分形实验
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是处处可微的，但 E1 却有三点不可微 . 第二步，即 n=2，对 E1 的四条折线段重复上述过程，得一条十六 折线段多边形 E2 ， 它有 15 个不可微点. 再重复上述过 程，由En 到E n1 ，当 n 趋于无穷时，便得 Koch 曲线， 显然它是一条处处连续但是处处不可微的曲线.
以下是koch曲线的从Ｅ0到Ｅ4的五个图形：
课后作业:参照教材第122页的练习4, 选择合适的a,b,请用mathematica画 出此曲线?
(2) Koch曲线 在没有计算机的时代，W(x)的缺点是极难绘画， 故不够直观.到1904年，瑞典数学家von Koch设计了 一条被称之为Koch曲线的图形，其设计步骤如下： 设 E 0 为单位区间[0， 1]， 第一步，即 n=1， 以E 0 的 中间三分之一线段为底，向上作一个等边三角形，然 E0 后去掉区间(1 / 3, 2 / 3) ， 得一条四折线段多边形E1 ，
（４）F在某种意义下的分形维数通常都大与它的拓扑维数；
（５）在大多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方法 定义，或许以递归过程产生.
分形几何与Euclid几何作一简单比较：
Euclid 几何 经典的(2000多年历史) 基于特征长度与比例 适合于人工制品 用公式描述 分形几何 现代怪物(20多年历史) 无特征长度与比例 适用于大自然现象 用(递归或迭代)算法描述
那么究竟什么是分形呢？应该说，到目前还 未有严格的意义的定义. 我们不妨引用 K.Falconner对分形F的描述：
（１）F具有精细的结构，即是说在任意小的尺度之下，它 总有复杂的细节；
（２）F是如此地不规则，以至它的整体和局部都不能用传 统的几何语言来描述； （３）F通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似 的，也可能是统计意义上的；
代序列 zk k 0 有界的所有初值z0 所构成的集合，即
J ={ z0 | J 迭代序列z0 有界 }
0 则称 在复平面上所构成的集合为 Julia 集。 当 时，Julia 集是一个圆盘，对其它的 值，Julia 集的
J
形态各不相同。
zk z M 令 z 是使迭代序列 k k 0 k 0 的有界性也不相同，
2 2 n
1
下面是实现第121页练习1的mathematica程序：
参见程序 EX12-1.NB
右图是在正三角形的每条边上同时向内作 koch曲线的结果，若在正方形各条边上同 时向内作koch曲线，结果如何？
(3) Sierpinski三角形 对一个边长是１的三角形Ｅ0,以各边的中点为 顶点，挖去一个正三角形，余下的部分设为Ｅ1， 对Ｅ1中的３个三角形同样进行如上过程直到无穷 大，如图所示。
E０
For[i = 1, i < pnum, i = i + 1,
tmp1 = {ptlist[[i + 1]][[2]] - ptlist[[i]][[2]], ptlist[[i + 1]][[1]] - ptlist[[i]][[1]]}/4; tmp = Join[tmp, {ptlist[[i]], ptlist[[i]]*3/4 + ptlist[[i + 1]]/4, ptlist[[i]]*3/4 + ptlist[[i + 1]]/4 + tmp1, ptlist[[i]]/2 + ptlist[[i + 1]]/2 + tmp1, ptlist[[i]]/2 + ptlist[[i + 1]]/2, ptlist[[i]]/2 + ptlist[[i + 1]]/2 - tmp1, ptlist[[i]]/4 + ptlist[[i + 1]]*3/4 - tmp1, ptlist[[i]]/4 + ptlist[[i + 1]]*3/4, ptlist[[i + 1]]}]]; tmp]; In01 = {{0, 0}, {1, 0}}; Show[Graphics[Line[Nest[redominkowski, In01, 0]], AspectRatio -> 1/GoldenRatio]]; Minkowski.NB
分形几何实验
长期以来，对某一个数学集合，人们总是习 惯于在Euclid空间(Ｒn ,Euclidean)对其研究和对 其度量，其中字母n表示该空间的维数，通常它是 一个整数. 对有限个点，取n=0，对一条线段或一 块有限平面图形或一块有限的空间几何体，则分 别取n为1,2和3，同时也可分别得到它们的定常度 量. 习惯上我们分别称它们为点的个数、线段的长 度、平面图形的面积和立体的体积. 但在一个世纪 以前，相继出现了一些被称之为“数学怪物” (Mathematical monsters)的东西，人们无法用传统 的Euclid几何语言去描述它们的局部和整体性质.
分形几何的诞生才不过20多年，但它对多种学科的影响是极其巨大的.卷入分形 狂潮的除数学家和物理学家外，还有化学家、生物学家、地貌学与地震学家、 材料科学家等由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科学家对其情有独 钟，分形图像压缩被认为是最具前景的图像压缩技术之一，分形图形被认为是 描述大自然景色最诱人的方法.美国物理学家Wheeler说：“可以相信，明天谁 不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人”.在某些分形网站，赫然写着： “分形学，21世纪的数学”，这并不是什么无稽之谈.
本分形实验的目地，就是通过mathematica研究分形图像的绘制方 法，画出各种各样的分形图形，特别是Mandelbrot集的图形。
函数的复迭代
给定复数 z0 ，考虑如下迭代
zk 1 zk , k 0,1,2,
2
其中zk 为复数， 为复常数。对于给定的z0 ，此迭代 序列可能有界，也可能发散到无穷，令J 是使得迭
E1
E2
E3
(5) 花草和树木的生成,参见教材第120页 一 棵 树 木
你能根据磁盘上的mathematica程序EX12-2.NB,生成 一个更为复杂的花草或者树木吗？
一 棵 小 草
(6) 龙曲线(见教材第119页）
(7) Hilbert曲线(见教材第120页）
Mandelbrot在对这些数学怪物及许多物理现象进 行研究后，终于创立了影响２０世纪数学的一个重 要学科—分形几何(fractal geometry). Fractal 这个词是Mandelbrot创造的，来源于拉丁文Fractus， 其英文意思是broken.1975年，Mandelbrot在巴黎出 版了法文著作《Les obiects fractals: forme, basard et dimension》，1977年在美国出版了其英 文版《Fractals:Form，Chance，and Dimension》， 他们都可译为《分形，机遇和维数》.同年，它又出 版了《The Fractal Geometry of Nature 》第二版 的问世，在美国乃至欧洲，迅速形成了“分形热”.
下面我们看看 Koch 曲线在 Euclidean 空间 R 中的长 度是多少 ? 显然， length(E0)=1, length(E1)=4/3 , length(E2)=(4/3) , length(En)= (4/3) , 所以,当 n 趋向于无穷大时, Koch 曲线的长度也趋向于无穷大。 由于它是一条闭区间的曲线，在(R ,Euclidean)中， 其面积为零。换言之，Koch 曲线在传统的 Euckid 几 何领域不可度量.
0
如果固定初值 z0 ，而让参数 变化，则迭代序列
有界的所有参数 所构成的集合，即 M z ={ | 使迭代序列zk k 0 有界 } 则称 M z 在复平面上所构成的集合为 Mandelbrot 集。
0 0
在数学上已经证明，M集（Mandelbrot集）的 边界正好就是J集（Julia集）。 对于迭代 z k 1 f ( z k ) ( k 1,2,) ， 在计算机
参见程序 Ex12-3.NB
在mathematica 下，只要输入 f(n)(n=1,2,…,6) 即可等到右边的 图形。
(4) Minkowski香肠,参见教材第119页
redominkowski[ptlist_List] := Block[{tmp = {}, tmp1, i, pnum = Length[ptlist]},
3 3 3 E0 的 面 积 是 En 的 面 积 是 ， E1 的 面 积 是 ， 4 4 4 n 3 3 ，因此， lim E n 0 ，在传统的 Euclid 几何里， n 4 4 Sierpinski 三角形不可度量。
下面是实现第121页练习2的mathematica程序：
典型的数学怪物有如下几种: （１）处处连续而处处不可微的函数曲线 自从有了函数曲线的连续与可微性质及其关系以 后，是否存在一个处处连续而点点不可微的函数曲线 成了研究的热门. 首先解决这个问题的是大数学家 Weierstrass，他于1872年设计了如下一个函数
其中0<a<1<b，且ab≧1。 Weierstrass证明了对 某些a和b的值，该函数无 处可微.1916年，Hardy证 明了对满足上列条件的所 有a和b的值，W(x)都是无 处可微的.
1 0.25 i
1
0.31 0.04i 0.273 0.007 i
M 集（Mandelbrot 集）的一般绘制方法： （1）初始化。假定屏幕或显示窗口的分辨率为a , b ，按照K 1 种颜色 进行显示，颜色分别为 0,1,2, , K 。p 的最大值和最小值分别为 pmin , pmax ； q 最大值和最小值分别为qmin ， qmax ；迭代步数为 N； 迭代步长为： dp ( pmax pmin ) /( a 1) ； dq ( qmax qmin ) /( b 1) ； n p 1,2, , a 1 ； nq 0,1, , b 1 ， 对屏幕上的所有点( n p , nq ) ， 完成以下循环。 (2) 循 环 初 始 化 。 令 p0 pmin n p dp ； q0 qmin nq dq; k 0 ； x 0 y0 0 。 2 2 y 2 xk yk q ；k k 1 ； x x y （3）迭代 k 1 k k p ； k 1 2 2 r x y （4）迭代循环控制。计算ห้องสมุดไป่ตู้： k k ；如果 r M ，则选择颜 色k ， 转第 5 步。 如果k K ， 则选择颜色 0， 转第 5 步。 如果r M ， 并且 k K ，转第 2 步。 k （5）像素点循环。对点( n p , nq ) 着颜色 ，并且选择下一个像素点，转 第 2 步。
( p, q ) 所构成的集合。
J集（Julia集）的绘制流程图：
取复平面上一点
进行迭代
根据迭代结果给屏幕上相应的点赋颜色
检测已取区域
取 复 平 面 上 的 下 一 点
结束
Julia集与Mandelbrot集程序流程图
J集(Julia集的绘制结果）：
0.12 0.74i
0.3 0.4i
上绘制 J 集与 M 集的主要区别是： J 集让迭代初值z0 变化，M 集让迭代常数 变化。 两种集合的绘制方法是一样的。
如何在计算机上绘制出J集与M集的图像？
令 z k x k i yk , p i q ，则迭代公式
2 z k 1 z k
可改写成
2 2 x k 1 x k yk p k 0,1,2, yk 1 2 x k yk q 2 2 记 rk xk yk ，则 J 集是使序列rk k 0 有界的初始点 ( x0 , y0 ) 所构成的集合， r M 集是使序列 k k 0 有界的参数
以下是koch曲线的从Ｅ0到Ｅ4的五个图形：
课后作业:参照教材第122页的练习4, 选择合适的a,b,请用mathematica画 出此曲线?
(2) Koch曲线 在没有计算机的时代，W(x)的缺点是极难绘画， 故不够直观.到1904年，瑞典数学家von Koch设计了 一条被称之为Koch曲线的图形，其设计步骤如下： 设 E 0 为单位区间[0， 1]， 第一步，即 n=1， 以E 0 的 中间三分之一线段为底，向上作一个等边三角形，然 E0 后去掉区间(1 / 3, 2 / 3) ， 得一条四折线段多边形E1 ，
（４）F在某种意义下的分形维数通常都大与它的拓扑维数；
（５）在大多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方法 定义，或许以递归过程产生.
分形几何与Euclid几何作一简单比较：
Euclid 几何 经典的(2000多年历史) 基于特征长度与比例 适合于人工制品 用公式描述 分形几何 现代怪物(20多年历史) 无特征长度与比例 适用于大自然现象 用(递归或迭代)算法描述
那么究竟什么是分形呢？应该说，到目前还 未有严格的意义的定义. 我们不妨引用 K.Falconner对分形F的描述：
（１）F具有精细的结构，即是说在任意小的尺度之下，它 总有复杂的细节；
（２）F是如此地不规则，以至它的整体和局部都不能用传 统的几何语言来描述； （３）F通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似 的，也可能是统计意义上的；
代序列 zk k 0 有界的所有初值z0 所构成的集合，即
J ={ z0 | J 迭代序列z0 有界 }
0 则称 在复平面上所构成的集合为 Julia 集。 当 时，Julia 集是一个圆盘，对其它的 值，Julia 集的
J
形态各不相同。
zk z M 令 z 是使迭代序列 k k 0 k 0 的有界性也不相同，
2 2 n
1
下面是实现第121页练习1的mathematica程序：
参见程序 EX12-1.NB
右图是在正三角形的每条边上同时向内作 koch曲线的结果，若在正方形各条边上同 时向内作koch曲线，结果如何？
(3) Sierpinski三角形 对一个边长是１的三角形Ｅ0,以各边的中点为 顶点，挖去一个正三角形，余下的部分设为Ｅ1， 对Ｅ1中的３个三角形同样进行如上过程直到无穷 大，如图所示。
E０
For[i = 1, i < pnum, i = i + 1,
tmp1 = {ptlist[[i + 1]][[2]] - ptlist[[i]][[2]], ptlist[[i + 1]][[1]] - ptlist[[i]][[1]]}/4; tmp = Join[tmp, {ptlist[[i]], ptlist[[i]]*3/4 + ptlist[[i + 1]]/4, ptlist[[i]]*3/4 + ptlist[[i + 1]]/4 + tmp1, ptlist[[i]]/2 + ptlist[[i + 1]]/2 + tmp1, ptlist[[i]]/2 + ptlist[[i + 1]]/2, ptlist[[i]]/2 + ptlist[[i + 1]]/2 - tmp1, ptlist[[i]]/4 + ptlist[[i + 1]]*3/4 - tmp1, ptlist[[i]]/4 + ptlist[[i + 1]]*3/4, ptlist[[i + 1]]}]]; tmp]; In01 = {{0, 0}, {1, 0}}; Show[Graphics[Line[Nest[redominkowski, In01, 0]], AspectRatio -> 1/GoldenRatio]]; Minkowski.NB
分形几何实验
长期以来，对某一个数学集合，人们总是习 惯于在Euclid空间(Ｒn ,Euclidean)对其研究和对 其度量，其中字母n表示该空间的维数，通常它是 一个整数. 对有限个点，取n=0，对一条线段或一 块有限平面图形或一块有限的空间几何体，则分 别取n为1,2和3，同时也可分别得到它们的定常度 量. 习惯上我们分别称它们为点的个数、线段的长 度、平面图形的面积和立体的体积. 但在一个世纪 以前，相继出现了一些被称之为“数学怪物” (Mathematical monsters)的东西，人们无法用传统 的Euclid几何语言去描述它们的局部和整体性质.
分形几何的诞生才不过20多年，但它对多种学科的影响是极其巨大的.卷入分形 狂潮的除数学家和物理学家外，还有化学家、生物学家、地貌学与地震学家、 材料科学家等由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科学家对其情有独 钟，分形图像压缩被认为是最具前景的图像压缩技术之一，分形图形被认为是 描述大自然景色最诱人的方法.美国物理学家Wheeler说：“可以相信，明天谁 不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人”.在某些分形网站，赫然写着： “分形学，21世纪的数学”，这并不是什么无稽之谈.
本分形实验的目地，就是通过mathematica研究分形图像的绘制方 法，画出各种各样的分形图形，特别是Mandelbrot集的图形。
函数的复迭代
给定复数 z0 ，考虑如下迭代
zk 1 zk , k 0,1,2,
2
其中zk 为复数， 为复常数。对于给定的z0 ，此迭代 序列可能有界，也可能发散到无穷，令J 是使得迭
E1
E2
E3
(5) 花草和树木的生成,参见教材第120页 一 棵 树 木
你能根据磁盘上的mathematica程序EX12-2.NB,生成 一个更为复杂的花草或者树木吗？
一 棵 小 草
(6) 龙曲线(见教材第119页）
(7) Hilbert曲线(见教材第120页）
Mandelbrot在对这些数学怪物及许多物理现象进 行研究后，终于创立了影响２０世纪数学的一个重 要学科—分形几何(fractal geometry). Fractal 这个词是Mandelbrot创造的，来源于拉丁文Fractus， 其英文意思是broken.1975年，Mandelbrot在巴黎出 版了法文著作《Les obiects fractals: forme, basard et dimension》，1977年在美国出版了其英 文版《Fractals:Form，Chance，and Dimension》， 他们都可译为《分形，机遇和维数》.同年，它又出 版了《The Fractal Geometry of Nature 》第二版 的问世，在美国乃至欧洲，迅速形成了“分形热”.
下面我们看看 Koch 曲线在 Euclidean 空间 R 中的长 度是多少 ? 显然， length(E0)=1, length(E1)=4/3 , length(E2)=(4/3) , length(En)= (4/3) , 所以,当 n 趋向于无穷大时, Koch 曲线的长度也趋向于无穷大。 由于它是一条闭区间的曲线，在(R ,Euclidean)中， 其面积为零。换言之，Koch 曲线在传统的 Euckid 几 何领域不可度量.
0
如果固定初值 z0 ，而让参数 变化，则迭代序列
有界的所有参数 所构成的集合，即 M z ={ | 使迭代序列zk k 0 有界 } 则称 M z 在复平面上所构成的集合为 Mandelbrot 集。
0 0
在数学上已经证明，M集（Mandelbrot集）的 边界正好就是J集（Julia集）。 对于迭代 z k 1 f ( z k ) ( k 1,2,) ， 在计算机
参见程序 Ex12-3.NB
在mathematica 下，只要输入 f(n)(n=1,2,…,6) 即可等到右边的 图形。
(4) Minkowski香肠,参见教材第119页
redominkowski[ptlist_List] := Block[{tmp = {}, tmp1, i, pnum = Length[ptlist]},
3 3 3 E0 的 面 积 是 En 的 面 积 是 ， E1 的 面 积 是 ， 4 4 4 n 3 3 ，因此， lim E n 0 ，在传统的 Euclid 几何里， n 4 4 Sierpinski 三角形不可度量。
下面是实现第121页练习2的mathematica程序：
典型的数学怪物有如下几种: （１）处处连续而处处不可微的函数曲线 自从有了函数曲线的连续与可微性质及其关系以 后，是否存在一个处处连续而点点不可微的函数曲线 成了研究的热门. 首先解决这个问题的是大数学家 Weierstrass，他于1872年设计了如下一个函数
其中0<a<1<b，且ab≧1。 Weierstrass证明了对 某些a和b的值，该函数无 处可微.1916年，Hardy证 明了对满足上列条件的所 有a和b的值，W(x)都是无 处可微的.
1 0.25 i
1
0.31 0.04i 0.273 0.007 i
M 集（Mandelbrot 集）的一般绘制方法： （1）初始化。假定屏幕或显示窗口的分辨率为a , b ，按照K 1 种颜色 进行显示，颜色分别为 0,1,2, , K 。p 的最大值和最小值分别为 pmin , pmax ； q 最大值和最小值分别为qmin ， qmax ；迭代步数为 N； 迭代步长为： dp ( pmax pmin ) /( a 1) ； dq ( qmax qmin ) /( b 1) ； n p 1,2, , a 1 ； nq 0,1, , b 1 ， 对屏幕上的所有点( n p , nq ) ， 完成以下循环。 (2) 循 环 初 始 化 。 令 p0 pmin n p dp ； q0 qmin nq dq; k 0 ； x 0 y0 0 。 2 2 y 2 xk yk q ；k k 1 ； x x y （3）迭代 k 1 k k p ； k 1 2 2 r x y （4）迭代循环控制。计算ห้องสมุดไป่ตู้： k k ；如果 r M ，则选择颜 色k ， 转第 5 步。 如果k K ， 则选择颜色 0， 转第 5 步。 如果r M ， 并且 k K ，转第 2 步。 k （5）像素点循环。对点( n p , nq ) 着颜色 ，并且选择下一个像素点，转 第 2 步。
( p, q ) 所构成的集合。
J集（Julia集）的绘制流程图：
取复平面上一点
进行迭代
根据迭代结果给屏幕上相应的点赋颜色
检测已取区域
取 复 平 面 上 的 下 一 点
结束
Julia集与Mandelbrot集程序流程图
J集(Julia集的绘制结果）：
0.12 0.74i
0.3 0.4i
上绘制 J 集与 M 集的主要区别是： J 集让迭代初值z0 变化，M 集让迭代常数 变化。 两种集合的绘制方法是一样的。
如何在计算机上绘制出J集与M集的图像？
令 z k x k i yk , p i q ，则迭代公式
2 z k 1 z k
可改写成
2 2 x k 1 x k yk p k 0,1,2, yk 1 2 x k yk q 2 2 记 rk xk yk ，则 J 集是使序列rk k 0 有界的初始点 ( x0 , y0 ) 所构成的集合， r M 集是使序列 k k 0 有界的参数