江苏省镇江第一中学

．
16
所围成的三角形面积为 2 x0 2x0 6
故曲线 y f (x) 上任一点处的切线与直线
x 0，y x 所围成的三角形的面积为
定值，此定值为6.
知识点三
N (2x0 ,2x0 )
o
P ( x0
,
x0
3 x0
)
M
(0, 6 ) x0
解答
三：利用导数判断单调性、求极 值和最值
例题1：已知函数 f (x) x3 3x
（-1，1）处的切线方程.
解： y x2 x 1 y' 2x 1
所以切线的斜率为k 2(1) 1 1
切线方程为 y 1 (x 1)
即 y x 小结：若切点为（x0,y0),则切 线方程为y-y0=f/(x0)(x-x0)
变题：过点（－1，0）作抛物线
y x2 x 1的切线，求切线方程.
cos x) (1 cos
(1 x)2
sin
x) sin
x
cos x 1 sin x (1 cos x)2
（2） y
x3
3
x2
sin x x2
y/
3x2
3
5
x2
x2
cos
x
2x3
sin
x
2
题目
解（3） y (1 x )2 (1 x )2 (1 x )(1 x )
2(1 x) (x 0 且 x 1 ）
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间；
新疆 王新敞
奎屯
（Ⅱ）求 f (x) 在区间[-3，2]上的最值．
，
新疆 王新敞
奎屯
解(I)Q f (x) x3 3x, f '(x) 3x2 3 3(x 1)(x 1).
若 x (, 1) U(1, ),则 f '(x) 0
故 f (x) 在(, 1)上是增函数，
导数
王建华 江苏省镇江第一中学
高考趋势
导数作为进入高中考试范围的新内容， 在考试中占比较大．其中涉及到导数的定义， 导数的计算，导数的几何意义，导数的性质 等等。利用导数研究函数的性质是导数的一 个重要知识，主要包含是利用导数求函数的 单调区间、求函数的极值和最值，这些内容 都是近年来高考的重点和难点，大多数试题 以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压 轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区 间，其次求函数的极值和最值，有时涉及用
的三角形面积为定值，并求此定值．
．
（2）
图形
解（Ⅰ）方程7x 4y 12 0可化为y 7 x 3
．
当 x 2 时，y 1 ，又 f
2
2aabb2712，，解得
(
x)
a
b x2
a 1， b 3.
4
，于是
4 4
3
（Ⅱ）设故知注数曲Pf(意解线x(0x，： 析在)y利式0点)为xP用曲(x切x线0，线上y方任0 )处一程的点求切，函线由方y 程1为x32
题目
y
令
y0
x
1
3 x02
0得
(
y
xx06)即 ，从y 而 x0得 切x30 线 与1直x302线 (
x0
x x0 )
x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的交点坐标为M 令y x得 y x
02，x0x，60 从而得切线与直线
y x的交点坐标为N (2x0，2x0 )
． 所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x 0，y x
由于是在 x 0 和 x 附近的平均变化率，
2
可知 x较小，但x既可化为正，又可化为负.
当x
当x
00时时，，k1
0, k2
0，有
k1
k2
；
sin x cos x 1 sin x cos x 1
k1 k2 x x
x
2 sin(x ) 1
=
4
x
Q x 0,x
4
4
sin(x ) 2 从而有
解：y / 2x 1 ，点（－1，0）不在抛物
线上，所以设切点坐标x0 , y0 ，则切线率
为求 的y2x切位x002线置1，x时关0 且，系1y注0 (2意xx002（1x)10(x）1于x判0)是①断切，点线因和方为曲程线点为
. （－x1（ 为0 ，2y0-0）y）或设0=在切fx切0/(点x线0为2)上(（x代-0xx入00,x)0y①20)得,x0则切1切线 (线2方x0方程1程)为(1 x0)
y x 1 0, y 3x 3 0
例题2：设函数 f (x) ax b ，曲线
y f (x)在点 (2，f (2))处的切线x 方程为
7x 4y 12 0
．
（Ⅰ）求 f (x) 的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线 y f (x) 上任一点处的
切线与直线 x 0和直线 y x 所围成
f (x)在 (1, )上是增函数
若 x (1,1), f '(x) 0 则 f (x) 在 (1,1) 上是减函数
(II)Q f (3) 18, f (1) 2, f (1) 2, f (2) 2
当 x 3时，f (x) 在区间 3,2 取到
x)/
tan
x
x cos2
x
注意：1：熟练掌握导数运算公式和法则，
(能化简时，先化简）
2：熟记常见函数的导函数
题目
例题2：试比较正弦函数 y sin x 在
x
0和
x
2
附近的平均变化率哪一个大？
解：当自变量从0变到 x 时，函数的
当平 平自均 均变变变量化化从率率为为2 k变k21到sisni(n2xxxxx2)si时nsin0，2函si数cnosx的xxx 1
1 x
y/ 2 (1 x)/ (1 x) (1 x)/ (1 x) (1 x)2
4 (1 x)2
(x
0
且
x
1
）
题目
解（4） Q (tan x)/ ( sin x )/ cos x
(sin x)/ cos x sin x(cos x)/ 1
cos2 x
cos2 x
y/
x/
tan
x
x(tan
函数的单调性对不等式进行证明。
知识结构
一：导数的概念、求导法则、导 数运算
例1求下列函数的导数（1）y
1 sin x 1 cos x
(2) y x5
x sin x x2
(3) y 1 x 1 x
1 x 1 x
(4) y x tan x
题1，2
题3 题4 例题2
解（1)y/
cos
x(1
4
2
2 sin(x ) 1
2 sin(x 4) 1 0 k1 k2 0k1 k2
4
综上可知，试比较正弦函数 y sin x在
， x 0 附近的平均变化率大于在 x 2 附近的平均变化率.
注意：理解导数平均变化率的定义， 结合三角函数进行求解
二：利用导数求切线方程 例题1：求抛物线 y x2 x 1 在点