二次函数零点问题

二次函数零点问题

【探究拓展】

探究１:设21,x x 分别是实系数一元二次方程02

=++c bx ax 和02

=++-c bx ax 的一个根，且

,0,2121≠≠x x x x 求证:方程

02

2

=++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间.

变式１：已知函数f (x )=ａx 2+4ｘ+b （ａ<０,a 、b ∈R ）,设关于x 的方程f (x )=0的两实根为 x 1、x ２，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1)若|α－β｜＝1，求a 、ｂ的关系式;

（２)若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； (3）若α<1＜β<2，求证:(x 1+１)（x 2+1)<7.

变式2:二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. (1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.

(2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ,求证：12||2x x -≥.

变式３：设函数ｆ(x ）=ax 2+bx ＋ｃ，且f (1)=－ａ

2，3a >2c ＞2ｂ，求证:

（1)a >０且-3<＼ｆ(b,a )＜－＼f(3,4)； (2）函数ｆ（x )在区间(0,２)内至少有一个零点;

(3)设x 1、x 2是函数f (x ）的两个零点，则错误!≤|x 1－x 2｜<错误!.

变式4：设函数2

()(0)f x ax bx c a =++>且(1)2

a f =-

. (1）求证:函数()f x 有两个零点;

（2)设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求12x x -的取值范围; (３）求证:函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内.

探究2：已知方程x b

x a bx =+-21

2有两个不相等的实数根.

（1）求

a

b

的取值范围； (2）求证：函数1)(2

++=bx ax x f 在区间()1,1-上是单调函数. 变式：已知二次函数1)(2

++=bx ax x f 和b

x a bx x g 21

)(2+-=

（1)若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性;

(2）若方程x x g =)(有两个不相等的实根,当0>a 时判断)(x f 在()1,1-上的单调性； (3)若方程x x g =)(的两个不相等的实根为21,x x ,0)(=x f 的两实根为43,x x ,求使 得4213x x x x <<<成立的a 的取值范围.

探究3:二次函数2

()f x x ax a =++,方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<

(1)求实数a 的取值范围;（２）试比较(0)(1)(0)f f f -与

1

16

的大小.并说明理由 变式：已知))()((1)(b a b x a x x f <---=,n m ,是)(x f 的零点，且n m <,则n m b a ,,,从小到大的顺序为__＿____＿______＿＿_

探究4：已知a 是实数,函数2

()223f x ax x a =+--,如果函数()y f x =在区间[11]-， 上有零点,求a 的取值范围

解析１:函数()y f x =在区间［-1，１]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=０在［-1,１］上有解. ａ=０时,不符合题意,所以ａ≠0，方程f (x ）=0在[-1，１]上有解<=>(1)(1)0f f -⋅≤或

(1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a

-≥⎧⎪≥⎪⎪

∆=++≥⎨⎪

⎪-∈-⎪⎩15a ⇔≤≤

或a ≤

或5a ≥

⇔a ≤或a≥1． 所以实数a

的取值范围是a ≤

或ａ≥１. 点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题.

解析2:a =0时,不符合题意，所以a ≠0,又

∴2

()223f x ax x a =+--＝0在[-1，１］上有解,2

(21)32x a x ⇔-=-在［－1，1］上有解2121

32x a x

-⇔=-在

［-１，1]上有解,问题转化为求函数221

32x y x -=-[-１,1]上的值域;设t=3-2ｘ,x ∈[-1,１],则23x t =-，t ∈

[1,5],21(3)217

(6)22t y t t t

--=⋅=+-,

设2277

().'()t g t t g t t t

-=+=,t ∈时,'()0g t <,此函数g(ｔ）单调递减，t ∈时，'()g t >0,此函数ｇ

(t)单调递增,∴y 的取值范围是3,1],∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解

1

a

∈

3,1]1a ⇔≥或a ≤. 点评: 将原题中的方程化成212132x a x

-=-的形式, 问题转化为求函数221

32x y x -=-[-1，1］上的值域的问题，是解

析2的思路走向.

变式1:已知函数2()243f x ax x a =--+.

（1）求证：函数y ＝ f (x ) 的图象恒过两个定点． (２）若y = f (ｘ)在(1,３)内有零点,求a 的取值范围． (１）设2243y ax x a =--+,即2(4)23y a x x =--+．

令x 2 = 4，得x = -2或2．

ﻩ则函数y ＝ f (x ) 的图象恒过定点(-2,7),(2,-1）． (2)∵f （-２） = 7 > 0,f (2) = -1 ＜ 0， ∴y = f (x )在(-2,2）内有零点.

１）若a > 0,抛物线开口向上，ｙ = f （x )在(1，3）内有零点，

当且仅当f (１) > 0,或f (3） > ０．

ﻩ则(1)243310f a a a =--+=-+>, 或(3)9643530f a a a =--+=->． ∴0 ＜13a <,或3

5

a >．

2）若a ＜ 0,抛物线开口向下，y = ｆ(x )在(１,3)内有零点,

ﻩ当且仅当f (1) > ０．即(1)243310f a a a =--+=-+>．

∴1

3a <,结合a < ０,得ａ < 0．

ﻩ３)若a ＝ 0,ｙ = ｆ(x )的零点为

3

2

,在(1，３）内. 综合１),2),3)，得a 的取值范围为（-∞，13）∪(3

5,+∞）．

变式２:已知函数2()1f x ax bx =-+．