初二数学--勾股定理讲义(经典)

第一章 勾股定理

【知识点归纳】

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⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状

3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题

勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一：勾股定理

（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）结论：

①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。 ③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）勾股定理的验证 例题：

例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。 （1）在Rt △ABC 中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c=___________；

②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；

④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。

（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2n

B 、n+1

C 、n 2－1

D 、1n 2+

（3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）

A.222a b c +=

B. 222a c b +=

C. 222c b a +=

D.以上都有可能

（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

A 、25

B 、14

C 、7

D 、7或25

例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。 （1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

（2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、242c m

B 、36 2c m

C 、482c m

D 、602c m

（3）已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）

A 、5

B 、25

C 、7

D 、15

例3：探索勾股定理的证明

有四个斜边为c 、两直角边长为a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。

考点二：勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n ）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..（n 为正整数）

（3）直角三角形的判定方法：

①如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 ②有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ③两角互余的三角形是直角三角形。

④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 例题：

例1：勾股数的应用

（1）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）

A. 4，5，6

B. 2，3，4

C. 11，12，13

D. 8，15，17 （2）若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ） A 、2∶3∶4

B 、3∶4∶6

C 、5∶12∶13

D 、4∶6∶7

例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 （1）下面的三角形中：

①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ；

②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3； ③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5； ④△ABC 中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（ ）．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

（2）若三角形的三边之比为

:1

2，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形

（3）已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

（4）将直角三角形的三条边长同时扩一倍数, 得到的三角形是( )

A ． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形

（5）若△ABC 的三边长a,b,c 满足222a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△ABC 的形状。 （6）△ABC 的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c 是3的倍数，则c 应为 ，此