第八章-第1节 多元函数的基本概念

.
去心邻域的概念也可搬过来。

中去心邻域的定义空间n
R
0 ) ,3 ,2 ( 0为实数，则称集合，设>=∈δ⋯n R X n
}
),d(0 | {),U(00δδ<<=X X X X
),(U ˆ 00。

去心邻域，记为的中点为δδX X R n
2. 开集、闭集、有界集、无界集
聚点
O
E
E 中的有界集
2
R
) U(O,E r ⊂
无界集
},|),{(E +∞<<∞−≤≤=y b x a y x
单连通集
分为
连通集
复连通集
单连通 复连通
不连通
区域是连通开集. 区域是连通开集.
区域 Ω 的内点及边界点都是它的聚点. 区域 Ω 的内点及边界点都是它的聚点.
, 则称为一连通开集若非空集n
R ⊂Ω
. 中的区域为n
R Ω注意：集合的聚点
不一定属于集合.
二元函数 的图形
),(y x f z = 设函数
的定义域为，对于任意取定的
y x P ∈),(，对应的函数值为
,(y
x f z =，这样，以为横坐标、为纵坐
标、为竖坐标在空间就确定一点，
当取遍上一切点时，得一个空间点集，这个点集称
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
x
y
z
o
xy
z sin =例如,图形如右图.
2
222a
z y x =++例如,如右图，为球面.
}.
),{(2
2
2
a y x y x D ≤+=2
2
2
y
x a z −−=.
2
2
2
y x a z −−−=单值分支:
三. 多元函数的极限及极限的运算
x
x
y
a
y =ε
+=a y ε
−=a y ()
..
()
a
)
(x f .
x O
)
(x f y =P
),(U ˆ0
δx )
,U(εa 0
x x →.
x
x
y
a
y =ε
+=a y ε
−=a y ()
..
()
a
)
(x f .
x O
)
(x f y =P
),(U ˆ0
δx )
,U(εa 0
x x →.
),(U ˆ0δx x ∈
x
x
y
a
y =ε
+=a y ε
−=a y ()
..
(
)
a )
(x f .
x O
)
(x f y =P
),(U ˆ0
δx ),U(εa 0
x x →.
),(U ˆ0δx x ∈),U(
)(εa x f ∈
二元函数极限的定义
该例还说明一个问题
对此你有什么想法 ?
对此你有什么想法 ?,
2
x k y =虽然沿无穷多个方向：,
, )0,0(),( 函数均有极限时当→y x . ),( lim 00不存在但函数的极限y x f y x →→
“无穷多个方向”不等于“任意方向”.
可利用方向性来判别
多元函数的极限不存在.。