2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版-带解析)-历年自主招生考试数学试题大全

2016年清华大学自主招生暨领军计划试题

1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2

的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．取决于a 的值 【答案】C

【解析】注意)()(/x g e x f x

=，答案C ．

2． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）

A ．Z c b a ∈==,2,1

B ．B b

C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500

=+=

C ．0

60,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D ．060,1,3===

A b a

【答案】AD ．

3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2

=-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线

B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行

C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点

D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点

【答案】BD

【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．

4．过抛物线x y 42

=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）

A ．以线段A

B 为直径的圆与直线2

3

-=x 一定相离 B ．||AB 的最小值为4 C ．||AB 的最小值为2

D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB

【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为

||21

|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2

a a A ，则)1,41(2a

a B -，

于是241

4||2

2++=a

a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||2

1

BM 不一定相等，因此命题错误．

5．已知21,F F 是椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有

（ ） A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B ．b a 2>

时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个

C ．21F PF ∆的周长小于a 4

D ．21F PF ∆的面积小于等于2

2

a

【答案】ABCD ．

【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，21PF F ∆的周

长

为

a

c a 422<+；选项

D ，

2

1PF F ∆的面积为

22

212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤∠⋅． 6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．

已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

【答案】BD

【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．

7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆

D ．以上三个说法均不对

【答案】AC

【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ． 8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】必要性：由于1cos sin )2

sin(

sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π

，

类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ，于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++． 不充分性：当4

,2

π

π

=

==

C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形．

9．已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程2

1

111=++z y x 的解的组数为（ ） A ．8

B ．10

C ．11

D ．12

【答案】B 【解析】由于

x

z y x 3

11121≤++=，故63≤≤x ． 若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ； 若5=x ，则

6,5,3

20

,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ； 若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y ． 答案：B ．

10．集合},,,{21n a a a A =，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

【答案】B

11．已知0

00121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ） A ．3tan tan tan tan tan tan =++αγγββα