二次函数零点问题

二次函数零点问题【探究拓展】探究１:设21,x x 分别是实系数一元二次方程02=++c bx ax 和02=++-c bx ax 的一个根，且,0,2121≠≠x x x x 求证:方程022=++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间.变式１：已知函数f (x )=ａx 2+4ｘ+b （ａ<０,a 、b ∈R ）,设关于x 的方程f (x )=0的两实根为 x 1、x ２，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1)若|α－β｜＝1，求a 、ｂ的关系式;（２)若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； (3）若α<1＜β<2，求证:(x 1+１)（x 2+1)<7.变式2:二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. (1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.(2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ,求证：12||2x x -≥.变式３：设函数ｆ(x ）=ax 2+bx ＋ｃ，且f (1)=－ａ2，3a >2c ＞2ｂ，求证:（1)a >０且-3<＼ｆ(b,a )＜－＼f(3,4)； (2）函数ｆ（x )在区间(0,２)内至少有一个零点;(3)设x 1、x 2是函数f (x ）的两个零点，则错误!≤|x 1－x 2｜<错误!.变式4：设函数2()(0)f x ax bx c a =++>且(1)2a f =-. (1）求证:函数()f x 有两个零点;（2)设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求12x x -的取值范围; (３）求证:函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内.探究2：已知方程x bx a bx =+-212有两个不相等的实数根.（1）求ab的取值范围； (2）求证：函数1)(2++=bx ax x f 在区间()1,1-上是单调函数. 变式：已知二次函数1)(2++=bx ax x f 和bx a bx x g 21)(2+-=（1)若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性;(2）若方程x x g =)(有两个不相等的实根,当0>a 时判断)(x f 在()1,1-上的单调性； (3)若方程x x g =)(的两个不相等的实根为21,x x ,0)(=x f 的两实根为43,x x ,求使 得4213x x x x <<<成立的a 的取值范围.探究3:二次函数2()f x x ax a =++,方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<(1)求实数a 的取值范围;（２）试比较(0)(1)(0)f f f -与116的大小.并说明理由 变式：已知))()((1)(b a b x a x x f <---=,n m ,是)(x f 的零点，且n m <,则n m b a ,,,从小到大的顺序为__＿____＿______＿＿_探究4：已知a 是实数,函数2()223f x ax x a =+--,如果函数()y f x =在区间[11]-， 上有零点,求a 的取值范围解析１:函数()y f x =在区间［-1，１]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=０在［-1,１］上有解. ａ=０时,不符合题意,所以ａ≠0，方程f (x ）=0在[-1，１]上有解<=>(1)(1)0f f -⋅≤或(1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a-≥⎧⎪≥⎪⎪∆=++≥⎨⎪⎪-∈-⎪⎩15a ⇔≤≤或a ≤或5a ≥⇔a ≤或a≥1． 所以实数a的取值范围是a ≤或ａ≥１. 点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题.解析2:a =0时,不符合题意，所以a ≠0,又∴2()223f x ax x a =+--＝0在[-1，１］上有解,2(21)32x a x ⇔-=-在［－1，1］上有解212132x a x-⇔=-在［-１，1]上有解,问题转化为求函数22132x y x -=-[-１,1]上的值域;设t=3-2ｘ,x ∈[-1,１],则23x t =-，t ∈[1,5],21(3)217(6)22t y t t t--=⋅=+-,设2277().'()t g t t g t t t-=+=,t ∈时,'()0g t <,此函数g(ｔ）单调递减，t ∈时，'()g t >0,此函数ｇ(t)单调递增,∴y 的取值范围是3,1],∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解1a∈3,1]1a ⇔≥或a ≤. 点评: 将原题中的方程化成212132x a x-=-的形式, 问题转化为求函数22132x y x -=-[-1，1］上的值域的问题，是解析2的思路走向.变式1:已知函数2()243f x ax x a =--+.（1）求证：函数y ＝ f (x ) 的图象恒过两个定点． (２）若y = f (ｘ)在(1,３)内有零点,求a 的取值范围． (１）设2243y ax x a =--+,即2(4)23y a x x =--+．令x 2 = 4，得x = -2或2．ﻩ则函数y ＝ f (x ) 的图象恒过定点(-2,7),(2,-1）． (2)∵f （-２） = 7 > 0,f (2) = -1 ＜ 0， ∴y = f (x )在(-2,2）内有零点.１）若a > 0,抛物线开口向上，ｙ = f （x )在(1，3）内有零点，当且仅当f (１) > 0,或f (3） > ０．ﻩ则(1)243310f a a a =--+=-+>, 或(3)9643530f a a a =--+=->． ∴0 ＜13a <,或35a >．2）若a ＜ 0,抛物线开口向下，y = ｆ(x )在(１,3)内有零点,ﻩ当且仅当f (1) > ０．即(1)243310f a a a =--+=-+>．∴13a <,结合a < ０,得ａ < 0．ﻩ３)若a ＝ 0,ｙ = ｆ(x )的零点为32,在(1，３）内. 综合１),2),3)，得a 的取值范围为（-∞，13）∪(35,+∞）．变式２:已知函数2()1f x ax bx =-+．（1）若()0f x >的解集是)3,1(-，求实数b a ,的值;（２）若a 为整数,2b a =+，且函数()f x 在(2,1)--上恰有一个零点，求a 的值.探究5:已知函数m x m x x f -+-+=4)4(2)(2,mx x g =)(,若对于任意的实数x ，)(x f 与)(x g 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是_＿____＿_． ﻩ变式1:已知函数f （x )＝2mx 2－2（４－ｍ）x +l,g (x ）=mx ，若对于任一实数x ，f (ｘ）与ｇ （ｘ)的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是 . ()8,0分析：问题可转化为数学符号语言：“已知函数ｆ (x ）＝2m ｘ2-2(4－ｍ)x ＋ｌ,ｇ(x ）=m ｘ，x ∀∈R ，()0f x >或()0g x >”,求实数m 的取值范围. 不难发现,若利用上述解法3,采用对立转化法，即可设命题:q x R ∀∈,()0f x >或()0g x >;则命题:q x R ⌝∃∈，()()0f x g x ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩． 若命题q ⌝成立时： 首先,当0m =时，()()81f x xg x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，存在实数x ,使得不等式组成立．其次,当0m <时,函数f (x )为开口向下的二次函数，g （x )为R 上的减函数且值域为R ,必存在0x R ∈,使得函数()00f x ≤且()00g x ≤.再者,当0m >时,g (x )为R 上的增函数且值域为R ；若存在实数x 使()0f x ≤成立，即要有()min 0f x ≤.又()()2min 2402m m f x m--=≤,解得8m ≥或02m <≤；综上,若命题q ⌝成立时:有2m ≤或8m ≥;即可知当命题q 成立时：()2,8m ∈.答案错了 变式2：设函数3)(2++-=a ax x x f ，函数a ax x g 2)(-=,若存在R x ∈0，使得0)(0<x f 与0)(0<x g 同时成立,则实数a 的取值范围是______＿_＿___挖掘题中隐含条件：存在R x ∈0,使得0)(0<x f ,从而对参数的范围进行局部缩小; 解析：由2()3f x x ax a =-++知()()03,14f a f =+=，又存在0R x ∈，使得0()0f x < 知()2430a a ∆=-+>即2a <-或6a >，另()2g x ax a =-中恒过()2,0，故由函数的图象知：①若0a =时, 2()3f x x ax a =-++23x =+恒大于0,显然不成立。

②若0a >时,()0720a a f >⎧⎪⇒>⎨<⎪⎩③若0a <时，x 对12a=<-，另()14f >，显然不成立。

解法1(分离参数法）20x a <>当，时，或者当20x a ><，时，都有()0g x <.当()0f x <时()231x a x ⇔+<-，则有:当1x >时,231x a x +>-0>；当1x <时，231x a x +<-0<；因此，若0x ∃∈Ｒ，使得()00f x <与()00g x <同时成立，则由上分析可知:只有当012x <<时，不等式20031x a x +>-成立.设函数()231x h x x +=-，()1,2x ∈． 令()101t x t =-<<，()24h t t t=++，易求()7h t >. 则7.a >解法2（数形结合法）由于()0g x <02a x ⇔><当时，;02a x <>当时，.若存在0x ∈R,使得()00f x <,则2=4120a a ∆-->,即62a a ><-或;则: 1°当6a >时,由题意可知,02x ∃<,()00f x <. 二次函数对称轴32ax =>，()y f x = 在(),2-∞上为减函数,则()20f <,即7a >.2°当2a <-时，02x ∃>,()00f x <. 而二次函数对称轴02ax =<,()y f x =在()0,+∞ 上为增函数，又()14f =，因此2x ∀>，()0f x >，此情形下a φ∈.综上,7a >.解法3(对立转化法)命题p ：若0x ∃∈R,使得()00f x <与()00g x <同时成立. 则⌝p ：对x ∀∈R ，()0f x ≥或()0g x ≥成立.下研究若命题⌝p 成立时,参数a 的取值范围：１°当0a =时,x ∀∈R ，()0g x ≥恒成立，因此,0a =适合题意. ２°当0a >时,()0g x ≥2x ⇔≥;则(){}(,2]|0x f x -∞⊆≥，２．１°()2220a f⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，即47a ≤≤;2.2°022a ⎧<≤⎪⎨⎪∆≤⎩，即04a <≤；因此有07a <≤. 3°当0a <时，()0g x ≥2x ⇔≤;则(){}[2,)|0x f x +∞⊆≥，有()2220af ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，即0a <;因此，0a <.综上，当7a ≤时,⌝ｐ成立；那么，命题p 成立时，7a >.变式3：设函数3)(2++-=a ax x x f ，函数a x x g -=)(,若不存在R x ∈0,使得0)(0<x f 与0)(0<x g 同时成立,则实数a 的取值范围是＿＿_＿__＿评注：(１）含参曲线的特征观察（定点？平行直线系？切线构成的包络线?） (2）充分挖掘题中的隐含条件,从而对参数的范围进行局部缩小；变式４：函数)2)(2()(m n x m n x n x f --+-=，4121)(-⎪⎭⎫⎝⎛=xx g ,对,R x ∈∀有0)(>x f 或0)(>x g 成立.若a n n m +-=32,则实数a 的取值范围是＿___＿_＿_.变式５:已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=xx g ,若同时满足条件：① R x ∈∀,0)(<x f 或0)(<x g ；②∃x ∈（ -∞,-4), )(x f 0)(<x g ，则m 的取值范围是____＿__ ()2-4-，分析:对于条件①,仍然采用对立转化法，分析命题:p “x R ∃∈,()0f x ≥且()0g x ≥”. 又当1x ≥时，函数()0g x ≥，则只要存在实数[1,)x ∈+∞使()0f x ≥成立即可．首先,当0m =时，()0f x =,则0m =适合；其次，当0m >时,二次函数()f x 开口向上,则总存在实数x 使()0f x ≥成立.再者,当0m <时,二次函数()f x 开口向下,即要有()max 0f x ≥；又此时二次函数对称轴方程为3302m x -=<，则()()()()max 11240f x f m m m ==-+≥,解得4m ≤-; 因此,命题p 成立时,0m ≥或4m ≤-;那么条件①成立时,()4,0m ∈-；对于条件②，当4x <-时，()0g x <,则可知存在4x <-,()0f x >;并且()4,0m ∈-.可分如下两种情形：(１）2434(4)0m m f <-⎧⎪-->-⎨⎪->⎩,解得()4,2m ∈--；（2)2434(4)0m m f >-⎧⎪--<-⎨⎪->⎩，解得m ∈∅；综上可知,当条件①②都成立时，()4,2m ∈--.探究6:设2()(0)f x ax bx c a =++>,方程()f x x =的两个根是1x 和2x ,且10x >,211x x a->. 又若10t x <<，试比较()f t 与1x 的大小.ﻫ【解】因为1x 、2x 是方程2ax bx c x ++=的两个根，ﻫ所以121b x x a-+=-，12c x x a=,2111ax bx c x ++=.ﻫ因此22111()()()f t x at bt c ax bx c -=++-++ﻫ11111()()()()b a t x t x b t x a t x t x a ⎛⎫=+-+-=-++ ⎪⎝⎭．由122121110b t x t x t x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-=+-<+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,及0a >，10t x -<,得1()0f t x ->． 所以,当10t x <<时，有1()f t x >.ﻫ探究7:实数,,a b c ∈R,函数c bx ax x g ++=23)(2，0=++c b a ,且满足0)1()0(>⋅g g . (1）求ca的取值范围;（2)设a 为常数,且ａ > ０，已知函数)(x g 的两个零点为x 1,x 2 ,令cx bx ax x f ++=23)(且11(,())A x f x ，22(,())B x f x ,求证:⎥⎦⎤⎝⎛--∈--6,92)()(1212a a x x x f x f .探究8:设函数2||(),2x f x ax a R x =-∈+ (1)当2=a ，求函数)(x f 的零点；⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+-+-222,222,262,0 (2)当0>a 时,求证：函数)(x f 在()+∞,0内有且仅有一个零点; （３）若函数)(x f 有四个不同的零点，求实数a 的取值范围. 1>a变式１:若关于ｘ的方程＼f(|x |,x －1)=kx 2有四个不同的实数根,则实数k 的取值范围是_＿_＿___＿__＿．4-<k 变式2:已知函数231xy ax x =-+有三个零点,则实数ａ的取值范围是 ． （０,３）【专题反思】你学到了什么?还想继续研究什么？。