二次函数零点问题

二次函数零点问题

【探究拓展】

探究1：设21,x x 分别是实系数一元二次方程02

=++c bx ax 和02

=++-c bx ax 的一个根，且

,0,2121≠≠x x x x 求证：方程

02

2

=++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间.

变式1：已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R)，设关于x 的方程f (x )＝0的两实根为 x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1）若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式；

（2）若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； （3）若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7.

变式2：二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. （1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.

（2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ，求证：12||2x x -≥.

变式3：设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a

2，3a >2c >2b ，求证：

（1）a >0且－3

4

；

（2）函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点； （3）设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<574

.

变式4：设函数2

()(0)f x ax bx c a =++>且(1)2

a f =-

. （1）求证：函数()f x 有两个零点；

（2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求12x x -的取值范围； （3）求证：函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内.

探究2：已知方程x b

x a bx =+-21

2

有两个不相等的实数根. （1）求

a

b

的取值范围； （2）求证：函数1)(2

++=bx ax x f 在区间()1,1-上是单调函数. 变式：已知二次函数1)(2

++=bx ax x f 和b

x a bx x g 21

)(2+-=

（1）若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性；

（2）若方程x x g =)(有两个不相等的实根，当0>a 时判断)(x f 在()1,1-上的单调性； （3）若方程x x g =)(的两个不相等的实根为21,x x ，0)(=x f 的两实根为43,x x ，求使 得4213x x x x <<<成立的a 的取值范围.

探究3：二次函数2

()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<

（1）求实数a 的取值范围；（2）试比较(0)(1)(0)f f f -与

1

16

的大小．并说明理由 变式：已知))()((1)(b a b x a x x f <---=，n m ,是)(x f 的零点，且n m <，则n m b a ,,,从小到大的顺序为_________________

探究4：已知a 是实数，函数2

()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[11]-， 上有零点，求a 的取值范围

解析1：函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解. a =0时，不符合题意，所以a ≠0,方程f (x )=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -⋅≤或

(1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a

-≥⎧⎪≥⎪⎪

∆=++≥⎨⎪

⎪-∈-⎪⎩15a ⇔≤≤

或a ≤

或5a ≥

⇔a ≤或a≥1. 所以实数a

的取值范围是a ≤

或a ≥1.

点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题. 解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又

∴2

()223

f x ax x a

=+--=0在[-1，1]上有解，2

(21)32

x a x

⇔-=-在[-1，1]上有解

2

121

32

x

a x

-

⇔=

-

在[-1，

1]上有解，问题转化为求函数

2

21

32

x

y

x

-

=

-

[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则23

x t

=-，t∈

[1,5],

2

1(3)217

(6)

22

t

y t

t t

--

=⋅=+-，

设

2

2

77

().'()

t

g t t g t

t t

-

=+=，t∈时，'()0

g t<，此函数g(t)单调递减，t∈时，'()

g t>0,此函数

g(t)单调递增，∴y的取值范围是3,1]，∴2

()223

f x ax x a

=+--=0在[-1，1]上有解 1

a

∈

3,1]1

a

⇔≥或a≤.

点评: 将原题中的方程化成

2

121

32

x

a x

-

=

-

的形式, 问题转化为求函数

2

21

32

x

y

x

-

=

-

[-1，1]上的值域的问题,是解析

2的思路走向.

变式1：已知函数2

()243

f x ax x a

=--+．

（1）求证：函数y = f(x) 的图象恒过两个定点．

（2）若y = f(x)在（1，3）内有零点，求a的取值范围．

（1）设2243

y ax x a

=--+，即2

(4)23

y a x x

=--+．

令x2 = 4，得x = -2或2．

则函数y = f(x) 的图象恒过定点（-2，7），（2，-1）．

（2）∵f(-2) = 7 > 0，f(2) = -1 < 0，

∴y = f(x)在（-2，2）内有零点．

1）若a > 0，抛物线开口向上，y = f(x)在（1，3）内有零点，

当且仅当f(1) > 0，或f(3) > 0．

则(1)243310

f a a a

=--+=-+>，或(3)9643530

f a a a

=--+=->．

∴0 <

1

3

a<，或

3

5

a>．

2）若a < 0，抛物线开口向下，y = f(x)在（1，3）内有零点，当且仅当f(1) > 0．即(1)243310

f a a a

=--+=-+>．

∴

1

3

a<，结合a < 0，得a < 0．

3）若a = 0，y = f(x)的零点为3

2

，在（1，3）内．

综合1），2），3），得a的取值范围为（-∞，1

3

）∪（

3

5

，+∞）．