第1章工程随机数学基础习题-答案
工程数学练习题及答案
工程数学练习题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 极限的概念中，函数在某点的极限值是该点的（）。
A. 函数值B. 函数值的极限C. 函数值的近似值D. 函数值的导数2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + 1B. f(x) = x^3 - xC. f(x) = x^2 - x + 1D. f(x) = x^3 + x^23. 积分中的基本定理指出，函数的定积分等于（）。
A. 被积函数的原函数在积分区间的差值B. 被积函数的原函数在积分区间的和值C. 被积函数的导数在积分区间的差值D. 被积函数的导数在积分区间的和值4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...D. 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...5. 矩阵A的行列式为0，这意味着矩阵A（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 行向量线性相关D. 列向量线性无关二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1的导数为_________。
7. 函数f(x) = e^x的不定积分为_________。
8. 函数f(x) = sin(x)的原函数为_________。
9. 函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分为_________。
10. 矩阵A = [1, 2; 3, 4]的行列式为_________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 计算极限lim(x->0) [sin(x)/x]，并说明其意义。
12. 证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是凹函数，并求其最小值。
四、证明题（每题15分，共30分）13. 证明：对于任意实数x和y，有|f(x) - f(y)| ≤ M|x - y|，其中M为常数，f(x)为连续函数。
数学必修第一章算法初步基础训练及答案 3套
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工程数学基础第一次作业第一次答案
⼯程数学基础第⼀次作业第⼀次答案《⼯程数学基础(Ⅰ)》第⼀次作业答案你的得分：100.0完成⽇期：2013年09⽉03⽇20点40分说明：每道⼩题括号⾥的答案是您最⾼分那次所选的答案，标准答案将在本次作业结束(即2013年09⽉12⽇)后显⽰在题⽬旁边。
⼀、单项选择题。
本⼤题共20个⼩题，每⼩题4.0 分，共80.0分。
在每⼩题给出的选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
1.( D )A.(-6, 2, -4)B.(6, 2, 4)TC.(2, 6, 4)D.(3, 6, 4)T2.( D )A.B.C.D.3.设A为3x2矩阵，B为2x4矩阵，C为4x2矩阵，则可以进⾏的运算是 ( )( B )A.AC T BB.AC T B TC.ACB TD.ACB4.设A是可逆矩阵，且A+AB=I，则A-1 等于 ( )( C )A.BB.1+ BC.I + BD.(I-AB)-15. ( D )A.|A+B|=| A |+|B|B. | A B|=n| A||B|C. |kA|=k|A|D.|-kA|=(-k)n|A|6. ( D )A. 6B.-6C.8D.-87.设A B均为n阶⽅阵，则成⽴的等式是( )( B )A.|A+B|=| A |+|B|B.| A B|=| BA|C.(AB)T= A T B TD.AB= BA8.设A,B,C均为n阶⽅阵,下列各式中不⼀定成⽴的是 ( )( A )A.A(BC)=(AC)BB.(A+B)+C=A+(C+B)C.(A+B)C=AC+BCD.A(BC)=(AB)C9.设α1,α2,α3是3阶⽅阵A的列向量组，且齐次线性⽅程组Ax＝b有唯⼀解，则 ( )( B )A.α1可由α2,α3线性表出B.α2可由α1,α3线性表出C.α3可由α1,α2线性表出D.A,B,C都不成⽴10.设向量组A是向量组B的线性⽆关的部分向量组，则 ( )( D )A.向量组A是B的极⼤线性⽆关组B.向量组A与B的秩相等C.当A中向量均可由B线性表出时，向量组A，B等价D.当B中向量均可由A线性表出时，向量组A，B等价11.设n阶⽅阵A的⾏列式|A|=0则A中( )( C )A.必有⼀列元素全为0B.必有两列元素对应成⽐例C.必有⼀列向量是其余向量线性表⽰D.任⼀向量是其余向量的线性组合12. ( A )A.B.C.D.13. ( A )A.B.C.D.14. ( C )A.0B.-1C. 2D.-215.( B )A.B.C.D.16. ( C )A.B.C.D.17.( B )A.有唯⼀解B.⽆解C.只有0解D.有⽆穷多解18.( A)A. 1B. 2C. 3D. 419.( D )A.B.C.D.20.( D )A.B.C.D.三、判断题。
工程数学(本科)形考任务答案
工程数学作业（一）答案第 2 章矩阵（一）单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）⒈设，则（ D ）．A. 4B. － 4C. 6D. － 6⒉若，则（ A ）．A. B. － 1 C. D. 1⒊乘积矩阵中元素（ C ）．A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）．A. B.C. D.⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（ D ）．A. B.C. D.⒍下列结论正确的是（ A ）．A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵D. 若均为阶非零矩阵，则⒎矩阵的伴随矩阵为（ C ）．A. B.C. D.⒏方阵可逆的充分必要条件是（ B ）．A. B. C. D.⒐设均为阶可逆矩阵，则（ D ）．A. B.C. D.⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ A ）．A. B.C. D.（二）填空题（每小题 2 分，共 20 分）⒈7 ．⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 5 × 4 矩阵．⒋二阶矩阵．⒌设，则⒍设均为 3 阶矩阵，且，则72 ．⒎设均为 3 阶矩阵，且，则－ 3 ．⒏若为正交矩阵，则 0 ．⒐矩阵的秩为 2 ．⒑设是两个可逆矩阵，则．（三）解答题（每小题 8 分，共 48 分）⒈设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．答案：⒉设，求．解：⒊已知，求满足方程中的．解：⒋写出 4 阶行列式中元素的代数余子式，并求其值．答案：⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：⑴；⑵；⑶．解：（ 1 ）（ 2 ）( 过程略 ) (3)⒍求矩阵的秩．解：（四）证明题（每小题 4 分，共 12 分）⒎对任意方阵，试证是对称矩阵．证明：是对称矩阵⒏若是阶方阵，且，试证或．证明：是阶方阵，且或⒐若是正交矩阵，试证也是正交矩阵．证明：是正交矩阵即是正交矩阵工程数学作业（第二次）第 3 章线性方程组（一）单项选择题 ( 每小题 2 分，共 16 分 )⒈用消元法得的解为（ C ）．A. B.C. D.⒉线性方程组（ B ）．A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组的秩为（ A ）．A. 3B. 2C. 4D. 5⒋设向量组为，则（ B ）是极大无关组．A. B. C. D.⒌与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（ D ）．A. 秩秩B. 秩秩C. 秩秩D. 秩秩⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（ A ）．A. 可能无解B. 有唯一解C. 有无穷多解D. 无解⒎以下结论正确的是（ D ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组线性相关，则向量组（ A ）可被该向量组其余向量线性表出．A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量9 ．设 A ，Ｂ为阶矩阵，既是Ａ又是Ｂ的特征值，既是Ａ又是Ｂ的属于的特征向量，则结论（）成立．Ａ．是 AB 的特征值Ｂ．是 A+B 的特征值Ｃ．是 A － B 的特征值Ｄ．是 A+B 的属于的特征向量10 ．设Ａ，Ｂ，Ｐ为阶矩阵，若等式（Ｃ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（二）填空题 ( 每小题 2 分，共 16 分 )⒈当１时，齐次线性方程组有非零解．⒉向量组线性相关．⒊向量组的秩是３．⒋设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量是线性相关的．⒌向量组的极大线性无关组是．⒍向量组的秩与矩阵的秩相同．⒎设线性方程组中有 5 个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有２个．⒏设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为．9 ．若是Ａ的特征值，则是方程的根．10 ．若矩阵Ａ满足，则称Ａ为正交矩阵．（三）解答题 ( 第 1 小题 9 分，其余每小题 11 分 )1 ．用消元法解线性方程组解：方程组解为２．设有线性方程组为何值时，方程组有唯一解 ? 或有无穷多解 ?解：］当且时，，方程组有唯一解当时，，方程组有无穷多解３．判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式．其中解：向量能否由向量组线性表出，当且仅当方程组有解这里方程组无解不能由向量线性表出４．计算下列向量组的秩，并且（ 1 ）判断该向量组是否线性相关解：该向量组线性相关５．求齐次线性方程组的一个基础解系．解：方程组的一般解为令，得基础解系６．求下列线性方程组的全部解．解：方程组一般解为令，，这里，为任意常数，得方程组通解７．试证：任一４维向量都可由向量组，，，线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．证明：任一４维向量可唯一表示为⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．证明：设为含个未知量的线性方程组该方程组有解，即从而有唯一解当且仅当而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解9 ．设是可逆矩阵Ａ的特征值，且，试证：是矩阵的特征值．证明：是可逆矩阵Ａ的特征值存在向量，使即是矩阵的特征值10 ．用配方法将二次型化为标准型．解：令，，，即则将二次型化为标准型工程数学作业（第三次）第 4 章随机事件与概率（一）单项选择题⒈为两个事件，则（ B ）成立．A. B.C. D.⒉如果（ C ）成立，则事件与互为对立事件．A. B.C. 且D. 与互为对立事件⒊ 10 奖券中含有 3 中奖的奖券，每人购买 1 ，则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为（ D ）．A. B. C. D.4. 对于事件，命题（ C ）是正确的．A. 如果互不相容，则互不相容B. 如果，则C. 如果对立，则对立D. 如果相容，则相容⒌某随机试验的成功率为, 则在 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为（ D ）．A. B. C. D.6. 设随机变量，且，则参数与分别是（ A ）．A. 6, 0.8B. 8, 0.6C. 12, 0.4D. 14, 0.27. 设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（ A ）．A. B.C. D.8. 在下列函数中可以作为分布密度函数的是（ B ）．A. B.C. D.9. 设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则（ D ）．A. B.C. D.10. 设为随机变量，，当（ C ）时，有．A. B.C. D.（二）填空题⒈从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为．2. 已知，则当事件互不相容时， 0.8 ，0.3 ．3. 为两个事件，且，则．4. 已知，则．5. 若事件相互独立，且，则．6. 已知，则当事件相互独立时，0.65 ， 0.3 ．7. 设随机变量，则的分布函数．8. 若，则 6 ．9. 若，则．10. 称为二维随机变量的协方差．（三）解答题1. 设为三个事件，试用的运算分别表示下列事件：⑴中至少有一个发生；⑵中只有一个发生；⑶中至多有一个发生；⑷中至少有两个发生；⑸中不多于两个发生；⑹中只有发生．解 : (1) (2) (3)(4) (5) (6)2. 袋中有 3 个红球， 2 个白球，现从中随机抽取 2 个球，求下列事件的概率：⑴ 2 球恰好同色；⑵ 2 球中至少有 1 红球．解 : 设= “ 2 球恰好同色”，= “ 2 球中至少有 1 红球”3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是 2% ，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3% ，求加工出来的零件是正品的概率．解：设“第 i 道工序出正品”（ i=1,2 ）4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占 50% ，乙厂产品占 30% ，丙厂产品占20% ，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为 90%,85%,80% ，求买到一个热水瓶是合格品的概率．解：设5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布．解：……………………故 X 的概率分布是6. 设随机变量的概率分布为试求．解：7. 设随机变量具有概率密度试求．解：8. 设，求．解：9. 设，计算⑴；⑵．解：10. 设是独立同分布的随机变量，已知，设，求．解：工程数学作业（第四次）第 6 章统计推断（一）单项选择题⒈设是来自正态总体（均未知）的样本，则（ A ）是统计量．A. B. C. D.⒉设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（ D ）不是的无偏估计．A. B.C. D.（二）填空题1 ．统计量就是不含未知参数的样本函数．2 ．参数估计的两种方法是点估计和区间估计．常用的参数点估计有矩估计法和最大似然估计两种方法．3 ．比较估计量好坏的两个重要标准是无偏性，有效性．4 ．设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量．5 ．假设检验中的显著性水平为事件（ u 为临界值）发生的概率．（三）解答题1 ．设对总体得到一个容量为 10 的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值和样本方差．解：2 ．设总体的概率密度函数为试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数．解：提示教材第 214 页例 3矩估计：最大似然估计：，3 ．测两点之间的直线距离 5 次，测得距离的值为（单位： m ）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布的，求与的估计值．并在⑴；⑵未知的情况下，分别求的置信度为 0.95 的置信区间．解：（ 1 ）当时，由 1 －α＝ 0.95 ，查表得：- -- - 专业资料- 故所求置信区间为：（ 2 ）当 未知时，用 替代 ，查 t (4, 0.05 ) ，得故所求置信区间为： 4 ．设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知 ，抽查 10 个样品，求得均值为 17 ，取显著性水平，问原假设 是否成立． 解： ，由，查表得：因为> 1.96 ，所以拒绝 5 ．某零件长度服从正态分布，过去的均值为 20.0 ，现换了新材料，从产品中随机抽取 8 个样品，测得的长度为（单位： cm ）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5 问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）．解：由已知条件可求得：∵ | T | < 2.62 ∴ 接受 H 0。
工程数学基础试题及答案
工程数学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的值，这个值称为该点的极限。
以下哪个选项正确描述了极限的定义？A. 函数值在某点的值B. 函数值在某点的导数C. 函数值在某点的差分D. 函数值在某点的趋近值答案：D2. 以下哪个选项是连续函数的定义？A. 在某点可导B. 在某区间内可导C. 在某点有极限D. 在某区间内函数值无突变答案：D3. 微分中，dy/dx表示的是：A. 函数y的导数B. 函数y的积分C. 函数y的微分D. 函数y的不定积分答案：A4. 以下哪个选项是不定积分的定义？A. 函数的原函数B. 函数的导数C. 函数的微分D. 函数的极限答案：A5. 以下哪个选项是定积分的定义？A. 函数的原函数B. 函数在区间上的极限C. 函数在区间上的累积和D. 函数在区间上的导数答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分表示为∫_0^1 x^2 dx，其值为____。
答案：1/32. 函数f(x)=sinx的不定积分是____。
答案：-cosx + C3. 函数f(x)=e^x的导数是____。
答案：e^x4. 函数f(x)=lnx的导数是____。
答案：1/x5. 函数f(x)=x^3的二阶导数是____。
答案：6x三、计算题（每题10分，共20分）1. 计算定积分∫_0^π/2 sinx dx。
答案：12. 计算不定积分∫x^2 dx。
答案：1/3x^3 + C四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是增函数。
答案：略2. 证明函数f(x)=e^x在区间(-∞, +∞)上是连续函数。
答案：略五、应用题（每题20分，共20分）1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=0.01x^2+2x+100，其中x为生产数量。
2015工程随机数学(A)试卷及答案
武汉大学2015 —2016学年度第 一 学期《工程随机数学》试卷（A ）电子信息 学院 专业 班 学号 姓名 分数 1. （本题10分）将a ，b ，c 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为p ，而输出为其他一字母的概率都是(1-p)/2，今将字母串aaaa,bbbb,cccc 之一输入信道，三者输入的概率分别为p1, p2, p3 (p1+p2+p3=1)，已知输出为abcb ，问输入的是aaaa 的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的。
）解： 以A ，B ，C 分别表示事件“输入aaaa ”，“输入bbbb ”，“输入cccc ”，以D 表示事件“输出abcb ”。
由全概率公式和贝叶斯公式有1123()(|)(|)()(|)(|)(|)P AD P D A p P A D P D P D A p P D B p P D C p ==++ 这里 31(|)()2p P D A p -=，221(|)()2p P D B p -=，31(|)()2p P D C p -= 带入上式 31322312311221321()2(|)111()()()222(1)2131p p p P A D p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p-=---++-==--+++- 2. （本题10分）设随机变量~(0,1)X U 。
（1） 求 221Y X =+的概率密度。
（2）求(),()D x D y解：（1）由于2211Y X =+≥，故当1y <时，()0Y f y =. 当1y ≥ 时，2()()(21)(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=+≤=≤= 两边关于y 求导得1()0,Y Xyf y felse≥==⎩3.（本题15分）二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为2,01(,)0,.cx y x yf x yelse⎧≤≤≤=⎨⎩（1）确定常数c；（2）分析并判断X和Y是否相互独立？（3）求Z X Y=+的概率密度。
基础工程课后题答案
基础工程课后题答案基础工程课后题答案第一章线性代数1. 如何计算矩阵的秩？矩阵的秩指的是矩阵中线性无关的行或列的个数。
可以通过高斯消元法将矩阵化为行简化阶梯矩阵，然后数出非零行的个数。
2. 什么是特征向量和特征值？在矩阵运算中，存在这样一对向量和数，满足矩阵和向量相乘，得到的结果等于向量与数的乘积。
这里的向量称为特征向量，数称为特征值。
3. 如何求解线性方程组？可以使用高斯消元法或克拉默法则进行求解。
高斯消元法通过矩阵的初等行变换，将系数矩阵化为行最简形式，并求出未知数的解；克拉默法则利用行列式的概念，将系数矩阵和常数向量组成扩展矩阵，通过计算行列式求解未知数的值。
第二章微积分1. 什么是导数和微分？导数是函数在某一点处的变化率，是函数曲线在该点处的切线斜率。
微分是函数在某一点处与该点切线的斜率相等的线性函数，是对导数的一种基于微小量的近似表示。
2. 什么是函数的极值？函数在某一点处的导数为0，且在该点左右两侧导数符号相反，那么该点就是函数的极值点。
极大值和极小值分别对应函数取最大值和最小值的点。
3. 什么是定积分和不定积分？定积分是在给定区间上，对函数进行积分得到一个数值，表示函数在该区间上的面积。
不定积分是在给定函数的情况下，求出所有导数等于该函数的原函数，称为不定积分。
第三章工程力学1. 什么是平衡点？对于一个物体的受力状态，如果所受合外力的合力等于0，其所在的位置就是平衡点。
在平衡点上，物体不会发生运动或旋转。
2. 什么是受力分析？受力分析是通过对物体受到的各种作用力进行分析，了解物体受力情况的方法。
通常使用自由体图和受力图，分别表示受力物体和作用力的大小和方向，通过平衡方程式求解出物体的受力分布。
3. 什么是弹性形变和塑性形变？弹性形变是指物体受到小的外力作用后，恢复到初始形状的程度，称为弹性形变。
塑性形变是指物体受到大的外力作用后，无法完全恢复到初始形状，产生永久形变，称为塑性形变。
-随机数学-习题解答-第一章答案
1 证明 对可列不交并封闭的代数是σ代数.证：只需证1i i A +∞=∈F 。
先证：对可列不交并封闭的代数也对可列并封闭； 事实上，设F 为代数， i A ，1,2,i =，是F 上的可列个集合。
则11i i i i A B ∞∞===∑；其中1111,,2,3,...i cc i i B A B A A A i -===显然，,1,2,...i B i =是F 上的可列不交集列，由题设，1i i B ∞=∈∑F ，从而1i i A ∞=∈F ，。
由于F 为代数，故ciA ∈ F ，1,2,i =，从而1c i i A ∞=∈F ，，再由F 为代数，则1cc i i A ∞=⎛⎫∈ ⎪⎝⎭F ，，即1i i A +∞=∈F 。
证毕。
2 设C 为Ω上的集类，A ⊂Ω，令{|}A A B B ⋂=⋂∈C C ，记()A A σ⋂C 表示A ⋂C 生成的σ代数，则()()A A A σσ⋂=⋂C C ，此结论可推广至单调类和λ类. 3 设(,)ΩF ，(,)E E 和(,)G G 都是可测空间，f 为Ω到E 的关于F 的可测映射，h 为E 到G 的关于E 的可测映射，则h f 为Ω到G 的关于F 的可测映射. 4 （1）设,f g ∈U 可积，如果对于A ∀∈U ，都有AAfd gd μμ=⎰⎰，则f g =，..a s 成立；（2）设μ是σ有限测度，fd μ⎰和gd μ⎰存在，若对于A ∀∈U，都有AAfd gd μμ=⎰⎰，则f g =，..a s 成立.5 证明：设f 为(,,)μΩF上的可测函数，令1/(||)p p pff d μ=<+∞⎰，则存在简单函数列{,1}n f n ≥，使得lim 0n pn f f→+∞-=.6 设123(,),(,),(,)ΩΩΩA B C 为三个可测空间，证明()⨯⨯=⨯⨯A B C A B C7 设(,)f t ω满足：（1）1,(,)t R f t ∀∈⋅是(,)ΩF 的可测函数； （2）,(,)f ωω∀∈Ω⋅是1R 上的连续函数； 则f 是乘积空间1(,)R ⨯Ω⨯B F 上的可测函数.8 若在A ∈A 上随机变量X Y =，则(|)(|)A A E X E Y χχ=A A ，..a s 成立. 证：显然，(|)A E X χA 和(|)A E Y χA 都关于A 可测，且B ∀∈A ，(|)(|)(|)(|)A A A BBBAA A BBBE X dP E X dP X dPY dP E Y dP E Y dPχχχχχχ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰A A A A由条件期望的唯一性，(|)(|)A A E X E Y χχ=A A 。
工程数学单元测试参考答案
工程数学单元测试参考答案工程数学单元测试参考答案一、选择题1.答案：B。
根据题意，两个向量相加的结果是另一个向量，所以选项B正确。
2.答案：C。
根据题意，两个向量的数量积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值，所以选项C正确。
3.答案：A。
根据题意，两个向量的叉积是一个向量，所以选项A正确。
4.答案：D。
根据题意，两个向量的叉积的模长等于它们的模长乘积与它们夹角的正弦值，所以选项D正确。
5.答案：C。
根据题意，两个向量的数量积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值，所以选项C正确。
二、填空题1.答案：2。
根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式不等于0可知，方程组有唯一解，所以填2。
2.答案：(1, 2)。
根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式等于0可知，方程组有无穷多解，所以填(1, 2)。
3.答案：-1/2。
根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式等于0可知，方程组无解，所以填-1/2。
三、计算题1.答案：(2, -1)。
根据题意，对于二维向量的加法，将两个向量的对应分量相加即可，所以计算结果为(2+0, -1+(-1))=(2, -1)。
2.答案：(3, 0, -4)。
根据题意，对于三维向量的加法，将两个向量的对应分量相加即可，所以计算结果为(1+2, 0+0, (-1)+(-3))=(3, 0, -4)。
3.答案：(1, -1, -1)。
根据题意，对于两个向量的数量积，将两个向量的对应分量相乘再相加即可，所以计算结果为(1×1+(-1)×(-1)+(-1)×(-1))=(1, -1, -1)。
四、证明题1.答案：证明：设向量a=(a1, a2, a3)，向量b=(b1, b2, b3)，向量c=(c1, c2, c3)。
根据向量的数量积的性质，有：a·(b+c) = a1(b1+c1) + a2(b2+c2) + a3(b3+c3)= a1b1 + a1c1 + a2b2 + a2c2 + a3b3 + a3c3= (a1b1 + a2b2 + a3b3) + (a1c1 + a2c2 + a3c3)= a·b + a·c所以，向量的数量积满足分配律。
工程数学习题一答案
习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}；(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A .(2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件；(2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}；(7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ; (2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ； (4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件C B A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）；(2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）；(3) 所有三个事件都出现（记为3E ）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）；(5) 三个事件都不出现（记为5E ）；(6) 不多于一个事件出现（记为6E ）；(7) 不多于两个事件出现（记为7E ）；(8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
随机数学答案
随机数学答案【篇一：第1章工程随机数学基础习题_答案】t>习题 11．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
解：以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0,1,2,3,...,100n，所以试验的样本空间为is?{|i?0,1,2,...,100n}.n（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
4,5,...,18} 解：s?{3,（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
解：设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为11,12,...} s?{10?k|k?0,1,2,...}或写成s?{10,（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
s?{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}.（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
解：s?{(x,y)|0? x?1,0?y?1}（6）实测某种型号灯泡的寿命。
解：s?{x|x?0}2．设a，b，c为三事件，用a，b，c的运算关系表示下列各事件，。
（1）a发生，b与c不发生。
（2）a与b都发生，而c不发生。
（3）a，b，c中至少有一个发生。
（4）a，b，c都发生。
（5）a，b，c都不发生。
（6）a，b，c中不多于一个发生。
（7）a，b，c至少有一个不发生。
（8）a，b，c中至少有两个发生。
解：以下分别用d(i?1,2,...,8)表示(1),(2),...,(8)中所给出的事件。
注意到一个事件 i不发生即为它的对立事件的发生，例如事件a不发生即为发生。
（1）（2）a发生，b与c不发生，表示a,,同时发生，故d1d1?a?b?c。
?a或写成a与b都发生而c不发生，表示a,b,同时发生，故d2?ab或写成d2?ab?c。
随机数学基础-东南大学
E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.
4={0，1，2， }
1=0, 2=1, 3=2
E5:从一批电子元件中任取一只测试其寿命.
5={t| t≥0}
1.离散样本空间.
2.连续样本空间.
随机事件
“在一定条件下可能发生也可能不发生事情 ” 叫做随机事件,简称事件. 如E1中,“出现正面”; E3中，“出现偶数 点”; E5中{1000<t<3000}(小时). 随机事件：样本空间中样本点的集合
2 公理化定义：设为样本空间，A为事件， 对每一事件A赋予一实数P(A)，如果P(A)满 足如下三条公理：
(1)非负性： P( A) 0
(2)规范性：P() 1
(3)对两两互斥事件 Ai (i 1,2,),有
可列可加性: P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
命题：设 A1 , A2 ,..., An 是n个 事 件 ， 则 (1) P ( Ai ) P ( Ai )(次 可 加 性 )
i 1 n i 1 n n
( 2) P ( Ai ) 1 P ( Ai )
i 1 i 1
n
证明： (1)n 2时 结 论 成 立 。 设 n k时 成 立 ， 则 当n k 1时, 令A Ai , 有
A B “事件 : A与B至少有一个发生”
A B
A
k 1
k
: Ak , k 1,2,...至少有一个发生 .
3.事件的交：
A B:“事件A与B同时发生”
A B
A
k 1
k
: Ak , k 1,2,... 同时发生.
4.事件的差:
工程数学线性与概率练习答案
第一章行列式本次练习有100题，你已做10题，已提交10题，其中答对1题。
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1. 计算？（）A．B．C．D．参考答案：A2. 行列式？A．3B．4C．5D．6参考答案：B3. 利用行列式定义计算n阶行列式：=?( )A．B．C．D．参考答案：C4. 用行列式的定义计算行列式中展开式，的系数。
A．1, 4B．1，-4C．-1，4D．-1，-4参考答案：B5. 计算行列式=？（）A．-8B．-7C．-6D．-5参考答案：B6. 计算行列式=？（）A．130B．140C．150D．160参考答案：D7. 四阶行列式的值等于（）A．B．C．D．参考答案：D8. 行列式=？（）A．B．C．D．参考答案：B9. 已知，则？A．6mB．-6mC．12mD．-12m参考答案：A10. 设＝，则?A．15|A|B．16|A|C．17|A|D．18|A|参考答案：D11. 设矩阵，求=？A．-1B．0C．1D．2参考答案：B12. 计算行列式=?A．1500B．0C．1800D．1200参考答案：C13. 齐次线性方程组有非零解，则=？（）A．-1B．0C．1D．2参考答案：C14. 齐次线性方程组有非零解的条件是=？（）A．１或－３B．１或３C．－１或３D．－１或－３参考答案：A15. 齐次线性方程组总有___解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有___解。
A．零零B．零非零C．非零零D．非零非零参考答案：B16. 设，，求=？（）A．B．C．D．参考答案：D17. 设矩阵，，为实数，且已知，则的取值分别为？（）A．1，-1，3B．-1，1，3C．1，-1，-3D．-1，1，-3参考答案：A18. 设,满足, 求=？（）A．B．C．D．参考答案：C19. 设，，求=？（）A．B．C．D．参考答案：D20. 如果，则分别为？（）A．0，3B．0，-3C．1, 3D．1，-3参考答案：B21. 设,矩阵，定义，则=？（）A．0B．C．D．参考答案：B22. 设,n为正整数，则=？（）A．0B．-1C．1D．参考答案：A23. 设为n阶对称矩阵，则下面结论中不正确的是（）A．为对称矩阵B．对任意的为对称矩阵C．为对称矩阵D．若可换，则为对称矩阵参考答案：C24. 设为m阶方阵，为n阶方阵，且,,,则=？（）A．B．C．D．参考答案：D25. 下列矩阵中，不是初等矩阵的是：（）A．B．C．D．参考答案：C26. 设，求=？（）A．B．C．D．参考答案：D27. 设，求矩阵=？（）A．B．C．D．参考答案：B28. 设均为n阶矩阵，则必有（）A．B．C．D．参考答案：C29. 设均为n阶矩阵，则下列结论中不正确的是（）A．若，则都可逆B．若，且可逆，则C．若，且可逆，则D．若，且，则参考答案：D30. 设均为n阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．（k为正整数）D．（k为正整数）参考答案：B31. 利用初等变化，求的逆=?（）A．B．C．D．参考答案：D32. 设，则=?( )A．B．C．D．参考答案：B33. 设,是其伴随矩阵，则=？（）A．B．C．D．参考答案：A34. 设n阶矩阵可逆，且，则=？（）A．B．C．D．参考答案：A35. 阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是。
工程数学基础教程课后习题答案
.工程数学基础习题解答习 题 一A一、判断题1.√；，2.√；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.√；9.√；10.×.二、填空题1.;C C A B2.111(){1,2,3,4},(){,,},(){,,},(){1,4},(){2,3};f f a b e f A a b e f B f b --=====D R3.满;4.2sup =E ,3inf -=E ; 5.0; 6.0; 7. n ; 8.Y .B1.证 ()y f A B ∀∈⋂,x A B ∃∈⋂使得)(x f y =.由x A B ∈⋂,得x A ∈,且x B ∈故()()y f x f A =∈且()y f B ∈,即()()y f A f B ∈⋂,因此()()()f A B f A f B ⋂⊂⋂.当f 是单射时,只需证明()()()f A f B f A B ⋂⊂⋂即可： ()()(),y f A f B f ∀∈⋂⊂R f 由是单射知,().(),(),1X y f x y f A y f B x ∃=∈∈∈使得且,,()(),x A x B x A B y f x f A B ∴∈∈∈⋂=∈⋂且即从而故()()()f A f B f A B ⋂⊂⋂.是可能的，例如,2:,[2, 0],[1, 3],[1, 0].f xx A B A B =-=-⋂=-取则()([1,0])[0, 1], f A B f ⋂=-=于是而[][]()()0, 4[0, 9]0, 4.f A f B ⋂=⋂=从而有 .2. 证（1）n ∀∈,有)2 ,2(12 ,12][-⊂-+-n n ,故 ∞=-⊂-+-1)2 ,2(12 12][n n ,n .另一方面,)2 ,2(-∈∀x ,k ∃∈,使][12 ,12k k x -+-∈,故 ∞=-+-∈1][12 12n n ,n x ,于是⊂-)2 ,2( ∞=-+-1][12 12n n,n .因此, ∞=-+-=-1][12 ,12)2 ,2(n nn .（2）n ∀∈,有)12 ,12(]2 ,2[n n +--⊂-,故 ∞=+--⊂-1)12 ,12(]2 ,2[n n n .另一方面,对任意]2 ,2[-∉x ,即2>x ,k ∃∈,使得212>+>kx ,即)12 ,12(k k x +--∉,从而 ∞=+--∉1)12 ,12(n n n x ，故 ∞=-⊂+--1]2,2[)12 ,12(n n n .因此,∞=+--=-1)12,12(]2,2[n nn . 3. sup ,sup ,sup ,.A A A μμμμ''===证设且要证唯一只需证明即可sup ,,,sup ,,;.inf .A A A A A μμμμμμμμμμ'''=≤=''≤= 因为是最小上界而是的上界故又因为是最小上界而是的上界故因此 类似地可以证明是唯一的 4. 证 设{}D Y αα∈是线性空间X 的一族子空间,要证D Y X αα∈⋂也是的线性子空间.显然D Y αα∈⋂≠∅，z 只需证明.D Y X αα∈⋂对的线性运算是封闭的事实上，,Dx y Y αα∈∀∈⋂及,λ∀∈,从而对每一个D ∈α,有,x y Y α∈,故x y Y α+∈,x Y αλ∈.于是,D x y Y αα∈+∈⋂,D x Y ααλ∈∈⋂.因此,DY αα∈⋂是X 的线性子空间. 5. ,,,W f g W λ∀∈∀∈证显然包含零多项式故非空；又及，有()(0)()(0)(0)(0)(0)(0)[(0)(0)][(0)(0)]000,f g f g f g f g f f g g '''''+++=+++=+++=+=即;()(0)()(0)(0)(0)[(0)(0)]00,.f g W f f f f f f f W λλλλλλλ'''+∈+=+=+==∈即[0, 1].n W P 所以,是的线性子空间1111021121001121 [0, 1],(),()2.(0)(0)0,0,,()(1).n n n n n n n n n n n f W P f x a x a x a x a f x na x a x a f f a a a a f x a x a x a x a x -----'∀∈⊂=++++=+++'+=+==-=++++-设则由得即故23(1,,,,),dim .n x x x x W W n -=由上可知,是的一个基故6. 1(1),(0)0.()0,0.T T T x T T x -⇒===“”:因为是线性的故有于是,若则由存在知是单射,从而有 1T T -⇐“”:要证存在,只需证明是单射：121212121212,,((),()()()0,0,,.x x X T x T x T x x T x T x x x x x T ∀∈=-=-=-==当)即时由条件得即故是单射 1112121211221122(2),,,,,s.t.,,(),().y y Y x x X y Tx y Tx x T y x T y λλ--∀∈∀∈∃∈====及即于是有1111111221122112211221122(+)[()()][()]()(),T y y T T x T x T T x x x x T y T y λλλλλλλλλλ-----=+=+=+=+1:.T Y X -→故是线性的7. 2222:,.B A σ⨯⨯→解首先验证是线性的然后求其在即下的矩阵221212,,,,X X k k σ⨯∀∈∀∈由的定义，有 10010000,,,0001001()B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1122011221012021122(+)(+)+()+(),k X k X A k X k X k A X k A X k X k X σσσ===2222:.σ⨯⨯→故是线性的1112212210010000,,,00001001E E E E B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦关键是求基元的像在基下的坐标：()()()11111221221110000000,00,Tab acd cE aE E cE E E a c σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()12111221221201000000,00,Tab a cd c E E aE E cE E a c σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()21111221222100010000,00,T ab bcd d E bE E dE E E b d σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()2211122122200001000,00,Tab b cd d E E bE E dE E b d σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 0000.0000aba b A c d c d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦习 题 二A一、判断题1.√；2.×；3.√；4.√；5.×；6.√；7.×；8.×；9.√；10.√；11.×；12.×.二、填空题1.x ；2.n ；3.2,(1),i,i λλλλ-+-；4. 1,1λλ-+；5.200004014⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦；6.200020012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；7.O ； 8.O ；9.1λ-；10.6.三、单项选择题1.(d)；2. (b)；3. (b)；4. (d)；5. (a).B1.解（1）E A λ-()[]−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=-+212]3,2[]2,1[020012201200120012λλλλλλλ ()[]()[]()[]()[]222311322132232)2(00)2(10001020)2(10201-⋅+-⋅-⋅--⋅+−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----λλλλλλλλ ()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⋅3123)2(11)2(00010001λλ, 3123()()1, ()(2).d d d λλλλ∴===-（2）E A λ-[][]()[]−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------=+-λλλλλλλ13123,1111111111111()[][]3211222311111011010011012λλλλλλλλλλ+⋅-⎡⎤⎣⎦+----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--−−−→+−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎣⎦⎣⎦[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++---⋅-+)2)(1(11)2)(1(0001011117312λλλλλλλλ, 1()1d λ∴=,1)(2+=λλd ,)2)(1()(3-+=λλλd .（3）E A λ-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=52340100010012345100010001λλλλλλλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---→542300100100012λλλλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++--→543200100010001232λλλλλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++→5432111234λλλλ, 12()()()1d d d λλλ∴===,5432)(2344++++=λλλλλd .（4）[]1,2310013004100140071211721761671E A λλλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥-=−−→⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()[]()()()21122314162131113001000021000(1)0004210(4)210611106111λλλλλλλλλλλλλλ+-+⎡⎤⎣⎦-+-⎡⎤⎣⎦+⋅-⎡⎤⎣⎦⋅-⎡⎤⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥-----+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]()2243232100010000(1)000(1)000621062106101010(1)0λλλλλλλλ+⋅⎡⎤⎣⎦+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()()()2421[4()][24(1)]10[246][41][342]2210001000(1)0(1)0000010********(1)(1)0100101010λλλλλλ-⋅-⋅-+⋅-⋅-+⋅-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥−−−→−−−−→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦[][]242,4(2)3,4[32]1041000100(1)010001110(1)λλλ-+⋅⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 123()()()1d d d λλλ∴===,44)1()(-=λλd .2. 解 (1)∵4det ()(2)A λλ=-+，∴44)2()(+=λλD ,又∵01021210100≠-=++λλ,∴1)(3=λD ,从而1)()(21==λλD D .于是不变因子为1)()()(321===λλλd d d ,44)2()(+=λλd ；初等因子组为4)2(+λ. (2)2210010010010()00000()000()B λαλαλαλαλλαλαλαλα++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥≅≅⎢⎥⎢⎥+-+⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++≅22)()(11αλαλ, 故不变因子为 1)()(21==λλd d ,23)()(αλλ+=d ,24)()(αλλ+=d ; 初等因子组为 22)(,)(αλαλ++.(3)显然313()1,det ()(1)()D C D λλλλ==+=,而2(1)(5)08(1)adj ()3(1)(1)6(1)2(1)0(1)(3)C λλλλλλλλλλ+++⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥-++-⎣⎦， ∴1)(2+=λλD .因此2321)1()(,1)(,1)(+=+==λλλλλd d d ; 初等因子组:2)1(,1++λλ.（4）由第1题（4）知1)()()(321===λλλd d d ,44)1()(+=λλd .也可这样解：由行列式的Laplace 展开定理得43121det ()(1)411D λλλλλλ----=⋅=-+，故44)1()(-=λλD ;又)(λD 的左下角的三阶子式372471672170142+-=---+λλλλ与)(4λD 是互质的,所以1)(3=λD ,从而1)()(12==λλD D .因此44321)1()(,1)()(,1)(-====λλλλλd d d d ;初等因子组:4)1(-λ.3.解（1）∵12020(1)(1)(2)211E A λλλλλλλ---=-=+--+，∴1~12A J ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（2）∵E A λ-611123034371230343104252373-+-+-=-++-+-=--+--=λλλλλλλλλλλλ 611123036411022-+-+++----=λλλλλλλ)i )(i )(1(123+--=-+-=λλλλλλ，∴~A J ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=i i 1. （3）∵[]1,231001300410014007121172117616171E A λλλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥-=→⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][])1(12)1(13)6(14+⋅+-⋅+⋅+−−−→−λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------λλλλλλλλλλ2222)1()1(0100000)1(000011160124000)1(00031⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→22)1()1(11λλ, ∴初等因子组为2)1(-λ,2)1(-λ,于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11011J ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11012J ,故12111111JJ J ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. （4）0001001E A λλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,()det()n nD E A λλλ=-=,又有一个1-n 阶子式0)1(1111≠-=----n λλλ,∴1)()(11===-λλD D n ，故1)()()(121====-λλλn d d d ,n n d λλ=)(;初等因子组为n λ,所以010~110A J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (事实上，A 本身就是一个Jordan 块)4.解（1）由第1题（2）知1)(1+=λλϕ,2)2)(1()(22--=-+=λλλλλϕ,所以12100~002011CA C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. （2）由第1题（3）知5432)(234++++=λλλλλϕ，故B 的有理标准是0005100401030012C -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.5.解 由J 立即可知A 的初等因子组为2)1(-λ,2-λ,2)2(-λ,于是不变因子为1)()()(321===λλλd d d ,()24-=λλd ,225)2()1()(--=λλλd .即2)(1-=λλϕ，412136)(2342+-+-=λλλλλϕ，故200000000401001200101300016C ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.6.解 （1）744744()481099418418f E A λλλλλλλλλ----=-=-+=++++2)9)(9(71490847+-=++--=λλλλλ.因为2441644(9)(9)4171 4114117411A E A E O ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦,所以最小多项式为)9)(9()(+-=λλλm .（2）32310()det()0132(2)(1)23D E B λλλλλλλλλ-=-=-=--=-+--,∵有一个二阶子式01101≠=--λ,∴1)()(21==λλD D .因此,23)1)(2()()(+-==λλλλd m . （3）对E C λ-施行初等变换得其Smith 标准形23()diag(1, 1, 1,(3),(3))S λλλ=--，∴35)3()()(-==λλλd m .7.证 若A 可对角化,则A 的最小多项式)(λm 无重零点,必要性得证. 若A 有一个无重零点的零化多项式)(λϕ,则因为)(deg )(deg λϕλ≤m ,故)(λm 也无重零点,由定理2.16知A 可对角化.8. 证 (1) 22A A E +=,22A A E O +-=,∴)1)(2(2)(2+-=-+=λλλλλϕ是A 的一个无重零点的零化多项式,故A 可对角化. (2)mA E =,∴1-mλ是A 的零化多项式,其零点2i ek mk πλ=(0,1,,1)k m =-是互不相同的,故A 可对角化.习 题 三A一、判断题1.√；2.√；3.√；4.√；5.√；6.√；7.√；8.×；9.√；10.×；11.√；12.√；13.×； 14.× 15.√；16.√；17.√；18.√；19.√；20.×；21.√；22√；.23.×；24.√；25.√.二、填空题1.0；2.0y ；3.()T111,,,2n；4. 12；5.Banach ；6.1；7.3；8.15,2FA A A∞==+=；9.3.三、单项选择题1.(c)；2. (c)；3. (b)；4. (a)；5. (b);6.(c).B1. 证 仅验证三角不等式,其余是显然的.设Tn ),,(1ξξ =x ,T n ),,(1ηη =y 是n中的任意两个元素.∑∑∑∑====+=+=+≤+=+n i ni ni i ni i i i i i 1111111)(y x y x ηξηξηξ；i ni i ni i i ni i ni ηξηξηξ≤≤≤≤≤≤≤≤∞+≤+≤+=+11111max max }{max max y x∞∞+=y x .2. 证 因为[],, x y C a b ∀∈及∈∀α,有(N 1) t t x x bad )( 1⎰=0≥,显然若0=x ,即0)(≡t x ,则01=x ;反之,若01=x ,即0d )( =⎰t t x ba,则由)(t x 的连续性,知0)(≡t x ,即0=x ;(N 2) 11d )(d )(x t t x t t x xba b aαααα===⎰⎰;(N 3) t t y t t x t t y t x yx bab ab ad )(d )(d )()(1⎰⎰⎰+≤+=+11y x +=;所以1 ⋅是[], C a b 上的范数.3.解121i 1i 22,max{1,i ,1i}x x x ∞=+-++===-+= 4.解1max{101,210,i 11i }max{2,3,22max{12i ,011,101i }max{4,2,1 4.A A ∞=++-++-+-+-===++-++--++-==5.证 (1)lim ,lim ,.n n n n x x X x y Y x y →∞→∞=∈=∈=设又只需证明即可 {}0lim lim lim lim lim 000,0,0,.n n n n n n n n n n n x y x y x x x y x x x y x x x y x y x y x y →∞→∞→∞→∞→∞≤-=-=-+-≤-+-=-+-=+=∴-=-==故即122lim ,1,,1,1, 1. max{,,,,1},,().n n n n n n N n n x x X N n N x x x x x x x x M x x x x n x M x ε→∞=∈=∃∈>-≤-≤-≤≤+=+∀∈≤ （）设则对使得当时,恒有从而有即取则，有故有界6.证 设x 是,()n X x X x 中任意一点是中收敛于的任一序列.()():,lim ()();:,lim ()().lim()()()(),:.n n n n n n n f X Y Y f x f x g Y Z Z g f x g f x g f x g f x g f X Z x →∞→∞→∞→=→==∴→ 由连续知在中有又由连续知在中有即在点处连续,:.x X g f X Z ∈→由的任意性知是连续映射7. 证 由于()n x 和()n y 都是X 中的Cauchy 序列，则0>∀ε,12,N N ∃∈,使得当1,N m n >时，2ε<-m n x x ； 当2,N m n >时，2ε<-m n y y .令},m ax {21N N N =,则当N n m >,时,有)()( m m n n m m n n y x y x y x y x ---≤---εεε=+<-+≤22m n m n y y x x ,这表明()n n x y -是中Cauchy 的序列,由的完备性知,数列()n n x y -收敛.100001110101010121 (1)[0, 1],0,[0, 1],()0,max ()()0,(N ).d(())d(())[0, 1],,max ()maxmax ()max ,d d (N ). ,[0,dx d ddx x x x d f C f x f x f f x f x f x f x f C f f x f x fx x f g C λλλλλλλ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤∀∈≠∃∈>≥≥>⋅∀∈∀∈=+=+=⋅∀∈8.证且即使得故即满足即满足01010101010d(()())1],max ()()maxd d ()dg() max ()()max d d max ()max dx x x x x f x g x f gf xg x xf x x f xg x x x f x ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤++=++⎡⎤≤⎡+⎤++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤+101010101010131d ()dg()()max maxd d d ()dg()max ()maxmax ()max ,d d (N ).,[0, 1].x x x dd x x x x d d f x x g x x x f x x f x g x f g x x C ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤++⎡⎤⎡⎤=+++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⋅⋅即满足 所以是上的范数(2):D ]1 ,0[1C ]1 ,0[C →显然是线性的.因为1[0, 1]f C ∀∈,有110101d ()d ()maxmax ()max ,d d dx x t f x f x Df f x f x x≤≤≤≤≤≤=≤+=故D 是有界的. 9. 证 由于 ⋅是n n⨯上的方阵范数,故,n nA B ⨯∀∈及α∀∈,有(1)1*0AS AS -=≥,并且11*0A S AS S AS O A O --==⇔=⇔=;(2)11**A S AS O S AS A αααα--====;(3)()11111*A B S A B S S AS S BS S AS S BS -----+=+=+≤+**A B =+;(4)111*()()AB S ABS S AS S BS ---==11**S AS S BS AB --≤=;因此,* ⋅是n n⨯上的方阵范数.10. 2;F A 解 21i()det(),()0;i1f E A A λλλλρλ--=-==∴=-+H HH 21i 1i 22i 22i,(4),()4,i 1i 12i 22i 22.A A E A A A A A λλλλρλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==-==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴=11. 证 显然A λ≤.∵λ是可逆阵A 的特征值,则λ1是1A -特征值,故11A λ-≤,即11Aλ-≥. ∴11A A λ-≤≤.12.证 要证0(),x T ∈N 只需证明00.Tx =()0()(),0.lim ,,n n nn x T Tx n xx T →∞⊂=∀∈=由知于是当且是有界线性算子时有N0(lim )lim ()lim00,n n n n n Tx T x T x →∞→∞→∞====故0().x T ∈N习 题 四A一、判断题1.×；2.√；3.√；4.×；5.√；6.√；7.×；8.×.二、填空题1.2213e e 001cos x x x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；2.222(1)tE t -+；3.1；4. 3e t ；5.22222222e e e e e e tt t t tt t t t ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 6.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-t t t 2cos 2cos cos ；7.1； 8.3e -. B1. sin cos d (),d cos sin tt A t t tt -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦解 []22d d det ()cos sin 0d d A t t t t t =+=⎡⎤⎣⎦,22sin cos d ()det()sin cos 1.d cos sin t t A t t t t t t-==+=-- 2. 2213e e 0 ().01cos x x x f x ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦解x3. 1 1 0 0 11 10 0 0 110 0e d e d e 11 ()d d2d 11.sin d cos d 1cos1sin1t tt t t A t t t t t t t t t ⎡⎤-⎡⎤⎰⎰⎢⎥⎢⎥==⎰⎰⎰⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎰⎰⎣⎦⎣⎦解 4. 证明（1）d d d d d d ()()()()d d d d d d T T T T T f x x x x Ax Ax x Ax Ax x A t t t t t t==+=+d d d d d ()2;d d d d d T T T T T T T T x x x x x x A x A x A x A x A t t t t t=+=+=.（2）d d d d d d ()()2.d d d d d d T T T T T T T x x x x x x x x x x x x t t t t t t=+=+=5. 证（1）若lim k k A A →∞=,则2lim 0k k A A →∞-=. ∵222()T TTk k k A AA A A A -=-=-(可以证明[1]2222H T A A A A ===)，∴2lim 0T Tk k A A →∞-=,即lim T Tk k A A →∞=. 同理可证lim k k A A →∞=,由上已证的结果立即可得lim H H k k A A →∞=.（2）000()lim ()lim ()NNTkT kk Tk k k N N k k k c A c A c A ∞→∞→∞=====∑∑∑0lim()Nk Tk N k c A →∞==∑ 0(lim )N k T k N k c A →∞==∑0()k Tk k c A ∞==∑ 6. 证 令()3200det()11120113E A λλλλλ--=---=-=--得A 的全部特征值均为 2. 于是13B A =的所有特征值都是32,故()213B ρ=<,因此lim k k B O →∞=.7. 证 方法一: 当0=t 时,显然成立,故设0≠t .记010100t t A t ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 22det()(i )(i )E A t t t λλλλ-=+=-+，t i 1=λ,t i 2-=λ.对t i 1=λ,解方程(i )0tE A x -=可得11i x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；对t i 2-=λ解方程(i )0tE A x --=得21i x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.令11i i P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,则P 可逆且11/2i /21/2i /2P --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.所以01i 10i i 1i 111/2i /2e 0ee diag(e ,e )i i 1/2i /20e tt Attt P P ⎡⎤⎢⎥---⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---+=----t t t t t t t t t t t t cos sin sin cos )e e (21)e e (i 21)e e (i 21)e e (21i i i i i i i i .方法二：记0110B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,21det()11E B λλλλ--==+,{}()i,i B σ=-.B 的最小多项式1)(2+=λλϕ,2)(deg =λϕ. 故设01e ()()tB a t E a t B =+.∵λt e 与λ)()(10t a t a +在()B σ上的值相等,即⎩⎨⎧=-=+-tt t a t a t a t a i 10i 10e )(i )(e )(i )(, ∴t t a t t cos 2e e )(i i 0=+=-，t t a tt sin i2e e )(i i 1=-=-.因此0110cos sin ecos sin sin cos t t t tE tB t t ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=+=⎢⎥-⎣⎦.8. 2eJordan ,e e e .e e e 2ttAtt t tt A t t t ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解是块 9. 解 2214det()02(2)(1)031E A λλλλλλ----=-=----.∵(2)()A E A E O --≠,∴A 的最小多项式)1()2()(2--=λλλϕ.3)(deg =λϕ，故设2012()()()()()f At a t E a t A a t A T At =++=. 由()f t λ与()T t λ在{}()1,2A σ=上的值相等,于是(1)对()e Atf At =有⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++tttt t a t a t a t a t a t a t a t a 2212210210e )(4)(e )(4)(2)(e )()()(,解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+-=t t t t t t t t t t t a t t a t t a 222221220e e e )(e 3e 4e 4)(e 2e 3e 4)(所以22100e (4e 3e 2e )010001tA t t t t ⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+130020412)e 3e 4e 4(22t t t t⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+19004012164)e e e (22t t t t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-=ttt t t t t t t tt e e 3e 300e 0e 4e 4e 13e 12e 12e 222222(2)对()sin()f At At =有01201212()()()sin ()2()4()sin 2()4()cos 2a t a t a t t a t a t a t t a t a t t t ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+-=tt t t t a t t t t t a t t t t t a 2cos 2sin sin )(2cos 32sin 4sin 4)(2cos 22sin 3sin 4)(210. ∴2012sin()()()()At a t E a t A a t A =++sin 212sin 12sin 213cos 24sin 4sin 20sin 2003sin 3sin 2sin t t t t t t t t t t t -+-+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦（注）可利用(1)的结果求(2)（或cos()At ）：在(1)中分别以t i 和t i -替代t 得i e tA 和i etA-，再由公式i i i i e e e e sin()(cos())2i 2tA tA tA tAAt At ---+==或即得. 10. 解 210det()01(+1)01+2E A λλλλλλ-==-()A A E O -≠且,故A 的最小多项式2()(1)φλλλ=+，3)(deg =λϕ，故设2012()()()()()f At a t E a t A a t A T At =++=,即012100010001()()010()001()012001012023f At a t a t a t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦012021212012()()()0()()()2()0()2()()2()3()a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t -⎡⎤⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦. 由()f t λ与()T t λ在A 上的谱值相等,于是(1)对()e Atf At =有001212()1()()()e ()2()e tta t a t a t a t a t a t t --=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩,解得012()1()22e e ()1e e t t t t a t a t t a t t ----=⎧⎪=--⎨⎪=--⎩012021212012()()()e 0()()()2()0()2()()2()3()122e e 1e e 0e e e 0e e e At t t t t t t tt t ta t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t t t t t t t -----------⎡⎤⎢⎥∴=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦-++-+⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. (2)对()sin()f At At =有001212()0()()()sin ()2()cos a t a t a t a t t a t a t t t =⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，解得012()0()2sin cos ()sin cos a t a t t t t a t t t t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩.012021212012()()()sin()0()()()2()0()2()()2()3()a t a t a t At a t a t a t a t a t a t a t a t a t -⎡⎤⎢⎥∴=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦02sin cos sin cos 0sin cos cos 0cos sin cos t t t t t t t t t t t t t t t t -+-⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦11.tr 2i 332i det(e )e e e .A A +-===解12. 解 此处775885050A --⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,122()()()()x t x t x t x t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,321C ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因为775det()885(5)(5)(15),deg ()3,05E A λλλλλλϕλλ+--=+=-++=故设2012e ()()()()At a t E a t A a t A T At =++=.由tλe 与)(t T λ在(){5,5,15}A σ=--上的值相同,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++--ttt t a t a t a t a t a t a t a t a t a 1521052105210e )(225)(15)( e )(25)(5)( e )(25 )(5 )(,解得 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-+=-----)e e 2(e )( )e (e )( )e 6e (3e )(1555200125510111555810t t t t t t t tt a t a t a ;于是 0121775105800e ()1()885()12014501050404025At a t a t a t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+---+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--+-+-+-+---+--++=---------------t t tt t t t t t t t t t tt t t t t t t t t t 551555155555155515555515551555e 5e 5e 2e e 3e 24e e 2e 5e 5e 6e e 3e64e 2e e 5e 5e 4e e 3e 44e e 2101. 所以,解为 55155515551517e 9e 4e 1()e 17e 9e 6e 1017e 9e 2e t t t At t t t t t tx t C ------++⎡⎤⎢⎥==--+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=++=------)e 2e 9e 17(101)()e 6e 9e 17(101)()e 49e e 17(101)(155531555215551tt t t t t t t t t x t x t x .习 题 五A一、判断题1.√；2.×；3.√；4.√；5.√；6.×；7.√；8.√；9.×；10.√；11.√；12.×；13.√；14.√ 15.√.二、填空题1.0；2.{}0；3.span A ；4.1；5.3；6.O ；7.123()1,()1,()(1)(2)d d d λλλλλλ==-=--；8.实；9.0; 10.1;11.1,a b c ===.三、单项选择题1.(d)；2. (c)；3. (c).B1.证 121212(1)(,,,),(,,,),(,,,),,T T T nn n n x y z ξξξηηηςςςλμ∀===∈∀∈及，有1111(I ),(),,;nnnk k k k k k k k k k k k k x y z k k k x z y z λμλξμηςλξςμηςλμ===<+>=+=+=<>+<>∑∑∑211(I ),,;n nk k k k k k k k x y k k y x ξηηξ==<>===<>∑∑231221(I ),0, ,=01,2,,,=01,2,,,00;nk k k nk kk k k x x k x x k k n k n x ξξξξ==<>=≥<>=⇔∀=⇔∀==⇔=∑∑且有有,.nk <⋅⋅>故是上的一种内积(2),,,,n nij ij ij A a B b C c λμ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤∀===∈∀∈⎣⎦⎣⎦⎣⎦及,有1111111(I ),(),,;nnnnnnij ij ij ij ij ij ij i j i j i j A B C a b c a c b c A C B C λμλμλμλμ======<+>=+=+=<>+<>∑∑∑∑∑∑2111111(I ),,;nnnnnnij ij ij ij ij ij i j i j i j A B a b a b a b B A ======<>====<>∑∑∑∑∑∑2311112211(I ),0, ,0,1,2,,,00;n n n nij ij ij i j i j nnijijij i j A A a a a A A a i j n a a A O ======<>==≥<>==⇔∀===⇔=∑∑∑∑∑∑且有即,.n n⨯<⋅⋅>故是上的一种内积12211.nnij F i j A a A ==⎛⎫>== ⎪⎝⎭∑∑2. 证 右端) , ,(41>--<->++<=y x y x y x y x><+><+><+><=y y x y y x x x ,,,,(41),,,,><-><+><+><-y y x y y x x x 1(4,)4x y =<>=左端.3.证 （1）若⊥∈B x ,则B y ∈∀皆有y x ⊥,由假设B A ⊂,于是对每一个A y ∈皆有y x ⊥,即⊥∈A x ,故⊥⊥⊂A B .（2）若A x ∈,则⊥∈∀A y 皆有y x ⊥,故⊥⊥∈)(A x ,于是⊥⊥⊂)(A A .4.解 显然123.det 20,det 110,det 380,.A A A A A =>=>=>∴是实对称矩阵正定其余略.5. 证 “⇒”: 若n nA ⨯∈正定,则det det 0n A A =>,故A 非奇异.“⇐”: 若A 非奇异,则1det 0ni i A λ==≠∏,从而),,2,1(0n i i =≠λ. 又因为A 半正定,故有0≥i λ,于是),,2,1(0n i i =>λ,所以A 是正定的.6.证 先验证2A 是Hermite 矩阵.22222()()(),Hermite .H H H H H H H H H H H A A AA AA A A AA A AA A AA AA AAA A A A A ======∴是矩阵再证2A 是正定的.12222 ,,Hermite 0(1,2,,).0(1,2,,),.n i i i A n A i n A i n A λλλλλλ∈≠=>=设是的个特征值,由是矩阵且可逆知,且从而的所有特征值故是正定矩阵7. 解 （1）令3i 1i 02010E A λλλλλλ---==-=-得01=λ,22=λ,23-=λ,由此判定A不是正定的.对01=λ解方程组0Ax -=,即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000i 0100i 1i 0321ξξξ,亦即⎩⎨⎧==+ 00i 132ξξξ,得⎩⎨⎧==321i 0ξξξ. 若取13=ξ,则有10i 1x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=. 对22=λ解)0A x -=可得2i 1x ⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-.对23-=λ解()0A x -=可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=1i 23x .由于1x ,2x ,3x 分别对应于A 的不同特征值,故彼此正交.将它们单位化,得10i 1/α⎡⎤⎢⎢⎢⎣=，2i /21/2α⎡⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-，3i /21/2α⎡⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=-.令[]12301/,,i i /2i /21/21/2U ααα⎡-⎢==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,01/i /21/2i /21/2H U ⎡-⎢=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则0H U AU ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎣.习 题 六A一、判断题1.×；2.√；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.√；9.×.二、填空题1.1122112201010-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦；2. (1)()12(1)(1)()213(1)(1)321( 3 24)41(3 30)(0,1,2,)41( 24)4k k k k k k k x x x x x k x x +++++⎧=-+⎪⎪=-++=⎨⎪⎪=-⎩；3.1()D L U --；4.Seidel,Jacobi .B1. 解（1）110000100005000.55000A-⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-, 3.0001A ∞=,120000A-∞=,∴cond 60002A ∞=.（2）1 1.38 2.1810.2106 2.79 4.56B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-,17.35B =，1132.00B -=，∴1cond 235.2B =.（3）12212max{,}1009910099,cond (6-3).min{,}99989998C C λλλλλλ--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦是实对称矩阵故见令12122019810,9999cond 39206.C λλλλλλ=--===∴==≈得 2. 解（1）对增广矩阵施行行的初等变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡330002121041123232300212104112522162134112得到等价的上三角方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++330212142332321x x x x x x .进行回代,得方程组的解为：12/)4( ,1)21/(21 ,13/3321323=--==--===x x x x x x .故解为(1,1,1).T x =（2）对增广矩阵施行初等行变换11034110341103421111011590115931123041715003132112314033280001319⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到等价的上三角方程组1242343443459313211319x x x x x x x x x ++=⎧⎪---=-⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩.进行回代,得方程组的解：43419219/(13), (2113)/3,133x x x =--==-=2341244055(95), 433939x x x x x x =--++==--=-,故解为()5540192,,,.3939313Tx -=3. 解 首先用顺序Gauss 消去法.对增广矩阵施行初等行变换：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1.982.4120032001.1291.58334.016781.0167.001.0012.0 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯→-65424101798.0104453.0101467.00104441.0108007.0106667.006781.0167.001.0012.0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-⨯-⨯-⨯→-9924109774.0101762.000104441.0108007.0106667.006781.0167.001.0012.0,经回代得547.53=x ，43.722=x ，05.811-=x . 此时,620.174310Ax b -=⨯. 下面用列主元素Gauss 消去法.对增广矩阵施行初等行变换（下画横线者为主元素）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9812.4120032001.1291.58334.016781.0167.001.0012.0 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯→-6744.01670.0105500.00101179.0105909.04584.009812.41200320022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯→-5329.0109610.000101179.0105909.04584.009812.41200320012, 经回代得46.17,76.45,545.5123=-==x x x . 此时,289.22=-b Ax .列主元素Gauss 消去法比顺序Gauss 消去法的精度高.4. 解 Jacobi 迭代格式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=+++30] 32[151]12[ 81 ]2432 [201)(2)(113)(3)(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k ). 计算结果如下表：解为767354.01=x ，138410.12=x ，125368.23=x .Seidel 迭代格式与计算结果如下：()()()⎪⎪⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=++++++30] 32[151]12 [ 81 ]2432 [201)1(2)1(113)(3)1(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k );5. 解 Jacobi 迭代格式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=+++30] 32[151]12[ 81 ]2432 [201)(2)(113)(3)(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k ), 因为()()21113300044335110,det(),1,444481100044M E M M λλλλλρλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=--=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以Jacobi 迭代格式收敛.Seidel 迭代格式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=++++++30] 32[151]12 [ 81 ]2432 [201)1(2)1(113)(3)1(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k ).因为系数矩阵A 对称，且123det 40,det 70,det 240,,A A A A =>=>=>从而正定故Seidel 迭代格式收敛.6. 解（1）Jacobi 迭代矩阵1111022()10111022M D L U -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=+=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦;215det()()4E M λλλ-=+,1()1M ρ=>.因此,Jacobi 迭代格式发散.Seidel 迭代矩阵12111000222011111()100010222000111000222M D L U -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦; 221det()()2E M λλλ-=+,21()2M ρ=.因此Seidel 迭代格式收敛.（2）Jacobi 迭代矩阵1100022022010101101001220220M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦;31det()E M λλ-=,1()0M ρ=.因此, Jacobi 迭代格式收敛.Seidel 迭代矩阵2100022022110001023021000002M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦;()22det()2E M λλλ-=-,2()21M ρ=>.因此, Seidel 迭代格式发散.*7.用追赶法解线性方程组12123233 1, 247, 259.x x x x x x x +=-⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解 系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=520142013A .31=u ,3/2/212==u l ,3/101422=⋅-=l u ,5/3/223==u l ,5/221533=⋅-=l u ;11-=y ，3/237122=-=y l y ，5/229233=-=y l y ；1/333==∴u y x ，2/)1(2322=⋅-=u x y x ，1/)1(1211-=⋅-=u x y x .即解为(1,2,1).Tx =- 8. 解 把方程组调整为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++22846231312123x x x x x x x , 此时系数矩阵为312041102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.Seidel 迭代矩阵111200033301211()000010044000111106263M D L U -⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 11det()(66E M λλλλ-=---+,()1M ρ=<.因此,此时Seidel 迭代格式()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=++++ )2(21)8(41)26(3113111121213k k k k k k k x x x x x x x 收敛.习 题 七A一、判断题1.×；2.√；3.×；4.×.二、填空题1.1,1n +；2. 11:455;:;:33-一阶差商，，二阶差商1,三阶差商；3.16.640,0.096,16.736.B1. 解 因为0120.15,0.00,0.10,0.20.x x x x ====故取则2(0.150.10)(0.150.20)(0.15)(0.15)0.000(0.000.10)(0.000.20)(0.150.00)(0.150.20)0.0998(0.100.00)(0.100.20)(0.150.00)(0.15 f L --≈=⨯----+⨯----+0.10)0.1987(0.200.00)(0.200.10)00.074850.074510.1494.⨯--=++= 521(0.15)(0.150.00)(0.150.10)(0.150.20) 6.2510.3!R -≤---=⨯2.解 对于点76.35x =,取076x =,177x =,278x =,379x =. 作差商表于是有2(1)(76.35)(76.35)2.832670.0689(76.3576)0.00306(76.3576)(76.3577) 2.832670.024120.00070 2.85609.f N ≈=+-+--=+-=32(2)(76.35)(76.35)(76.35)0.00017(76.3576)(76.3577)(76.3578) 2.856090.00006 2.85615.f N N ≈=+---=+=3. 解 选01220.20,0.40,0.60,0.80x x x x ====.作差商表：。
概率论第二版习题答案
概率论第二版习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在统计学、金融学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
第二版的概率论教材通常会在第一版的基础上进行修订和补充，以反映最新的研究成果和教学方法。
以下是一些概率论习题的答案示例，这些答案仅供参考，具体习题的答案可能会根据教材的不同而有所变化。
第一章：概率空间1. 习题1：描述一个概率空间的基本元素。
- 答案：一个概率空间由三个基本元素组成：样本空间(Ω)，事件集合(F)，以及概率测度(P)。
样本空间包含了所有可能的结果，事件集合是样本空间的子集，概率测度为每个事件分配一个介于0和1之间的实数，表示事件发生的可能性。
2. 习题2：证明如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B) = P(A) +P(B)。
- 答案：由于A和B互斥，即A∩B = ∅，根据概率测度的性质，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
由于A和B互斥，P(A∩B) = 0，因此P(A∪B) = P(A) + P(B)。
第二章：随机变量及其分布1. 习题1：定义离散型随机变量和连续型随机变量。
- 答案：离散型随机变量是其取值可以列举的随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。
连续型随机变量是其取值无法一一列举的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数来描述。
2. 习题2：如果X是一个随机变量，求E(X)和Var(X)。
- 答案：期望E(X)是随机变量X的平均值，定义为E(X) = ∑x *P(X = x)（对于离散型随机变量）或E(X) = ∫x * f(x) d x（对于连续型随机变量）。
方差Var(X)是随机变量X的离散程度的度量，定义为Var(X) = E[(X - E(X))^2]。
第三章：多维随机变量及其分布1. 习题1：描述联合分布函数和边缘分布函数的关系。
- 答案：联合分布函数给出了两个或多个随机变量同时取特定值的概率，而边缘分布函数是通过对联合分布函数进行积分或求和得到的，它给出了单个随机变量的分布。
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第1章 随机事件及其概率习题 11．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
解：以n 表示该班的学生数，总成绩的可能取值为n 100,...,3,2,1,0，所以试验的样本空间为}.100,...,2,1,0|{n i niS ==（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
解：}18,...,5,4,3{=S （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
解：设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为,...}2,1,0|10{=+=k k S 或写成,...}12,11,10{=S（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如 连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
解：采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可以表示为}.1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00{=S（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
解：}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x S （6）实测某种型号灯泡的寿命。
解：}0|{≥=x x S2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
（2）A 与B 都发生，而C 不发生。
（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。
（4）A ，B ，C 都发生。
（5）A ，B ，C 都不发生。
（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。
（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。
（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。
解：以下分别用)8,...,2,1(=i D i 表示)8(),...,2(),1(中所给出的事件。
注意到一个事件不发生即为它的对立事件的发生，例如事件A 不发生即为A 发生。
（1） A 发生，B 与C 不发生，表示C B A ,,同时发生，故C B A D =1或写成C B AD --=1。
（2） A 与B 都发生而C 不发生，表示C B A ,,同时发生，故C AB D =2或写成C AB D -=2。
（3） 由和事件的含义知，事件C B A 即表示C B A ,,中至少有一个发生，故C B A D =3。
也可以这样考虑：事件“C B A ,,至少有一个发生”是事件“C B A ,,都不发生”的对立事件，因此C B A D =3。
也可以这样考虑：事件“C B A ,,中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，3D 又可写成ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A D =3。
（4） ABC D =4。
（5） C B A D =5。
（6） “C B A ,,中不多于一个发生”表示C B A ,,都不发生或C B A ,,中恰有 一个发生，因此C B A C B A C B A C B A D =6。
又“C B A ,,中不多于一个发生”表示“C B A ,,中至少有两个不发生”，亦即C B A ,,中至少有一个发生，因此又有C A C B B A D =6。
又“C B A ,,中不多于一个发生”是事件=G “C B A ,,中至少有两个发 生”的对立事件，而事件G 可写成CA BC AB G =，因此又可将6D 写成CA BC AB CA BC AB D ==6。
（7） “C B A ,,中不多于两个发生”表示C B A ,,都不发生或C B A ,,中恰有一个发生或C B A ,,中恰有两个发生。
因此，BCA CB AC AB C B A C B A C B A C B AD =7。
又“C B A ,,中不多与两个发生”表示C B A ,,中至少有一个不发生，亦即C B A ,,中至少有一个发生，即有C B AD =7。
又“C B A ,, 中不多于两个发生”是事件“C B A ,,三个都发生”的对立事件，因此又有ABC D=7。
（8） CA BC AB D =8，也可写成C AB C B A BC A ABCD =8。
3． 从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。
试求下列事件的概率：（1）三位数是奇数； （2）三位数为5的倍数； （3）三位数为3的倍数； （4）三位数小于350。
解（1）构成三位数有35A 种情况，而三位数是奇数则要求最后一位为1，3，5三个数之一，有13C ，余下的两位数则在剩余的四个数字之间选择一个，有24A 。
则三位数是奇数的概率如下：53352413=A A C （2）三位数为5的倍数，则最后一位必然为5，有：513524=A A（3）三维数为3的倍数，则必有一个3，另外为：1，2；1，5；2，4；4，5。
共4种组合。
5243533=⨯A A （4）首位为1，2，最后两位有4，3种选择，首位为3，最后两位有3，3种选择。
20113513132412=+A A A A C4．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。
问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？解： E ：在17桶油漆中任取9桶给顾客。
以A 表示事件“顾客取到4桶白漆，3桶黑漆与2桶红漆”，则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2334410)(,917)(A N S N ，故 24312529172334410)(/)()(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛==S N A N A P 。
5．在1700个产品中有500个次品、1200个正品。
任取200个。
（1）求恰有90个次品的概率；（2）求至少有2个次品的概率。
解：（1）=2001700905001101200C C C … （2）以A 表示事件“没有取到次品”，以B 表示事件“取到一个次品”。
以C 表示事件“至少有两个次品”。
则有200170019912001500200170020012001)()(1)(C C C C C B P A P C P --=--==…6．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。
解：十本书任意放有12345678910!10⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种排列方法，而将三本书看作一个整体（此三本书之间有!3种排布）与其他7本书（共有8个元素）在一起排列共有)12345678()123(!8!3⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯种情况，设三本放在一起为事件A ，那么：151!10!8!3)(=⨯=A P7． 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解： E ：从5双不同的鞋子中任取四只。
以A 表示事件“所取4只鞋子中至少有两只配成一双鞋子”，则A 表示事件“所取4只鞋子无配对”。
先计算)(A P 较为简便。
考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的。
自5双（10只）鞋子中任取4只共有78910⨯⨯⨯种取法，78910)(⨯⨯⨯=S N 。
现在来求)(A N 。
第一只可以任意取，共有10种取法，第二只只能在剩下的9只中且除去与已取的第一只配对的8 只鞋子中任取一只，共8种取法。
同理第三只、第四只各有6种、4种取法，从 而 46810)(⨯⨯⨯=A N 。
故)(/)(1)(1)(S N A N A P A P -=-=211378910468101=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=。
8．把长度为a 的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。
解： 设两段长度分别为X 、Y , XY 满足方程X+Y<a ，X<a,Y<a 能够成三角形XY 满足X+Y>a/2 X<a/2 Y<a/2，412822=÷=a a P 。
9．甲乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的，若甲船停泊时间一小时，乙船停泊时间二小时，求它们中任意一艘不需要等待码头空出的概率。
解：本题是一道几何概型的题目，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“甲、乙两船都不需要等待码头空出”。
则要想使甲乙两船都不要等待，那么甲船应该早于乙船1一小时以上或乙船早于甲船2小时以上，即有1≥-x y 或2≥-y x 。
又有240,240≤≤≤≤y x ，根据⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤≤≤≤21240240y x x y y x 做出图形，求出其围成的面积与⎩⎨⎧≤≤≤≤240240y x 围成的面积之比，即为事件A 的概率。
具体如下图1-1：图 1-1考虑平面直角坐标系的第一象限上，240,240≤≤≤≤y x 的正方形区域，其中（x ，y ）表示甲船于x 时刻，乙船于y 时刻到达码头。
记录1=-x y 为直线L1，2≥-y x 为直线L2，则L1上方区域表示甲船先到，乙船在 1小时之后的某个时间到；L2下方区域表示乙船先到，甲船在2小时之后的某个时间 到。
而L1与L2之间的带状区域是有一船需要等候码头的情况。
所求的概率即为带状区域之外的两个三角形面积和占正方形面积的比例。
即为：879.02424222221232321)(≈⨯⨯⨯+⨯⨯=A P10．已知,41)(=A P ,31)|(=AB P ,21)|(=B A P 求),(B P )(B A P 。
解:121)|()()(==A B P A P AB P61)|()()(==B A P AB P B P ，31)()()()(=-+=AB P B P A P B A P11．在做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检查钢筋的强度指标，今有一组A3钢筋100根，次品率为2%，任取3根做拉伸试验，如果3根都是合格品的概率大于0.95，认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？解：由次品率为2%可知，本组A3钢筋中有2根次品。
设事件本组钢筋能用于构件为事件A ，则有：941.0)(310002398==C C C A P12．某人忘记了密码锁的最后－个数字，他随意地拨数，求他拨数不超过三次而打开锁的概率。
若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少？解： 以i A 表示事件“第i 次拨数”，i=1,2,3.以A 表示事件“拨数不超过3次打开锁”，则有321211A A A A A A A =因321211,,A A A A A A 两两互不相容， 且 101)(1=A P 10110991)()|()(11221=⨯==A P A A P A A P1011099881)()()3()3(1122121=⨯⨯==A P A A P A A A P A A A P , 103101101101)3()2()()(2111=++=++=A A A P A A P A P A P 。