二次函数零点分布

合集下载

二次函数规律总结

二次函数规律总结二次函数是高中数学中的重要内容，它的形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像一般为抛物线，其开口的方向由系数 a 的正负决定， a>0 时开口向上， a<0 时开口向下。

在学习和研究二次函数时，我们可以总结出一些常见的规律和性质。

一、二次函数的图像特点：1.抛物线的对称轴：二次函数图像的对称轴与y轴平行，对称轴的方程为x=-b/2a。

2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax²+bx+c。

3.开口方向：抛物线的开口方向由系数a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

4.最值：若a>0，则二次函数的最小值为f(-b/2a)；若a<0，则二次函数的最大值为f(-b/2a)。

二、二次函数的零点和因式分解：1. 零点：二次函数的零点为函数图像与 x 轴相交的点，即 f(x)=0 的解。

二次函数的零点有两个解时，可以使用求根公式 x=(-b±√(b²-4ac))/(2a) 来求解。

2. 因式分解：对于一个二次函数f(x)=ax²+bx+c，若在 a、b、c 都为整数的情况下，可以对 f(x) 进行因式分解。

找到对应的两个整数 p 和 q，使得 a=pq，c=pq，则有 f(x)=(px+q)(qx+p)。

三、二次函数与平移、伸缩、翻转的关系：1. 平移：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将 y=a(x-h)²+k，则得到的新函数 y' 的图像为原图像上下平移 h 个单位，左右平移 k 个单位。

2. 伸缩：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将 y=a(x-p)²+q，则得到的新函数 y' 的图像相对于原图像在 x 轴方向上伸缩 p 倍，在 y 轴方向上伸缩 q 倍。

二次函数的零点分布问题

跨学科应用的研究
二次函数作为一种基本的数学工具，在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。未来，我们将探索如何将二次函数零点分布的研究成果应用于这些领域，推动相关学科的发展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
二次函数的零点分布问
contents
目录
• 引言 • 二次函数零点存在性定理 • 二次函数零点个数判断方法 • 二次函数零点分布规律探讨 • 典型案例分析与应用举例 • 总结与展望
01 引言
二次函数定义与性质
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b,
c$ 为常数，$a neq 0$。
零点的意义
零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐标，决定了函数图像在 $x$ 轴上的位置。
研究目的和意义
研究目的
通过探讨二次函数的零点分布问题，可以深入理解二次函数的性质及其与一元二次方程的关系，为解决实际问题提供理论支持。
研究意义
二次函数作为一种基本的数学模型，在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。研究二次函数的零点分布问题，不仅有助于完善数学理论体系，还能为解决实际问题提供有效的数学工具。例如，在控制论中，通过分析二次函数的零点分布可以判断系统的稳定性；在经济学中，可以利用二次函数模型分析市场供需关
迭代法收敛性
牛顿迭代法具有平方收敛速度，即每一步迭代后误差减少为上一步误差的平方。但在某些情况下，如初始值选取不当或函数性质不满足要求时，迭代法可能不收敛。
03 二次函数零点个数判断方法
图像法
01
观察二次函数图像与x轴的交点个数，交点个数即为零点个数。
02

二次函数的零点及轴对称性

二次函数的零点及轴对称性二次函数是一个常见的代数函数，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

在本文中，我们将探讨二次函数的零点及轴对称性。

一、二次函数的零点二次函数的零点，也称为函数的根或解，指的是函数值等于零的x 值。

要找到二次函数的零点，我们可以使用求根公式或图像法。

1. 求根公式通过求根公式可以得到二次函数的零点。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其零点可以通过以下公式得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示取两个值，即可以得到二次函数的两个零点。

这个公式称为二次方程的根的公式，它的推导可以利用配方法或因式分解方法得到。

2. 图像法除了求根公式，我们还可以通过观察二次函数的图像来找到其零点。

二次函数的图像为一条抛物线，可以是开口向上或开口向下的形状。

当抛物线与x轴相交时，对应的x值即为函数的零点。

二、二次函数的轴对称性二次函数的轴对称性是指二次函数图像关于某一直线对称。

要确定二次函数的轴对称线，我们可以使用公式或观察法。

1. 公式法二次函数的轴对称线可以通过以下公式确定：x = -b / (2a)这个公式给出了二次函数的抛物线的对称轴的x坐标值。

例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，其对称轴的x坐标值为-x轴系数的一半。

2. 观察法除了公式法，我们还可以通过观察二次函数的图像来确定其轴对称线。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，如果a>0，则抛物线开口向上，轴对称线为抛物线的最低点所在的垂直线；如果a<0，则抛物线开口向下，轴对称线为抛物线的最高点所在的垂直线。

三、总结二次函数的零点是函数值等于零的x值，可以通过求根公式或观察图像来确定。

而二次函数的轴对称性指的是抛物线关于某一直线对称，可以通过公式或观察图像来确定轴对称线的位置。

二次函数零点分布情况

二次函数零点分布情况二次函数是一种常见的数学函数形式，可以用来描述很多自然现象和数学问题。

在二次函数中，零点即为方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解，其中 $a, b, c$ 是常数，$a\neq0$。

在本文中，我们将探讨二次函数的零点分布情况，包括有两个实根、有一个实根和无实根的情况。

首先，我们来讨论二次函数有两个实根的情况。

对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须大于零，才能有两个不相等的实根。

当 $D>0$ 时，方程有两个实根，且它们的值可以通过求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ 来求得。

此时，我们可以绘制二次函数的图像，发现它与 $x$ 轴交于两个不同的点，这两个点就是函数的零点。

其次，我们来讨论二次函数有一个实根的情况。

对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须等于零，才能有一个实根。

当 $D=0$ 时，方程有一个实根，它的值可以通过求根公式 $x=\frac{-b}{2a}$ 来求得。

此时，我们可以绘制二次函数的图像，发现它与$x$ 轴相切于一个点，这个点就是函数的零点。

最后，我们来讨论二次函数无实根的情况。

对于这种情况，方程$ax^2+bx+c=0$ 的判别式 $D=b^2-4ac$ 必须小于零，才能无实根。

当$D<0$ 时，方程无实根，此时我们无法在实数范围内找到满足方程的解。

对于这种情况，二次函数的图像也不会与 $x$ 轴相交，即没有零点。

通过以上讨论，我们可以得出以下结论：对于二次函数 $ax^2+bx+c$，它的零点分布情况依赖于方程的判别式 $D=b^2-4ac$ 的值。

如果 $D>0$，则函数有两个实根，若 $D=0$，则函数有一个实根，若 $D<0$，则函数无实根。

需要注意的是，判别式的正负性实际上也与二次函数的开口方向有关。

当 $a>0$ 时，二次函数开口向上，有两个零点的情况会出现在开口向上的抛物线中；当 $a<0$ 时，二次函数开口向下，有两个零点的情况会出现在开口向下的抛物线中。

二次函数两个零点

二次函数两个零点二次函数是数学中的一种函数类型，其数学表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

二次函数的图像呈现出一条平滑的曲线，其形状和位置与函数的三个参数有关。

标题中提到的两个零点，指的是二次函数的解，即使得f(x)等于0的x值。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以使用求根公式来求解其零点。

求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

根据这个公式，可以求得二次函数的两个零点。

假设二次函数的两个零点分别为x1和x2，且x1小于x2。

根据解的性质，可以得出以下结论：1. 零点的存在性：对于二次函数而言，存在两个零点的条件是b^2 - 4ac大于等于0。

当b^2 - 4ac等于0时，二次函数有两个相等的零点；当b^2 - 4ac大于0时，二次函数有两个不相等的零点；当b^2 - 4ac小于0时，二次函数没有实数解。

2. 零点的关系：根据二次函数的对称性，可以得出零点的平均值等于二次函数的顶点横坐标的负值，即(x1 + x2) / 2 = -b / (2a)。

这个结论可以用来判断零点的位置关系，以及求解二次函数的顶点坐标。

3. 零点的符号：由于二次函数是一个连续函数，所以在两个零点之间的区间内，函数的值符号是相同的。

例如，如果x1小于x小于x2，则f(x1)和f(x2)的符号相同。

这个性质可以用来分析二次函数的增减性，以及确定函数的正负区间。

除了上述性质外，二次函数还有其他一些重要的特点和应用。

下面将介绍二次函数的顶点、轴对称性、图像及其应用。

1. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最低点或最高点，其横坐标为-x / (2a)，纵坐标为f(-b / (2a))。

顶点的横坐标可以通过零点的关系式求得。

顶点的纵坐标可以通过代入顶点横坐标到函数表达式中求得。

2. 轴对称性：二次函数关于顶点的横坐标轴对称。

高中数学课件-二次函数零点分布

已知f (x)是R上的偶，且当x 0时，f (x) x2 6x 4, 则y [ f (x)]2 f (x) 30的零点个数为_________.
2、f
(x)
log 5 (1 x) ,
(x
2) 2
x 2, x
1
, 1
则f
(
f
(x))
1的实根个数为_______.
f
(
x)
e
x1
x2
,
2x
1,
x 0，方程f 2 (x) bf (x) 2 0有8个相异的实根， x0
Hale Waihona Puke 则b的取值范围_________.
解得-
19 13
m
0
跟踪训练：1已知二次函数f x＝x2 2ax 4，一个零点在 0,1内，另一个零点在 6, 8 内，
求实数a的取值范围．
2若函数f x＝－x＋b的零点在区间1, 2内，
求b的取值范围。
• 分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0， • (1)有两个负根； • (2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小； • (3)有两个实根，且都比1大．
二次函数零点分布与二次方程根的分布
例4.关于x的方程mx2 +2(m 3)x 2m 14=0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
解：令f x mx2 2m 3 x 2m 14
依题意有mf 40
或 0
m 0
f
4
0
即2m6m0
38
或 0
m 0 26m
38
0
解：(1)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为 x1，x2，则有两个负根的

二次函数的零点与值域分析

二次函数的零点与值域分析二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

在本文中，我们将重点讨论二次函数的零点和值域分析。

一、二次函数的零点1. 零点定义：二次函数的零点即函数的解，它表示使得函数取值为零的x坐标点。

在解二次函数的零点时，我们需要使用求根公式： x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个不同的解，分别对应函数与x轴的交点。

若b^2 - 4ac > 0，则有两个不同实数解；若b^2 - 4ac = 0，则有一个实数解；若b^2 - 4ac < 0，则无实数解。

2. 求解例子：假设有一个二次函数f(x) = 2x^2 + 5x - 3，我们来求解它的零点。

首先，根据公式我们得到：x = (-5 ±√(5^2 - 4 * 2 * -3)) / (2 * 2)简化后可得：x = (-5 ±√(25 + 24)) / 4x = (-5 ±√49) / 4因此，可以得到两个解：x1 = (-5 + 7) / 4 = 1/2x2 = (-5 - 7) / 4 = -3所以，该二次函数的零点为x = 1/2 和 x = -3。

二、二次函数的值域分析1. 值域定义：值域是函数所有可能结果的集合，对于二次函数而言，其值域的范围需要结合二次函数的开口方向来进行分析。

2. 开口向上：若a > 0，即二次函数开口向上，则值域为[ f(x') , +∞ )，其中f(x')为函数的最小值。

其中，最小值的求解方法为使用完全平方式将二次函数转化为顶点形式，其中顶点的坐标为 ( -b / (2a) , f(-b /(2a)) )。

例如，对于二次函数f(x) = x^2 + 2x - 3，我们可以将其转化为顶点形式来进行分析。

二次函数的零点问题

二次函数的零点问题二次函数是高中数学中重要的内容之一，通过研究二次函数的零点问题，我们可以深入理解二次函数的性质以及在实际问题中的应用。

本文将对二次函数的零点问题进行详细讨论。

一、二次函数的定义和性质二次函数的定义为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a\neq 0$，$a, b, c$为常数，$x$为自变量，$y$为因变量。

二次函数的图像通常是抛物线的形状，开口方向取决于系数$a$的正负。

1. 零点的定义对于二次函数而言，零点即为函数图像与$x$轴相交的点。

也就是说，当函数的$y$值为0时，对应的$x$值即为零点。

2. 零点的判定为了求解二次函数的零点，我们需要先判定零点的存在性。

二次函数的零点存在与否与其判别式相关。

判别式$\Delta=b^2-4ac$表示二次函数的图像与$x$轴的交点个数。

- 当$\Delta>0$时，二次函数有两个不同的实数根，图像与$x$轴相交于两个点；- 当$\Delta=0$时，二次函数有一个实数根，图像与$x$轴相切于一个点；- 当$\Delta<0$时，二次函数没有实数根，图像与$x$轴没有交点。

二、求解二次函数的零点在判定二次函数零点的存在性后，接下来我们将介绍求解二次函数零点的方法。

1. 因式分解法当二次函数的判别式$\Delta>0$时，我们可以利用因式分解法求解零点。

以二次函数$y=ax^2+bx+c$为例，假设其两个零点分别为$x_1$和$x_2$，则可以将其表示为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。

通过对二次函数进行因式分解，我们可以将其转化为一元一次方程，并求得零点的值。

2. 公式法当二次函数的判别式$\Delta>0$时，我们可以使用求根公式来求解零点。

根据一元二次方程的求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，我们可以直接计算出二次函数的零点。

需要注意的是，当二次函数的判别式为0或小于0时，求根公式将无效，此时我们需要采用其他方法求解零点。

二次函数零点的分布

f ( k1 ) 0 f ( k2 ) 0
(6) x1，x2有且只有一个根在（k1 , k2）内
k1
k2
f (k1 ) f (k2 ) 0
k1
k2
0 或 b k1 k2 2a
k1
k2
f ( k1 ) 0 或 b k1 k2 k1 2a 2
2，
1 即－ <m≤ 1－ 2. 2
解决二次方程范围根的问题，关键是依据零点存在性定
理用二次函数的性质对方程的根进行限制，布列不等式
组求解．
B 练习．若 f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1， 0) 和区间 (1 ， 2) 内，则实数 m 的取 1 1 值范围是 4，2 ．
2 2
得： m 6或m 2.
m 6或m 2 0 (2) x1 x2 0 得 m 0 得：m 6 x x 0 m 3 0 1 2
m 6或m 2 0 (3) 得得：m 3. x1 x2 0 m 3 0
k1
f ( k2 ) 0 或 k1 k2 b 2 2a k2 k2
(7)m x1 n p x2 q ( m , n, p, q为常数）
f (m ) 0 f ( n) 0 f ( p ) 0 f (q ) 0
• 判断二次函数的零点分布的关键:
在于作出二次函数的图象的草图，根据草图通常从判别式、对称轴的位置、特殊点的函数值这三个角度列于 x 的二次方程 x2＋2mx＋2m＋ 1＝ 0. (1)若方程有两根，其中一根在区间 (－1,0)内，另一根在区间 (1,2)内，求 m 的范围； (2)若方程两根均在区间 (0,1)内，求 m 的范围．

二次函数零点坐标公式

二次函数零点坐标公式
答：二次函数零点坐标公式是y=a(x-x1)(x-x2)，二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。

二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。

“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。

在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别。

函数的原点坐标都是(0,0)，因此，二次函数的原点坐标也是(0，0)，本题应该是二次函数的顶点坐标(一b/2a，4ac-b^2/4a)。

二次函数零点分布

一元二次函数零点分布教学过程一、探究二次函数零点分布的要素 1、回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。

2、思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。

若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。

3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。

这类问题要考虑哪些因素。

【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。

【变式2】a x a x x f +-+=)3()(2两个零点有()()4,0,0,121∈-∈x x ，求a 范围。

例 4 方程0122=--ax x 在()1,0恰有一解，求a 范围。

【总结】一元二次函数有且仅有一个零点在在区间()n m ,内，这一类问题要考虑哪些因素。

二次函数零点分布情况

二次函数零点分布情况二次函数是代数学中重要的一种函数类型。

它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数常数，且a不为零。

二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线，而与二次函数相关联的一个重要概念就是零点。

零点，也称为根或解，指的是使得函数取值为零的x值。

对于二次函数来说，求解零点的方法比较简单，有一条通用的公式可以使用。

给定一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过解以下的二次方程得到：ax^2 + bx + c = 0二次方程的解可以通过求解下面的一元二次方程公式得到：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，我们可以得到一些关于二次函数零点分布情况的结论。

1.零点的数量：根据一元二次方程的解的公式，零点的数量取决于判别式的值，即(b^2-4ac)的正负性。

如果判别式大于零，方程有两个不同的实数根；如果判别式等于零，方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，方程没有实数根，但可能有两个复数根。

2.对称性：二次函数的零点也与其图像的对称性有关。

由于二次函数是关于抛物线的对称轴对称的，所以如果一个根为x，则对称轴上的距离为2x的点也是零点。

换句话说，如果(x1,0)是函数图像上的一个零点，那么对称轴上的点(-x1,0)也是零点。

3.零点位置与抛物线开口方向的关系：二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。

如果a大于零，抛物线开口向上，此时函数图像的最低点就是零点的位置；如果a小于零，抛物线开口向下，此时函数图像的最高点就是零点的位置。

4.零点的分布情况：二次函数的零点的分布情况也与判别式的值有关。

如果判别式大于零，说明方程有两个不同的实数根，这意味着抛物线与x轴相交于两个不同的点；如果判别式等于零，说明方程有两个相等的实数根，这意味着抛物线与x轴相切于一个点；如果判别式小于零，说明方程没有实数根，这意味着抛物线与x轴没有交点。

在解析几何中，二次函数的零点也被称为方程与坐标轴的交点。

二次函数的零点问题

二次函数在给定区间上的零点分布一学习目标：学会如何通过研究函数的图象确定二次函数在给定区间上的零点分布.二知识点精讲一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

1．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤．1方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个正根：01>x ，02>x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩推论：01>x ，02>x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到．2方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个负根：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b 推论：01<x ，02<x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性．3方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个异号根：210x x <<⇔0<ac ．4 ○1方程02=++c bx ax （0≠a ）有一个零根，一个正根：01=x ，02>x ⇔0=c 且0<ab ；（2）方程02=++c bx ax （0≠a ）有一个零根，一个负根：01<x ，02=x ⇔0=c 且0>a b ．2．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

二次函数零点分布

二次函数零点分布 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-一元二次函数零点分布（二次方程根的分布）教学目标学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。

教学重点根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。

教学难点体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。

教学过程一、探究二次函数零点分布的要素1、回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。

2、思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。

若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。

3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a范围【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。

这类问题要考虑哪些因素。

【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a范围【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。

二次函数的零点分布

二次函数的零点分布一、基础知识1．零点存在性定理：函数()y f x =的图像连续不断，且满足f(a)f(b）＜0；则函数()y f x =在区间（a,b ）存在零点；当c 在（a,b ）内且f(c)=0存在唯一零点。

2．函数265y x x =-+的零点为1,53．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的零点个数与方程20ax bx c ++=根的关系：若0∆>，则方程20ax bx c ++=有2根，函数2y ax bx c =++有2个零点若0∆=，则方程20ax bx c ++=有2根，函数2y ax bx c =++有1个零点若0∆<，则方程20ax bx c ++=有0根，函数2y ax bx c =++有0个零点二、例题讲解例1：函数29y x mx =++有两个零点均大于2，求实数m 的范围变式1：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围变式2：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）两侧，求实数m 的范围变式3：函数29y x mx =++有一个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围变式4：函数29y x mx =++的两个零点，一个在（2，3）内，一个在（4，5）内，求实数m 的范围变式5：函数29y x mx =++有两个零点一个比2大，一个比2小，求实数m 的范围变式6：函数29y x mx =++的零点都比2大，求实数m 的范围例2：若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是()A (－∞,2]B [－2,2]C (－2,2]D (－∞,－2)例3：已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，则a 的取值范围为解：设()f x 的最小值为()g a （1）当22a -<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2)当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a ->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4故－7≤a ＜－4综上，得－7≤a ≤2例4：是否存在这样的实数k，使得关于x 的方程x 2+（2k－3）x －（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由.解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即24501313722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解即不存在满足条件的k 值.例5：已知函数()213f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围．解：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．当0a ≠时，函数()f x 在区间[]1,1-上有零点分为三种情况：①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根，令()14130a a ∆=--+=，解得16a =-或12a =．当16a =-时，令()0f x =，得3x =，不是区间[]1,1-上的零点．当12a =时，令()0f x =，得1x =-，是区间[]1,1-上的零点．②若函数()y f x =在区间[]1,1-上只有一个零点，但不是()0f x =的重根，令()()()114420f f a a -=-≤，解得102a <≤．③若函数()y f x =在区间[]1,1-上有两个零点，则()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<-<->++-=∆>.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 或()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<-<->++-=∆<.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 解得a ∈∅．综上可知，实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例6：已知二次函数2()163f x x x q =-++：⑴若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围；⑵问：是否存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -。

二次函数零点分布问题.docx

二次函数零点分布问题二次函数零点分布问题二次函数作为数学中重要的函数之一，其零点分布问题一直是数学研究的热点之一。

通过探究二次函数的零点分布情况，我们可以进一步了解函数图像特征和函数解析式的关系，为解决实际问题提供了有力的数学工具。

本文将从二次函数零点分布的定义、特性及应用等方面进行探讨。

一、二次函数零点分布的定义二次函数可用一般式表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表常数，且a≠0。

二次函数的零点，即函数f(x)在x 轴上的交点，是指使得f(x) = 0的x值。

零点分布问题旨在研究二次函数的零点在数轴上的位置及个数。

二、二次函数零点分布的特性1. 零点个数：根据二次函数的解析式，在a≠0的前提下，二次函数的零点个数最多为2个。

当函数的判别式Δ=b^2-4ac＞0时，二次函数有两个不相等实数根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实数根；当Δ＜0时，二次函数没有实数根。

2. 零点位置：根据二次函数的对称性可知，二次函数的零点位于其对称轴上，即x = -b/2a。

3. 零点分布规律：当a＞0时，即二次函数开口向上时，如果函数有两个零点，那么这两个零点将分别位于对称轴的两侧；当a＜0时，即二次函数开口向下时，如果函数有两个零点，那么这两个零点将分别位于对称轴的同一侧。

三、二次函数零点分布的应用1. 几何应用：通过对二次函数零点分布规律的研究，我们能够更好地理解抛物线的特性。

在绘制抛物线图形时，我们可以准确地确定抛物线在坐标系中的位置，从而更好地进行几何推导和计算。

2. 物理应用：二次函数的零点分布问题在物理学中也有广泛的应用。

例如，对于运动学中的抛体运动问题，通过研究抛体的轨迹方程，我们可以通过零点分布来确定抛体的高度、时间、速度等物理量。

3. 经济应用：二次函数零点分布问题在经济学领域中也有一定的应用。

例如，通过对二次函数零点的研究，可以确定成本、收益、利润等经济指标在不同条件下的变化趋势，为经济决策提供数学支持。

二次函数的零点的分布

【解析】注意到 x＝0 时，f(x)＝1， ∴f(x)的图象恒过定点(0,1). 当 m＝0 时，f(x)＝－3x＋1 在原点右侧有一零点，当 m<0 时，f(x)的图象开口向下，在原点右侧有一个零点，当 m>0 时，f(x)的图象开口向上，如图所示.
Δ＝(m－3)2－4m≥0， ∴3－m 2m >0. 解得 0<m≤1. 综上所述，知所求 m 的取值范围
O
O
O x O
x2
k1x1 O
x2 k2 x
OO O
O OO
充要条件
f (k ) 0
0 b k1 k2 2a f (k1 ) 0 f (k2 ) 0
根的分布
k1 x1 k2 x2 k3
y
在 (k1 , k2 ) 有且只有一个根
(2)若函数的两个不同零点都大于0，求m的取值范围 (3)若函数有两个零点，其中一零点在区间 (1,0)
内, 另一零点在区间 (1,2)内，求 m的取值范围
(4)若函数的两个零点中一个比1大，一个比1 小，求m的取值范围
例2.已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1在原点右侧至
少有一个零点，求实数m的取值范围.
这种考风将使学校的学风每况愈下手机作弊是愈演愈烈我们平时的月考期中期末考试初中高中毕业考试等等axbx的两根两正根axbx的两个实根则根的分布有且只有一个根充要条件2若方程的两个不同根都大于若方程的两个不同根都大于00求求mm的取值范围的取值范围4若方程有两根其中一个比若方程有两根其中一个比11大一个比大一个比11小求mm的取值范围的取值范围这种考风将使学校的学风每况愈下手机作弊是愈演愈烈我们平时的月考期中期末考试初中高中毕业考试等等2若函数的两个不同零点都大于若函数的两个不同零点都大于00求求mm的的取值范围取值范围4若函数的两个零点中一个比若函数的两个零点中一个比11大一个比大一个比11小求mm的取值范围的取值范围这种考风将使学校的学风每况愈下手机作弊是愈演愈烈我们平时的月考期中期末考试初中高中毕业考试等等例2