静矩和形心

17
二、极惯性矩
z
y
O
2020/4/9
I p
2 dA
A
dA 2 y2 z2
z
Ip Iy Iz
y
18
例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。
2020/4/9
CL61T9 U7
解： Iy
z2 dA
h/2
z2bdz
bh 3
A
h/2
12
dz
z
2020/4/9
20
例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。
z
y dA
z
yzdA
O
y
I yz
yzdA
A
2定020/4/9义为图形对y、z轴的惯性积 4
z
y dA
z
2 dA
O
y
I p
2 dA
A
2定020/4/9义为图形对O点的极惯性矩 5
§6-1 静矩和形心
z
y dA
z
O
y
S y d A , z 2020/4/9
A
Sy
zdA
A
6
形心坐标： z
2bh 3
形心坐标为:
bh 2
yC
Sz A
4 2bh
3b 8
3
4bh 2
zC
Sy A
15 2bh
2h 5
2020/4/9
3
11
例：确定图示图形形心C的位置。
2020/4/9
CL61T2 U5
解： yC
Sz A
10 120 5 70 10 45 19.7mm 1200 700
zC
第六章 平面图形的几何性质 z
y dA
z
O 2020/4/9
y CL6T1U1
z
y dA
z
ydA
O
y
Sz
ydA
A
,
Sy
zdA
A
定2义020/4/为 9 图形对z轴和y轴的静矩 2
z
y dA
z
y2 dA
O
y
Iz
y2 dA
A
,
Iy
z2 dA
A
定20义20/4/9为图形对z轴和y轴的惯性矩 3
y2 dA,
A
Iy
z2 dA,
A
Iyz
yz dA
A
I zc A yc2 dA , I yc A zc2 dA , I yczc A yc zc dA
y yc a , z zc b
Iz
y 2 dA
A
A ( yc a)2 dA
A yc2 dA 2a A yc dA a 2
yC C
zC
O
y
yC
2020/4/9
ydA
A
A
,
zdA
zC
A
ACL6T7 U3
静矩和形心坐标之间的关系：
z
yC C
zC
yC
Sz A
zC
Sy A
O
2020/4/9
y
Sz yC A
,
Sy
zC
A 8
例：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图 形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。
z
y2
dA
A
I a A 2
z 2020/4/9
c
27
z
zc
a
C
yc
b
O
y
I I a A 2
2020/4/9
z
zC
28
平行移轴公式：
I y I yC b2 A
I z I zC a 2 A
I yz I yCzC abA
2020/4/9
29
例：求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy
z
a
y
a
可以证明:任意平面图形必定存在一对相互 垂直的形心主惯性轴。
(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主 惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
2020/4/9
25
§6-3 平行移轴公式
z
zc
y
a
yc
y yc a z zc b
O 2020/4/9
dA
C
zc yc bz
yCL6T2U6 10
Iz
I
z1
Iy
Iz 2
Iy
Iz 2
cos 2 I yz
sin 2
I y1z1 2020/4/9
Iy
Iz 2
sin 2 I yz
cos 2
34
主惯性轴方位：
设正交坐标轴y0 、z0 是主惯性轴，其方位
角为 0，则
I y0z0
Iy
2
Iz
sin 2 0
I yz
cos2 0
0
tan 2 0
2I yz Iy Iz
z
h1
b2
O
2020/4/9
y
CL6T9 U4
解：
Sy
z dA 2
A
b 0
1
h
2
1
2
y2 b2
2
d
y
4bh 2 15
Sz
A
y dA
b 0
yh1
y2
b
2
d
y
b2h 4
z
h
z
h1
y2 b2
Oy
dy y
2020/4/9
b
10
A
dA
A
b 0
h1
y2 b2
dy
一、惯性矩 z
y dA
z
O
y
I y d A 2020/4/9
z
2 A
,
Iy
z2 dA
A
16
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某 一长度平方的乘积，即
Iy A iy2
或 iy
Iy A
Iz A iz2
或
iz
Iz A
i y 、iz 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
2020/4/9
I y1 A z12 dA
( y sin z cos)2 dA A
Iz sin2 I y cos2 I yz sin 2
Iy
2020/4/9
Iz 2
Iy
Iz 2
cos 2
I yz sin 2 33
转轴公式：
I y1
Iy
Iz 2
Iy
Iz 2
cos 2 I yz
sin 2
d4
I p 32 Iy Iz Ip
Iy Iz
2020/4/9
CL62T1 U8
三、惯性积
z
y dA
z
O来自百度文库
2020/4/9
I yz
yzdA
A
y
22
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是 对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必
等于零。 I yz 0 z
dA dA
y
2020/4/9
CL62T3 U9
Sy A
10 120 60 70 10 5 39.7mm 1200 700
2020/4/9
13
例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。
2020/4/9
CL61T4 U6
解：
Sy
b
h 2
a a
h 4
a 2
b h2
2 4
a
2
2020/4/9
15
§6-2 惯性矩、极惯性矩和惯性积
几个主要定义:
(1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐 标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、z0 称为主惯性轴。
因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标 轴一定是平面图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的
惯性矩称为主惯性矩。
2020/4/9
24
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为 形心主惯性轴。
2020/4/9
35
主惯性矩公式：
d
2020/4/9
CL6T3U0 11
z
解：
a
a
y
Iy
d (2a)3 12
d
CL6TU11
d 4
2 2020/4/9
128
d2
8
2d
3
2
d 8
2
2d
3
a 2 31
§6-4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩
2020/4/9
CL6TU32 12
y1 y cos z sin z1 y sin z cos