数值分析常微分方程的数值解法

《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导

14 常微分方程的数值解法

一.重点内容

1. 欧拉公式：

）心知1）a 儿+1 =儿 + hfg ，儿） m 1、

伙=0丄2,…川一 1）

I 无=x Q +kh

局部截断误差是0（*）。

2. 改进欧拉公式：

预报一校正公式：

预报值 _v*+1 =儿+ hf （x k ,儿）

-

h -

校正值

y M = y k +-［f （x kt y k ） + /（x A+1, y M ）］

即

儿+1 =儿+ £ "（忑'儿）+心+「儿+ hfg ,儿））］

或表成平均的形式：

儿=儿+ hfg ,儿） '儿=儿+"（无+】，儿）

+K ）

改进欧拉法的局部截断误差是0（2）

3. 龙格一库塔法

二阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（爪） 三阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（护）

四阶龙格F 塔法公式：儿计=儿+ 2（匕+ 2心+ 2© + ©）

四阶龙格一库塔法的局部截断误差是0（爪）。 二实例

y' = — y — xv f2（0 < x < 0.6）

例1用欧拉法解初值问题｛

'

•

-取步长/匸02计算过程保留

b （o ）= 1

4位小数。

解/i=0.2. f （x ）= —y —xy 2<,首先建立欧拉迭代格式

y*+i =儿+ hf g,y k ） = y k -hy k -hx k y ；

=0.2 儿（4 - x k y k ）（k = 0,1,2）

K 2=f(x n +^h,

yk+-hK\)t gg+舟人，>'n +y/?A3）；

当k=0, xi=0.2 时，已知x（）=0,y（）=l,有

y(0・2)今i=0・2X l(4-0X 1)=0.8000

当k=\. M=0・4时，已知“=0・2」尸0・8,有

y(0・4)今2=0.2 X 0.8X(4-0.2X0.8)=0.614 4

当k=2, xs=0.6 时，已知x2=0.4,y2=0.6144,有

y(0・6)今3=0.2 X0.6144X (4-0.4 X 0.4613)=0.8000

「J, ,2 ・_ ZX

例2用欧拉预报一校正公式求解初值问题\y + v +V sinx=,取步长/?=0.2,计算

.y ⑴=1 y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。

解步长力=0.2,此时/(x,y)=—y—fsiiu

欧拉预报一校正公式为：

预报值兀I = y k + hfg y k)

- I J_

校正值)3=儿+尹(忑，儿)+ fg,儿+1)]

有迭代格式]

预报值儿+] = y k 4-h(-y k -y； sin x k)

=y k (0・8-0・2儿sin x k)

< h 、—— 2

校止值y如]=儿 +尸[(一片一力sinxJ + LN+i-yl sin.v I+1)]

——•>

=儿(°・9一0・1儿sin心)一0・1(儿+| +y；j sin心利) 、"M=0.別=1」)=1 时，Xj=1.2> 有

儿=yo(°・8-O・2yo sinx0) = 1 x (0.8-02x lsin 1) = 0.63171

y(1.2) «= lx(0.9-0.1xlxsinl)-0.1(0.63171+0.631712sinl.2) = 0.71549

当 T xi=1.2, yi=0.71549 时,x2=1.4,有

y2 =儿(0.8-0・2儿sinXj) = 0.71549x(0.8-02x0.71549sinl.2)

=0.47697

y(14) z y2

= 0.71549x(0.9-0.1x0.71549xsin 1.2)-0.1(0.47697+ 0.476972 sin 1.4) =0.52608

V = 8 — 3y

例3写出用四阶龙格一库塔法求解初值问题^ ‘的计算公式，取步长/匸0.2计

b(0) = 2

算y(0.4)的近似值。讣算过程保留4位小数。

解此处.心,刃=8 —3”四阶龙格一库塔法公式为

艰=儿 + % + 2© + 2勺 + ©)

1 h, y n+ y/?A3)：

本例计算公式为:

0 2

呱严儿+三(32©+2©+心

其中K I=8—3比；K2=5・6—2.1)%：心=6・32—2・37)灭；心=4・208+1.578〉》

>7+1 = y k + 上（8 - 3 儿 + 2（5.6 一 2.1儿）+ 2（6.32 一 2.37 儿）+ （4.208 一 1.578

儿））

= 1.2016 + 0.5494 儿伙=0J2 …丿一 1）

当兀尸0,yo==2,

y （0.2） « =1.2016 +O.5494y o = 1.2016+ 0.5494x 2 = 2.3004 〉，（0.4）~>，2 =l ・2016+ 0.5494比=1.2016+ 0.5494x 2.3004 = 2.4654 例4设初值问题y ，+ y = 0,y （0） = l ，证明用梯形公式求解该问题的近似解为 儿=詔）

证明解初值问题的梯形公式为

儿+1 =31- +£【/（忑，片）+ /（H+i ，儿+1）］仗=°」，2,…屮一 1）

••• /（匕 y ） = _y

■■-畑=儿+寸［一儿一畑］

整理成显式

（2-h}

>7+i = -—r 儿（£=0丄2…丿一 1）

12 +力丿

用匕皿一 1,"一2,…,1.0反复代入上式，得到

,_（2-/J. _（2-/讦，_ _（2-力丫小

例5选择填空题:

答案：汕=九［1 • 1 +（］ + 0］防 1，k = °，1，2,…,“ ->0 = 1

>> =>\ +妙•（忑，儿） 儿=儿+"（兀*丿

2 + h ） 1.2 + // 1.2 + 力 y Q =1・•・儿=

12 +力丿

1.取步长A=0.L 用欧拉法求解初值问题?

4十I 的计算公式是

yd ）

= 1

解答：欧拉法的公式

此处f （x 9y ） = ^ + y,迭代公式为

2.改进欧拉法的平均形式公式是（）