以复变函数求解一元三次方程式的根
一元三次方程求根方法
一元三次方程求根方法一元三次方程，听起来就像数学界的超级英雄，虽然它的名字有点复杂，但别担心，咱们今天就来轻松聊聊怎么求根，让它不再神秘。
大家可能会想，一元三次方程到底是什么？简单来说，就是形如ax³ + bx² + cx + d = 0 的方程，a、b、c、d 这几个字母代表的是数字，当然这里面 a 不能等于零，不然这就变成二次方程了，呵呵。
这样一来，咱们的问题就来了，怎么才能找到这个方程的根呢？不如我们先从最基本的方法说起。
第一招，试试“抄底法”。
没错，就是直接代入法！你可以试着把一些简单的数字放进去，比如说 1、1、2 之类的，看看有没有可能得到 0。
这种方法就像是寻找宝藏，有时候你会恰巧找到一个能让你开心的大红包，当然也可能空手而归。
不过，没关系，试着几次，总能找到一个根的。
发现了根后，就可以用它去“降次”了，这里我就要给大家讲讲什么叫降次。
降次就是用这个根去把原来的方程变成一个简单的二次方程，心里有没有一种“终于可以喘口气了”的感觉呢？咱们进入第二招，名叫“拉格朗日插值法”，哇，听起来高大上，其实也没那么复杂。
它的核心就是先找出方程的一个根，然后用这个根把方程降到二次，再用求根公式去解决，真的是一步步拆解。
就像拆盲盒，先拆开一个，然后发现里面的乐趣越来越多，哇，惊喜连连。
特别是当你找到最后的根的时候，简直就像找到了隐藏的宝藏，心里那个美呀，简直比中彩票还要高兴。
第三招，咱们可以试试“牛顿法”。
这招可是很经典的哦，简单来说，就是利用一个初始值，然后不断逼近真实的根。
就像爬山，虽然一开始的路途可能有些曲折，但只要你坚持，目标就在眼前。
每次计算后，得到的新值会越来越接近真实的根，直到你满意为止。
是不是听起来很简单？可能刚开始的时候会有点慢，但只要耐心点，最终会让你刮目相看。
再说了，现在网络上还有很多强大的工具可以帮助你，像是计算器、图形软件等，随时都可以把复杂的东西变得简单明了，真的是科技的进步让咱们的生活方便了不少。
一元三次方程求根问题
一元三次方程求根问题一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年的问题，后来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。
目前，我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将这个问题解决。
显然，所有的一元三次方程都可以转化为x 3+bx 2+cx +d =0的形式，先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式()()()B A AB B A AB B A B A B A +-+=--+=+333322333 在这里令x =A+B ，m =-3AB ，n =-(A 3+B 3)，则上述公式转为x 3+mx+n=0这便是一个特殊的一元三次方程。
而 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=nB A m B A 3333327所以由一元二次方程的韦达定理得A 3与B 3是方程02732=-+m ny y 的两根， 不考虑A 与B 之间的顺序，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=++-=22742274223223m n n B m n n A故33233227422742m n n m n n B A x +--+++-=+= 在解二次方程时，可以通过配方的方法将 ax 2+bx +c =0转化为04422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b ac 2a b x a 再将ab x 2+换元，以达到消去一次项的目的。
那么，在解x 3+bx 2+cx +d =0的过程中，是否也有类似的方法呢？ 我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项， 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++273332323b d x b c b x d cx bx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2723333323b bcd b x b c b x 这就转为x 3+mx+n=0的形式，带入刚才得到的其求根公式，得32233b t n t n x ---++-= 其中108441827274,3,2723332223223c d b bcd c b d m n t b c m b bc d n ++--=+=-=+-= 以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而一元三次方程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。
一元三次方程的根
一元三次方程的根一元三次方程的根是数学中比较重要的一个概念，对于初学者来说可能有些难以掌握。
一元三次方程形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为常数且a≠0，x 为未知数。
求解一元三次方程的根需要使用到复数和求根公式等知识，接下来我们将深入探讨一元三次方程的根。
1. 求解一元三次方程的基本步骤（1）将一元三次方程化为标准形式，即将所有项都移项并化为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的形式。
（2）通过套用公式，求出一元三次方程的根。
（3）根据根的符号，可得出方程的解析式。
2. 求解一元三次方程的通用公式求解一元三次方程需要使用到通用公式，即克拉默公式。
克拉默公式的形式如下：X = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2a 或 X = (-b -√(b^2 - 4ac)) / 2a其中，a、b、c分别为一元三次方程的系数。
3. 一元三次方程的三个根一元三次方程有三个根，其中可能存在实根和虚根。
（1）实根如果一元三次方程的解都是实数，那么这些解就是实根。
这些实根可能是正数、负数或0。
（2）虚根一元三次方程的解如果涉及到负数的平方根，那么就是虚根。
在求实数解之后，我们需要检查是否存在虚根。
（3）重根一元三次方程还可能存在重根，即有两个或三个根是相同的。
在使用求根公式时，如果分母为0，那么这个方程就有重根。
4. 一元三次方程的多项式系数不同的一元三次方程，其系数可能是正数、负数或0。
根据系数的符号，可以大致判断出它的根的性质。
（1）正系数如果一元三次方程的系数都是正数，那么所有解都是正数，且所有根的和等于负数的系数b/a。
（2）负系数如果一元三次方程的系数都是负数，那么所有解都是负数，且所有根的和等于正数的系数b/a。
（3）零系数一般而言，如果一元三次方程的系数中存在0，则其根的性质需要单独讨论，也可能有实根和虚根。
5. 一元三次方程的例子（1）求解方程：x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0首先，将方程化为标准形式，即x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0。
一元三次方程求根公式推导过程
一元三次方程求根公式推导过程一元三次方程的求根公式，即可利用一个公式求得该方程的三个根，可谓一个十分重要的数学公式。
其公式的推导过程，虽繁琐，但也是有一定的规律可循的。
本文将就这一推导过程，加以详述。
首先来看一元三次方程的一般形式：$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$将该方程的左右两边分别平方，得到：$$a^2x^6+2abx^5+2acx^4+b^2x^4+2bcdx^3+2acdx^2+cd^2x^2+2abdx +c^2=0$$将上式两边同时乘以$4a^3$，得到：$$4a^3x^6+8a^2bx^5+8a^2cx^4+4a^2b^2x^4+16a^2bcdx^3+16a^2acd x^2+4a^2cd^2x^2+8a^2abdx+4a^2c^2=0$$将上式整理得到：$$x^2(4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2a cd)+c^2-4a^3d^2=0$$设 $P =4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2acd$，则上式变为：$$x^2P+c^2-4a^3d^2 = 0$$再将上式整理得到：$$x^2P+(frac{-b}{2a})^2-frac{1}{4a^2}(4ac-b^2)=0$$ 把上式分解因式，即有：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{2ac-b^2}{4a^2P} = 0$$ 设$D = b^2-4ac$，则上式可写为：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{D}{4a^2P} = 0$$将上式左右两边同时乘以$frac{1}{4a^2P}$，得到：$$frac{x^2}{4a^2P}+frac{-b}{8a^3P}+frac{1}{16a^4P^2}D=0$$ 根据二次方程的求根公式，即有：$$x=frac{-2a^2Ppmsqrt{8a^2Pb+D^2}}{4a^3P}$$再将上式改写，即得最终的一元三次方程求根公式：$$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}-frac{2a^2P}{bpmsqrt{b^2-4ac }}$$由此可见，一元三次方程求根公式，是通过繁琐的整理、变形，最终才得到的。
复根研究法求解一元三次方程
复根研究法求解一元三次方程在数学中，求解方程是一个常见的问题。
当涉及到高次方程时，求解过程可能会变得更加复杂。
在本文中，将介绍一种名为复根研究法的方法，该方法可以用来求解一元三次方程。
首先，让我们来了解一元三次方程的一般形式。
一元三次方程可以写成以下形式：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0其中，a、b、c和d是已知系数，x是未知数。
复根研究法是一种将一元三次方程转化为一元二次方程的方法。
它的基本思想是，通过假设方程的根是复数，并利用复数的性质进行求解。
下面是具体的步骤：步骤一：令x = y - b/3a通过这个变换，可以将一元三次方程转化为一个不包含x^2的新方程。
代入方程后，可以得到：a(y^3 + py + q) = 0其中，p和q是已知系数，与a、b、c和d有关。
步骤二：通过求解一元二次方程求解未知数y对于方程a(y^3 + py + q) = 0，可以通过解一元二次方程来求解未知数y。
在这一步中，需要将方程转化为常用的一元二次形式。
在得到未知数y的值后，可以通过反代回原方程来求解未知数x。
将x = y - b/3a 代入原方程，可以解得x的值。
步骤四：求解剩下的两个根将得到的第一个根x带入一元二次方程中，可以求解得到其他两个根。
通过以上步骤，就可以使用复根研究法求解一元三次方程。
下面，让我们来通过一个具体的例子来体验一下。
假设我们有一个一元三次方程：2x^3 + x^2 - 6x - 3 = 0。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤一：令x = y - b/3a将a、b和方程代入，可以得到新的方程为：2(y^3 - (7/6)y - 5/6) = 0步骤二：求解一元二次方程将新的方程y^3 - (7/6)y - 5/6 = 0转化为一元二次方程的形式，可以得到：y^2 - (7/6)y - 5/12 = 0通过求解这个一元二次方程，我们得到两个解：y1 ≈ 2.0571和y2 ≈ -0.8905。
一元三次方程的解法十三——双曲余弦函数法
一元三次方程的解法十三——双曲余弦函数法本方基于MMA,给出了一元三次方程标准式,精简式和一般式的双曲余弦函数法的求解过程,并通过韦达定理进行验证。
一.一元三次方程1.一般式：a x 3+b x 2+c x +d =0(a ≠0)2.标准式：x 3+p x +q =0其中,p =3a c -b 23a 2,q =2b 3-9a b c +27a 2d27a 3。
3.精简式：x 3+3r x +2s =0其中,r =3a c -b 29a 2,s =2b 3-9a b c +27a 2d54a 3。
二.复变函数法4.双曲余弦函数法4.1标准方程假设q ≠0,则x ≠0。
令x =ρ双曲余弦Cosh [θ],ρ,θ为复数,且ρ≠0。
代入标准方程可得ρ3Cosh 3[θ]+p ρ双曲余弦Cosh [θ]+q =0即Cosh 3[θ]+pρ2双曲余弦Cosh [θ]+q ρ3=0习知公式：双曲余弦Cosh [3θ]=-3双曲余弦Cosh [θ]+4Cosh 3[θ],即Cosh 3[θ]-34双曲余弦Cosh [θ]-14双曲余弦Cosh [3θ]=0两式比较,得p ρ2=-34,qρ3=-14双曲余弦Cosh [3θ]。
解得：ρ=±3双曲余弦Cosh [3θ]=∓2p 代入可得x =±3双曲余弦Cosh [θ]。
其中,θ满足双曲余弦Cosh [3θ]=∓2p 3/2解双曲余弦Cosh [3θ]==2p 得θ=132p +2n ⅈπ或θ=13-反双曲余弦ArcCosh2p +2n ⅈπ解双曲余弦Cosh [3θ]⩵-2p 3/2得θ=13-2p 3/2+2n ⅈπ或θ=13-反双曲余弦ArcCosh-2p +2n ⅈπ取ρ=3θ=反双曲余弦ArcCosh-2p ,则标准方程三根为：x 1=ρ双曲余弦Cosh θ3 ,x 2=ρ双曲余弦Cosh θ-2πI 3,x 3=ρ双曲余弦Cosh θ+2πI3 。
复数域求解一元三次方程的应用
复数域求解一元三次方程的应用在数学中，一元三次方程是指含有未知数的三次方程，其一般形式可以表示为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d都是已知常数，且a不等于0。
解一元三次方程是一项重要的数学技能，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将探讨复数域求解一元三次方程的应用，并介绍相关的解法。
一、背景介绍复数域是由实数域扩充而成的数域，它包含所有形如a+bi的数，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
在复数域中，虚数单位i满足i^2 = -1。
复数域的引入使得我们能够更全面地研究方程的解，并解决那些在实数域中无解的方程。
二、复数域中的三次方程求解方法要在复数域中求解一元三次方程，可以使用维达法（Vieta's Formula）或者牛顿法（Newton's Method）等方法。
这里我们介绍一种基于维达法的求解方法。
1. 运用维达法将一元三次方程转化为二次方程对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，我们令y = x + p/a，其中p是待定常数，代入方程得到：a(x + p/a)^3 + b(x + p/a)^2 + c(x + p/a) + d = 0化简得：a(x^3 + 3px^2/a + 3p^2x/a^2 + p^3/a^3) + b(x^2 + 2px/a + p^2/a^2) +c(x + p/a) + d = 0进一步化简，消去x^3、x^2和x的项，得到二次方程：x^2 + (2p - b/a)x + (p^2 - c/a) = 0这样，我们将原来的一元三次方程转化为了一个二次方程。
2. 求解转化后的二次方程利用二次方程的求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以求解上述转化后的二次方程。
根据求根公式，我们可以得到两个解，假设为x1和x2。
3. 求解原始三次方程得到转化后的二次方程的解x1和x2后，我们可以将其代入转化方程中，即x = x1 - p/a或x = x2 - p/a，求解得到原始三次方程的解。
一元三次方程求根公式及韦达定理
⼀元三次⽅程求根公式及韦达定理转⾃百度百科公式法（卡尔丹公式）（如右图所⽰）若⽤A、B换元后，公式可简记为：x1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
⼀元三次⽅程求根公式判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有⼀个实根和⼀对个共轭；当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的。
⼀元三次⽅程求根公式推导第⼀步：ax^3+bx^2+cx+d=0（a≠0）为了⽅便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代⼊⽅程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m ，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
第⼆步：⽅程x^3+px+q=0的三个根为：x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。
×推导过程：1、⽅程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；2、⽅程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，3、⼀般三次⽅程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。
一元三次方程 求根公式
一元三次方程求根公式一元三次方程求根公式一元三次方程是指方程的最高次数为三次的方程，一般表示为ax³+bx²+cx+d=0，其中a、b、c、d为实数且a≠0。
求解一元三次方程的根是数学中的重要问题之一，我们可以通过求根公式来解决这个问题。
一元三次方程的求解过程较为复杂，需要借助求根公式来进行计算。
根据数学原理，一元三次方程的根可以通过以下公式来求解：我们要计算一元三次方程的判别式Δ，Δ的计算公式为Δ=b²c²-4ac³-4b³d-27a²d²+18abcd。
判别式Δ的值可以帮助我们判断方程的根的情况。
当Δ>0时，方程有一个实根和两个共轭复根。
实根可以通过以下公式计算得出：x₁=(-b+((b²-3ac)^(1/2)))/(3a)。
而共轭复根可以通过以下公式计算得出：x₂=x₃=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(6a)+i((3(b²-3ac))^(1/2))/(6a)和x₂=x₃=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(6a)-i((3(b²-3ac))^(1/2))/(6a)。
当Δ=0时，方程有一个实根和一个重根。
实根可以通过以下公式计算得出：x=(-b+((b²-3ac)^(1/2)))/(3a)。
重根可以通过以下公式计算得出：x=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(3a)。
当Δ<0时，方程有三个不相等的实根。
实根可以通过以下公式计算得出：x₁=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))) - b/(3a)，x₂=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))-2π/3) - b/(3a)，x₃=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))+2π/3) - b/(3a)。
(论文)与复变函数求解一元三次方程式的根
以複變函數求解一元三次方程式的根Solving roots of cubic equation using complex variable余尚儒國立台灣海洋大學河海工程學系，基隆，台灣 E-mail: B935200191@.tw摘要解一元三次方程式發展至今已四百多年之久，但迄今所探討的一元三次方程式仍為實係數，對於複係數仍欠缺一套完整的解法。
故本專題是以複數的手法將一元三次方程式求解的問題，透過平移與複數伸縮的技巧，再利用正餘弦之三倍角公式，轉變成三角函數問題3Rcos(3)Sθ=−，最後對其反函數來逆推其解。
在判別式上，本專題利用複變的操作，探討出其三根實虛與係數的關係，進而推導出其對應的判別式，以供實根與虛根之判定，是有別於文獻的推導[7]。
除此之外，因為正餘弦與雙曲正餘弦含有複數轉換關係，故亦可利用雙曲正餘弦之三倍角公式，以類似的方法求其解。
並在文中提出三個算例，來檢驗本計劃判別式的可行性與正確性。
除此之外，本計劃也可解出一元三次複數係數方程式的根，故再舉一個算例來驗證。
最後，將以上四範例利用Mathematica 符號運算軟體計算求其根與並畫出平移及複變伸縮之過程，便於判斷其根的正確性與圖形的變化。
關鍵字: 一元三次方程式、三倍角正餘弦公式、複變函數一、前言隨著知識的成長，面對同樣的問題，通常有不同的想法與處理方式。
國中時代，學了許多解一元二次方程式的方法，其中最常見的方法為公式解，但對於判別式中根號內小於0其根為無實數解的問題，便產生迷惑。
故在高中時期，引入了複數的觀念，也使得一元二次方cosθ>這種無法用程式中的虛根得到解答；然而大學時期又遇到()1實數理解的問題，進而透過複變函數來解決此類問題。
在一元三次方程式求解，已經算是一個數學發展史中的老問題。
自卡登（1501～1576）公式以來已有四百年的歷史，在數學傳播期刊的文獻中，亦有幾篇精彩的論述。
楊對於為何必須消去2x項以及為何x y z均有補充說明[8]。
一元三次方程求根公式推导过程
一元三次方程求根公式推导过程一元三次方程的求根公式是一个非常重要的数学知识，它可以应用到许多不同的场景中。
一元三次方程的求根公式可以通过某种方法从复平面到实数空间来进行求解。
接下来，我们就来通过一步一步的推导，来介绍了这种求根公式的推导过程。
一元三次方程的标准方程形式一般为ax^3+bx^2+cx+d=0，其中a，b，c，d均为实数，而x为未知数。
既然有了一元三次方程的标准形式，那我们就可以对它进行实际求解了。
比如说，如果有 ax^3+bx^2+cx+d=0 这样的一元三次方程，那么我们就需要将该方程式化为其他形式。
我们首先可以将该方程式转化为[(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0]的形式，然后令 y=x-x1，于是可以得到 y(x-x2)(x-x3)=0，将这两边同时除以 (x-x2)(x-x3) 即可转化为y=0 的形式。
我们将令 y=0 的形式代入到原方程中，得到方程式 ax^3+(b-a*x2)x^2+(c-a*x3)x+d-a*x1*x2*x3=0, 进一步分解可得 ax^3+(b-a*x2)x^2+(c-a*x3)x+(d-a*x1-a*x2*x3)=0，再变换一下可得ax^3+(b+a*x2)*x^2+(c+a*x3)*x=a*x1*x2*x3，将左右两边乘以 -1 变换可得 -ax^3 + (b+a*x2)*x^2 + (c+a*x3)*x - a*x1*x2*x3 = 0。
最后，我们将上面得出的一元三次方程代入通用公式 x=(-b+-√[b^2-4ac])/2a 中，得出它的三个根 x1,x2,x3，最终可以通过回代法得出其值，从而求得一元三次方程的求根公式。
因此，一元三次方程的求根公式的求导过程采用了从复平面到实数空间的方法，具体推导过程是将一元三次方程进行化简成y=0的形式，通过变换形式得到可以代入通用公式求解的一元三次方程，最终得出一元三次方程的求根公式。
一元三次方程复数根求根公式
一元三次方程复数根求根公式一元三次方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为实数且a≠0。
如果该方程没有实数根，则它一定有一对共轭复数根。
下面我们来介绍一元三次方程的复数根求根公式。
设一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的三个根分别为α、β、γ，由于它们是复数，因此可以表示为：α = p + qiβ = r + siγ = u + vi其中，p、q、r、s、u、v均为实数。
根据复数的定义，α、β、γ满足方程：(ax^2+bx+c)(x-α)(x-β)(x-γ) = 0将x=α、x=β、x=γ代入上式，可得：(ax^2+bx+c)(p-α)(p-β)(p-γ) = 0(ax^2+bx+c)(r-α)(r-β)(r-γ) = 0(ax^2+bx+c)(u-α)(u-β)(u-γ) = 0将上述三个式子相加，得到：(ax^2+bx+c)[(p-α)(p-β)(p-γ)+(r-α)(r-β)(r-γ)+(u-α)(u-β)(u-γ)] = 0因为ax^2+bx+c≠0，所以有：(p-α)(p-β)(p-γ)+(r-α)(r-β)(r-γ)+(u-α)(u-β)(u-γ) = 0对上式进行展开，得到：pqr + pqs + prs + qru + qsu + rsu - (p^2s + p^2u + q^2r + q^2u + r^2p + r^2s + s^2p + s^2u + u^2q + u^2r + v^2p + v^2q + v^2r + v^2s + v^2u) = 0移项后，得到：(pq + pr + qr + qu + rs + su) - (p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + u^2 + v^2) + i(ps - qr) = 0因为α、β、γ是一对共轭复数根，所以它们的实部相等，虚部互为相反数，即：p + r + u = -b/aq + s + v = 0ps = qr代入上式，得到：3pq - b/a(p+q) + c/a = 0将ps = qr代入ax^3+bx^2+cx+d=0，得到：a(x-α)(x^2+px+q) = 0因为α是原方程的一个根，所以x=α代入上式应该成立，即： a(α-α)(α^2+pα+q) = 0即：α^2 + pα + q = 0同理，β、γ的方程分别为：β^2 + pβ + q = 0γ^2 + pγ + q = 0将α、β、γ的式子代入ps = qr，得到：(p+q)(r+s)(u+v) - 3(pq+rs+uv) = 0即：(p+q+r+s+u+v)^2 - 3(p^2+q^2+r^2+s^2+u^2+v^2) = 0 所以，解得：p+q+r+s+u+v = 0p^2+q^2+r^2+s^2+u^2+v^2 = (b^2-3ac)/a^2综上所述，一元三次方程的复数根求根公式为：p、q、r、s、u、v分别为：p = -(b/a)/3 + (2/3)√[(b^2-3ac)/a^2]q = -(b/a)/3 - (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]r = -(b/a)/3 - (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]s = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ)u = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ+2π/3) v = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ-2π/3) 其中，θ为任意角度。
一元三次方程的求根公式及其推导[精品]
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一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。
有三个零点时，当有两个实数根。
有两个零点时，当有唯一实数根。
有唯一零点时，当。
，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。
点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。
因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=⇔<+=∙=⇔=+=∙=⇔>+=∙--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC AB A B x A BC A B x AD Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。
一元三次方程复数根求根公式
一元三次方程复数根求根公式一元三次方程是数学中的一个重要概念，在许多实际问题的处理中，都需要用到它的求解方法。
在复数域中，一元三次方程有一个特殊的求根公式，它可以在较简单的条件下求出三次方程的全部复数根。
本文主要介绍一元三次方程复数根求根公式的相关内容。
一、什么是一元三次方程？一元三次方程是指一个只有一个未知数的三次方程。
它的一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0其中，a、b、c、d为已知常数，x为未知数。
二、一元三次方程的基本求解方法对于一般的一元三次方程，我们可以采用如下方法进行求解：步骤一：将一元三次方程化为标准形式。
如果a≠0，可将方程两边同时除以a；如果a=0，将方程变形，使其不含二次项。
步骤二：变形，将三次方程化为二次方程。
通过变量代换或公式变形，将三次方程转化为二次方程。
步骤三：求出二次方程的解。
采用求根公式或配方法等方法，求解二次方程。
步骤四：得到三次方程的解。
通过步骤二和步骤三的结果，求得三次方程的解。
但是，在某些情况下，采用上述方法难以求出一元三次方程的解。
此时，我们需要用到一元三次方程复数根求根公式。
三、一元三次方程复数根求根公式一元三次方程复数根求根公式可以用来求解一元三次方程在复数域中的全部解。
它的表达式如下：x1=(m + √n + √p + i(√n - √p))/3x2=(m - (√n + √p)/2 - i(√n - √p)√3/2)/3x3=(m - (√n + √p)/2 + i(√n - √p)√3/2)/3其中，i为虚数单位，m、n、p均为已知常数。
若x1、x2、x3的实部和虚部均为实数，则方程在实数域中有三个实根。
四、举例说明例如，求解一元三次方程x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0在复数域中的全部解。
根据一元三次方程复数根求根公式，我们可以得到：m=4/3，n=139/9，p=35/9于是，我们可以得到方程在复数域中的三个根：x1=(4/3 + √(139/9) + √(35/9) + i(√(139/9) - √(35/9)))/3≈1.6214+0.1784ix2=(4/3 - (√(139/9) + √(35/9))/2 -i(√(139/9) - √(35/9))√3/2)/3≈0.7827-1.0834i x3=(4/3 - (√(139/9) + √(35/9))/2 +i(√(139/9) - √(35/9))√3/2)/3≈0.5958+0.9049i 因此，一元三次方程x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0在复数域中的全部解为：x≈1.6214+0.1784i，x≈0.7827-1.0834i，x≈0.5958+0.9049i五、总结一元三次方程是数学中的一个基础概念，对于某些实际问题的处理十分重要。
一元三次方程的求根公式及其推导(同名21594)
一元三次方程的求根公式及其推导由于任一个一般的一元 公式化为 即(3 Ax 3 x px 1 .实数根的判定： 设 F(x) B 3A(x —) 3A 3B) (9AC 三次方程Ax 3 Bx 2 Cx D 0均可经过移轴 2 3 B 2 B 2B 3 BC (C )(x ) ( 2 D) 0 3A 3A 27 A 3A 3 2 3AB )(3Ax B) (2B 9ABC 27 A D) 程即可。
q 0的特殊形式，因此，只需研究此类方 3 x px3 x px F'(x)点的个数即方程 (1) .若p 0,则方程 有唯一实数根。
(2) •若p 0,则方程 有唯一实数根。
(3) 若p 0,则方程 q,则F (x) 0即方程x 3 pxq 0实数根的个数。
0没有实根， F (x)有唯一零点 q 0,F (x)零F(x) X i p/ 亍，x2当 F( )? F(有唯一实数根。
当 F( )? F( 有两个实数根。
当 F( )? F( 有三个实数根。
0,F (x) F (x) 8>q28>q2右©q2810有一实根， F(x)有唯一零点 0有两实根，为12 P。
p 3)0时, F (x)有唯一零点 12 12 F(x)F(x)P 3)0时, 0时, F (x)有两个零点 F (x)有三个零点 F(x)F(x)为研究方便，不妨设p.q 不同时为O(p.q 同时为0时方程很容易求解)，则当p 0时,定有181 (81q 2 12p 3) @ 令 81q 2 12p 3，则有以下结论: 81q 2 12p 3 0时，方程x 3px q 0有唯一实数根。
81q 2 12p 3 0时，方程x 3 px q 0有两个实数根。
81q 2 12p 30时，方程x 3px q 0有三个实数根。
2•求根公式的推导： (1).实根式的推导：一元三次方程的求根公 式由演绎推理是很难解 出的，通常由归纳思维 得到。
一元三次方程的求根公式以及解法和韦达定理
一元三次方程的求根公式以及解法和韦达定理下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一元三次方程的新根式解
・
题 专 研 究
｜ ｌ Ａ 勘 蝴 ｜
一
禳武
此时可直接开立方求解．
一
◎蔡 宇 麟 （ 宁省 盘 锦 市辽 河 油 田 第一 高级 中 学一 年 三 班 １４ ０ ） 辽 ２０ ０
【 要】 摘 一元 三 次 方 程 的 解 法 是 数 学 史 上 著 名 的 问题 ，
—
＝ ０
．
．
＋
：
＋
：：
，
＋￣ －ｉ Ａ Ｂ ：２
（ ＝０， ） ．
记 ｚ：ｅ △． 一３ ｃ △２：３ ．ｂ＿ ９ａ ， ：ｂ ｎ， 。 ｃ－ ｄ ｉ
ｃｓ ｒ ＋２ ￣＝ ｃｓ ｏ 丁ｇ ｋｒ ２ ｏ ａｚ
ｔ ． ．
一
２， ６ 则
方 程 的解 可 写 作 ：
但 卡 尔 丹 公 式 的 推 导 方 法 令 人 匪 夷 所 思． 文 利 用 复 数 本
种 能用 常规 思 维 得 到 的方 式 推 导 其 根 式 解．
６＋
— — — 一 ‘
一
— — 一
—
【 关键词 】 一元三次方程； 求根公 式； 复数
元 三次 方 程 ０ ＋ ＋ｃ ＋ｄ＝ （ ， ， ， ０， ｒ ｂ ｃ ｄ∈Ｒ， ≠ 上 ０
如 果 ２次都 是 正 面或 反 面 ， 算 平 局． 则
按 照 这 样 的 规 则 赌博 ， 即使 硬 币 有 问 题 ， 不 会 影 响 赌 也 博的公正性． 设硬 币出现正 面的概率 为 ０８ 出现反 面 的 假 ．，
概率为 ０２ ．．
则 Ｐ（ ）＝Ｐ Ａ Ｃ ｃ ）＋ Ｂ Ｃ ｃ ）＋ （ ２ ３ ４ ５ Ｃ （ ３ Ｐ（ 。 ３ Ｐ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ ）
一元三次方程与一元四次方程的解法
1 a 1 a 1 a
a 0 ax 3 bx 2 cx d 0
在复数域内的解。
Xu Wen, Tongji University, Shanghai. All rights reserved.
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一元四次方程的解法
一元四次方程的解法
对形如
ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0, a 0
p 3mn 3 3 q m n
1 2
的解集。
2 式等号两边平方得
q 2 m3 n3 m6 2m3n3 n6
所以
2
m
故
3
n
3 2
p q 4mn q 4 3
2 3 2
2
2
p m3 n3 q 2 4 3
至此，可求得变换
y F x 3 a x
使得
b
2
3a 3
ax 3 bx 2 cx d 0
化为
y 3 py q 0
变换后如何求解？
设有方程
y 3 py q 0
令
p 3mn 3 3 q m n
（其中 m n ）代入方程：
i 1,2,3 Y { yi | y 3 py q 0, y C}
3. 通过
x F 1 y
反变换求出方程的解集
i 1,2,3。 X {xi | ax 3 bx 2 cx d 0, a 0, x C}
下面就按照这三个步骤求出三次方程的解。
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法求根公式
一元三次方程的解法求根公式一元三次方程是形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d都是已知的实数系数，x是未知数。
求出这个方程的解法也就是求出它的根公式。
一元三次方程的求根公式较为繁琐，分为两种情况：情况一：方程的三个根都是实数设方程的三个根为x1、x2、x3，那么解法如下：1.计算p和q：p = b/aq = c/a2.计算x和y：x = (q/2)^3 + (p/3)q - (1/3)(b/a)^2y = (q/2)^2 - (2/3)(b/a)3.计算r和θr = [(-x)^2 + (-y)^3]^(1/2)θ = arctan[(-y)/(-x)]4.计算方程的三个根：x1 = 2r*cos(θ/3) - p/3x2 = 2r*cos((θ+2π)/3) - p/3x3 = 2r*cos((θ+4π)/3) - p/3其中，π为圆周率，arctan是反正切函数，cos是余弦函数。
情况二：方程的一个根是实数，另外两个根是共轭复数设方程的一个实根为x1，另外两个根为x2=a+bi和x3=a-bi，那么解法如下：1.计算p和q：p = b/aq = c/a2.计算r和θ：r = [p^2/3 + (q-2p^3/27)^(1/2)]^(1/3)θ = arctan[(3q-p^2)/(2p^(3/2))]3.根据实根x1和复根的关系，可以得到：a = -p/3b = (x1-a)*√(3*r^2-p)/2c = -(x1-a)*√(3*r^2-p)/24.方程的三个根就可以表示为：x1x2 = a + bix3 = a - bi其中，√是平方根函数。
以上就是一元三次方程解法求根公式的全过程。
需要注意的是，在实际应用中，由于计算过程中可能存在大量的乘方和根号，为了避免精度误差，可以采用数值计算方法来求解方程的根。
以复变函数求解一元三次方程式的根
以複變函數求解一元三次方程式的根Solving roots of cubic equation using complex variable 一、 理論推導：若給定一個一元三次方程式：320Ax Bx Cx D +++= （1）將（1）同除A 可化簡成：320x ax bx c +++= （2）其中a 、b 與c 均為實數。
在以平移的概念將X 3ax +=代入（2），則可得：3X +QX+R=0 （3）此式型態與三角函數中的三倍角公式相似：331cos ()cos()cos(3)44θθθ-= （4）331sin ()sin()sin(3)44θθθ-=- （5）故需將（3）式中的3X +QX 假設成此型式，便可利用複變函數的觀念將此一元三次方程式代入正弦或餘弦的三倍角公式。
然而Q 未必等於34-，為了實現此想法則需再利用複數伸縮的觀念將X=SY 代入（3）式，而得：33S Y +QSY+R=0即：323Q RY +Y S S=- （6）其中 24S Q 3=-若Q<0，則S 將變成實數。
若Q>0，則S 將變成複數，透過此複數伸縮的操作，可將一元三次方程式轉變成三角複變問題，便可求解：34Rcos(3)S θ=-（7） 34Rsin(3)=S θ （8）其反函數分別為：1cos ()+ln(i 2z i z π-=+ （9）1sin ()ln(i z i z -=-+ （10）故利用（9）與（10）式可推得θ的三個解，再利用Y=cos()θ與Y=sin()θ；X=SY 以及X 3ax =-的關係逐一逆推，即可得此一元三次方程式的三根。
以上是將一元三次方程式透過伸縮平移與正餘弦三倍角公式來求解，由於雙曲三角函數與三角函數相似，故嘗試是否可以利用雙曲正餘弦來求解首先利用雙曲三角函數中的三倍角公式331cosh ()cosh()cosh(3)44θθθ-= （11）331sinh ()+sinh()sinh(3)44θθθ= （12）（11）（12）相似於（6）式中的323Q RY +Y S S =-即 24S Q 3=-24S Q 3=便將一元三次方程式轉變成雙曲函數問題34R cosh(3)S θ=-34Rsinh(3)Sθ=-其反函數為1cosh ()ln(2π-=-++z i iz （15）1sinh ()ln(z z -=+ （16）故利用（15）與（16）式可推得θ的三個解，再利用Y=cosh()θ與Y=sinh()θ；X=SY 以及X 3ax =-的關係逐一逆推，即可得此一元三次方程式的三根。
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以複變函數求解一元三次方程式的根Solving roots of cubic equation using complex variable 一、 理論推導：若給定一個一元三次方程式：320Ax Bx Cx D +++= （1）將（1）同除A 可化簡成：320x ax bx c +++= （2）其中a 、b 與c 均為實數。
在以平移的概念將X 3ax +=代入（2），則可得：3X +QX+R=0 （3）此式型態與三角函數中的三倍角公式相似：331cos ()cos()cos(3)44θθθ-= （4）331sin ()sin()sin(3)44θθθ-=- （5）故需將（3）式中的3X +QX 假設成此型式，便可利用複變函數的觀念將此一元三次方程式代入正弦或餘弦的三倍角公式。
然而Q 未必等於34-，為了實現此想法則需再利用複數伸縮的觀念將X=SY 代入（3）式，而得：33S Y +QSY+R=0即：323Q RY +Y S S=- （6）其中 24S Q 3=-若Q<0，則S 將變成實數。
若Q>0，則S 將變成複數，透過此複數伸縮的操作，可將一元三次方程式轉變成三角複變問題，便可求解：34Rcos(3)S θ=-（7） 34Rsin(3)=S θ （8）其反函數分別為：1cos ()+ln(i 2z i z π-=+ （9）1sin ()ln(i z i z -=-+ （10）故利用（9）與（10）式可推得θ的三個解，再利用Y=cos()θ與Y=sin()θ；X=SY 以及X 3ax =-的關係逐一逆推，即可得此一元三次方程式的三根。
以上是將一元三次方程式透過伸縮平移與正餘弦三倍角公式來求解，由於雙曲三角函數與三角函數相似，故嘗試是否可以利用雙曲正餘弦來求解首先利用雙曲三角函數中的三倍角公式331cosh ()cosh()cosh(3)44θθθ-= （11）331sinh ()+sinh()sinh(3)44θθθ= （12）（11）（12）相似於（6）式中的323Q RY +Y S S =-即 24S Q 3=-24S Q 3=便將一元三次方程式轉變成雙曲函數問題34R cosh(3)S θ=-34Rsinh(3)Sθ=-其反函數為1cosh ()ln(2π-=-++z i iz （15）1sinh ()ln(z z -=+ （16）故利用（15）與（16）式可推得θ的三個解，再利用Y=cosh()θ與Y=sinh()θ；X=SY 以及X 3ax =-的關係逐一逆推，即可得此一元三次方程式的三根。
三、範例說明範例一、310x +=： 令cos()sin()x i θθ=+ 則原式可轉化為：cos(3)sin(3)1i θθ+=-cos(3)sin(3)cos()sin()i i θθππ+=+可得：3(12),0,1,2,...n n θπ=+=3πθ=、π、53π則：11cos()sin()3322x i ππ=+=+2cos()sin()1x i ππ=+=-3551cos()sin()3322x i ππ=+=- 範例二、3261160x x x -+-= 首先令23ax X x =-=+代入上式 32(2)6(2)11(2)60X X X +-+++-=化簡後得： 30X X -=令 S X Y =，可得知： 3210SY Y -=假設213S 4--=，則S =3304Y Y -=令cos()Y θ=，則原式變為：cos(3)0θ=可得知： 13(2),0,1,2, (2)n n θπ=+=12359coscos cos 062626Y Y Y πππ====-== 利用複數伸縮X=SY 可得知：1231,1,0X X X ====-==利用平移X 3ax =-可得知：123123,121,022x x x =+==-+==+=.若改令sin()θ=Y ，則原式變為：sin(3)0θ=則：32,0,1,2,...θπ==n n同理依序可得知：12324sin(0)0,sin()sin()3232Y Y Y ππ======-1230,1,1X X X ======-123022,123,121x x x =+==+==-+=若改令cosh()Y θ=，則原式變為：cosh(3)0θ=則：13(2),0,1,2, (2)n i n θπ=+=同理依序可得知：12359cos()cos()cos()062626Y i Y i Y i πππ====-==1231,1,0X X X ====-== 123123,121,022x x x =+==-+==+=若改令sinh()θ=Y即213S 4-=,，S =，可將上式轉化成3304+=Y Y 原式變為 sinh(3)0θ= 則：32,0,1,2,...θπ==n i n同理依序可得知：12324sinh(0)0,sinh(),sinh()3232i i Y Y Y ππ======-1230,1,1X X X ======-123022,123,121x x x =+==+==-+=範例三、322210x x x +++=： 首先令233a x X x =-=-代入上式 32222()6()11()60333X X X ---+--=化簡後得：3270327X X ++= 令 S X Y =，可得：323273S 27SY Y +=- 假設2233S 4-=，則S 3=±，可將上式轉化成33432Y Y -=±令cos()Y θ=，則原式變為：cos(3)8θ=±則： ln(72643i 28πθ+=+ln ,,,,...θπ+=+=14n 1i 2n 01262可知： 1cos(688π=+=-Yi i 25cos(688π=+=--Y i39cos(6π=+=Y i1231()(1)88361()(1)883613X i X i X =-=+=--=-==-利用平移X 3ax =-可得知：123121(1)6322121(1)632212133x x i x =+-=-+=--=--=--=-若改令sin()θ=Y ，則原式變為：72sin(3)8θ=i則： )θ=64983i,,,...θπ=+=2ni n 0126可知：1sin(0=+=Y i2sin(388π=+=-Yi32sin(388π=+=--Y i i123131()(1)88361()(1)8836==-=-=+=--=-X X i X i 利用平移X 3ax =-可得知：12312133121(1)6322121(1)6322=--=-=+-=-+=--=--x x i x i若改令cosh()θ=Y ，則原式變為：cos(3)8θ=±則： ln(πθ+=-+72643i 28ln ,,,,...θπ-=+=4n 11i 2n 01262可知：1cosh(688π=-+=-Y i23cosh(6π=+=Yi37cosh(ln 688π=+=--i Y i利用複數伸縮X=SY 可得知：1231()(1)8836131()(1)8836=-=+==-=--=-X i X X i利用平移X 3ax =-可得知：123121(1)632212133121(1)6322=+-=-+=--=-=--=--x x x i若改令sinh()θ=Y 即2233S 4=，S 3=±，可將上式轉化成33432+=±Y Y 原式變為 72sinh(3)8θ=則： )θ=64983,,,...θπ=-=2ni n 0123可知：1sinh(0=-=Y22sinh(388π=-=+i Y34sinh(388π=-=-Y利用複數伸縮X=SY可得知：123131()(1)88361()(1)8836==-=+=+=-=-XX iX i利用平移X3ax=-可得知：12312133121(1)6322121(1)6322=--=-=+-=-+=--=--xx ix i以上三例，均為實係數方程式透過三個根得平移及複數伸縮操作求其三個根，故嘗試此方法是否可以解複數方程式。
範例四、32(2)(22)(02)0+--+++-=x i x i x i首先令(2)33--=-=-a ix X x代入上式32(2)(2)(2)[]6[]11[]60333---------+--=i i ix x x化簡後得：321422(1)()032727+++-=X i X i令SX Y=，可得：3233222141()()327+-+=i Y i Y S S假設23213()3S 4+-=i，則S (0.366834 1.21157)==±-i =可將上式轉化成 3371144(3--=--Y Y令cos()Y θ=，則原式變為：cos(3) 1.810570.590524θ==-i則： ..θ=+30363846128004i(..),,,,...πθ=++=2n 01212282042668n 0123可知：1cos(0.1212820.42668) 1.084390.0532024=+=-Y i i 2cos(2.215680.42668)0.6566550.351431=+=--Y i i 3cos(4.310070.42668)0.4277370.404634=+=-+Y i i利用複數伸縮X=SY 可得知：123(1.084390.0532024)(0.366834 1.21157)0.333333 1.333333(0.6566550.351431)(0.366834 1.21157)0.6666670.666667(0.4277370.404634)(0.366834 1.21157)0.3333330.666667=-⨯-=-=--⨯-=-+=-+⨯-=+X i i i X i i i X i i i利用平移X 3ax =-可得知：12321(0.333333 1.333333)()13321(0.6666670.666667)()03321(0.3333330.666667)()133=----≅-=-+---≅+=+---≅+x i i ix i i i x i i i令sin()θ=Y ，則原式變為：sin(3) 1.810570.590524θ==-+i則： ..θ=-+3120695128004i(..),,,,...πθ=+-+=2n 0402317042668n 0123可知：1sin(0.4023170.42668)0.4277370.404634=-+=--Y i i 2sin(1.692080.42668) 1.084390.0532024=+=-Y i i 3cos(3.786470.42668)0.6566550.351431=+=--Y i i利用複數伸縮X=SY 可得知：123(0.4277370.404634)(0.366834 1.21157)0.3333330.666667(1.084390.0532024)(0.366834 1.21157)0.333333 1.33333(0.6566550.351431)(0.366834 1.21157)0.3333330.666667=--⨯-=+=-⨯-=-=--⨯-=+X i i i X i i i X i i i利用平移X 3ax =-可得知：12321(0.3333330.666667)()13321(0.333333 1.333333)()13321(0.6666670.666667)()033=+---≅+=----≅-=-+---≅+x i i ix i i i x i i i綜整以上四例，依照cos()θ，sin()θ，cosh()θ，sinh()θ其求解過程與三個根得平移及複數伸縮操作，並且整理成表如下。