微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式
牛顿莱布尼茨公式与积分运算

牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点:牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述,它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下:如果函数f(x)在区间[a, b]上连续,并且在区间(a, b)内可导,那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为:∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中,F(x)是f(x)的一个原函数,即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质:设f(x)和g(x)是两个可积函数,α和β是两个常数,则有:∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性:如果f(x)在区间[a, b]上非负(非正),则∫(from a to b)f(x)dx非负(非正)。
3.可加性:如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积,且它们的区间分界点相同,那么:∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法:设 Integration variable change : x = g(t),dx = g’(t)dt,则有:∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式:∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C,其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式:∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式:∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
微积分牛顿莱布尼茨公式

微积分牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一,也称为微积分基本定理或者牛莱公式。
该公式是微积分的重要工具,用于求解定积分和微分方程等问题。
下面我将为您详细介绍和解释这一公式。
牛顿-莱布尼茨公式可以用以下方式表述:设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导(即f'(x)存在),则该函数在[a,b]上的定积分可以被表示为:∫[a to b] f'(x) dx = f(b) - f(a)其中,∫ 符号表示积分,[a to b] 表示积分的区间,f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。
该公式的物理含义是:函数曲线下方的面积等于函数在区间[a,b]上的两个端点所对应的函数值之差。
让我们来看一个具体的例子来理解牛顿-莱布尼茨公式的应用。
假设有一个函数 f(x) = 2x,在区间 [1, 3] 上。
我们可以求这个函数在该区间上的定积分,即∫[1 to 3] f'(x) dx。
首先,我们需要求出函数f'(x),即函数f(x)的导数。
对于f(x)=2x,它的导数f'(x)=2接下来,我们将导数 f'(x) 代入定积分公式,得到∫[1 to 3] 2 dx。
将上限 3 和下限 1 代入函数 f(x) = 2x,得到 f(3) = 2 * 3 = 6和 f(1) = 2 * 1 = 2然后,我们将 f(3) - f(1) 代入定积分公式,得到∫[1 to 3] 2dx = 6 - 2 = 4所以,函数f(x)=2x在区间[1,3]上的定积分是4这个例子展示了牛顿-莱布尼茨公式的应用。
通过求解函数的导数,并将导数代入定积分公式,可以得到函数在给定区间上的定积分值。
当对复杂函数进行定积分时,牛顿-莱布尼茨公式可以极大地简化计算。
我们可以通过求函数的导数来得到原函数,然后将原函数代入定积分公式来求解定积分。
这种方法比直接计算定积分更加方便且高效。
需要注意的是,牛顿-莱布尼茨公式只适用于连续可导的函数。
微积分基本公式

微积分基本公式
一、问题的提出; 二、牛顿-莱布尼茨公式; 三、小结
一、问题的提出
设某物体作直线运动,已知运动速度 v = v(t) 是事件区间[T1,T2]上 的一个连续函数,且v (t) ≥0,求物体在此时间区间上的运动路程。 变速直线运动中路程为
T
另一方面这段路程可表示为
T2
1
v ( t )dt
3 1
arctan 3 arctan( 1)
7 ( ) 3 4 12
例5. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶到某处需要减速停车,设汽车以 等加速度a=-5m/s2刹车, ,问从开始刹车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为t =0,则此时刻汽车速度
361000 3600
时,必须满足函数f (x)在区间[a,b]上连续的条件,否则 公式不一定成立
因此求定积分问题,转化为求原函数的问题.
例3 求 解
2
1
1 dx. x
1 x
当 x 0 时, 的一个原函数是ln | x | ,
2
例4. 计算 解:
1
1 1 dx ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2. x
3 1
dx arctanx 1 x2
已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数,
a x0 x1 x2 xn b
由拉格朗日定理,存在i[xi-1, xi],使
F ( xi ) F ( xi 1 ) F ( i )( xi xi 1 ) f ( i )xi
F ( xi ) F ( xi 1 ) F ( i )( xi xi 1 ) f ( i )xi
牛顿-莱布尼茨公式

• 牛顿-莱布尼兹公式(Newton-Leibniz formula),通常也 被称为微积分基本定理,揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a,b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a,b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式,[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式,于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数,如果存在可导函数F(x),使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数,如果存 在可导函数F(x),使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x),dF(x)=f(x)dx,则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例:sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算,利用该公式可 以计算曲线的弧长,平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积,这在实际问题中有广泛的应用,例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用,计算运 动物体的路程,计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展,该公式 在微分方程,傅里叶变换,概率论,复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分
《牛顿莱布尼茨公式》课件

牛顿莱布尼茨公式定义为一个函数在一个区间上的定积分等于该函数在区间端点上的值之差与一个关于该函数在 区间内所有点的平均值的权重的积分之和。公式表示为:∫(a,b) f(x) dx = F(b) - F(a),其中F(x)是f(x)的原函数。
牛顿莱布尼茨公式的历史背景
总结词
牛顿莱布尼茨公式是微积分发展史上的重要里程碑,为解决定积分问题提供了有 效的方法计算系统的传递函数。通过使用牛顿
-莱布尼茨公式,我们可以找到传递函数的原函数,从而更好地理解系
统的动态行为。
02
流体动力学
在流体动力学中,我们经常需要计算流体在管道或容器中的压力和速度
分布。通过使用牛顿-莱布尼茨公式,我们可以找到这些量作为位置的
函数的定积分。
03
热力学
在热力学中,我们经常需要计算系统的热量和熵等量。通过使用牛顿-
莱布尼茨公式,我们可以找到这些量作为温度的函数的定积分。
05
牛顿莱布尼茨公式的扩展与
深化
广义的牛顿莱布尼茨公式
广义的牛顿莱布尼茨公式是指将积分上限和下限扩展到任意 实数,甚至扩展到复数域的情况。这使得积分运算的范围更 加广泛,能够处理更复杂的数学问题。
的函数的定积分。
解决力学问题
在解决与力、运动和牛顿第二定 律相关的问题时,牛顿-莱布尼 茨公式可以帮助我们找到物体的
位移、速度和加速度。
电磁学中的应用
在电磁学中,我们经常需要计算 电场和磁场的能量密度。通过使 用牛顿-莱布尼茨公式,我们可 以找到这些量作为空间位置的函
数的定积分。
在工程领域的应用
01
详细描述
牛顿和莱布尼茨分别独立地发现了这个公式,并为其证明做出了贡献。在此之前 ,计算定积分需要使用复杂的几何方法或数值近似法,而牛顿莱布尼茨公式提供 了一种简便且精确的计算方法,极大地推动了微积分学的发展。
微积分基本公式__牛顿—莱布尼茨公式

a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿-莱布尼兹公式沟通了微分学与积分学 之间的关系.所以又叫微积分基本公式。
思考题
x f ( u)du 是 x 的函数还是t 与u 的函数?它们
的导数存在吗?如存在等于什么?
b
设 f ( x ) 在[a , b]上连续,则 f ( t )dt 与
x
0
f ( t )( x t )dt
(
0
x
t
0
f ( u )du )dt .
六、求函数 f ( x )
x
0
3t 1 dt 在区间 0 , 1 上的最 2 t t 1
大值与最小值 . 1 sin x , 当0 x 时, 七、设 f ( x ) 2 0 ,当x 0或x 时, x 求 (x ) 0 f ( t )dt 在( , ) 内的表达式 .
求定积分问题转化为求先求原函数,再求 增量的问题.
例1
求
1
2
1 解 当 x 0 时, 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 dx 2 x ln | x | 2 ln 1 ln 2 ln 2. 例 2 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围
2、 4、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
2
0
sin x dx .
四、求下列极限: 1、 lim
( e dt ) 2
t2 x 0 x 0
x
e 2 t dt
2
;
2、 lim
x 0
1 x2
微积分学基本定理

(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
b a
计算定积分的方法: f ( x )dx
aபைடு நூலகம்
b
(1)定义法 ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( 3)公式法( 微积分基本定理 )F ( x ) f ( x )
/
b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动,已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数,且v ( t ) 0 , 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
2.微积分基本定理

a
x Δx
f ( t )dt f ( t )dt
a
x
( x)
oa
x
x x b x
5
a
x
f ( t )dt
x Δx
x
f ( t )dt f ( t )dt
a
x
x
x Δx
y
f ( t )dt , ( )由积分中值定理得o a
x x x b x
b
a
f ( x )dx f ( )(b a )
(a b).
证 因为 f ( x ) 连续, 故它的原函数存在,
设其为 F ( x ). 即设在 [a, b] 上 F ( x ) f ( x ).
根据牛顿 - 莱布尼茨公式, 有
a f ( x )dx F (b) F (a ).
定理2(原函数存在定理)
如果 f ( x )在[a , b]上连续, 则积分上限的函数
( x ) f ( t )dt
a
x
就是f ( x )在[a , b]上的一个原函数.
这就证明了上一章中所提出的任何连续 函数一定存在原函数.
7
定理2(原函数存在定理)
如果 f ( x )在[a , b]上连续, 则积分上限的函数
x
已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数,
又由于 ( x )
所以
a
f ( t )dt 也是 f ( x )的一个原函数 ,
x [a , b].
11
F ( x) ( x) C
F ( x) ( x) C
x [a , b].
牛顿莱布尼茨公式以及对反常积分

牛顿莱布尼茨公式以及对反常积分牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Leibniz formula),通常也被称为微积分基本定理,揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a,b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a,b ]上的增量。
牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式,1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
因为二者最早发现了这一公式,于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法,大大简化了定积分的计算过程。
1.先判断积分区间内有无暇点,比如区间(0,+∞),被积函数分母有个(x-1),那么区间要分为(0,1)和(1,+∞)两个积分,如果还有就继续分。
2.现在(0,1)和(1,+∞)内无暇点,用牛顿一莱布尼茨公式计算,代入端点1,+∞时是求极限。
高数微积分牛莱公式

解:面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
17
1 2 ( n 1) n 例9: lim sin sin sin sin n n n n n n
定理1 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续, 则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数,且它的导
x
d x 数是 ( x ) a f (t )dt f ( x ) dx
定理2(原函数存在定理)
(a x b)
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续,则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
另一方面这段路程可表示为积分上限函数如果上限x在区间上任意变动则对于每一个取定的x值定积分有一个对应值所以它在定理1如果积分上限函数的性质定理2原函数存在定理如果上的一个原函数
微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、牛顿—莱布尼茨公式
1
问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动,已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数,且v ( t ) 0 , 求物体在这段时间内所经过的路程.
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
12
F ( x ) ( x ) C
牛顿莱布尼兹公式的适用范围

牛顿莱布尼兹公式的适用范围:
牛顿莱布尼茨公式适用范围是若函数fx在ab上连续。
且存在原函数Fx,则fx在ab上可积,且∫a到bfxdx等于Fb减Fa,牛顿在1666年写的流数简论中利用运动学描述了这一公式,1677年莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。
牛顿莱布尼茨公式特点
牛顿莱布尼茨公式NewtonLeibnizformula,通常也被称为微积分基本定理,揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系,牛顿莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间ab上的定积分等于它的任意一个原函数在区间ab上的增量。
牛顿-莱布尼茨公式的发现,使人们找到了解决曲线的长度,曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法,它简化了定积分的计算,只要知道被积函数的原函数,总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值,牛顿莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁。
微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式

微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式微积分基本定理可以分为两个部分,第一部分称为微积分基本定理的第一种形式,它表明如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,那么它的积分函数F(x)在[a,b]上可导,并且导数F'(x)就是f(x)。
换句话说,积分是导数的逆运算。
即如果f(x)是一个连续函数,那么我们可以通过求f(x)的原函数来计算f(x)的积分。
这个定理的数学表达式为:∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中,[a,b]表示积分区间,f(x)表示被积函数,F(x)表示f(x)的一个原函数。
需要注意的是,由于原函数存在一个任意常数项C,所以积分F(b)-F(a)的结果也存在一个任意常数项。
d/dx ∫[a, x] f(t) dt = f(x)其中,d/dx表示对x求导的操作。
这个定理的意义在于,如果我们在积分运算的下限为a的时候对x求导,那么结果就是被积函数在x点的值。
微积分基本定理的证明可以通过利用积分和导数的定义,以及连续函数的性质来完成。
首先,我们可以证明微积分基本定理的第一种形式。
设F(x) = ∫[a, x] f(t) dt,我们需要证明F'(x) = f(x)。
由于F(x)是由积分定义得到的,我们可以将其看作是以x为上限的积分运算。
根据导数的定义,F'(x) = lim(h→0) [F(x+h)-F(x)]/h。
利用F(x)的定义展开,我们有F'(x) = lim(h→0) ∫[a,x+h] f(t) dt - ∫[a, x] f(t) dt / h 根据积分的线性性质,我们可以将这个式子化简为F'(x) = lim(h→0) ∫[x, x+h] f(t) dt / h注意到积分的定义可以写成极限的形式,即∫[a, b] f(t) dt =lim(n→∞) Σ f(c_i) Δx_i,其中,[a, b]表示积分区间,f(t)表示被积函数,Σ表示求和符号,c_i表示指定区间内的任意点,Δx_i表示区间长度的无穷小增量。
高中数学《微积分》常用公式-微积分的牛顿-莱布尼茨公式

高中数学《微积分》常用公式-微积分的
牛顿-莱布尼茨公式
微积分是数学中的一个重要分支,它通过研究函数的变化率来分析和研究问题。
在微积分中,牛顿-莱布尼茨公式是一个常用的公式,它是微积分的基础之一。
1. 牛顿-莱布尼茨公式的定义
牛顿-莱布尼茨公式,也称为微积分基本定理,它是将微分与积分联系起来的公式。
它的数学表达式如下所示:
$$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$
其中,$\int_a^b f(x)dx$ 表示函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的积分,$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
2. 牛顿-莱布尼茨公式的意义
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于它建立了微积分中积分和微分的联系。
通过该公式,我们可以通过求函数的原函数来计算函数在某个区间上的积分,或者通过求函数的导数来计算函数在某个点的变化率。
3. 牛顿-莱布尼茨公式的应用
牛顿-莱布尼茨公式在微积分中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景:
- 计算曲线下面的面积:通过积分,我们可以计算出曲线在某个区间上的面积;
- 求函数的平均值:通过对函数在某个区间上的积分除以区间的长度,我们可以求得函数在该区间上的平均值;
- 解决微分方程:通过对微分方程两边同时积分,我们可以求得微分方程的解。
结论
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要工具,它将微分和积分联系在一起,帮助我们解决了许多数学和物理上的问题。
在学习微积分的过程中,掌握并理解牛顿-莱布尼茨公式的定义和应用是非常重要的。
牛顿莱布尼茨公式 知乎

牛顿莱布尼茨公式知乎牛顿-莱布尼茨公式是微积分领域中一项重要而神奇的公式,它给出了计算定积分的方法。
无论是在物理、工程、经济学,还是其他科学领域中,我们都可以利用这个公式来解决各种实际问题。
牛顿-莱布尼茨公式可以表述为:∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)其中f(x)是函数f的导数,F(x)是f(x)的一个原函数。
这个公式告诉我们,要计算一个函数在[a,b]区间上的定积分,只需要找到这个函数的一个原函数,然后在区间的两个端点处分别求值,最后将两个值相减即可得到定积分的结果。
这个公式的意义在于,它将微积分中的导数和积分这两个看似截然不同的概念联系起来。
导数描述了函数在某一点上的变化率,而积分则描述了函数在一段区间上的累积效应。
通过牛顿-莱布尼茨公式的应用,我们可以将两者联系起来,从而帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在实际应用中,牛顿-莱布尼茨公式为我们提供了一个重要的工具。
举个例子,假设我们想要计算一个物体在直线上的位移,已知物体的速度函数v(t)。
根据物理学中的运动学原理,物体的位移可以通过速度函数的定积分来计算。
而牛顿-莱布尼茨公式则能够让我们轻松完成这个计算过程。
此外,在许多工程问题中,我们常常需要计算一些曲线下的面积或者曲线的弧长。
利用牛顿-莱布尼茨公式,我们可以将这些问题转化为求函数的定积分,从而可以得到精确的结果。
在解决实际问题的过程中,我们还可以利用牛顿-莱布尼茨公式的性质来简化计算。
例如,如果我们需要计算一个复杂函数的定积分,可以尝试找到函数的原函数,然后利用牛顿-莱布尼茨公式直接求解。
这样一来,我们就可以避免繁琐的计算过程,提高计算效率。
综上所述,牛顿-莱布尼茨公式是微积分领域中一项重要的公式,它为我们提供了计算定积分的方法,并且将微积分的两个核心概念联系了起来。
在实际应用中,我们可以通过这个公式解决很多问题,并且可以利用它的性质简化计算过程。
因此,熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式对于我们理解和应用微积分具有重要的指导意义。
牛顿 莱布尼茨公式

因为函数在区间上可积,任取区间的分割 在区间上任取一点,则有 其次,对于分割,有 在区间上对函数应用拉格朗日中值定理得 其中因此有 证毕。
定理推广
二重积分形 式
曲线积分形 式
设函数在矩形区域上连续,如果存在一个二元函数,使得 , 则二重积分
பைடு நூலகம்
与格林公式和高斯公式的设D为单连通区域,与在区域D上有连续的一阶偏导数, 若存在一个二元函数,使得 在区域D中任意取两个点,则对连接的任意一条光滑曲线L, 都有
发展简史
1670年,英国数学家伊萨克·巴罗在他的著作《几何学讲义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆 命题,这实际是牛顿-莱布尼茨公式的几何表述。
1666年10月,牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一 问题,并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积,首次提出了微积分基本定理。
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牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法,大大简化了定积分的计算过程。
定理定义
定义
弱化条件
如果函数在区间上连续,并且存在原函数, 则
如果函数区间上有定义,并且满足以下条件: (1)在区间上可积; (2)在区间上存在原函数 ; 则
公式推导
推导一
推导二
定义一个变上限积分函数,让函数获得增量,则对应的函数增量 根据积分中值定理可得, ,(ξ在x与x+Δx之间) , 所以 , 因为 ,所以,即 所以 即 证毕。
德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积依赖于无限小区间上的纵坐标值和,1677年,莱布 尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理:给定一个曲线,其纵坐标为y,如果存在一条曲线z,使得 dz/dx=y,则曲线y下的面积∫ydx=∫dz=z。
微积分基本定理与牛顿莱布尼茨公式

微积分基本定理与牛顿莱布尼茨公式微积分基本定理是微积分的重要定理之一,它是连接微分与积分的桥梁,揭示了微分与积分之间的密切关系。
而牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个重要公式,用来计算定积分。
本文将介绍微积分基本定理与牛顿-莱布尼茨公式的基本定义、证明及应用。
∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个式子的意义是,一个函数在闭区间上的积分等于它在区间两个端点的原函数值之差。
∫f(x)dx = F(x) + C其中F(x)是f(x)的一个原函数,C是一个常数。
我们可以通过对微积分基本定理的证明来理解它。
对于第一部分,我们可以通过定义积分为极限的思想来证明。
假设f是一个连续函数,我们可以将闭区间[a,b]分成n个小区间,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,然后取每个小区间的一个任意点ξi,我们有:∑[i=1,n]f(ξi)Δx ≈ ∫[a,b]f(x)dx当n趋于无穷大时,如果极限存在,那么积分的计算结果就是这个极限的值。
而这个极限实际上就是函数F在右端点b处的函数值,即F(b)-F(a)。
对于第二部分的证明,我们可以利用导数与反函数的关系,即:如果 y = F(x) 是函数 f(x) 的一个原函数,那么 f(x) = F'(x),即导数等于原函数的导数。
因此我们有∫f(x)dx = ∫F'(x)dx = F(x) + C。
接下来我们介绍牛顿-莱布尼茨公式,它是微积分中的一个重要公式,用来计算定积分。
牛顿-莱布尼茨公式可以表达为:∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)其中F(x)是f(x)的一个原函数。
这个公式可以用来计算定积分,即求解一个函数在闭区间上的积分值。
牛顿-莱布尼茨公式的证明可以通过微积分基本定理的第一部分来进行。
我们可以通过定义积分为极限的思想来证明。
假设f是一个连续函数,并且F是其一个原函数。
我们可以将闭区间[a,b]分成n个小区间,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,然后取每个小区间的一个任意点ξi,我们有:∑[i=1,n]f(ξi)Δx ≈ ∫[a,b]f(x)dx当n趋于无穷大时,如果极限存在,那么积分的计算结果就是这个极限的值。
牛顿莱布尼茨公式

牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个重要定理,它连接了微积分中的微分和积分两个概念。
而这两个概念则是整个微积分理论的基础,它们的发展极大地推动了科学和工程领域的进步。
在介绍牛顿-莱布尼茨公式之前,我们需要了解一些基础知识。
微分可以理解为函数在某一点的瞬时变化率,而积分则可以理解为函数在某一区间上的累积效果。
微分和积分是互逆的过程,它们之间有着密切的联系。
在17世纪,牛顿和莱布尼茨几乎同时独立地发现了微积分的基本原理。
他们提出了两种不同但等效的理论建立方式,不过牛顿更加注重力学的应用,而莱布尼茨则更加注重符号演算法。
牛顿的微积分理论中,他用一个叫做"fluxion"的概念来描述变化率。
他将函数表示为一系列连续的无穷小量之和,通过计算这些无穷小量的变化率来得到函数在某一点的导数。
而积分则是对导数的逆运算,通过对变化率的累积来得到原函数。
在牛顿的微积分理论中,没有明确的符号表示法。
而莱布尼茨则提出了微分和积分的符号表示法,这在后来的发展中起到了重要的作用。
莱布尼茨使用了很多我们现在熟悉的符号,比如"dx"和"∫"。
他的符号表示法简明直观,方便了后来者的学习和应用。
牛顿-莱布尼茨公式是由牛顿和莱布尼茨独立地提出的,它描述了原函数和不定积分的关系。
公式的表达形式为:\[\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)\]其中,\[F(x)\]是\[f(x)\]的一个原函数,也就是导函数为\[f(x)\]的函数。
牛顿-莱布尼茨公式的证明是相当复杂的,需要借助一些高级数学工具,比如求极限等。
这里只给出一个直观的解释。
我们知道,积分代表了函数在某一区间上的累积效果。
而不定积分则是对整个函数的积分,它得到的是函数在整个定义域上的累积效果。
如果我们将不定积分的上限从\[x\]变成\[a\],下限从\[0\]变成\[x\],则积分的结果就是\[F(x)\]在\[x=a\]处的值。
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而原函数是与导函数互逆的一个概念,本质上属于
微分学,形式上看,与定积分没有关系。 Newton 和 Leibniz 却发现了这两个概念之间的内在联系:
函数在一个区间上的定积分等于它的原函数在该区间上的增量。 从此微分学与积分学形成一门完整学科——微积分学。
(2)为 定积分的计算提供了一个有效方法. 如果被积函数连续且其原函数易于求得,则只需 先求出原函数,再将上限和下限代入原函数后相减:
定理2 如果函数 f (x)在[a,b]上连续, 函数 F ( x)是 f ( x)
的一个原函数,则
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a). a
(上式称为牛顿—莱布尼茨公式,也叫微积分基本公式)
证 因F ( x)与 Φ ( x) = ∫ x f (t )dt 都是 f ( x) 的原函数, a
证 设 F (t ) 是 f (t ) 的原函数,由 N-L 公式,得
∫ϕ(x)
ψ (x)
f
(t ) dt
=
[
F
(t
)]ψϕ
(x) ( x)
=
F
ϕ
( x)
−
F
ψ
( x)
,
于是,
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t)
dt
′
=
F′ ϕ
( x)ϕ′(
x)
−
F′
ψ
(
x)ψ
′(x)
= f ϕ ( x)ϕ′( x) − f ψ ( x)ψ ′( x).
y
y = f (t)
定义了以 x 为自变量的一个
函数,记为Φ ( x), 即
Φ(x)
Φ ( x) = ∫ x f (t) d t (x ∈[a,b]). O ax a
bt
以此积分形式定义的函数Φ ( x )称为积分上限的函数(或变上限
定积分),其几何意义为曲线 y = f (t) 下方的变动图形的面积
注意:积分上限函数Φ ( x) = ∫x f (t)dt 是我们遇到的一种 a
新形式的函数:
函数 Φ ( x) 的自变量是上限变量 x ; 函数 Φ ( x) 的定义域是积分区间 [a, b] ; 函数 Φ ( x) 的对应规则是通过定积分给出的。 特别要注意分清积分变量 t 与上限变量 x 之间的区别, 在积分过程中,上限变量 x 可看作常数。积分变量 t 在
a
a
= ∫ x f (t )dt + ∫ x+∆x f (t )dt − ∫ x f (t )dt
a
x
a
∫= x+∆x f (t )dt. x
由积分中值定理,得
∆Φ = ∫ x+∆x f (t )dt = f (ξ ) ∆x, x
即 ∆Φ = f (ξ ), 其中ξ 介于 x与 x + ∆x之间.
∆x
∫b a
f
( x)dx
=[F (x)]ba
=
F
(b) −
F
(a).
两次代入记号
∫ 例2 求 1 xexdx. 0
解 因函数 xe ( x的原函数为 x −1) ex , 故由N-L公式
得,
∫1 xexdx = ( x −1) ex 1
0
0
= (1−1) e1 − (0 −1) e0 = 1.
∫π
在上式中令 x = b, 则有
∫b f (t )dt = F (b) − F (a). a
在上式将 t 改写为 x ,则有
∫b f ( x)dx = F (b) − F (a). a
N-L公式的重大意义: (1)建立了定积分与原函数之间的关系,或者说建立了
微分学与积分学的内在联系。 我们知道,定积分是一个特定和式的极限:
2t
dx dx / dt 1 − cos t
= sin t . 2 t (1 − cos t )
∫ ∫ 例6 求由 y etdt + x costdt = 0 确定的隐函数 y 对x
0
0
的导数。
解 方程两边对 x求导,则有
ey y′ + cos x = 0,
即
y′
=
−
cos ey
x
.
∫ 例7 求函数 f ( x) = x te−t2dt 的极值. 0
故它们仅相差一个常数,即
Φ ( x) = ∫ x f (t ) dt = F ( x) + C (a ≤ x ≤ b), a
在上式中,令 x = a, 则有
Φ (a) = F (a)+C,
又由于 Φ (a) = ∫ a f (t )dt = 0, 可得C = −F (a),则有 a
∫ x f (t )dt = F ( x) − F (a), a
∫ 例4 设 F ( x) = x2 sin t2dt, 求F ′( x). x
解 由求导公式得
F ′( x) = 2x sin x4 − 1 sin x.
2x
∫ 例5 设
x
=
∫ y =
t (1 −
0 t
cos
u ) du .
求
dy . dx
sin udu
0
解
sin t ⋅ 1
dy = dy / dt =
又由于 f ( x)为连续函数,故
所以,
lim f (ξ ) = f ( x),
∆x → 0
lim ∆Φ = lim f (ξ ) = f ( x).
∆x ∆x→0
∆x→0
这说明函数 Φ ( x)可导,且有Φ ′( x) = f ( x). 原函数存在定理: 若函数 f ( x) 连续, 则它必存在原函数,
第三章 一元函数积分学
第六节 微积分基本定理 Fundamental Theorem of Calculus
本节要点
本节通过积分上限函数,证明连续函数的原函数的存
在性,更进一步地得到微积分基本公式——牛顿-莱布 尼茨公式(Newton-Leibniz formula)
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a) a
3
推广的变上限的函数的导数公式
定理 设函数 f (t ) 在某区间 I 上连续,函数ϕ( x) 及ψ ( x)
是 [a,b]上的可导函数, 则
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t
)
dt
′
=
f
ϕ ( x)ϕ′( x) −
f
ψ
( x)ψ ′( x).
注意, 当ϕ ( x) = x,ψ ( x) = a就是定理1的形式.
由于两种方法求得的结果应该相等,故有:
∫T2 v (t ) dt T1
= s (T2 ) − s (T1 ),
又,由导数的物理意义知道:s′(t ) = v(t ),
即位置函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的原函数,
因此上式可述为:
速度函数 v(t) 在区间 [T1,T2 ] 上的定积分等于 v(t) 的原函数——位置函数 s(t) 在区间 [T1,T2 ] 上的增量
并且积分上限函数
Φ ( x) = ∫ x f (t )dt a
就是 f ( x) 的一个原函数.
∫ 例1 设 F ( x) = x et2 dt, 求 F′′( x). 0
解 由求导公式,得
F ′( x) = ex2 , F ′′( x) = 2xex2 .
2
三、牛顿—莱布尼茨公式 Newton-Leibniz’s Formula
回答是:只要 f (x)是[a,b] 上的连续函数,以上等式就
成立!为了证明这一结论,必须先引出“积分上限函数” 这一概念.
1
二、积分上限的函数及其导数
设 f (t )在[a,b]上可积, 则∀x ∈[a,b], f (t ) 在部分区间
[a, x] 上可积,这样积分
∫ x f (t) d t a
方法一:若已知物体运动的速度函数 v = v(t) ,则
物体在时间间隔 [T1,T2 ]内经 过的路程为 速度函数 v (t )
∫ ( ) 在时间区间 [T1,T2 ] 上的定积分
v T2 t dt
T1
方法二:若已知物体运动的位置函数 s = s(t) ,则
这段路程又可视为位置函数 s(t ) 在区间 [T1,T2 ] 的增量s(T2 ) − s (T1 ),
∫ 例8 求
1 e−t2 dt
lim cos x
.
x→0
x2
0 解 原式是 型。由洛必达法则,原式为
0
∫ ( ) lim
x→0
1 e−t2 dt
cos x
x2
=
-e−cos2 x − sin
lim
x→0
2x
x
= 1. 2e
4
(∫ ) 例9 求 lim ∫ x→0
x et2 dt 2
0
x tet2 dt
Φ ( x) = ∫ x f (t)dt a
在 [a,b] 上可导,并且其导函数为
Φ′( x) = d ∫ x f (t)dt = f ( x) (a ≤ x ≤ b). dx a
证 ∀x ∈(a,b),
∆Φ = Φ ( x + ∆x) −Φ ( x)
= ∫ x+∆x f (t )dt − ∫ x f (t )dt
∫ T2 v(t )dt
T1
O
s (t1 )
s(t2)
s
自然要问:一般情况下,
若函数 f ( x) 存在原函数 F ( x), 那么函数 f ( x) 在区间 [a,b]上的定积分 是否总等于它的原函数 F ( x) 在区间 [a,b]上的增量? 即下式是否成立: