准备给一年级学生的数学文化知识

准备给一年级学生的数学文化知识

(*)

韩信点兵

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）。

中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」

答曰：「二十三」

术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」

孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。(*)

巧分乳酪

乔记餐馆虽说吃食不算，但却以美味乳酪而远近闻名。块块乳酪状如圆盘，绕有风趣。一刀下去，就把一块乳酪一切为二。连切两刀，不难将其分成四块，三刀则切成六块。一天，女招待罗西请乔把乳酪切成八块。乔：“好，罗西。很简单，我只要这样切四刀就成了。罗西把切好的乳酪往桌子上送时，忽然悟到乔只需要切三刀便可以把乳酪分成八块。罗西想出了什么妙主意？

罗西豁然开朗，悟到圆柱形乳酪是一个立体图形，可以在中线处横截一刀将其一切为二。如果允许移动切开的部分，那么连切三刀也行。可以把第一次切开的两块迭放在一起，切第二刀成四块，再把四块跌放在一起，最后一刀切成八块。罗西的解法是如此简单，几乎可以说是平凡的。然而它给人以明确的启示：对于有意义的切分问题，可以用有限差分演算进行研究并用数学归纳法加以证明。有限差分演算是发现数字序列普通项公式的有力工具。今天，数字序列日益引起人们的兴趣，因为它具有极其广泛的实际应用范围，还因为计算机能

够以极快的速度执行序列的运算。

罗西第一次切乳酪的方法是在乳酪顶面的若干中线同时切数刀。乳酪具有如同薄饼那样平坦的顶面。让我们来观察一下，根据在一张薄饼上切数刀的过程，能够生成一些什么数字序列。假如沿着薄饼若干中线同时切数刀，显然，同时切n刀至多可以切出2n块。

若在其边沿为一条简单闭合曲线的任意平面上同时切下n刀，这种方法所切成的块数，是否最多也是2n块呢？否。可以随意画出许多既非凸面，并且形状各异的平面，即使一刀也可切成你所希望的块数。能否画出一种图形，仅切一刀便可以切出任何有限数目的全等的块？若能办到，这种图形的周长应具有什么特性，才能确保只需要一刀便可以切成全等的n块？若不同时进行切分，薄饼的切分将更为有趣。你很快会发现：仅当n〉=3时，切n刀方可切成不止2n块。

这里，我们并不考虑所切成的块是否全等或面积相同。当n=1，2，3，4。。。时，可以切成的最多块数分别是2，4，7，11。这一大家所熟悉的序列是根据下列公式求得的：

1+n（n+1）/2

其中，n是所切的刀数。此序列的前10项（n自0开始）是1，2，4，7，11，16，22，29，37，46。。。

请注意，第一行差分是1，2，3，4，5，6，7，8，9。。。第二行差分是1，1，1，1，1，1，1，1，1，。。。

这强烈地暗示着此序列的普通项是一个二次项。

为什么说“强烈暗示”呢？因为虽然可以用有限差分演算找到

一个公式，但是并不能保证该公式对于无限序列也成立。这一点尚需证明。在薄饼公式这一例子中，不难通过数学归纳法做出一个简单的证明。

从这点出发，你可以发现大量的引人入胜的研究方向，其中有许多将导致非同寻常的数字序列，公式以及数学归纳法证明。这里有一些问题可供你作为初步尝试。采用下列各种方法，最多可以切成几块？

1。在马蹄形的薄饼上切n刀。

2。在球形或罗西所切的那种圆柱形乳酪上切n刀。

3。用切小圆甜饼的刀在薄饼上切n刀。

4。在状如烛环状（即中心有一个圆孔）的薄饼上切n刀。

5。在油炸圈（圆环）上切n刀。

(*)

火柴游戏

一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩，先置若干支火柴於桌上，两人轮流取，每次所取的数目可先作一些限制，规定取走最後一根火柴者获胜。

规则一：若限制每次所取的火柴数目最少一根，最多三根，则如何玩才可致胜？

例如：桌面上有n=15根火柴，甲?乙两人轮流取，甲先取，则甲应如何取才能致胜？

为了要取得最後一根，甲必须最後留下零根火柴给乙，故在最後一步之前的轮取中，甲不能留下1根或2根或3根，否则乙就可以全部取走而获胜。如果留下4根，则乙不能全取，则不管乙取几根（1或2或3），甲必能取得所有剩下的火柴而赢了游戏。同理，若桌上留有8根火柴让乙去取，则无论乙如何取，甲都可使这一次轮取後留下4根火柴，最後也一定是甲获胜。由上之分析可知，甲只要使得桌面上的火柴数为4?8?12?16…等让乙去取，则甲必稳操胜券。因此若原先桌面上的火柴数为15，则甲应取3根。（∵15-3=12）若原先桌面上的火柴数为18呢？则甲应先取2根（∵18-2=16）。

规则二：限制每次所取的火柴数目为1至4根，则又如何致胜？

原则：若甲先取，则甲每次取时，须留5的倍数的火柴给乙去取。

通则：有n支火柴，每次可取1至k支，则甲每次取後所留的火柴数目必须为k+1之倍数。

规则三：限制每次所取的火柴数目不是连续的数，而是一些不连续的数，如1?3?7，则又该如何玩法？

分析：1?3?7均为奇数，由於目标为0，而0为偶数，所以先取者甲，须使桌上的火柴数为偶数，因为乙在偶数的火柴数中，不可能再取去1?3?7根火柴後获得0，但假使如此也不能保证甲必赢，因为甲对於火柴数的奇或偶，也是无法依照己意来控制的。因为〔偶-奇=奇，奇-奇=偶〕，所以每次取後，桌上的火柴数奇偶相反。若开始时是奇数，如17，甲先取，则不论甲取多少（1或3或7），剩下的便是偶数，乙随後又把偶数变成奇数，甲又把奇数回覆到偶数，最後甲是