气体动力学基础

28
2 分类（按激波的形状） （1）正激波：气流方向与激波面垂直； （2）斜激波：气流方向与激波面不垂直； （3）曲线激波：波形为曲线形（由前两种激波 组成）
(1)
(2)
(3)
29
二 正激波 1 形成分析
直管中活塞由静止加速到v，将其分解成很多阶段， 每一阶段活塞只有微小的速度增量Δv，即很多个微 小扰动的叠加
气体体积不变， 常数
dp d( v2 ) 0
2
积分上式得 p v2 C C为常数
2
16
2 定温流动
p RT 常数
dp d( v2 ) 0
2
= p
RT
dp dp RT d( ln p)RT RTd( ln p)
p
v2
RTd( ln p) d( ) 0
2
积分得 RT ln p v2 常数
c kRT T = 0 c＝0
实际上不可能达到极限参数，但可作为 参考值
24
3 临界状态和临界参数
气流速度由小变到大和当地
cv
音速由大（滞止温度时当地
音速最大）变到小的过程中，
气流速度恰好等于当地音速
时的参数称为临界参数，有
Ma＝1。该状态称为临界状 极限 crit 滞止
态。以下标crit表示。
9
② 气体
微弱扰动的传播可认为是一个定熵过程。故有
p
k
C
联立状态方程 p RT 有
dp kRT
d
故 c kRT
如，对于空气，k=1.4，R=287J/(kg.K)，代入得
c 20.05 T
结论：液体内的音速大于气体音速；音速随气体温度
升高而增加；音速是状态参数的函数，因此是指当地
音速。
10
3.0 2.5
M
2 *
2
(k 1)Ma2 (k 1)Ma2
M *
2.0 1.5
1.0
Ma2
(k
1)
2M
2 *
(k
1)
M
2 *
0.5 0.0
0
10 20 30 40 50
Ma
当 Ma＝0 时，M*＝0；当 Ma < 1 时，M* < 1； 当 Ma＝1 时，M*＝1；当 Ma < 0 时，M* < 0。
工程流体力学
第八章 气体动力学基础
1
压缩性：（一）外力作用使气体密度发生显著变化； （二）速度变化使压力变化，从而引起密度 的变化
本章内容：可压缩流体
以一维气体的流动为对象，即流速取断面上的平均值。 且为稳定流动。
压力的变化使温度也发生变化（如压力增大使温度变 化），此时还需要考虑气体的热力学过程。
以下标“0”表示滞止参数，如p0、 ρ 0、T0 、h0、 c0等。
21
（1）滞止焓h0
h0
h 1 v2 2
常数
h —— 静焓； h0 —— 总焓
（2）滞止温度T0
据h0 = cpT0，而cp= 常数，故
T0
h0 cp
为常数
v2
T0
——
称为总温；T
——
静温；
2c
p
—— 动温
运动物体表面温度升高，即使无摩擦也会升高。
温度升高，从而当地音速 逐渐升高，即
① 0－Δv ，得到音速c1； ② Δv －2Δv ，在c1后得到扰动速度c2＋ Δv
c2 > c1 ③ 2Δv －3Δv ，得到扰动速度c3＋2Δv ┇
n (n-1)－n，得到扰动速度cn＋(n－1)Δv
30
温度升高，从而当地音速逐渐升高，即 ① 0－Δv ，得到音速c1； ② Δv －2Δv ，在c1后得到扰动速度c2＋Δv ，c2 > c1 ③ 2Δv －3Δv ，得到扰动速度c3＋2Δv ┇ n (n-1)－n，得到扰动速度cn＋(n－1)Δv
（1）模型描述 管中充满可压缩气体，活塞在力的作用下以微小速度dv 向右运动，产生一个微小扰动的平面波波峰。
6
（2）选定坐标
波的运行速度为音速，c； 左侧气体速度 dv，压力p+dp，密度ρ+dρ； 右侧气体速度0，压力p，密度ρ；
选择相对坐标系，坐标原点在波峰上。气体相对于波 峰（坐标）向左运动。 左侧气体速度：c-dv，压力为p+dp，密度为ρ+dρ； 右侧气体速度为：c，压力为p，密度为ρ；
2
17
3 定熵流动（绝热＋可逆）
dp d( v2 ) 0
2
流动过程中，如果与外界没有热交换 —— 绝热过程
无摩擦的绝热过程——定熵过程
定熵过程方程： p
k
C
(
p
)
1 k
1 1
pkC k
C
则
dp
1
Ck
1
p k dp
k
p
k 1
又
d(v2 ) v2
22
18
dp d( v2 ) 0
2
d(v2 ) v2 22
dp
1
Ck
1
p k dp
k
p
k 1
k p v2
C
k 1 2
变形得 1 p p v2 C
k 1 2
1p
k 1
cv cp cv
p
cv R
p
cvT
u
u p v2 C
2
19
u p v2 C
2
定熵流动的意义：任意截面上单位质量气体所
具有的内能、压能和动能之和保持不变。
k cp ——称为绝热指数（比热容比），对于双
cv
原子分子，如空气，k=1.4
R = cp－cv ——称为气体常数。
对于空气，R=287 J/kg.K
cp
kR k 1
cV
R k 1
4
二熵
定义： dS q
T
q 为微小过程单位质量气体吸收的热量。
理想气体状态方程： p RT p RT
静止流体，定容过程： p C C为常数
p2 1 p2 p1
1 1 1 2
p2 / p1 增大，激波增强，激波传播速度增大。
p2 / p1 很小时，趋于音速传播，v 0。
33
3 正激波前后气流参数的关系 对于比热为常数的理想气体
M*1M*2 1
Ma v c v
M * ccrit
正激波越强，气流经过激波后速度越低； 只有超音速才会产生激波。
两边同时除以 vA 得 d dA dv 0 Av
13
二 运动方程
N-S方程
dux dt
fx
1
p x
(
2ux x 2
2ux y2
2ux z 2
)
对于任意s轴上的一微元ds —— 任一方向
dvs dt
fs
1
p s
dvs dt
vs t
vs s
ds dt
vs t
vs s
vs
对于一维定常流动，有
β δ
经过斜激波，切向速度不变，法向速度减小； 斜激波是法向速度的正激波与切向速度的叠加；
Ma、δ、β 之间存在函数关系。
36
第四节 膨胀波
膨胀波是音速气流或超音速气流在膨胀加速过
程中出现的一种物理现象。
气流沿凸壁AOB流动，向外转折dθ，O点为扰动源。 将dθ 分解为很多个更小的角度，气流流过面积增大， 速度增加，静压力、密度和温度都将下降，这一过程 是一个膨胀过程。每一角度都会产生一道膨胀波，且 这些膨胀波是发散的。
34
三 斜激波 1 形成分析 超音速气流沿内凹壁面AOB流动，在O点转折 一微小角度dθ，则O点就是一个扰动源，形成 微压缩波沿OL传播； 将微小转折分解成很多个更小的转折，每一个 更小的转折都会形成一个微弱波，多个微弱波 的叠加就构成斜激波。
L βB
A
O dθ
dθ3 dθ1 dθ2
35
2 斜激波前后参数的关系
整理得 dp cdv （2） 联立（1）和（2）得 c dp / d
液体和气 体均成立
8
① 液体
c dp / d
据液体的弹性模量
Ev
1
dp d
dp Ev
d
故液体内的音速计算式为 c Ev /
如：水温为5℃时， 1000kg/m3 Ev 2.06 109 Pa
代入公式得 c = 1435m/s
dv dv
A
p+dp ρ+dρ
dv
c
T+dT
x
p ρ T
7
dv dv
A
p+dp ρ+dρ
dv
c
p ρ
T+dT
T
（3）建立方程
x
以虚线所示区域为控制体
连续性方程： Ac ( d)A(c dv)
整理并略去二阶无穷小量得 cd dv （1）
动量方程 Fx QV (v2x v1x )
pA ( p dp)A Ac[(c dv) c]
22
（3）滞止音速c0
c0 kRT0
（4）滞止密度ρ0
由
p
k C和p RT 得 Nhomakorabea1
C
故
0
1
C
0 C
T k 1
T k 1 0
（5）滞止压力p0
p RT
p0
0
RT0
故
p0 = C
23
2 极限状态和极限参数（最大速度状态） 绝对温度降低到0时的状态，此时气体的焓全 部转化为速度，达到最大速度 vmax。 2 vmax 2h0 k 1 kRT0
p dp s ds
vs dvs s ds
vs 0 t
14
dvs dt
fs
1
p s
不计质量力 fs ，略去下角标 s
则有
1 p v v 0
s s
最后得
dp vdv 0 dp d( v2 ) 0
2
（对任意方向均成立 ）
不同过程时上式的积分结果不同 —— 能量方程
15
三 能量方程 1 定容流动
又据
h
u
p
cpT
得
h v2 C
2
cpT
v2 2
C
20
四 定熵过程的三种特定状态
在一维定熵流动中，p、ρ、T 发生变化，计
算时缺乏比较基准。
1 滞止状态和滞止参数
滞止参数：气体在某一段面的速度降低为0时的 参数。对于一个确定的流动，滞止参数在流动 过程中始终保持不变。此时，动能即速度全部 转化为焓。
dh dT
单位：J/kg.K
3
容器内气体吸热分析：
（1）定容时（体积不变），吸收的热量用于使气体
的内能增加；
（2）定压时，吸收的热量除了增加气体的内能，同 时还因体积膨胀而克服压力做功，两者的和为焓。
所以，升高相同的温度，定压过程需要的热量
要高于定容过程 —— 焓比内能多p/ρ 项。
从而 dh>du，cp > cv u = cvT，h = cpT
由于质量力较小，为简化分析，将其忽略 理想气体：分子本身没有体积，分子间无内聚 力即无粘性。p、v、T符合理想气体状态方程。 常温下，理想气体的一维定常流动的基本方程 适用于实际气体。
12
一 连续性方程 任意截面的质量流量相等，即
1v1A1 2v2 A2 或 vA C
d(vA) 0
vdA vAd Adv 0
四 马赫数（Ma）
Ma v / c
音速与状态参数有关，因次称为当地音速。 不同地方音速不同，Ma也不同
Ma<1，亚音速； Ma =1，音速； Ma >1，超音速。
五 微弱扰动在气体中的传播
音速为绝对速度，不以扰动源的速度的变化而变化。
扰动源的运动情况： v＝0、 v<c、 v＝c、 v>c
11
第二节 气体的一维定常流动
27
第三节 激波
弱扰动的传播速度——音速 强扰动的传播速度——大于音速
一 激波的概念和类型
1 激波：超音速气流在流过障碍物或受到突然压 缩时出现的特殊的物理现象，是一种强烈的压缩 波，又称冲击波。 注：亚音速气流不会出现激波。激波以比音速大 得多的速度传播。 激波的厚度：与气体分子的平均自由程是同一数 量级，约为10－4～10－5mm
p2 p1
p2
p1
pA ( p dp)A Ac[(c dv) c]
A( p1 p2 ) A1vs[(v2 v) v2 ]
vsv
p2 p1
1
32
Ac ( d)A(c dv) A1vs A2 (vs v) v
vsv
2 2
1
vs
p2 p1
1
vs
p2 p1 2 2 1 1
定温过程： p C
T
p
定熵过程（绝热＋无摩擦）： k
C
将定熵过程方程与理想气体状态方程联立可得
p2
(T2
)
k k 1
( 2 )k
p1 T1
1
5
三 音速/声速
1 定义
压力扰动：气体中某处受外力作用，使其压力发生变化 音速：微弱扰动在流体中的传播速度。
如，音叉振动时，对气体有扰动。扰动在空气中以音速 向外传播。任意一种微弱的扰动即使听不见，也以音速 向外传播。 2 音速的理论推导 流体中微弱扰动的传播速度
2 vcrit ccrit k 1 kRT0
25
4 速度系数
定义：气流速度与临界音速之比
M*
v ccrit
Ma v c
优点：1）ccrit为常数，c为变量； 2）绝热流动中，极限状态时Ma无限大。
而M*max是一个有限量。
M *max
vmax ccrit
k 1 k 1
26
Ma与M*的关系
cn (n 1)v L c3 2v c2 v c1
经过一段时间后，后面的波一个接一个地追赶上 前面的波，叠加的波的形状变得越来越陡，直至 形成一个垂直面的压缩波，这就是正激波。
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2 激波的传播速度
dv dv A
p+dp ρ+dρ T+dT
v vs
p
dv c
ρ
T
x
v2 = vs-v v1 = vs
约定：采用绝对压强和绝对温度 0℃～273K 0K～―273℃
2
第一节 可压缩气体的一些基本概念 与热力学基本参量
一 内能、焓与比热
内能：因内部分子的热运动具有的能量。
符号 —— u
单位 —— J/kg
焓：h = u + p/ρ
单位：J/kg
定容比热： cv
du dT
单位：J/kg.K
定压比热： cp