导数与微分的定义

一些基本初等函数的导数
• 常数函数的导数 • 幂函数的导数 • 正（余）弦函数的导数 • 对数函数的导数 • 指数函数的导数
常数函数的导数
例2. 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解 f (x) lim f百度文库(x x) f (x)
x0
x
lim C C 0.
x0 x
(C) 0.
( x 0 )
( x 0 )
存在,则称此极限值为 在
f (x0 ) ( f(x0 ))
即 f (x0 )
例如, f (x) x 在 x = 0 处有
x x0 x 0 x0 x
处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0)存在
f(x0 )
证 Q lim 3 x 1 0 f (1), 在 x 1处连续。 x1
又lim f (1 x) f (1) lim 3 x 0
x0
x
x0 x
在 x 1处不可导。
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o y
t0
f (t)
t
s
y f (x)
N
CM
T
两个问题的共性:
o x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
(xn ) nxn1 更一般地 (x ) x1 ( R)
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x ) x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1 2
x
1 2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
对数函数的导数
例4. 求函数 y log a x (a 0, a 1) 的导数.
解(a x ) lim a xx a x a x lim ax 1
x0 x
x0 x
a ln a. x
（见1-4函数连续性的例3
lim
x0
ax 1 x
ln a
）
(ax ) ax ln a. (ex ) ex.
五、 单侧导数
定义2 . 设函数 有定义, 若极限
在点 的某个右 (左) 邻域内
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f (x0 )
lim y x0 x
运动质点的位置函数 s f (t)
在 t0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
f (t0 )
f (t) s t
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
与 f(b)
四、 函数的可导性与连续性的关系
定理1.
证: 设
在点 x 处可导, 即
存在 , 因此必有
其中
故 所以函数
x 0
在点 x 连续 .
注意: 函数在点 x 连续未必可导. 例1: 试证 f ( x) 3 x 1, 在 x 1处连续但不可导
y y f (x) N
f (x0 )
CM
o x0
T xx
y f (x) f (x0) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
若 lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
)
sin x 2
x
cos x.
2
所以 (sin x) cos x. 同理可得 (cos x) sin x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
幂函数的导数
例3. 求函数
的导数
解:
lim f (x x) f (x) lim x xn xn
x 0
x
xa
x
lim ((x x)n1 x0(x x)n2 x1(x x)n3 x2 xn1) x 0
第一节 1.导数和微分的定义
一、导数的定义 二、单侧导数 三、函数的可导性与连续性的关系 四、导数的几何意义 五、微分
一、 引例
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
解
y
lim
x0
loga (x
x) x
loga
x
lim
x0
loga (1 x
x ) x
1 x
x
1 x
lim
x0
loga
(1
x
)
x x
x
1 x
log a
e
1 x
1 ln a
.
1 (loga x) ' x ln a
(ln x) 1 . x
指数函数的导数
例5. 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 x x0
x0 x
y f (x) f (x0) x x x0
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
注： ( f ( x0 )) 0,而f ( x0 )表示函数f ( x)在点x x0处的导数值.
正弦函数的导数
例1. 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin(x x) sin x
x0
x
lim
x0
cos( x
x 2
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
2. 曲线的切线斜率
y
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k
lim
记作: y ; f (x) ; dy ; d f (x) .
dx dx
注意:
f (x0)
f (x) xx0
d f (x0 ) dx
由定义求导数的步骤
(1) 求增量 y f (x x) f (x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 求极限 y lim y . x0 x