几种基本算法在树形结构上的应用

例题1： 例题 ：Cow Marathon (USACO FEB04 数据加强版) 数据加强版
在实际实现的时候，并不需要先求出一个BFS 序列，只需要一边DFS一边计算就可以了。 这种方法的时间复杂度和空间复杂度均为 O(N)，是理想的线性算法，可以轻松通过所 有的测试数据。
例题1小结 例题 小结
树形结构的特点
procedure dfs(x,time) begin 时间戳＝time； 对于x的每个孩子y， dfs(y,time+1) end;
由此我们可以看出，对于一棵树进行深度优先 遍历后，每个节点的孩子节点的时间戳都是小 于当前节点的，在后面的题目中，我们会对于 这一性质进行一些应用。
树形结构的特点
例题1： 例题 ：Cow Marathon (USACO FEB04 数据加强版) 数据加强版
建立了数学Hale Waihona Puke Baidu型后，我们就要开始思考这个题 的算法了。 最为直观的方法是：枚举所有的点对，然后计 算它们之间的通路的距离，然后求一个最大的。 这种算法十分直观简单，但是时间复杂度很大。 枚举点对的时间复杂度是O(N^2)，而就算利 用了树的特性，通过LCA来计算这两点间的距 离，也还需要O(N)的时间，因此总的时间复 杂度是O(N^3)，对于N=100000的时候，会严 重超时。
本题通过一步一步的分析，在最初算法经过优 化仍然无法破解该题的时候，及时地转换了思 路，充分利用了树的性质，并合理地把动态规 划算法在树形结构上进行了应用，最终达到了 理想的线性算法。本题的分析较为详细，为的 是让大家对于如何把动态规划算法在树上进行 使用有一个详细的了解，并能清楚其中的每一 步的过程。希望这一题的分析能让大家对于如 何在树形结构上进行动态规划能有一定的了解。 下面我们再列举一题进行分析：
例题2： 例题 ：The Number of the Same BST (POJ Monthly数据加强版 数据加强版) 数据加强版
例题2： 例题 ：The Number of the Same BST (POJ Monthly数据加强版 数据加强版) 数据加强版
树形结构的特点
在一棵树里，除了根节点以外的所有节点有且 只有一个父亲节点，根节点没有父亲节点。除 了叶子节点外，所有的节点有一个或多个孩子 节点，叶子节点没有孩子节点。 一棵树里任意两个节点之间都有且只有一条通 路，如果把任意一节点与其相邻节点之间的通 路看作一条无向边的话，那么一棵树里没有环 及重边的存在。因此，一棵有N个节点的树恰 好有N-1条边。
例题1： 例题 ：Cow Marathon (USACO FEB04 数据加强版) 数据加强版
因此，我们必须改变我们的思路，采取另一种 方法来计算我们需要的值。 由于这是一棵树，因此我们需要充分挖掘树的 性质。 这是一棵无根树，因此我们不妨设节点1为这 棵树的根节点，通过一次DFS，我们就可以得 到一棵有根树了，每个点也有了其唯一的父亲 节点（根节点除外）。
树形结构的特点
树是具有递归结构的。一个节点即是一棵树， 而一棵有孩子节点的树，若其根节点为a节点， 则其任意一个孩子节点b，与所有不用通过a节 点即可和b相连的节点也构成一棵树，称为以b 为根的a的一棵子树。b的任意一棵子树也是a 的一棵子树。 如果一棵树是有根的，那么某个节点a的深度 d(a)=d(father(a))+1，其中father(a)为a的父亲 节点。特别的，d(root)=1。
动态规划在树形结构上的应用
使用动态规划算法时，必须满足以下几个条件： 整个问题的求解可以划分为若干个阶段的一系 列决策过程。 每个阶段有若干可能状态。 一个决策将你从一个阶段的一种状态带到下一 个阶段的某种状态。 在任一个阶段，最佳的决策序列和该阶段以后 的决策无关。 各阶段状态之间的转换有明确定义的费用。
树形结构的特点
以上即为一些树形结构所具有的特点，在本文 的例题中，对于以上几条性质将会有所应用， 到时将不再具体阐述。
树形结构的特点
对于一棵树，对于它的遍历一般有两种途径。 第一种是深度优先遍历，第二种是宽度优先遍 历，这两种遍历方法对于一棵树进行遍历后， 会得到不同的遍历顺序。在一般的使用中，这 两种遍历都是十分有用的。对于深度优先遍历， 我们可以写出如下的伪代码：
例题1： 例题 ：Cow Marathon (USACO FEB04 数据加强版) 数据加强版
这种方法已经比上面一种好了很多，但是对于 N=100000的数据范围，仍然显得太慢。 但是对于要把每一对的点对之间距离都算出来， 光是情况数就是O(N^2)种，即使利用O(1)的 时间复杂度计算出任意两点间的距离，也不能 胜任N=100000的数据范围，这种思路到这里 似乎卡壳了，没有进展的余地了。
例题1： 例题 ：Cow Marathon (USACO FEB04 数据加强版) 数据加强版
现在对于任意以a为根的子树，我们来试图求 出在这个子树中的相距最远的两个点的距离， 不妨设其为f[a]。 如果a不是叶子节点，那我们可以得到如下结 论：达到最大值的两个点x和y，只有3种情况：
例题1： 例题 ：Cow Marathon (USACO FEB04 数据加强版) 数据加强版
而对于宽度优先遍历，我们可以写出如下的伪 代码：
procedure bfs(front); begin if 队列为空 then exit; 时间戳＝front; 对于队首（queue[front]）节点x的每个孩子y 把y加入队列 bfs(front+1); end;
树形结构的特点
由此可以看出，对于一棵树进行宽度优先遍历 后，每个节点的孩子节点的时间戳都是小于当 前节点的，而且满足深度越小的节点，它的时 间戳越小。在后面的题目中，我们也会对这一 性质进行一些应用。
这样，我们就可以想到一个基于对以上3种情况讨论 的算法：对于一棵树，我们先对其进行一次宽度优先 遍历，然后按照时间戳，也就是在队列中的位置，从 后往前扫描，扫到某个点a的时候，可以保证a的孩子 节点已经被扫描到并进行过处理了。我们对于每个点 记录两个值：一个f值，一个max值。max[a]代表的是 以a为根的子树中，离a最远的节点到a的距离。这样， 每次只要计算当前节点的f值和max值就可以了。其中 对于某个节点的max[a]＝max{max[b]+g[a,b]，b是a的 孩子节点}，g[a,b]是a与b之间的距离，而f[a]＝ max{f[b], max[a], max[a]+第二大的{max[b]+g[a,b]}}。 通过这个公式，就可以求出需要的解了，最终的解就 是f[1]。
到了这里，我们忽然发现一个很重要的内容： 这里的方法似乎是递归的！ 对于f[a]的计算，只需要a的孩子节点的f值以 及在a的子树中的距a的最远的2个点的辅助计 算，而且与其它的值毫无关系。 到这里，我们发现，这是完完全全的动态规划 的思想，这里一个节点f值的计算只和其孩子 节点的状态有关！
例题1： 例题 ：Cow Marathon (USACO FEB04 数据加强版) 数据加强版
引言
众所周知，树形结构是在信息学竞赛中经常出 现的一类结构模型，各类有关树形结构的题目 也是屡见不鲜 。 纯粹的树形结构题，因为树形模型较为单一， 而没有比较大的难度。 因此，我们经常看到的是在树形结构上，运用 一些基本算法解决难度更大的问题。 本文将对此进行一些探索。
树形结构的特点
由于这里主要研究的是树形结构的特点，因此 在这里，树的定义和一些基本概念就不赘述了。 下面主要阐述一些树形结构的主要特点。
几种基本算法在树形结构上的应用
南京外国语学校 欧阳云
摘要
树形结构是信息学中重要的结构模型之一，有 关树形结构的试题在竞赛中也经常出现。鉴于 在树形结构上使用动态规划算法已成为近年来 信息学竞赛的考察热点，本文将重点围绕动态 规划算法在树形结构上的应用，分三个部分进 行阐述，首先对树形结构的特点进行简要介绍， 然后对几种基本算法在树形结构上的应用举例 说明，最后进行总结。
例题1： 例题 ：Cow Marathon (USACO FEB04 数据加强版) 数据加强版
如果我们改变思路，减少一些上一种算法的冗 余，采用枚举一个点的方法，时间复杂度可以 下降一维。方法是枚举某个点x后，对这个图， 以这个点为起点进行一次宽度优先搜索。由于 任意两点间只有一条通路，那么通过宽度优先 搜索找到的某点y的距离，就是x到y的距离。 由于枚举点的时间复杂度是O(N)，而每次宽 度优先搜索的时间复杂度也是O(N)，所以总 的时间复杂度就是O(N^2)。
x或y是节点a，另一个是深度大于节点a的某个 节点，且这个节点在以a为根的子树中； x和y在a的两个不同的孩子节点中； x和y在a的某个相同孩子节点中。 对于这3种情况，我们来计算一下分别满足这 三种情况的相距最远的点对的距离。
例题1： 例题 ：Cow Marathon (USACO FEB04 数据加强版) 数据加强版
例题1： 例题 ：Cow Marathon (USACO FEB04 数据加强版) 数据加强版
括号里的信息往往是很重要的，常常能决定这 个题的难度大小和解题思路。我们注意到这题 括号里的信息是：任意两点之间有且只有一条 道路互相到达，这首先说明了，这个图是连通 的，其次，我们发现，这个条件让这个图满足 了树的性质。因此，这些农场和其之间的道路 构成一棵树！因此，题目的要求就变成了：已 知一棵树，任意相邻节点间的边有一定的距离， 要求这棵树上，相距距离最大的两点。
几种基本算法在树形结构上的应用
下面，我便向大家介绍几种基本算法在树形结 构上的应用。
动态规划在树形结构上的应用
近几年的信息学竞赛中，在树形结构上使用动 态规划的题目屡见不鲜，而且有延续之趋势。 由于对简单的动态规划研究的人越来越多，所 以在树形结构上的动态规划题越来越多。这种 动态规划题具有数据量大，编写起来比较复杂 的特点，尤其是题目变化的余地很大，往往会 让参赛的选手措手不及。为了有效解决这一问 题，我们必须紧紧抓住这种动态规划的显著特 点，如利用树形结构中，没有环存在，每个点 只有一个父亲节点等特点，设计高效、正确的 算法。
对于情况1，我们先把a作为节点x，在a的所 有孩子节点中，找出与a相距最远的一个即可。 对于情况2，只要找出和a相距最远的，且在a 的不同的两个孩子节点里的2个节点即可。 对于情况3，它即为max｛f[b]｝(b取遍a的所 有孩子节点)。
例题1： 例题 ：Cow Marathon (USACO FEB04 数据加强版) 数据加强版
例题2： 例题 ：The Number of the Same BST (POJ Monthly数据加强版 数据加强版) 数据加强版
很多人都知道二叉排序树这种数据结构。其中 二叉排序树的关键字总是被按以下的方法存储 从而满足二叉排序树的要求： 假定x是一棵二叉排序树中的一个节点，且y是 x的左子树的一个节点，则满足key[y]<=key[x]。 如果y是x的右子树的一个节点，则满足 key[y]>key[x]。 举个例子来看：
动态规划在树形结构上的应用
而在树形结构上使用动态规划时，自然也必须 满足以上的几个条件。但具体怎么才能让动态 规划在树形结构下有用武之地呢？下面便举几 个例子来做简单的说明：
例题1： 例题 ：Cow Marathon (USACO FEB04 数据加强版) 数据加强版
在听说了传染病在美国的快速传播后，FJ希望他的奶 牛们能得到更多的锻炼，因此他决定创建一个马拉松 比赛来让他的奶牛们锻炼身体。FJ的地图中有很多的 农场，农场之间有一些路连接它们。这次的马拉松行 程将会包含一对农场以及这两个农场之间的所有道路。 由于FJ希望他的奶牛们能得到尽可能多的锻炼，所以 他希望找到两个在地图上相隔最远的农场作为马拉松 行程中的那一对农场。现在他希望你能帮助他找到这 个最远的距离的大小。（这里要注意的是，FJ的地图 是很特殊的，在这个图上，任意两点间有且只有一条 通路可以互相到达） 数据范围： N为农场数，1<=N<=100000