九年级数学圆扇形弓形的面积
圆、扇形、弓形的面积(一)
圆、扇形、弓形的面积(一)圆的面积在几何学中，圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的点的集合。
圆的面积是围绕圆心一周的区域。
公式推导设圆的半径为r，我们可以使用数学公式计算圆的面积。
圆的面积公式如下：面积= πr²其中，π（pi）是一个常数，约等于3.14159。
例子例如，如果一个圆的半径为 5 cm ，那么它的面积可以用以下公式计算：面积= π × (5 cm)² ≈ 3.14159 × 25 cm² ≈ 78.53975 cm²所以，这个圆的面积约为 78.54 平方厘米。
扇形的面积扇形是一个由圆心、圆弧及两个半径所围成的图形，其中圆心角等于360度（或2π弧度）。
扇形的面积是扇形圆心角所对应的圆弧面积。
公式推导设扇形的半径为r，圆心角为θ（单位为弧度），我们可以使用下面的公式计算扇形的面积：面积= (θ/2π) × πr² = (θ/2) × r²例子例如，如果一个扇形的半径是 6 cm ，圆心角是 60 度，我们可以使用以下公式计算扇形的面积：面积= (60/360) × π × (6 cm)² = (1/6) × 3.14159 ×36 cm² ≈ 18.84956 cm²所以，这个扇形的面积约为 18.85 平方厘米。
弓形的面积弓形是一个由圆弧、半径和两个弦所围成的图形。
弓形的面积是弓形圆心角所对应的圆弧面积减去弓形中的三角形面积。
公式推导设弓形的半径为r，圆心角为θ（单位为弧度），我们可以使用下面的公式计算弓形的面积：面积= (θ/2π) × πr² - (1/2) × r² × sin(θ)其中，sin(θ) 是角度θ的正弦值。
例子例如，如果一个弓形的半径是 8 cm ，圆心角是 90 度，我们可以使用以下公式计算弓形的面积：面积= (90/360) × π × (8 cm)² - (1/2) × (8 cm)² × sin(90°)= (1/4) × 3.14159 × 64 cm² - (1/2) × 64 cm² × 1≈ 12.56637 cm² - 32 cm²≈ -19.43363 cm²因为弓形在这个例子中是开口向下的，并且sin(90°)等于1，所以面积为负数。
扇形、三角形、弓形、菱形公式[整理版]
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常用面积公式面积公式扇形面积公式00在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：00S=nπR²÷360 00比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：00C=2R+nπR÷180 00=2×1+135×3.14×1÷180 00=2+2.355 00=4.355(cm)=43.55(mm) 00扇形的面积：00S=nπR²÷360 00=135×3.14×1×1÷360 00=1.1775(cm²)=117.75(mm²) 00扇形还有另一个面积公式00S=1/2lR 00其中l为弧长，R为半径00扇环面积00圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径)) 0圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方)) 00用字母表示：00S内+S外（∏R方）00S外—S内=∏(R方-r方）00还有第二种方法：00S=π[(R-r)×(R+r)] 00R=大圆半径00r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径00还有一种方法：00已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。
00d=R-r，00D-d=2R-（R-r）=R+r，00可由第一、二种方法推得S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d，0圆环面积S=π(D-d)×d 00这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。
这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管。
三角形面积公式00海伦公式00任意三角形的面积公式（海伦公式）：S²=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。
2021年九年级数学初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项
初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项一、圆的面积计算公式：S=R 2，圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的1360，圆心角是n 度的扇形面积等于圆的面积的360n ，扇形的弧长等于l=180n R ,⇒S 扇=12lR 。
二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。
三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。
1、弓形面积弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差，如下图所示，弓形AmB 的面积S弓形=S 扇性AOB -S △AOB弓形的面积可以转化为：扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形AmB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB注：①当弓形所含的弧是劣弧时如甲图所示，弓形AmB 的面积S 弓形=S 扇性AOB -S △AOB②当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示，AnB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB③当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S 弓形=12S 圆 如图：半径OA=6cm,C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分面积S 。
（右：乙图）解：由图形可知，S 阴影ABC =S 扇性ABO -S △ACO ，而S 扇形ABO =21206360⋅=12，S △ACO =12×6×3×sin60°=932，所以S 阴影ABC =(93122-)cm 2。
2、割补法凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求解的方法是经常用到的。
如图：⊙O 中的弦AC=2cm ，圆周角∠ABC=45°,求图中阴影部分的面积。
（部分与整体）解：做⊙O 的直径AB 1，则连结OC 、B 1C ，∠ACB=90°，∠B=∠B 1，AB 1=22，∵OA=2,∴S △AOC=1,S 扇形AOC =12,∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =12-1 例二：如图在两个半圆中大圆的弦MN 与小圆相切,D 为切点，且MN ∥AB ，MN=a ，ON ，CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积。
[资料]弓形的面积计算公式
![[资料]弓形的面积计算公式](https://img.taocdn.com/s3/m/5313f10bc381e53a580216fc700abb68a982ad08.png)
关于弓形的公式如下；
F=弓形面积，c=弓形弦长，r=弓形半径，L=弓形弧长，a=弓形圆心角，
h=弓形弦高，√=根号
F=1/2[rL-c(r-h)]
c=2√[h(2r-h)]
r=(c²+4h²)/8h
L=0.01745ra
a=57.296L/r
h=r-1/2√(4r²-c³)
以上公式抄录于《常用金属材料手册》
设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S 扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。
当弧AB是半圆时，那么S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2×πr²。
当弧AB是优弧时，那么S弓形=S 扇形+S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）计算公式分别是：
S=nπR²/360－ah/2 S=πR²/2 S=nπR²/360+ah/2
弓形面积的通用计算公式
2011-10-02 00:35:03| 分类：几何学| 标签：平面几何|字号大中小订阅
一、已知弓形的底为(2a)、高为h；
二、弓形半径公式：
R=(a2+h2) /(2h)；
三、弓形面积的通用计算公式：
S=a(h-R)+R2arccos(1-h/R)（劣弧弓形、优弧弓形，二者通用）。
圆扇形弓形的面积
例 如图，已知半径OA=6cm ，C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分的面积．解：过A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于D ，则AD 是△ACO 的边OC 上的高，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°， ∴AD=OAsin60°=33236=⨯．∴S 阴影=S 扇形ABO -S △ACO =)cm (3291233321360612022-π=⨯⨯-⋅π 说明：（1）此题应用解直角三角形，三角形面积公式和扇形面积公式；（2）阴影部分的面积是由扇形和三角形组合而成，熟练拿握扇形面积公式和三角形面积公式是求此阴影部分面积的关键；（3）灵活选用三角形面积公式： ①a ah 21S =∆；②B sin ca 21C sin bc 21C sin ab 21S ===∆． 例 已知：弓形的弧的度数为240°，弧长是π38，求弓形的面积．解：如图，根据弧长公式有π=⋅π38180OA 240． ∴OA=2．∴ S 扇形OAmB =π=⨯π3836022402， S △OAB =360sin 2221=︒⨯⨯，∴S 弓形AmB =338+π． 说明：（1）弓形面积的计算；（2）弓形面积可以看成是扇形面积和三角形面积的分解和组合，实际应用时，要注意公式的选择．例 如图，在边长l 的正方形中，以各顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为 ．解：S 阴影=22121S S 4S 41π-=-π-=-⨯-）（）（正方形圆正方形． 说明：求面积问题的常用方法有：直接公式法，和差法，割补法等．例 如图，已知半径为1的三个等圆⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切，切点分别为M 、N 、P ，求夹在三个等圆中间的曲边形MNP 的面积．分析：连结AB 、BC 、CA ，则必分别过点M 、N 、P ．曲边形MNP 如果先借添上三个全等扇形即构成了正△ABC ，算出△ABC 的面积后再还掉三个扇形．这样一借一还，先借后还，剩下的就是曲边形MNP ．解：S 曲边形MNP =三个扇形△三个扇形三个扇形曲边形）（S S S S S A BC M N P -=-+=π-=⨯π⨯-︒⨯⨯213360160360sin 22212．说明：求有关不规则图形的面积问题的关键是将图形分解为可求图形面积的和差问题，本题是作辅助线构造三角形和扇形的面积解决的．典型例题五例 已知扇形的圆心角150°，弧长为π20cm ，则扇形的面积为_______. 解：设扇形的面积为S ，弧长为l ，所在圆的半径为R ，由弧长公式，得18015020Rππ=. ∴24=R （cm ）. 由扇形面积公式，得ππ240360241502=⋅=S .故填π240.说明：本题主要考察弧长公式180R n l π=和扇形面积公式3602R n S π=.典型例题六例 已知弓形的弦长等于半径R ，则此弓形的面积为________.（弓形的弧为劣弧） 解：∵弓形的弦长等于半径R ， ∴弓形的弧所对的圆心角为60°，∴扇形的面积为63606022R R S ππ==. 三角形的面积为224360sin 21R R =︒. ∴弓形的面积为22436R R -π. 即212332R -π.故应填212332R -π.说明：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差.本题若没有括号里的条件，则有两种情况.典型例题七例 如图，已知扇形AOB 的中心角为直角，若cm 4=OA ，以AB 为直径作半圆，求圆中阴影部分的面积.分析：欲求图形中阴影部分的面积，必须弄清求这个面积没有直接的公式计算，只有通过可求面积的和差来解决，因为阴影部分的面积等于以AB 为直径的半圆面积减去弓形AmB 的面积，而AO B AO B Am B S S S ∆-=扇.解 cm 4=OA ︒=∠90O ，则cm 4=OB22)cm (4360490ππ=⨯⨯︒=∴AOBS 扇cm 24=AB)cm (82=∴∆AO B S)cm (42)22(22ππ==∴半圆S)cm )(84(2-=∴πAm B S 弓形即阴影部分面积)cm (8)84(42=--=-=ππAm B S S 弓形半圆典型例题八例 如图，A 为⊙O 外一点，AO 交⊙O 于P ，AB 切⊙O 于B ，5=AP 厘米，35=AB 厘米，求图中阴影部分的面积.分析：图中阴影部分面积计算无公式可用，可转化为OBA ∆Rt 与扇形OBP 的面积差. 解 连结OB ，因AB 为⊙O 的切线，故AB OB ⊥ 设⊙O 的半径为r ，在OBA ∆Rt 中，r OB =，35=AB ，r OA +=5. 则有222)5()35(r r +=+，︒=∠∴60OO BP O BA S S S 扇形阴影-=∴∆360560355212⋅-⨯⨯=π 6252325π-=（平方厘米） 说明：本例求半径r 时，还可用切割线定理.典型例题九例 已知：如图，OA 和1OO 是⊙O 中互相垂直的半径，B 在上，弧的圆心是1O ，半径是1OO ，⊙2O 与⊙O 、⊙1O 、OA 都相切，61=OO .求图中阴影部分的面积.解析设⊙2O 与⊙O 、⊙1O 、OA 分别切于点D 、C 、E ，设⊙2O 的半径为r ，连结21O O ，E O 2，过点2O 作O O F O 12⊥于F ，连结B O 1、OB 、2OO .r E O r F O r O O O O =-=+=∴=21211,6,6,6212212F O O O EO F O -==r r r 62)6()6(22=--+=r r F O O O S O OO 6662621212121=⋅⨯⨯=⋅=∴∆又)69)(69)(69(921r r S O OO --+--⨯=∴∆)9(332r -=)9(33662r r -=∴2922r r -=，298r r -=1=∴r 或9-=r （舍去）又OB O 1∆ 是等边三角形︒=∠=∠===∴60,61111BOO O BO O O OB B O∴扇形BO O 1和扇形B OO 1的面积相等且都等于ππ63606021=⋅O O O O 1∴、、所组成的图形面积为扇形BO O 1和扇形B OO 1的面积之和减去三角形OB O 1的面积.即391223662166-=⨯⨯⨯-+πππ 又 扇形1OAO 的面积为：ππ96412=⋅∴阴影部分的面积为：ππππππ-+-=⋅---39129)3912(92r π439-=说明：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加、减得出结论.本题较为复杂，考察的知识面较多，要正确作辅助线，找出解题的思路.典型例题十例 （1）已知扇形的半径为10cm ，弧长为π5cm ，则扇形的面积为______cm 2. （2）一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于________度.（3）如图，已知半圆的直径︒=∠==35,,cm 10ACD AD AB BC ，则图中阴影部分的面积等于_________.解 （1）设扇形半径为R ，弧长为l ，则).cm (2510521212ππ=⨯⨯=⋅=R l S 扇形 （2）设扇形的半径为R 3，则圆的半径为R ，22)(R R S ππ=⋅=圆.依题意，得扇形的圆心角为：︒=÷120360)3(22R R ππ（3）连结,,,AD AB OA OD = ∴∴.2ACD ∠=∠又.352,35︒=∠∴︒=∠ACD 又.1,3521,ACD OC PA ∠=∠∴︒=∠=∠∴=)cm (925360540.,//22ππ=⨯⨯==∴=∴∴∆∆OCDADC ODC S S S S DC AO 扇形阴影说明：本题考查面积公式的应用，弄清公式中字母的意义，善于进行图形的转换是解题关键.典型例题十一例 如图，已知：⊙O 的长l 是半径R 的π32倍，BC AC ,是方程01)1(22=++---m x m x 的根，1=OC ，求弓形AmB 的面积.解 延长线段OC 交⊙O 于F E ,，作AB OG ⊥于G ，∴.21AB GB =又.120,120,32180︒=∠=∴==AOB n R R n l ππ ∴.60︒=∠GOB在Rt OGB ∆中，.2360sin R R GB =︒⋅= ∴R AB 3=，又.21,cos R OG OB OG GOB =∴=∠ ∴.4321321212R R R OG AB S ABO =⨯⨯=⋅=∆ BC AC , 是方程01)1(22=++---m x m x 的根，∴21+-=⋅m BC AC ，① 21m BC AC -=+ ② 又1))((222-=-=+-=⋅=⋅R OC R OC R OC R CF CE BC AC ③ ∴R AB BC AC 3==+ ④ 由②④得213m R -=，由①，③得.2112+=-m R解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=.211,2132m R m R 得.3=R∴.360)3(120,4334322ππ===∆OAmB ABO S R S 扇形＝∴弓形AmB 的面积.433-=-=∆πOAB OAmB S S 扇形 说明：本题考查方程与面积的综合应用，解题关键是求⊙O 的半径，应用一元二次方程的根与系数关系等求出面积.典型例题十二例 如图，已知：⊙O 的半径为R ，直径⊥AB 直径CD ，以B 为圆心，以BD 为半径作⊙B 交AB 于E ，交AB 的延长线于F ，连结DB 并延长交⊙B 于M ，连结MA 交⊙O 于N ，交CD 于H ，交⊙B 于G .（1）求图中阴影部分的面积S ；（2）求证：.HM HG HN HA ⋅=⋅解 （1）连结BC ，则,,2122R S R S BCD BCED ==∆π扇形 .2121.2122222R R R R S S R S CED =+-=∴-=∴πππ弓形（2）由相交弦定理，得HC HD HM HG HC HD HN HA ⋅=⋅⋅=⋅,，∴.HM HG HN HA ⋅=⋅说明：本题综合考查阴影面积计算与比例线段的证明，解题关键是把组合图形的面积，化归为几个简单图形面积的和或差.典型例题十三例 如图，ABC ∆为某一住宅区的平面示意图，其周长为800米，为了美化环境，计划在住宅区周围5米（虚线以内，ABC ∆之外）作为绿化带，则绿化带的面积为______（米2）.解 分别过C B A ,,作BC C C BC B B AC A A AC C C AB B B AB A A ⊥''⊥''⊥''⊥'⊥'⊥',,,,,，则A A A S A A AC B B BC B B AB S '''+''⋅+''⋅+'⋅=3.2540005800518018022πππ+=⋅+⨯='⋅⋅+⨯'=∆B B l B B ABC 说明：本题考查不规则图形的面积计算，解题关键是通过作辅助线转化为规则几何图形求解.选择题1. 如图，在ABC ∆Rt 中，︒=∠90BAC ，2==AC AB 以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分面积为（）A ．1B ．2C ．41π+D ．42π-2. 如果扇形的圆心角为︒150，扇形面积为2cm 240π，那么扇形的弧长为（） A ．cm 5π B ．cm 10π C ．cm 20π D ．cm 40π3. 正方形的内切圆半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为（） A ．222r -πB ．221r -π C ．2)2(r -πD ．2)1(r -π4. 设三个同心圆的半径分别为1r ，2r ，3r ，且321r r r <<，如果大圆的面积被两个小圆分成三等分，那么321::r r r 为（） A ．1：2：3B ．3:2:1C ．9:4:1D ．2:3:15．已知如图，扇形AOB 的半径为12，OB OA ⊥，C 为OB 上一点，以OA 为直径的半圆1O 和以BC 为直径的半圆2O 相切于点D ，则图中阴影部分面积为（ ）（A ）π6 （B ）π10 （C ）π12 （D ）π206．若⊙1O 的60°弧与⊙2O 的45°弧长度相等，则⊙1O 与⊙2O 的面积之比为（ ） A ．16：9 B ．9：16 C ．4：3 D ．3：47．若扇形的面积为π12，它的弧所对的圆心角为25°，则扇形的半径是（ ）A ．212B ．30512C ．12D ．612 8．两圆半径分别为R 和r ，另有一大圆的面积等于这两圆面积之和的4倍，则此大圆半径为（ ）A ．)(21r R + B ．)(2122r R + C ．2221r R + D ．222r R + 9．两同心圆小圆切线被大圆所截部分为6cm ，则这两圆围成的环形面积为（ ）。
上册 扇形的面积人教版九级数学全一册课件
上册第2扇4章形的第面1积3课人时教版扇九形级的数面学积全-一20册20课秋件人教版九年级 数学全 一册课 件(共36 张PPT)
∴阴影部分面积
＝△ ADE 的面积＋△ EOF 的面积＋扇形 AOF 的面积－扇形
DEF 的面积 ＝12×3×1＋21×1×2＋903·6π0·22－90·π3·60 52＝10－4 π. 小结：利用若干个规则图形面积的和与差求不规则图形面积.
10.【例 7】如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝2， OB＝1，将 Rt△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到 Rt△FOE， 将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90°后得到线段 ED，分别以 O， E 为圆心，OA，ED 长为半径画弧 AF 和弧 DF，连接 AD， 求阴影部分的面积．
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(2)①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴CE＝21CD＝4 3.设 OC＝r，则 OE＝r－4， ∴r2＝(r－4)2＋(4 3)2，解得 r＝8.
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②如图，连接 OD.由①，知 OE＝4＝12OC，
上册 扇形的面积人教版九级数学全一册课 件
3.如图，正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 B 点为圆心，AB 长 为半径作弧，求阴影部分的面积． 解：正方形的面积＝2×2＝4(cm2)， 扇形的面积＝903π6×0 22＝π(cm2)， ∴阴影部分的面积＝(4－π)cm2.
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北师大版九年级数学下册《圆——弧长及扇形的面积》教学PPT课件(2篇)
C
A
D
B
探究新知
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓
着一条长3m的绳子，绳子的另一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
n°
（2）如果这只狗只能绕柱子转过 n°角，
那么它的最大活动区域有多大？
解：（1）这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9πm2 .
（2）狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的是圆面积，
A. 3π
B.4π
C.5π
D.6π
新知探究
4 . 如图的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同
的速度从A点爬到B点，甲虫沿ADA1,A1EA2,A2FA3,A3GB路线爬行，乙虫沿
ACB路线爬行，则下列结论正确的是（ C ）
A.甲先到B点
C.甲、乙同时到B点
B.乙先到B点
D.无法确定
− ×1×
=
π- .
课堂小结
1.弧长公式：
2.扇形面积公式：
或
注意： 求图形的面积：
割补法、组合法
（1）公式中 n 表示1°的圆心角的倍数；
（2）若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算.
（3）题设没有标明精确度的，结果可以用 π 表示.
课堂小测
1.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.
则半径为2的“等边扇形”的面积为( C
S 扇形1ຫໍສະໝຸດ lR2)
课堂小测
2. 如图，5个圆的圆心在同一条直线上, 且互相相切.若大圆直径是12，4
12cm，那么弧AC的长是（ C）
A．10cm
专题12 弧长和扇形面积(解析版) -2021-2022学年九年级数学之专攻圆各种类型题的解法
专题12 弧长和扇形面积1.与弧长相关的计算扇形的弧长l=π180n r；注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.2.与扇形面积相关的计算（1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.（2）扇形的面积S=2π360n r=12lr．扇形的面积与圆心角、半径有关.3.弓形的面积公式S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形概念规律重在理解典例解析掌握方法【例题1】（2021甘肃威武定西平凉）如图，从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为dm2．【答案】2π．【解析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．连接AC,∵从一块直径为4dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC＝90°，∴AC为直径，即AC＝4dm，AB＝BC（扇形的半径相等），∵AB2+BC2＝22，∴AB＝BC＝2dm，∴阴影部分的面积是＝2π（dm2）．【例题2】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)【答案】管道的展直长度为2970mm．【解析】由弧长公式，可得弧AB的长因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.【例题3】如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）【答案】见解析．【解析】∵n=60，r=10cm，∴扇形的面积为扇形的周长为【例题4】如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.【答案】见解析．【解析】 ()22=24010.60.30.6336020.240.0930.91cm .OABS S ππ+=⨯+⨯⨯=+≈△弓形扇形S一、选择题1．（2021贵州毕节）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O ，点C ，D 分别在OA ，OB 上．已知消防车道半径OC ＝12m ，消防车道宽AC ＝4m ，∠AOB ＝120°，则弯道外边缘的长为（ ）A ．8πmB ．4πmC ．πmD ．πm【答案】C各种题型 强化训练【解析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．∵OC＝12m，AC＝4m，∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），∵∠AOB＝120°，∴弯道外边缘的长为：＝（m）．2．（2021成都）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【答案】D【解析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．∵正六边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，∵正六边形的边长为6，∴S阴影＝＝12π．3．如图，⊙O的直径AB＝2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（）A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣D．【答案】A【解析】∵⊙O的直径AB＝2，∴∠C＝90°，∵C是弧AB的中点，∴，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB＝∠EBA＝22.5°，∴∠AEB＝180°﹣（∠BAC+∠CBA）＝135°，连接EO，∵∠EAB＝∠EBA，∴EA＝EB，∵OA＝OB，∴EO⊥AB，∴EO为Rt△ABC内切圆半径，∴S△ABC＝（AB+AC+BC）•EO＝AC•BC，∴EO＝﹣1，∴AE2＝AO2+EO2＝12+（﹣1）2＝4﹣2，∴扇形EAB的面积＝＝（2﹣），△ABE的面积＝AB•EO＝﹣1，∴弓形AB的面积＝扇形EAB的面积﹣△ABE的面积＝，∴阴影部分的面积＝⊙O的面积﹣弓形AB的面积＝﹣（﹣）＝﹣4．4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．B．C．+D．【答案】C【解析】连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S＝＝π，扇形AOE∴S＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）阴影＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．5．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF 的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4【答案】A【解析】连接OC，如图所示：∵在扇形AOB 中∠AOB ＝90°，＝， ∴∠COD ＝45°，∴OD ＝CD ，∴OC ＝＝4，∴阴影部分的面积＝扇形BOC 的面积﹣△ODC 的面积 ＝﹣×（2）2＝2π﹣4．6．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为4cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（ ）A ．280cm πB ．240cm πC ．224cm πD ．22cm π【答案】B 【解析】先证明COD △是等边三角形，求解,OC OD ，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．如图，连接CD ，,60,OC OD COD =∠=︒ COD ∴是等边三角形，4,CD = 4,OC OD ∴==12,AC BD == 16,OA OB ∴==所以则图中摆盘的面积 222601660440.360360AOB CODS S cm πππ⨯⨯-=-=扇形扇形． 二、填空题 1．（2021湖北荆门）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P ，那么图中阴影部分的面积为 ．【答案】2﹣．【解析】连接PB 、PC ，作PF ⊥BC 于F ，根据等边三角形的性质得到∠PBC ＝60°，解直角三角形求出BF 、PF ，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．解：连接PB 、PC ，作PF ⊥BC 于F ，∵PB ＝PC ＝BC ， ∴△PBC 为等边三角形， ∴∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°，∴BF ＝PB •cos60°＝PB ＝1，PF ＝PB •sin60°＝，则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP 的面积﹣（扇形BPC 的面积﹣△BPC 的面积）]×2＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，故答案为：2﹣．2．（2021湖北宜昌）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为平方厘米．（圆周率用π表示）【答案】（2π﹣2）．【解析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），S扇形BAC＝＝π（厘米2），∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2.3．（2021湖南怀化）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）【答案】π﹣．【解析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣．4．（2021四川凉山）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为．【答案】。
弧长、扇形、弓形的面积及侧面积
弧长、扇形面积及圆锥侧面积【知识要点】1．弧长公式：半径为R 的圆，其周长是R π2，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的3601，而为1803602R R ππ=，因此，on 的弧的弧长就是180R n π，于是得到公式：)(180代表弧长l Rn l π=。
2． （1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。
（2）扇形的周长：（3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB 的面积。
S 扇形=)(3602为扇形圆心角的度数为半径，n R R n π 由上面两公式可知S 扇形=213602n R lR π=．可据已知条件灵活选用公式。
3．弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S 弓形=S 扇形-S △OAB 。
（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S 弓形=S 扇形+S △OAB 。
4．圆锥的有关概念:圆锥可以看做是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫圆锥的侧面. 5．圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是一个扇形,如果圆锥的母线长l ,底面半径为,那么这个扇形的半径为,弧长为,因此可得圆锥的侧面积: 圆锥的侧面积。
为底面圆半径为母线长，侧)(221r l rl r l S ππ=⋅=圆锥的表面积。
为底面圆半径为母线长，（底侧表))(r S S r l l r S +=+=π 【典型例题】例1如果一段弧的长度等于半径，则这段弧所对的圆心角的度数一定（ ）A 、小于60oB 、等于60oC 、大于60oD 、无法确定 AB AB l R l OB OA +=++2·O AB · A BO m· AB Om例2如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）． 例3 已知扇形的圆心角为120°，弧长为cm π20，这个扇形的面积是多少？例4 已知：如图所示，⊙O 中AB 的长度为4cm π，它所对的圆心角为120°，求弦AB 的长．例5 圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是多少度？例6 已知：圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，侧面展开图的圆心角为︒n ，求证：︒n =︒⋅360Rr.例7如图，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°．O 是AB 的中点，⊙O 与AC 相切于点D 、与BC 相切于点E ．设⊙O 交OB 于F ，连DF 并延长交CB 的延长线于G ． （1）∠BFG 与∠BGF 是否相等？为什么？ （2）求由DG 、GE 和弧ED 围成图形的面积（阴影部分）．A·O BA BC DEFGO ANCD BM例8.如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ．（1）求证：AC=BD ；（2）若图中阴影部分的面积是243cm π，OA=2cm ，求OC 的长．例9．图中的粗线CD 表示某条公路的一段，其中AmB 是一段圆弧，AC .BD 是线段，且AC .BD 分别与圆弧 AmB 相切于点A .B ，线段AB =180m ，∠ABD =150°． （1）画出圆弧 AmB 的圆心O ； （2）求A 到B 这段弧形公路的长．例10．如图，PA .PB 是半径为1的O ⊙的两条切线，点A .B 分别为切点，60APB OP AB C O D ∠=°，与弦交于点，与⊙交于点．（1）在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形； （2）求阴影部分的面积（结果保留π）．PAOBDCEFOA BC21OAB ClD 例11．如图，一个圆锥的高为33cm ，侧面展开图是半圆． 求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比； （2）求BAC ∠的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．【经典练习】1、已知圆锥的底面半径是3cm ，母线长为6cm ，则侧面积为________cm 2．（结果保留π） 2.一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为________． (结果保留π) 3．已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm ，则扇形的弧长为 cm （结果保留π）．4. 如图，扇形OAB ，∠AOB=90︒，⊙P 与OA 、OB 分别相切于点F 、E ，并且与弧AB 切于点C ，则扇形OAB的面积与⊙P 的面积比是 ．5．如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O 的位置关系是 ，阴影部分面积为(结果保留π) ．6．如图，菱形ABCD 中，AB =2 ，∠C =60°,菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为 ．(结果保留π) A BO ChlrABCDOE（第15题）AB OABOA ’O ’图(十三)图(十四)Ｐ7.如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的⌒EF 上，若OA =1，∠1=∠2，则扇形OEF 的面积为（ ） A.6π B. 4π C. 3π D. 32π8.（2010年台湾省）如图(十三)，扇形AOB 中，OA =10， ∠AOB =36︒。
圆内弓形面积计算公式
圆内弓形面积计算公式1. 弓形的定义。
- 弓形是由弦及其所对的弧组成的图形。
在圆中，弦与它所对应的弧围成的部分就是弓形。
2. 弓形面积的计算（分两种情况）- 情况一：当弓形所对的圆心角为锐角时。
- 设圆的半径为r，弓形所对的圆心角为α（弧度制），弦长为l。
- 首先求扇形的面积S_扇=(1)/(2)α r^2。
- 然后求三角形的面积S_=(1)/(2)r^2sinα。
- 那么弓形的面积S = S_扇-S_=(1)/(2)α r^2-(1)/(2)r^2s inα=(1)/(2)r^2(α -sinα)。
- 若圆心角α是角度制，需要先将其转化为弧度制，α=(nπ)/(180)（n为角度数）。
- 情况二：当弓形所对的圆心角为钝角时。
- 同样设圆的半径为r，弓形所对的圆心角为α（弧度制），弦长为l。
- 扇形面积S_扇=(1)/(2)α r^2。
- 三角形面积S_=(1)/(2)r^2sin(π-α)=(1)/(2)r^2sinα。
- 此时弓形面积S = S_扇+S_=(1)/(2)α r^2+(1)/(2)r^2sinα=(1)/(2)r^2(α+sinα)。
- 已知弦长l和半径r求弓形面积（通用方法）- 先根据cos(α)/(2)=(√(r^2)-<=ft(frac{l)/(2))^{2}}{r}求出(α)/(2)，进而得到圆心角α = 2arccos(√(r^2)-<=ft(frac{l)/(2))^{2}}{r}。
- 再按照前面的方法根据圆心角α的大小判断是用S=(1)/(2)r^2(α - sinα)（α为锐角）还是S=(1)/(2)r^2(α+sinα)（α为钝角）来计算弓形面积。
扇形弓形面积计算公式(一)
扇形弓形面积计算公式(一)扇形弓形面积计算公式扇形面积计算公式扇形是圆形的一部分，计算扇形的面积需要知道圆的半径和扇形的弧度。
扇形面积计算公式如下:扇形面积 = (圆的半径 * 圆的半径 * 弧度) / 2其中，圆的半径是指从圆心到圆上任意一点的距离，弧度是扇形所对应的圆心角的弧度值（1弧度= 180/π度）。
例子假设有一个半径为5 cm的扇形，对应的圆心角为60°，则可以使用扇形面积计算公式来计算扇形的面积:圆的半径 = 5 cm弧度= 60° * π / 180° = π / 3 rad扇形面积= (5 cm * 5 cm * π / 3 rad) / 2= (25 cm² * π / 3 rad) / 2≈ cm²因此，该半径为5 cm，圆心角为60°的扇形的面积约为cm²。
弓形面积计算公式弓形是圆的一部分，同时含有一条弦线。
计算弓形的面积需要知道圆的半径和弓形的弧度，以及弦线的长度。
弓形面积计算公式如下: 弓形面积 = (圆的半径 * 圆的半径 * 弧度 - 弦线的长度 * 圆的半径 * ) / 2其中，圆的半径和弧度的含义与扇形相同，弦线的长度是弓形上两点所连成的线段的长度。
例子假设有一个半径为8 cm的弓形，对应的圆心角为90°，弦线的长度为10 cm，则可以使用弓形面积计算公式来计算弓形的面积: 圆的半径 = 8 cm弧度= 90° * π / 180° = π / 2 rad弦线的长度 = 10 cm弓形面积= (8 cm * 8 cm * π / 2 rad - 10 cm * 8 cm * ) / 2= (64 cm² * π / 2 rad - 40 cm²) / 2≈ cm²因此，该半径为8 cm，圆心角为90°，弦线长度为10 cm的弓形的面积约为cm²。
圆、扇形、弓形的面积
圆、扇形、弓形的面积【重点难点解析】重点是圆面积，扇形面积、弓形面积公式，要能运用它们解决有关圆的面积、扇形面积、弓形面积的计算与证明问题.难点是扇形面积公式的推导，要理解圆心角为1°的扇形的面积等于圆面积的，圆心角为n°的扇形面积及于圆面积的即，注意：公式中的n没有单位.【基础知识精讲】一、基本公式1.圆的面积：S＝πR22.扇形面积：S扇形＝＝lR3.弓形面积：①弓形所含弧为劣弧时 S弓＝S扇-S△②弓形所含弧为优弧时 S弓＝S扇+S△③弓形所含弧为串圆时 S弓＝S圆二、值得注意的问题1.扇形面积公式中的n与弧长公式中的一样，不带单位.2.对于一些没有面积计算公式的几何图形，可采用割补法，转化为学过的几何图形的面积和或差.对于弧形部分，一定要分清圆心和半径.典型例题〔例1〕已知如图7-65，PA切⊙O于A，PO交⊙O于C，且CP＝CO，弦AB∥OP，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.图7-65解：连OA，OB∵PA为⊙O切线，∴OA⊥AP∵OA＝OC＝CP＝OP∴∠OPA＝30°，∴∠AOP＝60°∵AB∥OP，∴∠OAB＝∠AOPB＝60°∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形∴∠AOB＝60°∴S扇形OAB＝＝∵AB∥OP，∴S△ABP＝S△AOB∴S阴影＝S扇形OAB＝〔例2〕已知：如图7-66⊙O的半径为R，直径AB垂直于弦CD，以B为圆心，以BC为半径作⊙B 交AB于点E，交AB的延长线于F，连结CB并延长交⊙B于点M，连结AM交⊙O于N，(1)求两圆公共部分的面积S.(2)求证AM·AN＝2AE·AF图7-66(1)解：连结BD∵CD为⊙O直径∴∠CBD＝90°∵CD⊥AB，OC＝OD ∴CB＝DB在Rt△CBD中，CD＝2R∴BC＝CDcos45°＝2R· ＝R∴S＝S⊙O+S弓形CDE＝πR2+〔π( R)2- ( R)2〕＝(π-1)R2(2)证明连AC∵AB为直径∴∠ACB＝90°∵BC为⊙B半径∴AC为⊙B的切线∴AC2＝AE·AF∵OA＝OB ∴CA＝CB∵MN·MA＝MB·MC＝BC·2BC＝2BC2＝2AC2∴AM·MN＝2AE·AF〔例3〕已知：如图7-67，⊙O的长l是半径R的π倍，AC，BC是方程-2x2-(m-1)x+m+1＝0的根，OC＝1，求弓形AmB的面积.图7-67〔解〕延长线段OC交⊙O于E，F，作OG⊥AB于G，∴GB＝ABl＝＝R，∴n=130,∴∠AOB＝120°∴∠GOB＝60°在Rt△OGB中，sin∠GOB＝，∴GB＝R·sin60°＝R∴AB＝R，又cos∠GOB＝，∴OG＝R，∴S△ABD＝AB·OG＝× R× R＝R2.∵AC、BC是方程-2x2-(m-1)x+m+1＝0的根，∴AC·BC＝- ①AC+BC＝. ②又∵AC·BC＝CE·CF＝(R-OC)(R+OC)＝R2-OC2＝R2-1 ③AC+BC＝AB＝R ④∴由②，④得R＝由①，③得R2-1＝-解方程组R＝R2-1＝- 得R＝∴S△ABC＝R2＝·S扇形OAmB＝＝π∴弓形AmB的面积＝S扇形OAmB-S△OAB＝π- (平方单位).〔说明〕此题是一道代数几何综合问题，解决此题的关键是求出⊙O的半径，综合分析题的图形与已知条件，寻找与半径有关的式子，发现AC+BC＝AB，AC·BC＝CE·CF，而AB及CE·CF都与半径与关，再由题已知方程的根与系数关系，找到含R的方程组，从而求得R.〔例4〕如图7-68，已知半径为3cm和1cm的两个圆，⊙O1和⊙O2外切于点P，AB是它们的一条外公切线，切点分别为A，B，QP垂直于O1O2于P交AB于Q点，连O1Q和O2Q，求：图中阴影部分面积.图7-68〔解〕连O1A，O2B可求得外公切线长AB＝2 ＝2 (cm)∵QP⊥O1O2，∴QP是⊙O1，⊙O2的内公切线，由切线长定理知AQ＝QP＝QB，∠＝O1QO2＝∠AQB＝90°.∴QP＝AB＝(cm)在Rt△QO1P中，tg∠QO1P＝＝，∴∠QO1P＝30°，∴∠QO2P＝60°∴S阴＝S －S -S ＝O1O2·QP－-＝×4× - π- ＝2 - π(cm2).〔说明〕此题就是将一个不规则图形的面积化归为几个已学过的图形面积的和差形式.练习一、填空题1.扇形的弧长是2πcm，半径是10cm，则此扇形的面积是 .2.圆心角为n°，面积为S的扇形的半径是 .3.如果圆的周长是π，则圆的面积是 .4.如下图7-75，C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，OC，OD是半径，且半径为长6，CD为弦，则图中阴影部分的面积是 .图7-75 图7-765.如图7-76，Rt△ABC中两直角边AC＝4cm，BC＝5cm，分别以AB，AC，BC为直径的三个半圆所围成的两个新月形(图中阴影部分)的面积和为平方厘米.图7-776.如图7-77，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，以A为圆心，以AC的长为半径画弧与AB 相交于D，若图中阴影部分的面积为6πcm2，则AB＝ cm.7.若扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积是 .二、选择题1.如图7-78，以边长为a的正三角形的三个顶点为圆心，以边长一半为半径画弧，则三弧所围成的阴影部分的面积是( )A. (2 -π)；B. (2 -π)；C. +D. a2.2.如图7-79，正方形ABCD的边长为1cm，以CD为直径在正方形内画半圆，再以C为圆心，1cm 长为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为( )A. cm2B. cm2C. cm2D. cm2图7-78 图7-79 图7-803.三个半径为R的圆两两外切，则夹在三个圆之间部分的面积是( )A. R2- πR2B. R2- πR2C.( -1)R2D. R2-R24.如图7-80，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，再以AB为直径作半圆，所得月牙形面积为( )A.大于S△OABB.等于S△OABC.小于S△OABD.以上都有可能三、解答题1.如图7-81所示，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点A为圆心，AB为半径作，由AD的中点E，作EF∥AB，交BC于F，交于G，再以E为圆心，ED为半径作交EF于H，试求图中阴影部分的面积.图7-81 图7-822.如图7-82所示，正三角形ABC的高AD＝4cm，以AD为直径作圆分别交AB、AC于E、F，求阴影部分的面积.四、1.如图7-83所示，已知直角梯形ABCD中，∠D＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以斜腰AB为直径的半圆切CD于E，交AD于F.求图中阴影部分的面积.图7-83 图7-842.如图7-84所示，已知⊙O1与⊙O2的公共弦为AB，若AB分别为⊙O1和⊙O2的内接正三角形和内接正六边莆的一边，且AB＝a，求两圆公共部分的面积.答案：一、1.10πcm2 2. 3. 4.6π 5.10 6.12 7.140πcm2二、1.A 2.C 3.D 4.B。
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章 第4节 弧长和扇形面积人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧长和扇形面积 1. 弧长和扇形面积.2. 圆锥的侧面积和全面积.二、知识要点：1. 弧长和扇形面积（1）圆的周长公式C ＝2πR ，n °的圆心角所对的弧长l ＝n πR180.（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.（3）圆的面积公式S ＝πR 2，圆心角为n °的扇形的面积公式S 扇形＝n πR 2360. 当扇形所对的弧长为l 时，S 扇形＝12l R.2. 弓形面积（1）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.（2）当弓形所含的弧是劣弧时，S 弓形＝S 扇形－S △；当弓形所含的弧是优弧时，S 弓形＝ S 扇形＋S △.3. 圆锥的侧面积和全面积连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥的母线都相等. 如果把圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展开在一个平面上，那么它的展开图是一个扇形. 如图所示，这个扇形的半径是圆锥的母线长SA ，弧长是圆锥底面圆的周长.如图中，高SO ＝h ，底面圆的半径OA ＝r ，母线SA ＝l ，则有h 2＋r 2＝l 2，侧面展开图中，扇形的半径为1，弧长︵AC 为2πr .圆锥的侧面积S 侧＝12l ·2πr ＝πrl ；全面积S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.r三、重点难点：本节课的重点是计算弧长和扇形面积以及圆锥的侧面积和全面积. 难点是对弧长和扇形面积公式的理解和公式变形后的灵活运用.四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分. 考查内容主要包括：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似、三角函数的综合运用.【典型例题】例1. 已知扇形的圆心角为270°，弧长为12π. 求扇形的面积.分析：根据扇形面积计算公式S ＝n πr 2360＝12lr . 已知n ＝270，l ＝12π. 不管用哪一个公式都必须先求出r ，可借助弧长公式l ＝n πr180求出r .解法一：设扇形半径为r .因为l ＝n πr 180，所以r ＝180l n π＝180×12π270×π＝8.所以S 扇形＝n πr 2360＝270×π×82360＝48π.解法二：设扇形半径为r . 由解法一知r ＝8.所以S 扇形＝12lr ＝12×12π×8＝48π.评析：扇形面积计算公式有两个，解题时要灵活选用. 特别是题目条件中弧长已知时，用S ＝12lr 计算较简便.例2. 如图所示，当半径为30cm 的圆（轮）转动过120°角时，传送带上的A 物体平移的距离为__________cm .分析：A 物体平移的距离相当于圆上的120°的圆心角所对的弧长. ∵R ＝30cm ，n ＝120，∴l ＝120·π·30180＝20π（cm ）.解：20π评析：关键是找出A 物体平移的距离与圆弧长的关系，也可以通过实验操作，或想象圆转动来确立. 在填答案时，由于没有确定精确度，故可以保留π.例3. （1）如图①所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 两两不相交，且半径都是1，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）A. π12B. π8C. π6D. π2（2）如图②所示，有一圆锥形粮堆，从正面看它是一个边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线长是__________m . （结果不取近似值）BB②③分析：（1）∵S 扇1＝n 1πR 2360，S 扇2＝n 2πR 2360，S 扇3＝n 3πR 2360. ∴S 阴＝S 扇1＋S 扇2＋S 扇3＝n 1πR 2360＋n 2πR 2360＋n 3πR 2360＝πR 2360（n 1＋n 2＋n 3）＝πR 2360×180＝π2，故正确答案为D. （2）设展开后扇形的圆心角为n °，则n π×6180＝π×6，解得n ＝180. 所以圆锥侧面展开后为半圆，且AB⊥AC. 在R t △ABP 中，AB ＝6，AP ＝3，则BP ＝35（m ）.解：（1）D （2）3 5例4. 如图所示，在R t △ABC 中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝6cm ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C ’处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是__________cm 2. （不取近似值）A分析：图中的阴影部分可以看成是由△A ’BC ’与扇形ABA ’的和减去△ABC 与扇形CBC ’，由旋转得S △ABC ＝S △A ’BC ’，∠ABA ’＝180°－∠A ’BC ’＝180°－60°＝120°，AB ＝6cm ，又扇形CBC ’中，∠CBC ’＝∠ABA ’＝120°（旋转角），BC ＝12AB ＝12×6＝3（cm ），因此S 扇形ABA ’＝120×π×62360＝12π（cm 2），S 扇形CBC ’＝120×π×32360＝3π（cm 2），∴S 阴影部分＝S 扇形ABA ’－S 扇形CBC ’＝12π－3π＝9π（cm 2）.解：9π评析：组合图形（不规则图形）面积，通常将其转化成规则图形的面积或规则图形面积的和差.例5. 如图所示，已知R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20cm ，BC ＝15cm ，以直线AB 为轴旋转一周，得到一个锥体，求这个几何体的表面积.分析：这个几何体的表面积是两个圆锥侧面积的和. 其中AB 为旋转轴，OC 为旋转半径，OC 就是△ABC 的高，可用面积法求得OC. 旋转结果为两个共底的圆锥，这两个圆锥的母线分别为AC 和BC.ACO解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝20，BC ＝15. AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25. ∵AB 为旋转轴，∴旋转半径OC ＝AC ·BC AB ＝20×1525＝12，且旋转结果为两个共底的圆锥.S 上＝12×2π×OC ×AC ＝π×12×20＝240π（cm 2），S 下＝12×2π×OC ×BC ＝π×12×15＝180π（cm 2），∴这个几何体的表面积S ＝240π＋180π＝420πcm 2. 答：这个几何体的表面积是420πcm 2.评析：本题考查学生的空间想像能力，对旋转体概念理解能力，对旋转体表面积的计算能力.【方法总结】1. 本课是关于圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、以及圆锥侧面积的计算，我们应该熟记它们的计算公式.2. 把不规则图形的面积通过“和差法”、“割补法”、“等积代换法”等方法转化成规则图形面积来解决.【预习导学案】（随机事件和概率）一、预习前知1. 随意地向上抛一枚硬币，落地后有几种可能？2. 在做“锤子、剪刀、布”的游戏时，你知道获胜的把握有多大吗？二、预习导学1. 必然事件是指__________，不可能事件是指__________，随机事件是指__________.2. 下列事件： （1）任意三角形内角和都是180°；（2）任意选择电视的某一频道，它正在播放新闻；（3）两条线段可以组成一个三角形，其中__________是必然事件，__________是不可能事件，__________是随机事件.3. 若一袋中装有大小、质地等完全相同的5个黑球、8个白球，在看不到球的情况下，随机摸出一球，摸到__________球的可能性大. 若想让摸到另一种颜色的球的可能性大，应如何设计__________.4. 概率是指事件发生的__________稳定在某个__________附近，则这个__________就叫做这个事件的概率. 如抛掷硬币时，“正面向上”的频率约为0.5，则说此事件发生的概率约为__________. 反思：（1）如何划分事件发生的可能性？（2）如何理解试验频率与概率的关系？ （3）影响概率大小的因素有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如图，已知⊙O 的半径OA ＝6，∠AOB ＝90°，则∠AOB 所对的弧AB 的长为（ ） A. 2π B. 3π C. 6π D. 12πAB2. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（ ）A. 10π3cmB. 20π3cmC. 25π3cmD. 50π3cm3. 若扇形的圆心角是150°，扇形的面积是240πcm 2，则扇形的弧长是（ ） A. 5πcm B. 20πcm C. 40πcm D. 10πcm4. 如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 互不相交，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）A. ππ C. 2ππ*5. 如图所示，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ） A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)6. 如图，︵AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为︵AD 上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ）A. 15B. 20C. 15＋5 2D. 15＋5 5ABD*7. 如图，用两道绳子捆扎着三瓶直径均为8cm 的酱油瓶，若不计绳子接头（π取3），则捆绳总长是（ ）A. 24cmB. 48cmC. 96cmD. 192cm**8. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°二、填空题1. 一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，那么这条弧长为__________.2. 已知R t △ABC ，斜边AB ＝13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65πcm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于__________.3. 如图所示为一弯形管道，其中心线上一段圆弧AB. 已知半径OA ＝60㎝，∠AOB ＝ 108，则管道的长度（即弧AB 的长）为__________cm （结果保留π）4. 某校校园里修了一个面积为16平方米的正方形花坛（如图所示），学校准备将阴影部分种上花，其余部分种草，则种花的面积是__________平方米.*5. 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为__________（结果保留π）6. 小红要过生日了，为了筹备生日聚会，她准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽. 如图所示，圆锥帽底面半径为9cm，母线长为36cm，请你帮助她计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为__________.36cm9cm三、解答题1. 如图所示，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.*2. 如图所示，等腰R t△ABC中斜边AB＝4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来. （结果用π表示）3. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，若直角三角形ABC绕AB旋转所得的圆锥的侧面积和矩形ABCD绕AB旋转所得到的圆柱的侧面积相等，求BC的长.ADB C**4. 如图所示，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的X围面积是多少？【试题答案】一、选择题1. B2. B3. B4. B5. C6. C7. C8. D二、填空题1. 32π2. 12cm3. 36π4. 85. 38π 6. 324πcm 2三、解答题1. 将圆锥沿过A 点的母线展开，爬行最短路径是从展开扇形弧的一端沿直线爬行到另一端. 这一长度是33r .2. 连接OE ，则△OEB 是等腰直角三角形，且面积为1. 扇形OEF 的面积为14π，阴影部分面积为2－12π3. 根据题意12×2π×BC ×AC ＝2π×BC ，即AC ＝2，在R t △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝ 3.4. 活动X 围由3部分（图中阴影部分）组成：半径为14、圆心角为270°的扇形一个，半径为14－10＝4、圆心角为90°的扇形两个. 狗的活动面积是：270π×142360＋2×90π×42360＝155π。
九年级数学圆、扇形、弓形的面积2
圆、扇形、弓形的面积教学设计(一)明确目标上节课学习了弓形面积的计算，并且从中获得了简单组合图形面积的计算可转化为规则图形的和与差来解决的方法．今天我们继续学习“7．20圆、扇形、弓形的面积(三)”，巩固化简单组合图形为规则图形和与差的方法．(二)整体感知学生在学习弓形面积计算的基础上，获得了通过分解简单组合图形，计算其面积的方法．但要正确分解图形，还需一定题量的练习，所以本堂课为学生提供练习题让学生们互相切磋、探讨．通过正多边形的有关计算的复习进一步理解正多边形与圆的关系，随着正多边形边数增加，周长越来越趋向于圆的周长，面积越来越趋向于圆的面积，使学生初步体会极限的思想，了解S△与S扇形之间的关系．(三)重点、难点的学习和目标完成过程：(复习提问)：1．圆面积公式是什么？2．扇形面积公式是什么？如何选择公式？3．当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4．当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5．当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？(以上各题均安排中下生回答．)(幻灯显示题目)：如图7-168，已知⊙O上任意一点C为圆心，以R从题目中可知⊙O的半径为R，“以⊙O上任意一点C为圆心，以R为半径作弧与⊙O相交于A、B．”为我们提供的数学信息是什么？(安排中上生回答：A、B到O、C的距离相等，都等于OC等于R．)转化为弓形面积求呢？若能，辅助线应怎样引？(安排中等生回答：能，连结AB．)大家观察图形不难发现我们所求图形实质是两个弓形的组合，即倍？(安排中下生回答：因已知OA=OC=AC所以△OAC是等边三角同学们讨论研究一下，S△AOB 又该如何求呢？(安排中上等生回答：求S△AOB，需知AB的长和高的长，所以设OC与AB交点为D．∵∠AOC=60°，OA=R∴解Rt △AOD就能求出AB与高OD．)连结OC交AB于D怎么就知OD⊥AB？(安排中等生回答：根据垂径定理∵C是AB中点．)同学们互相研究看，此题还有什么方法？下面给出另外两种方法，供参考：幻灯展示题目：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积．请同学们仔细观察图形，思考如何分解这个组合图形．同学间互相讨论、研究、交流看法：现将学生可能提出的几种方案列出，供参考：方案1．S阴=S正方形-4S空白．观察图形不难看出SⅡ+SⅣ=S正方形-方案2．观察图形，由于正方形ABCD∴∠AOB=90°，由正方形的轴对称性可知阴影部分被分成八部分．观察发现半圆AOB的面积-△即可．即S阴=4S瓣而S瓣=S半⊙-S△AOB∴S阴=4．(S半⊙-S△AOB)=2S⊙-4S△AO B=2S⊙-S正方形．方案4．观察扇形EAO，一瓣等于2个弓形，一个S弓形=S扇OA-方案5．观察Rt△ABC部分．用半圆BOC与半圆AOB去盖Rt△ABC，发现这两个半圆的和比Rt△ABC大，大出一个花瓣和两个弓形，而这两个弓形的和就又是一个瓣．因此有2个S瓣=2个S半圆-SRt△ABC=方案6．用四个半圆盖正方形，发现其和比正方形大，大的部分恰是S即：在学生们充分讨论交流之后，要求学生仔细回味展示出来的不同解法．尤其要琢磨这些解法是怎样观察、思考的．幻灯展示练习题：1．如图7-176，已知正△ABC的半径为R，则它的外接圆周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆面积是____；2．如图7-177，已知正方形ABCD的半径R，则它的外接圆周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆面积是____；它的内切圆面积3．如图7-178，已知正六边形ABCDEF的半径R，则它的外接圆的周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆将上面三片复合到一起．如图7-179，让学生观察，随着正多边形边数的增加，周长和面积有什么变化？(安排中等学生回答：随着正多边形边数的增加，周长越来越接近圆的周长，面积越来越接近圆的面积．)正因为如此，所以古代人用增加正多边形边数的方法研究圆周率π，研究圆的周长与圆的面积的计算．大家再观察，随着正多边形边数的增加，边长越来越接近于弧，再看正多边形的边心距越来越接近于圆的半径，所以以边长为底，边心距(四)总结、扩展安排学生归纳所学知识内容：1．简单组合图形的分解；2．复习了正多边形的计算以及以此为例，复习了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算．进一步理解了正多边形和圆的关系定理．(五)布置作业略。
九年级数学圆、扇形、弓形面积
初中数学新课程标准教材数学教案(2021—2021学年度第二学期)学校：年级：任课教师：数学教案/初中数学/九年级数学教案编订：XX文讯教育机构初中数学教案文讯教育教学设计圆、扇形、弓形的面积教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目,学习后学生能得到全面的开展和提高。
本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。
(一)教学目标：1、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；2、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力；3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊〞的辩证思想．教学重点：扇形面积公式的导出及应用．教学难点：对图形的分析．教学活动设计：〔一〕复习〔圆面积〕⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？S=πR2我们在求面积时往往只需要求出圆的一局部面积，如图中阴影图形的面积．为了更好研第2页共13页初中数学教案文讯教育教学设计究这样的图形引出一个概念．扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．提出新问题：⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积．〔二〕迁移方法、探究新问题、归纳结论1、迁移方法教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：1〕圆周长C=2πR；2〕1°圆心角所对弧长=；3〕n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；4〕n°圆心角所对弧长=．归纳结论：假设设⊙ O半径为R，n°圆心角所对弧长l，那么〔弧长公式〕2、探究新问题教师组织学生比照研究：1〕圆面积S=πR2；2〕圆心角为1°的扇形的面积=；〔3〕圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；第3页共13页初中数学教案文讯教育教学设计〔4〕圆心角为 n°的扇形的面积=．归纳结论：假设设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积 S扇形，那么S扇形=〔扇形面积公式〕〔三〕理解公式教师引导学生理解：〔1〕在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要注意公式中 n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；〔2〕公式可以理解记忆〔即按照上面推导过程记忆〕；提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？〔教师组织学生探讨〕S扇形=lR想一想：这个公式与什么公式类似？〔教师引导学生进行，或小组协作研究〕与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了．这样比照，帮助学生记忆公式．实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限．要让学生在理解的根底上记住公式．〔四〕应用练习：1、扇形的圆心角为120°，半径为2，那么这个扇形的面积，S扇=____．第4页共13页初中数学教案文讯教育教学设计2、扇形面积为，圆心角为120°，那么这个扇形的半径R=____．3、半径为 2的扇形，面积为，那么它的圆心角的度数=____．4、半径为 2cm的扇形，其弧长为，那么这个扇形的面积，S扇=____．5、半径为 2的扇形，面积为，那么这个扇形的弧长=____．〔，2，120°，，〕例1、正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．学生独立完成，对根底较差的学生教师指导〔1〕怎样求圆环的面积？〔2〕如果设外接圆的半径为R，内切圆的半径为 r，R、r与边长a有什么联系？解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S?、S?．S=．∵，∴S=．说明：要注意整体代入．对于教材中的例2，可以采用典型例题中第4题，充分让学生探究．课堂练习：教材P181练习中2、4题．〔五〕总结第5页共13页初中数学教案文讯教育教学设计知识：扇形及扇形面积公式S扇形=，S扇形=lR．方法能力：迁移能力，比照方法；计算能力的培养．〔六〕作业教材P181练习1、3；P187中10．(二)教学目标：1、在复习稳固圆面积、扇形面积的计算的根底上，会计算弓形面积；2、培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；3、通过面积问题实际应用题的解决，向学生渗透理论联系实际的观点．教学重点：扇形面积公式的导出及应用．教学难点：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立．教学活动设计：〔一〕概念与认识弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．弦AB把圆分成两局部，这两局部都是弓形．弓形是一个最简单的组合图形之一．〔二〕弓形的面积提出问题：怎样求弓形的面积呢？第6页共13页初中数学教案文讯教育教学设计学生以小组的形式研究，交流归纳出结论：1〕当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；2〕当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；3〕当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半．理解：如果组成弓形的弧是半圆，那么此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧那么它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组成弓形的弧是优弧，那么它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积．也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确．〔三〕应用与反思练习：如果弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_____；如果弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_____．〔学生独立完成，稳固新知识〕例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是，其中水面高是．求截面上有水第7页共13页初中数学教案文讯教育教学设计的弓形的面积．(精确到0.01m2)教师引导学生并渗透数学建模思想，分析：1〕“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是〞为你提供了什么数学信息？2〕求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？3〕扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？学生完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法．反思：①要注重题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，根据条件特征，灵活应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决．例4、：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作．求与围成的新月牙形ACED的面积S．解：∵，有∵，，∴．组织学生反思解题方法：图形的分解与组合；公式的灵活应用．第8页共13页初中数学教案文讯教育教学设计〔四〕总结1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；2、应用弓形面积解决实际问题；3、分解简单组合图形为规那么圆形的和与差．〔五〕作业教材P183练习2；P188中12．(三)教学目标：1、掌握简单组合图形分解和面积的求法；2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力；3、渗透图形的外在美和内在关系．教学重点：简单组合图形的分解．教学难点：对图形的分解和组合．教学活动设计：〔一〕知识回忆复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形第9页共13页初中数学教案文讯教育教学设计的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？〔二〕简单图形的分解和组合1、图形的组合让学生认识图形，并体验图形的外在美，激发学生的研究兴趣，促进学生的创造力．2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影局部)的面积．以小组的形式协作研究，班内交流思想和方法，教师组织．给学生开展思维的空间，充分发挥学生的主体作用．归纳交流结论：方案1．S阴=S正方形-4S空白．方案2、S阴=4S瓣=4(S半圆-S△AOB)=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD方案3、S阴=4S瓣=4(S半圆-S正方形AEOF)=2S圆-4S正方形AEOF=2S圆-S正方形ABCD方案4、S阴=4S半圆-S正方形ABCD第10页共13页反思：①形的分解不同，解的易程度不同，解中要真察形，追求最美的解法；②形的美也存在着内在的律．1：如，的半径r，分以周上三个等分点心，以r半径画弧，阴影局部面是多少?分析：OA，阴影局部可以看成由六个相同的弓形AmO成．解：AO，P其中一个三等分点，PA、PO，△POA是等三角形．．∴明：①形的分解与重新合是重要方法；②本可以用下面方法求：假设AB，用六个弓形APB的面减去⊙O面，也可得到阴影局部的面．2：教材P185第1例5、⊙O的半径R．〔1〕求⊙O的内接正三角形、正六形、正十二形的周与⊙O直径〔2R〕的比；〔2〕求⊙O的内接正三角形、正六形、正十二形的面与面的比(保存两位第11页共13页例5的计算量较大，老师引导学生完成．并进一步稳固正多边形的计算知识，提高学生的计算能力．说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关．实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值．从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积〔三〕总结1、简单组合图形的分解；2、进一步稳固了正多边形的计算以，稳固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算．3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理．〔四〕作业教材P185练习2、3；P187中8、11．探究活动四瓣花形在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花〞图形，如图(1)所示．第12页共13页初中数学教案文讯教育教学设计再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形〞，如图(12)所示．探讨：〔1〕两图中的圆弧均被互分为三等份．2〕两朵“花〞是相似图形．3〕试求两“花〞面积提示：分析与解(1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°．从而，∠ADP=30°．同理∠CDQ=30°．故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点．由对称性知，四段弧均被三等分．如果证明了结论(2)，那么图(12)也得相同结论．如图〔22〕所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图(1)的缩影．显然两“花〞是相似图形；其相似比是AB﹕EF=﹕1．(3)花形的面积为：，．XX文讯教育机构WenXunEducationalInstitution第13页共13页。
人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》圆PPT课件(第1课时)
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A
圆、扇形、弓形的面积 人教版 九年级数学
弧长=____．
3
答案:
4 3
、2、120°、34、
、4
3
.
例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外 接圆组成的圆环的面积．
解：设正三角形的外接圆、内切圆 的半径分别为R，r，面积为S1、 SS=2．S 1 S 2 R 2 r 2 ( R 2 r 2 )．
∵ R2 r2 (a)2 a2 ，∴S=
第七章 圆
7.20 圆、扇形、弓形的面积
一 复习 已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
二 新课
S=πR2
1. 扇形的定义是什么?
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图
形叫做扇形．如图, 阴影部分
即为扇形.
O
n° R
A
B
l
2.已知⊙O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的面 积?
研究问题的步骤:
的面积，S扇=____．
2、已知扇形面积为 4 ，圆心角为120°，则这个扇形
的半径R=____． 3
3、已知半径为2的扇形，面积为 4 ，则它的圆心角的
度数=____．
3
4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 4 ，则这个扇
形的面积，S扇=____．
3
5、已知半径为2的扇形，面积为 4 ，则这个扇形的
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
注意:
（1）在应用扇形的面积公式S扇形= 要注意公式中n的意义．n表示1°
nR 2
圆360心
进行计算时， 角的倍数，它
是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？
扇形弓形和面积的计算
扇形弓形和面积的计算扇形、弓形和面积的计算扇形弓形和面积的计算是几何学中的基本问题之一。
在解决这个问题时，我们需要了解扇形和弓形的定义、性质以及计算公式。
本文将详细介绍扇形和弓形的概念，并给出计算它们的面积的方法。
一、扇形的定义和性质：扇形是指以一个圆心角为度数，且半径固定的圆的一部分。
它的边界由圆心、半径和两条半径所夹的弧组成。
扇形在日常生活中经常出现，比如钟面、风扇等。
扇形面积的计算公式为：扇形面积 = (圆心角 / 360°) ×圆的面积其中，圆心角是扇形所对应的圆的圆心的角度，圆的面积是指整个圆的面积。
二、弓形的定义和性质：弓形是指以一条圆周弧为边界的封闭区域，与此同时，它还与圆心有关。
弓形可以理解为一个扇形减去一个三角形。
弓形面积的计算公式为：弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积其中，扇形面积的计算公式我们已经在上面提到过了，而三角形面积可以通过以下公式计算：三角形面积 = (底边长 ×高) / 2有了以上的定义和性质，我们可以通过以下步骤来计算扇形和弓形的面积：步骤一：确定扇形或者弓形所对应的圆的半径和圆心角。
步骤二：根据上述给出的公式计算扇形的面积。
步骤三：如果题目要求计算的是弓形的面积，则根据上述给出的公式计算三角形的面积。
步骤四：将步骤三得到的三角形的面积从步骤二得到的扇形的面积中减去，即可得到弓形的面积。
需要注意的是，计算面积时所用的单位一定要一致，比如长度单位和面积单位要统一。
例如，对于一个半径为5cm的扇形，其圆心角为60°，我们可以按照以下步骤计算其面积：步骤一：半径r = 5cm，圆心角θ = 60°。
步骤二：扇形的面积= (60° / 360°) × π × r² = (1/6) × 3.14 × 5² = 13.09cm²（保留两位小数）。
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S扇环
1 2(l1l2)h圆、扇形、 弓形的面积
如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两 竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为 30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸 部分面积是多少呢？
什么是扇形？ 怎样计算扇形面积？
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径 所组成的图形
回忆弧长计算公式的 推导过程，你能否相 应地推出扇形面积的 计算公式呢？
观察扇形面积公式， 你发现它和弧长公式 之间有什么关系？
S扇形
n R2
360
1 S扇形 2 lR
已知正三角形的边长为a， 求它的内切圆与外接圆组成 的圆环的面积。
把上题中的正三角形改为正方 形，结果会怎样？ 猜想：正五边形、正六边形时 又会怎样？ 用文字表达你得到的结论。
求不规则图形面积时， 要认真观察图形，准 确分解与组合，化归 为常见的基本图形。
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形
S弓形= S扇形-S△AOB
S弓形= S扇形+S△AOB
S弓形=S半圆
水平放着的圆柱形水管 的截面半径是0.6m，其 中水面高是0.3m。求截 面上有水的弓形的面积 （精确到0.01m2）
如图，⊙O的半径为R，直 径AB⊥CD，以B为圆心， 以BC为半径作弧CED。求 弧CED与弧CAD围成的新 月形ACED的面积S。
已知⊙O的半径为R。 （1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正 十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值； （2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正 十二边形的面积与圆面积的比值（保留两位 小数）
若把两个圆心角相等的扇形看作有一条曲 边的三角形，则这两个扇形“相似”，由 类比法可以得出一些有趣的性质：
如图，⊙O1与⊙O2外切于 C，AB为两圆公切线，A、 B为切点，若⊙O1、⊙O2 半径为3R、R。求： （1）AB的长； （2）阴影部分面积。
如图，已知A为⊙O外一点， 连结OA交⊙O于P，AB为 ⊙O的切线，B为切点，AP ＝5cm，AB＝ cm，5则3劣 弧BP与AB、AP围成的阴影 部分面积为多少？
相似扇形的弧长比等于半径比
相似扇形非曲边上的高之比及中线之比都等于 扇形半径之比
相似扇形的外接圆半径之比和内切圆半径之比 都等于扇形半径之比
相似扇形周长之比等于扇形半径之比
相似扇形面积之比等于扇形半径之比的平分
扇形曲边三角形 扇环？？ 由此猜想扇环还可以怎样计算呢？ 有能力的话，你能推导吗？ 看看课本181页11题