导数的应用练习题及详解

一、导数应用

1． 单调区间：一般地，设函数

)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 二、导数应用的细节

1、导数与函数的单调性的关系

㈠

0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

㈡

0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

若将

0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当

0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。

㈢

0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。

)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间

内恒有

0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。

㈣单调区间的求解过程，已知)(x f y =

（1）分析

)(x f y =的定义域; （2）求导数 )(x f y '='

（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式

0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间。

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数

)(x f y =在某个区间内可导。

2、求极值、求最值。

用导数判别f (x 0)是极大、极小值的思路: 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)

(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左

负右正”，则0x 是

)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值

1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c >0 C ．b ＝0，c >0

D ．b 2－3ac <0

[答案] D

[解析] ∵a >0，f (x )为增函数， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c >0恒成立，

∴Δ＝(2b )2－4×3a ×c ＝4b 2－12ac <0，∴b 2－3ac <0.

2．(2014·广东，8)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)

D ．(2，＋∞)

[答案] D

[解析] 考查导数的简单应用．

f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.

3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( ) A ．[－1，＋∞)

B ．(－∞，2]

C ．(－∞，－1)和(1,2)

D ．[2，＋∞)

[答案] B

[解析] 令k ≤0得x 0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．

4．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图(1)所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )

[答案] C

[解析] 当0

∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数

当x >1时xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选C. 5．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )

A.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2

B.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫0，π2

C.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫π2，π

D.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫π

2，π [答案] A

[解析] y ′＝x cos x ，当－π

2

时，

cos x <0，∴y ′＝x cos x >0， 当0

2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0.

6．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)

D ．f (0)＋f (2)>2f (1)

[答案] C

[解析] 由(x －1)f ′(x )≥0得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f (x )恒为常数， 故f (0)＋f (2)≥2f (1)．故应选C.

7．已知y ＝1

3x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．

[答案] b <－1或b >2

[解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2， 由题意b ＜－1或b ＞2.

8．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________． [答案] a ≥1

[解析] 由已知a ＞1＋ln x

x 在区间(1，＋∞)内恒成立．

设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x

x 2＜0 (x ＞1)，

∴g (x )＝1＋ln x

x 在区间(1，＋∞)内单调递减，

∴g (x )＜g (1)， ∵g (1)＝1，

∴1＋ln x x ＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，

∴a ≥1.

9．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；

(2)讨论函数f (x )的单调性．

[解析] (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .

由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得