 Lunge-Kutta方法
依据精度要求的待定系数法
x xn
x n p n1
1、二阶Lunge-Kutta方法（P114-P116)
令 xn p xn ph( xn, xn1), 0 p 1 yn1 yn h(1K1 2 K2 ) 加权平均斜率
K1 f ( xn , yn ) y(x) 在点 ( xn , 的yn斜) 率
例 P107
初值问题
y' y 2x / y
y(0)
1
0 x 1
补 充 ： 一 阶 线 性 方 程dy P( x) y Q( x)的 解
dx
常数变易法
y e p( x)dx
Q( x)e
p( x )dx
dx
C
非线性方程 dy P( x) y Q( x) yn Bernoulli型方程 dx
yn1 yn h(1K1 2 K 2 )
yn h[1 y'( xn ) 2 y'( xn p )]
yn
h1 y'( xn ) 2h
1 y'( xn ) 1
数值分析常微分方程数值解法
（Numerical Methods for Ordinary Differential Equations ）
中心差商近似导数
y( x1 )
y( x2 ) y( x0 ) 2h
y( x2 ) y( x0 ) 2h f ( x1 , y( x1 ))
x0
x1
x2
yi1 yi1 2h f ( xi , yi ) i 1, ... , n 1
假设 yi1 y( xi1 ), yi y( xi ) ,则可以导出 Ri y( xi1 ) yi1 O(h3 ) 即中点公式具有 2 阶精度。
只要f (x, y)在a,b R1上连续, 且关于 y 满足
Lipschitz 条件，即存在与 x, y无关的常数 L 使 | f (x, y1) f (x, y2 ) | L | y1 y2 |
对任意定义在 a,b上的 y1 x, y2 x都成立，
则上述IVP存在唯一解。
求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
yi y(xi ) (i 1, ... , n)
的方法称为微分方程的数值解法。 y1,L , yn 称为微分方程的数值解。
称节点间距 hi xi1 xi (i 0, ... , n 1)为步长， 通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。
三、初值问题的离散化方法
离散化方法的基本特点是依照某一递推公式， 按节点从左至右的顺序依次求出y(xi )的近似 yi 值(i 1, ... , n),取 y0。
数值分析第五章常微分方程数值解法讲解
? ? ?
? ?
yn+1
?
1 2
yp ? yc
§1 欧拉方法 /* Euler's Method */
y( xn?1) ? y(xn ) ? hy?( xn ) ? y(xn ) ? yn
y( xn?1) ? yn?1 ? yn ? h f ( xn , yn )
§1 Euler's Method
Taylor 展开法
yn?1 ? yn ? h f (xn , yn ) n ? 0, 1,...
?
y??xn?1 ??
y??xn ??
hy???xn ??
h2 2
y????xn ??
?
yn?1
?
? hf
?
y
xn ? 1 ,?
??? yn ? 1
?
y ?xn?1 ??? ?
y ?xn ?
?
hy??xn ??
h2 y???xn ??
h3 2
y????xn ??
而
y ?xn?1 ??
y ?xn ??
就是用差商近似导数
在xn点用一阶向前差 商近似一阶导数
y ?( xn ) ?
y(xn?1) ? h
y(xn )
y(xn?1) ? y(xn ) ? hy?(xn )
Euler's method
? y(xn ) ? yn y(xn?1) ? yn?1 ? yn ? h f (xn , yn )
? 欧拉公式的改进 ：
式。隐式公式不能直接求解，一般需要用 Euler 显式公式
得到初值，然后用Euler 隐式公式迭代求解。因此隐式公
式较显式公式计算复杂，但稳定性好（后面分析）。
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《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导14 常微分方程的数值解法一.重点内容1. 欧拉公式：）心知1）a 儿+1 =儿 + hfg ，儿） m 1、伙=0丄2,…川一 1）I 无=x Q +kh局部截断误差是0（*）。
2. 改进欧拉公式：预报一校正公式：预报值 _v*+1 =儿+ hf （x k ,儿）-h -校正值y M = y k +-［f （x kt y k ） + /（x A+1, y M ）］即儿+1 =儿+ £ "（忑'儿）+心+「儿+ hfg ,儿））］或表成平均的形式：儿=儿+ hfg ,儿） '儿=儿+"（无+】，儿）+K ）改进欧拉法的局部截断误差是0（2）3. 龙格一库塔法二阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（爪） 三阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（护）四阶龙格F 塔法公式：儿计=儿+ 2（匕+ 2心+ 2© + ©）四阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（爪）。
二实例y' = — y — xv f2（0 < x < 0.6）例1用欧拉法解初值问题｛'•-取步长/匸02计算过程保留b （o ）= 14位小数。
解/i=0.2. f （x ）= —y —xy 2<,首先建立欧拉迭代格式y*+i =儿+ hf g,y k ） = y k -hy k -hx k y ；=0.2 儿（4 - x k y k ）（k = 0,1,2）K 2=f(x n +^h,yk+-hK\)t gg+舟人，>'n +y/?A3）；当k=0, xi=0.2 时，已知x（）=0,y（）=l,有y(0・2)今i=0・2X l(4-0X 1)=0.8000当k=\. M=0・4时，已知“=0・2」尸0・8,有y(0・4)今2=0.2 X 0.8X(4-0.2X0.8)=0.614 4当k=2, xs=0.6 时，已知x2=0.4,y2=0.6144,有y(0・6)今3=0.2 X0.6144X (4-0.4 X 0.4613)=0.8000「J, ,2 ・_ ZX例2用欧拉预报一校正公式求解初值问题\y + v +V sinx=,取步长/?=0.2,计算.y ⑴=1 y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。
解步长力=0.2,此时/(x,y)=—y—fsiiu欧拉预报一校正公式为：预报值兀I = y k + hfg y k)- I J_校正值)3=儿+尹(忑，儿)+ fg,儿+1)]有迭代格式]预报值儿+] = y k 4-h(-y k -y； sin x k)=y k (0・8-0・2儿sin x k)< h 、—— 2校止值y如]=儿 +尸[(一片一力sinxJ + LN+i-yl sin.v I+1)]——•>=儿(°・9一0・1儿sin心)一0・1(儿+| +y；j sin心利) 、"M=0.別=1」)=1 时，Xj=1.2> 有儿=yo(°・8-O・2yo sinx0) = 1 x (0.8-02x lsin 1) = 0.63171y(1.2) «= lx(0.9-0.1xlxsinl)-0.1(0.63171+0.631712sinl.2) = 0.71549当 T xi=1.2, yi=0.71549 时,x2=1.4,有y2 =儿(0.8-0・2儿sinXj) = 0.71549x(0.8-02x0.71549sinl.2)=0.47697y(14) z y2= 0.71549x(0.9-0.1x0.71549xsin 1.2)-0.1(0.47697+ 0.476972 sin 1.4) =0.52608V = 8 — 3y例3写出用四阶龙格一库塔法求解初值问题^ ‘的计算公式，取步长/匸0.2计b(0) = 2算y(0.4)的近似值。
讣算过程保留4位小数。
解此处.心,刃=8 —3”四阶龙格一库塔法公式为艰=儿 + % + 2© + 2勺 + ©)1 h, y n+ y/?A3)：本例计算公式为:0 2呱严儿+三(32©+2©+心其中K I=8—3比；K2=5・6—2.1)%：心=6・32—2・37)灭；心=4・208+1.578〉》>7+1 = y k + 上（8 - 3 儿 + 2（5.6 一 2.1儿）+ 2（6.32 一 2.37 儿）+ （4.208 一 1.578儿））= 1.2016 + 0.5494 儿伙=0J2 …丿一 1）当兀尸0,yo==2,y （0.2） « =1.2016 +O.5494y o = 1.2016+ 0.5494x 2 = 2.3004 〉，（0.4）~>，2 =l ・2016+ 0.5494比=1.2016+ 0.5494x 2.3004 = 2.4654 例4设初值问题y ，+ y = 0,y （0） = l ，证明用梯形公式求解该问题的近似解为 儿=詔）证明解初值问题的梯形公式为儿+1 =31- +£【/（忑，片）+ /（H+i ，儿+1）］仗=°」，2,…屮一 1）••• /（匕 y ） = _y■■-畑=儿+寸［一儿一畑］整理成显式（2-h}>7+i = -—r 儿（£=0丄2…丿一 1）12 +力丿用匕皿一 1,"一2,…,1.0反复代入上式，得到,_（2-/J. _（2-/讦，_ _（2-力丫小例5选择填空题:答案：汕=九［1 • 1 +（］ + 0］防 1，k = °，1，2,…,“ ->0 = 1>> =>\ +妙•（忑，儿） 儿=儿+"（兀*丿2 + h ） 1.2 + // 1.2 + 力 y Q =1・•・儿=12 +力丿1.取步长A=0.L 用欧拉法求解初值问题?4十I 的计算公式是yd ）= 1解答：欧拉法的公式此处f （x 9y ） = ^ + y,迭代公式为2.改进欧拉法的平均形式公式是（）答案：（D ）解答：见改进欧拉法平均形式公式。
三、练习题y f = f （x 、y ）1・求解初值问题【欧拉法的局部截断误差是（）；改进欧拉法的局部截断 误差是（）；四阶龙格一库塔法的局部截断误差是（）（A ）O （/r ） （B ）O （护）（C ）O （f ） （D ）O （h 5） 2. 改进欧拉预报一校正公式是预报值 ）1 = y A + _________校 JE 值 儿+i =y A +y[ ________________ ]改进欧拉法平均形式公式为»= ______________ ,儿= ___________ ，屮+尸 ________________ 试说明它们是同一个公式。
3. 设四阶龙格一库塔法公式为y'+ y = 05. 试写岀用欧拉预报一校正公式求解初值问题和 / 的计算公式，并取步长/i=0.1,求y （0・2）的近似值。
要求迭代误差不超过10 5。
6. 对于初值问题P = A；V试用（1）欧拉法：（2）欧拉预报一校正公式：（3）四阶龙格一库（y （o ）=1塔法分别计算y （0・2）,y （0・4）的近似值。
y z + y = x7. 用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题彳• • 在.匸0・2,0・4,0・6处的近似值。
儿=）7 +〃（忑，儿） 儿=儿+〃（无+1,儿）y^=-（y P + 儿）儿=>\ +妙•（忑，儿） 儿•=儿+ /矿（X —儿+1 =亍（儿+儿）丿(“)=>04•取步长尼0.1.用欧拉法求解初值问题?卜(0) = 1V — = V. +’（心 +2心 +2心 +匕）取步长5,用四阶龙格-库塔法求解初值问叱爲的计算公式y(0) = 0四.练习题答案1. (A), (B), (D)2・hf(x k, y k); f(x k, y k) + f(x M, y i+1)比+"(兀，儿)；儿+/(忑+1,儿,) *(打+儿)只需将尹,弘的表达式代入到屮+】中，就得到预报一校正公式。
3. 0.2591625 +1.2591625 % (R = 0.1,2,・・・,死一1)提示：其中Ki=l—yjt：心=0・85(1 —%)：心=0・8725(1—滋)：心=0・73825(1 —)认) 畑=儿 + 孚(1 一儿+ 1.7(1+1.745(1-儿)+ 0.73825(1-儿))O=0.2591625 + 1.2591625 y k伙=0,12…,n-1)4.yi=l, )*1.005000,护1・010025, y4= 1.025 175, y5= 1.045 679,>•6=1.078 21,力=1.103 976, y尸1」42615,严尸1」88 320, yi0= 1.241 7945.计算公式为>7+i =°・9 儿>7+1 =°・95 儿_ (k=0,1,2,…，舁一1) -0・05〉i儿=0・9 儿儿=0.905’ ［儿= 0.814 286 = 0.818 8096•欧拉法：y(0.2> 1.000 00; y(0.4)^1.080 00欧拉预报一校正公式：y(0.2>1.020 84; y(0.4> 1.042 40四阶龙格一库塔法：y(0.2> 1.002 673 ；y(0.4)^ 1.021 798 7.y/7=0, y(=0.04, vi=0.02：yp=0・056, N=0・088&户=0・0724：忙0・13792,比=0」64816,屮=0」513688.提示：见教材关于梯形公式的推导。