微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式

∑ lim f (ξi )∆xi
而原函数是与导函数互逆的一个概念，本质上属于
微分学，形式上看，与定积分没有关系。 Newton 和 Leibniz 却发现了这两个概念之间的内在联系：
函数在一个区间上的定积分等于它的原函数在该区间上的增量。 从此微分学与积分学形成一门完整学科——微积分学。
（2）为 定积分的计算提供了一个有效方法. 如果被积函数连续且其原函数易于求得，则只需 先求出原函数，再将上限和下限代入原函数后相减：
定理2 如果函数 f (x)在[a,b]上连续, 函数 F ( x)是 f ( x)
的一个原函数，则
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a). a
（上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式）
证 因F ( x)与 Φ ( x) = ∫ x f (t )dt 都是 f ( x) 的原函数， a
证 设 F (t ) 是 f (t ) 的原函数，由 N-L 公式，得
∫ϕ(x)
ψ (x)
f
(t ) dt
=
[
F
(t
)]ψϕ
(x) ( x)
=
F
ϕ
( x)
−
F
ψ
( x)
，
于是，
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t)
dt
′
=
F′ ϕ
( x)ϕ′(
x)
−
F′
ψ
(
x)ψ
′(x)
= f ϕ ( x)ϕ′( x) − f ψ ( x)ψ ′( x).
y
y = f (t)
定义了以 x 为自变量的一个
函数，记为Φ ( x), 即
Φ(x)
Φ ( x) = ∫ x f (t) d t (x ∈[a,b]). O ax a
bt
以此积分形式定义的函数Φ ( x )称为积分上限的函数(或变上限
定积分)，其几何意义为曲线 y = f (t) 下方的变动图形的面积
注意：积分上限函数Φ ( x) = ∫x f (t)dt 是我们遇到的一种 a
新形式的函数：
函数 Φ ( x) 的自变量是上限变量 x ； 函数 Φ ( x) 的定义域是积分区间 [a, b] ； 函数 Φ ( x) 的对应规则是通过定积分给出的。 特别要注意分清积分变量 t 与上限变量 x 之间的区别， 在积分过程中，上限变量 x 可看作常数。积分变量 t 在
a
a
= ∫ x f (t )dt + ∫ x+∆x f (t )dt − ∫ x f (t )dt
a
x
a
∫= x+∆x f (t )dt. x
由积分中值定理，得
∆Φ = ∫ x+∆x f (t )dt = f (ξ ) ∆x, x
即 ∆Φ = f (ξ ), 其中ξ 介于 x与 x + ∆x之间.
∆x
∫b a
f
( x)dx
=[F (x)]ba
=
F
(b) −
F
(a).
两次代入记号
∫ 例2 求 1 xexdx. 0
解 因函数 xe ( x的原函数为 x −1) ex , 故由N-L公式
得，
∫1 xexdx = ( x −1) ex 1
0
0
= (1−1) e1 − (0 −1) e0 = 1.
∫π
在上式中令 x = b, 则有
∫b f (t )dt = F (b) − F (a). a
在上式将 t 改写为 x ，则有
∫b f ( x)dx = F (b) − F (a). a
N-L公式的重大意义： （1）建立了定积分与原函数之间的关系，或者说建立了
微分学与积分学的内在联系。 我们知道，定积分是一个特定和式的极限：
2t
dx dx / dt 1 − cos t
= sin t . 2 t (1 − cos t )
∫ ∫ 例6 求由 y etdt + x costdt = 0 确定的隐函数 y 对x
0
0
的导数。
解 方程两边对 x求导，则有
ey y′ + cos x = 0,
即
y′
=
−
cos ey
x
.
∫ 例7 求函数 f ( x) = x te−t2dt 的极值. 0
故它们仅相差一个常数，即
Φ ( x) = ∫ x f (t ) dt = F ( x) + C (a ≤ x ≤ b), a
在上式中，令 x = a, 则有
Φ (a) = F (a)+C,
又由于 Φ (a) = ∫ a f (t )dt = 0, 可得C = −F (a),则有 a
∫ x f (t )dt = F ( x) − F (a), a
∫ 例4 设 F ( x) = x2 sin t2dt, 求F ′( x). x
解 由求导公式得
F ′( x) = 2x sin x4 − 1 sin x.
2x
∫ 例5 设
x
=
∫ y =
t (1 −
0 t
cos
u ) du .
求
dy . dx
sin udu
0
解
sin t ⋅ 1
dy = dy / dt =
又由于 f ( x)为连续函数，故
所以，
lim f (ξ ) = f ( x),
∆x → 0
lim ∆Φ = lim f (ξ ) = f ( x).
∆x ∆x→0

∆x→0
这说明函数 Φ ( x)可导，且有Φ ′( x) = f ( x). 原函数存在定理: 若函数 f ( x) 连续, 则它必存在原函数,
第三章 一元函数积分学
第六节 微积分基本定理 Fundamental Theorem of Calculus
本节要点
本节通过积分上限函数，证明连续函数的原函数的存
在性，更进一步地得到微积分基本公式——牛顿－莱布 尼茨公式（Newton-Leibniz formula）
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a) a
3
推广的变上限的函数的导数公式
定理 设函数 f (t ) 在某区间 I 上连续，函数ϕ( x) 及ψ ( x)
是 [a,b]上的可导函数， 则
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t
)
dt
′
=
f
ϕ ( x)ϕ′( x) −
f
ψ
( x)ψ ′( x).
注意， 当ϕ ( x) = x,ψ ( x) = a就是定理1的形式.
由于两种方法求得的结果应该相等，故有：
∫T2 v (t ) dt T1
= s (T2 ) − s (T1 ),
又，由导数的物理意义知道：s′(t ) = v(t ),
即位置函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的原函数，
因此上式可述为：
速度函数 v(t) 在区间 [T1,T2 ] 上的定积分等于 v(t) 的原函数——位置函数 s(t) 在区间 [T1,T2 ] 上的增量
并且积分上限函数
Φ ( x) = ∫ x f (t )dt a
就是 f ( x) 的一个原函数.
∫ 例1 设 F ( x) = x et2 dt, 求 F′′( x). 0
解 由求导公式，得
F ′( x) = ex2 , F ′′( x) = 2xex2 .
2
三、牛顿—莱布尼茨公式 Newton-Leibniz’s Formula
回答是：只要 f (x)是[a,b] 上的连续函数，以上等式就
成立！为了证明这一结论，必须先引出“积分上限函数” 这一概念.
1
二、积分上限的函数及其导数
设 f (t )在[a,b]上可积, 则∀x ∈[a,b], f (t ) 在部分区间
[a, x] 上可积，这样积分
∫ x f (t) d t a
方法一：若已知物体运动的速度函数 v = v(t) ，则
物体在时间间隔 [T1,T2 ]内经 过的路程为 速度函数 v (t )
∫ ( ) 在时间区间 [T1,T2 ] 上的定积分
v T2 t dt
T1
方法二：若已知物体运动的位置函数 s = s(t) ，则
这段路程又可视为位置函数 s(t ) 在区间 [T1,T2 ] 的增量s(T2 ) − s (T1 ),
∫ 例8 求
1 e−t2 dt
lim cos x
.
x→0
x2
0 解 原式是 型。由洛必达法则，原式为
0
∫ ( ) lim
x→0
1 e−t2 dt
cos x
x2
=
-e−cos2 x − sin
lim
x→0
2x
x
= 1. 2e
4
(∫ ) 例9 求 lim ∫ x→0
x et2 dt 2
0
x tet2 dt
Φ ( x) = ∫ x f (t)dt a
在 [a,b] 上可导，并且其导函数为
Φ′( x) = d ∫ x f (t)dt = f ( x) (a ≤ x ≤ b). dx a
证 ∀x ∈(a,b),
∆Φ = Φ ( x + ∆x) −Φ ( x)
= ∫ x+∆x f (t )dt − ∫ x f (t )dt
∫ T2 v(t )dt
T1
O
s (t1 )
s(t2)
s
自然要问：一般情况下，
若函数 f ( x) 存在原函数 F ( x), 那么函数 f ( x) 在区间 [a,b]上的定积分 是否总等于它的原函数 F ( x) 在区间 [a,b]上的增量？ 即下式是否成立:
∫b f ( x)dx = F (b) − F (a). a
其中F ( x)为 f ( x) 的一个原函数.
要点： 1.积分限函数及其导数. 2.N-L公式.
一、问题的提出
已经看到：直接按定积分的定义——积分和的极限 来计算定积分，是十分困难的，甚至是不可能的。因此 必须寻找计算定积分的有效办法。
为此从定积分的实际背景中寻找解决问题的线索。
实际问题：计算变速直线运动路程的两种方法：
例3 求 sin xdx.
y
0
∫ 解
π 0
sin
xdx
=
[−
cos
x]π0
O
π
x
= 1− (−1) = 2 y
∫ 2π
例4 求 sin xdx. 0
∫ 解
2π 0
sin
xdx
=
[−
cos
x]02π
O
= −1− (−1) = 0
2π
π
x
注：积分限函数是一种有用的函数，因此在讲更多的N-L公式 的应用之前，以下先讲几个与积分限函数有关的例题。
[a, x]上变化.
例如 f (t ) = t,t ∈[0,1], 则由定积分的几何意义可得
Φ
(x)
=
∫
x
f
(t )
dt
=
∫
x
t
d
t
=
1
x2
(x ∈[0,1]),
0
0
2
y
y=t
Φ(x)
O
xx 1
t
注意到 Φ′(x) = (1 x)′ = x = f (x).这个结果是一般性成立的。 2
定理1 如果 f (x)在[a,b]上连续, 则积分上限函数
.
0
0
解 原式是 型。由洛必达法则，原式为
0
(∫ ) ∫ lim
∫ x→0
x et2 dt 2
0
x tet2 dt
2 = lim
x→0
x et2 dt ⋅ ex2
0
xe x 2
0
∫2
= lim
x et2dt
0
= lim 2ex2
= 2.
x→0
x
x→0 1
5
解 为求极值，先求函数 f ( x) 的驻点。因
f ′( x) = xe−x2 , f ′( x) = 0 ⇒ x = 0.
显然有：x < 0 ⇒ f ′( x) < 0; x > 0 ⇒ f ′( x) > 0, 所 以 x = 0是函数的极小值点。又 f (0) = 0,故当 x = 0 时函数有极小值 f (0) = 0.