杨辉三角的规律以及推导公式 (3)

杨辉三角的规律以及定理

1二项式定理与杨辉三角

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。

杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。

由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1

则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。

展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：

1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：

1 (110)

1 1 (111)

1 2 1 (112)

1 3 3 1 (113)

1 4 6 4 1 (114)

1 5 10 10 5 1 (115)

1 6 15 20 15 6 1 (116)

杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1）,（1,2,1）,（1,3,3,1）,（1,4,6,4,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。

由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。系数是杨辉三角里的系数。

2杨辉三角的幂的关系

首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下：

1 ( 1 )

1 1 ( 1+1=

2 )

1 2 1 (1+2+1=4 )

1 3 3 1 (1+3+3+1=8 )

1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 )

1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3

2 )

1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 )

……

相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…n次幂，即杨辉三角第n 行中n个数之和等于2的n-1次幂

3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系

(1)

1 (2) n=1

1 1 (3) n=2

1 2 1 (4) n=3

1 3 3 1 (5) n=4

1 4 6 4 1 (6) n=5

1 5 10 10 5 1 n=6

1 6 15 20 15 6 1

把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6

把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15

把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20

把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15

把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6

把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1

将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

由上面可得：杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和，即第n行的数分别为1、(1)中第n行之前的数字之和、(2)中第n行之前的数字之和、(3)中第n行之前的数字之和、(4)中第n行之前的数字之和、…、(n-3)中第n行之前的数字之和、1。

总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：

1、每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。

3、第n行的数字有n+1项。

4、第n行数字和为2 (n-1)。（2的(n-1)次方）

5 (a+b) n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。[1]

6、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质