各种梁的弯矩计算

弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。

梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。

弯曲bending

平面弯曲plane bending

7.1.2梁的计算简图

载荷：

（1）集中力concentrated loads

（2）集中力偶force-couple

（3）分布载荷distributed loads

7.1.3梁的类型

(1)简支梁simple supported beam 上图

(2)外伸梁overhanging beam

(3)悬臂梁cantilever beam

7.2 梁弯曲时的内力

7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearing force和弯矩bending moment

问题：

任截面处有何内力？

该内力正负如何规定？

例7－1 图示的悬臂梁AB ，长为l ，受均布载荷q 的作用，求梁各横截面上的内力。

求内力的方法——截面法

截面法的核心——截开、代替、平衡

内力与外力平衡

解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m截面将梁切开。

梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力。

剪力——作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。

弯矩——位于纵向对称面内。

剪切弯曲——横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。

纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

工程上一般梁（跨度L 与横截面高度h 之比L/h ＞5），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。

规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负。

7.2.2弯矩图bending moment diagrams

弯矩图：以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。

例7－2 试作出例7－1中悬臂梁的弯矩图。

解（1）建立弯矩方程由例7－1知弯矩方程为

（2）画弯矩图

弯矩方程为一元二次方程，其图象为抛物线。求出其极值点相连便可近似作出其弯矩图。

例7－3 图示的简支梁AB ，在C点处受到集中力F 作用，尺寸a 、b 和l 均为已知，试作出梁的弯矩图。

解（1）求约束反力

（2）建立弯矩方程上例中梁受连续均布载荷作用，各横截面上的弯矩为x的一个连续函数，故弯矩可用一个方程来表达，而本例在梁的C点处有集中力F作用，所以梁应分成AC和BC两段分别建立弯矩方程。

例7－4 图示的简支梁AB ，在C点处受到集中力偶M 0 作用，尺寸a 、b 和l 均为已知，试作出梁的弯矩图。

解（1）求约束反力

（2）建立弯矩方程由于梁在C点处有集中力偶M作用，所以梁应分AC和BC两段分别建立弯矩方程。

（3）画弯矩图

两个弯矩方程均为直线方程

总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律：

（1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。

（2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。

（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。

7.3 梁纯弯曲时的强度条件

7.3.1梁纯弯曲(pure bending)的概念Concepts

纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

Q = 0，M = 常数。

7.3.2梁纯弯曲时横截面上的正应力Normal Stresses in Beams

1．梁纯弯曲时的变形特点Geometry of Deformation:

平面假设：

1）变形前为平面变形后仍为平面

2）始终垂直与轴线

中性层Neutral Surface ：既不缩短也不伸长（不受压不受拉）。

中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。

中性轴Neutral Axis ：中性层与横截面的交线。

变形时横截面是绕中性轴旋转的。

2．梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律

纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。

由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。

以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。

3．梁纯弯曲时正应力计算公式

在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为

式中，M 为作用在该截面上的弯矩（Nmm ）；y 为计算点到中性轴的距离（mm ）；Iz Moment of Area about Z-axis 为横截面对中性轴z的惯性矩（mm 4 ）。

在中性轴上y = 0 ，所以s = 0 ；当y = y max 时，s = s max 。

最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处，

Wz横截面对中性轴z 的抗弯截面模量( mm 3 )

计算时，M 和y 均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。

弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对于剪切弯曲的梁，只要其跨度L 与横截面高度h 之比L/h ＞5，仍可运用这些公式计算弯曲正应力。

7.3.3惯性矩和抗弯截面模量

简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式

7. 3.4梁纯弯曲时的强度条件