二次函数零点问题

二次函数零点问题【探究拓展】探究1：设21,x x 分别是实系数一元二次方程02=++c bx ax 和02=++-c bx ax 的一个根，且,0,2121≠≠x x x x 求证：方程022=++c bx x a 有且仅有一根介于21,x x 之间.变式1：已知函数f (x )＝ax 2＋4x ＋b (a <0，a 、b ∈R)，设关于x 的方程f (x )＝0的两实根为x 1、x 2，方程f (x )＝x 的两实根为α、β. （1）若|α－β|＝1，求a 、b 的关系式；（2）若a 、b 均为负整数，且|α－β|＝1，求f (x )的解析式； （3）若α<1<β<2，求证：(x 1＋1)(x 2＋1)<7.变式2：二次函数2()f x ax bx c =++满足0,0,0,a c a b c ><++=且方程()f x a =-有实根. （1）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.（2）设函数()()g x f x bx =+的零点为1x 和2x ，求证：12||2x x -≥.变式3：设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b ，求证：（1）a >0且－3<b a <－34；（2）函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点；变式4：设函数2()(0)f x ax bx c a =++>且(1)2a f =-.（1）求证：函数()f x 有两个零点；（2）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求12x x -的取值范围； （3）求证：函数()f x 的零点12,x x 至少有一个在区间()0,2内.探究2：已知方程x bx a bx =+-212有两个不相等的实数根. （1）求ab 的取值范围；（2）求证：函数1)(2++=bx ax x f 在区间()1,1-上是单调函数. 变式：已知二次函数1)(2++=bx ax x f 和bx a bx x g 21)(2+-=（1）若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性；（2）若方程x x g =)(有两个不相等的实根，当0>a 时判断)(x f 在()1,1-上的单调性；（3）若方程x x g =)(的两个不相等的实根为21,x x ，0)(=x f 的两实根为43,x x ，求使 得4213x x x x <<<成立的a 的取值范围.探究3：二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<（1）求实数a 的取值范围；（2）试比较(0)(1)(0)f f f -与116的大小．并说明理由变式：已知))()((1)(b a b x a x x f <---=，n m ,是)(x f 的零点，且n m <，则n m b a ,,,从小到大的顺序为_________________探究4：已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[11]-，上有零点，求a 的取值范围解析1：函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解.a =0时，不符合题意，所以a ≠0,方程f (x )=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -⋅≤或(1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a-≥⎧⎪≥⎪⎪∆=++≥⎨⎪⎪-∈-⎪⎩15a ⇔≤≤或a ≤或5a ≥⇔a ≤或a≥1.所以实数a的取值范围是a 或a ≥1.点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题. 解析2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0,又 ∴2()223f x ax x a=+--=0在[-1，1]上有解，2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解212132x a x -⇔=-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132x y x-=-[-1，1]上的值域；设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则23x t =-，t ∈[1,5],21(3)217(6)22t y t t t--=⋅=+-，设2277().'()t g t t g t t t-=+=，t ∈时，'()0g t <，此函数g(t)单调递减，t ∈时，'()g t >0,此函数g (t)单调递增，∴y 的取值范围是3,1]，∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解 1a∈3,1]1a ⇔≥或a ≤.点评:将原题中的方程化成212132x a x-=-的形式,问题转化为求函数22132x y x-=-[-1，1]上的值域的问题,是解析2的思路走向. 变式1：已知函数2()243f x ax x a =--+．（1）求证：函数y = f (x ) 的图象恒过两个定点． （2）若y = f (x )在（1，3）内有零点，求a 的取值范围． （1）设2243y ax x a =--+，即2(4)23y a x x =--+． 令x 2 = 4，得x = -2或2．则函数y = f (x ) 的图象恒过定点（-2，7），（2，-1）．（2）∵f (-2) = 7 > 0，f (2) = -1 < 0， ∴y = f (x )在（-2，2）内有零点．1）若a > 0，抛物线开口向上，y = f (x )在（1，3）内有零点， 当且仅当f (1) > 0，或f (3) > 0．则(1)243310f a a a =--+=-+>， 或(3)9643530f a a a =--+=->． ∴0 <13a <，或35a >．2）若a < 0，抛物线开口向下，y = f (x )在（1，3）内有零点，当且仅当f (1) > 0．即(1)243310f a a a =--+=-+>．∴13a <，结合a < 0，得a < 0．3）若a = 0，y = f (x )的零点为32，在（1，3）内．综合1），2），3），得a 的取值范围为（-∞，13）∪（35，+∞）． 变式2：已知函数2()1f x ax bx =-+．（1）若()0f x >的解集是)3,1(-，求实数b a ,的值；（2）若a 为整数，2b a =+，且函数()f x 在(2,1)--上恰有一个零点，求a 的值．探究5：已知函数m x m x x f -+-+=4)4(2)(2，mx x g =)(，若对于任意的 实数x ，)(x f 与)(x g 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是________.变式1：已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋l ，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 .()8,0分析：问题可转化为数学符号语言：“已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋l ，g (x )＝mx ，x ∀∈R ，()0f x >或()0g x >”，求实数m 的取值范围. 不难发现，若利用上述解法3，采用对立转化法，即可设命题:q x R ∀∈，()0f x >或()0g x >；则命题:q x R ⌝∃∈，()()00f xg x ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩. 若命题q ⌝成立时：首先，当0m =时，()()810f x xg x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，存在实数x ，使得不等式组成立.其次，当0m <时，函数f (x )为开口向下的二次函数，g (x )为R 上的减函数且值域为R ，必存在0xR ∈，使得函数()00f x ≤且()00g x ≤.再者，当0m >时，g (x )为R 上的增函数且值域为R ；若存在实数x 使()0f x ≤成立，即要有()min0f x ≤. 又()()2min2402m m f x m--=≤，解得8m ≥或02m <≤；综上，若命题q ⌝成立时：有2m ≤或8m ≥；即可知当命题q 成立时：()2,8m ∈.答案错了变式2：设函数3)(2++-=a ax x x f ，函数a ax x g 2)(-=，若存在R x ∈0，使得0)(0<x f 与0)(0<x g 同时成立，则实数a 的取值范围是____________挖掘题中隐含条件：存在R x ∈0，使得0)(0<x f ，从而对参数的范围进行局部缩小；解析：由2()3f x x ax a =-++知()()03,14f a f =+=，又存在0R x ∈，使得0()0f x < 知()2430a a ∆=-+>即2a <-或6a >，另()2g x ax a =-中恒过()2,0，故由函数 的图象知：①若0a =时, 2()3f x x ax a =-++23x =+恒大于0，显然不成立。

②若0a >时，()720a a f >⎧⎪⇒>⎨<⎪⎩ ()14f >，显③若0a <时，x 对12a=<-，另然不成立。

解法1（分离参数法）20x a <>当，时，或者当20x a ><，时，都有()0g x <. 当()0f x <时()231x a x ⇔+<-，则有：当1x >时，231x a x +>-0>；当1x <时，231x a x +<-0<；因此，若0x ∃∈R ，使得()00f x <与()00g x <同时成立，则由上分析可知：只有当012x <<时，不等式20031x a x +>-成立.设函数()231x h x x +=-，()1,2x ∈. 令()101t x t =-<<，()24h t t t=++，易求()7h t >. 则7.a > 解法2（数形结合法）由于()0g x <02a x ⇔><当时，；02a x <>当时，. 若存在0x ∈R ，使得()00f x <，则2=4120aa ∆-->，即62a a ><-或；则：1°当6a >时，由题意可知，02x∃<，()00f x <.二次函数对称轴32ax =>，()y f x = 在(),2-∞上为减函数，则()20f <，即7a >. 2°当2a <-时，02x∃>，()00f x <.而二次函数对称轴02a x =<，()y f x =在()0,+∞ 上为增函数，又()14f =，因此2x ∀>，()0f x >，此情形下a φ∈. 综上，7a >.解法3（对立转化法）命题p ：若0x ∃∈R ，使得()00f x <与()00g x <同时成立.则⌝p ：对x ∀∈R ，()0f x ≥或()0g x ≥成立.下研究若命题⌝p 成立时，参数a 的取值范围： 1°当0a =时，x ∀∈R ，()0g x ≥恒成立，因此，0a =适合题意. 2°当0a >时，()0g x ≥2x ⇔≥；则(){}(,2]|0x f x -∞⊆≥，2.1°()2220a f ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，即47a ≤≤； 2.2°0220a ⎧<≤⎪⎨⎪∆≤⎩，即04a <≤；因此有07a <≤.3°当0a <时，()0g x ≥2x ⇔≤；则(){}[2,)|0x f x +∞⊆≥，有()2220af ⎧≤⎪⎨⎪≤⎩，即0a <；因此，0a <.综上，当7a ≤时，⌝p 成立；那么，命题p 成立时，7a >.变式3：（2020年）设函数3)(2++-=a ax x x f ，函数a x x g -=)(，若不存在R x ∈0，使得0)(0<x f 与0)(0<x g 同时成立，则实数a 的取值范围是_______评注：（1）含参曲线的特征观察（定点？平行直线系？切线构成的包络线？） （2）充分挖掘题中的隐含条件，从而对参数的范围进行局部缩小；变式4：函数)2)(2()(m n x m n x n x f --+-=，4121)(-⎪⎭⎫⎝⎛=xx g ，对,R x ∈∀有0)(>x f 或0)(>x g 成立.若a n n m +-=32，则实数a 的取值范围是________.变式5：已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x x g ，若同时满足条件：① R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ；②∃x ∈( -∞,-4), )(x f 0)(<x g ，则m 的取值范围是_______()2-4-，分析：对于条件①，仍然采用对立转化法，分析命题:p “x R ∃∈，()0f x ≥且()0g x ≥”.又当1x ≥时，函数()0g x ≥，则只要存在实数[1,)x ∈+∞使()0f x ≥成立即可.首先，当0m =时，()0f x =，则0m =适合；其次，当0m >时，二次函数()f x 开口向上，则总存在实数x 使()0f x ≥成立.再者，当0m <时，二次函数()f x 开口向下，即要有()max0f x ≥；又此时二次函数对称轴方程为3302m x -=<，则()()()()max11240f x f m m m ==-+≥，解得4m ≤-；因此，命题p 成立时，0m ≥或4m ≤-；那么条件①成立时，()4,0m ∈-；对于条件②，当4x <-时，()0g x <，则可知存在4x <-，()0f x >；并且()4,0m ∈-.。