上海海事大学线代试卷及答案

=
0
y010 y
100
――――――――――――――－3 分
010
z001 z 001
1− x2 − y2 x y z
0 =
0
100
――――――――――――2 分
010
z
001
1− x2 − y2 − z2 x y z
0 =
0
100
――――――――――2 分
010
0
001
= 1 − x 2 − y 2 − z 2 ---――――――――― 3 分
2、设四阶方阵 A = (α γ 2 γ 3 γ 4 ), B = (β γ 2 γ 3 γ 4 ) ，其中 α, β ,γ 2,γ 3,γ 4
均为 4 维列向量，且已知行列式 A = 1, B = 2 ，则行列式 A − 3B = （ ）.
( A) -5
(B) 5
(C) 7
(D) 40
3、n 维向量组α1, α 2 , ⋯, α s 的秩为 r (其中 r < s )，则该向量组中( ). （A）任意 r 个向量线性无关 （B）存在唯一的极大无关组 （C）至少存在 2 个极大无关组 （D）任意 r + 1个向量线性相关 4、设矩阵 A 均为 n 阶可逆阵，则下列说法中错误的是( ).
通解.
八、(共 14 分)
第6页
得分 评卷人
已知二次型
f
(x1, x2 ,
x3 )
=
2 x12
+
2
x
2 2
+
x32
+
2x1 x3
+
2x2 x3 ，
（1） 求二次型 f (x1, x2 , x3 ) 对应的实对称矩阵 A ； （2） 求实对称矩阵 A 的特征值和特征向量.
第1页
―――――大学 2009～2010 学年第 1 学期期末考试试卷审批表
班级:＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿
密封
线
――――――大学 2009—2010 学年第 1 学期 期末考试( A 卷)
页
第1页 共6
课程名称： 线性代数
考试方式：闭卷（ ）
题号 一 二 三 四 五 六 七 八
总分
统分人签名
得分
考生注意事项：1、本试卷共 6 页，请查看试卷中是否有缺页。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
线
班级:＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿
密封
四、(共 10 分)
⎛3 0 1⎞
得分 评卷人
⎜
⎟
若 A = ⎜1 1 0⎟ ，且 AB = 2( A + B) ，求矩阵 B .
⎜ ⎝
0
1
4
⎟ ⎠
六、(共 7 分)
得分 评卷人 设向量组α1,α 2 ,α3 线性相关，向量组α 2 ,α3 ,α 4 线性无关，试 证明：（1）α1 能由α 2 ,α3 线性表示； （2）α 4 不能由α1,α 2 ,α 3 , 线性表示.
组 Ax = b 的解 x = （ ）.
（A） (−1,1,0)Τ
（B） (−1,0,0)Τ （C） (−1,−1,0)Τ （D） (−1,0,1)Τ
二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)
得分 评卷人 1、若 3 阶方阵 A 、4 阶方阵 B 的行列式分别为 2 和 16，则
− 2 | A | B −1 = __________.
六、(共 7 分)
证明：（1）α 2 ,α3 ,α 4线性无关,∴α 2 ,α 3线性无关, ――――――――－2 分 又因α1,α2 ,α3线性相关 ，故α1 可由α 2 ,α 3 线性表示，――――――――2 （2）因α1,α2 ,α3线性相关 ， R(α1, α 2 ,α3 ) < 3 ；――――――――1 分 而α2 ,α3,α4线性无关 ,故 3 = R(α 2 ,α 3 ,α 4 ) ≤ R(α1, α 2 ,α 3 ,α 4 ) ――－1 分 从而 R{α1,α 2 ,α3 } < R{α1, α 2 ,α 3 ,α 4 }所以向量α 4 不能由α1,α 2 ,α3 , 线性表示.
⎜⎝ −1 1 1 ⎟⎠
因而由（1）得
⎛ 2 −1 −1⎞⎛ 3 0 1 ⎞ ⎛ 10 − 4 − 4⎞
B
=
2(A −
2E) −1
A
=
⎜ 2⎜
2
⎟⎜
⎟⎜
− 2 −1⎟⎜1 1 0⎟ = ⎜ 8
⎟ − 6 − 4⎟ ――――3 分
⎜ ⎝
−
1
1
1
⎟⎜ ⎠⎝
0
1
4
⎟ ⎠
⎜ ⎝−4来自46⎟ ⎠
方法二：由 AB = 2( A + B) ，得 ( A − 2E)B = 2A （1）――――――――2 分
第2页
四、(共 10 分)
解: 方法一：由 AB = 2( A + B) ，得 ( A − 2E)B = 2A （1）――――――――2 分
101 又 A − 2E = 1 −1 0 = −1 ，所以 A − 2E 可逆，―――――――――――2 分
012
⎛ 2 −1 −1⎞
⎜
⎟
且 ( A − 2E)−1 = ⎜ 2 − 2 − 1⎟ ―――――――――――――――――――－3 分
―――――――――1 分
第4页
七、(共 14 分)
解：对方程组的增广矩阵作初等变换
⎛1 2 1 1⎞ ⎛1 2
1
1⎞
⎜
⎟⎜
⎟
(A,b) = ⎜ 2 3 a + 2 3⎟ → ⎜ 0 −1
a
1⎟
⎜⎝1 a − 2 0⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 a 2 − 2a − 3 a − 3⎟⎠
---3 分
（1） 当 a ≠ 3且a ≠ −1时， R( A) = R(A,b) = 3 ,方程组有唯一解；――2 分
⎜ ⎝
−
1
3
−1 3⎟⎠
⎜ ⎝
0
0
0
0
⎟ ⎠
因此， R{α1, α 2 ,α 3 ,α 4} = 2 ――――――――――――――――－2 分
且知 极大无关组为α1,α2 ―――――――――――――――――――――2 分
α 3 = 4α1 + α 2 ;α 4 = 3α1 + 2α 2 ――――――――――――――――――－4 分
⎛1 1 1 ⎞
⎛ 1 2 3⎞
⎜ 2、设矩阵 A = ⎜1
1
⎟
⎜
−1⎟ ， B = ⎜ −1
−2
⎟ 4⎟
，则 3AΤ B − 2 A
=
⎜⎝1 −1
1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
5 1⎟⎠
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
3、设三阶方阵 A = ⎜ 2 2 0⎟ ， A∗ 为 A 的伴随矩阵，则 ( A∗ )−1 =_________.
⎜ ⎝
1
1
1⎟⎠
(2)
λ1
=
0, λ2
=
2, λ 3
= 3 ――――――――――――――――3 分
λ1 = 0 对应的特征向量为 α1 = k1 (1,1,−2)Τ k1 ≠ 0; ――――――3 分
λ2 = 2, 对应的特征向量为 α 2 = k2 (−1,1,0)Τ , k2 ≠ 0 ――――3 分
一、选择题(每小题 3 分，共 15 分)
1、 A、B 均为 n 阶可逆阵，则必有( )成立.
得分 评卷人
（A） ( A + B)−1 = A−1 + B−1 （B） ( AB) −1 = A−1B −1
（C） (2 AΤ )−1 = 1 ( A−1 )Τ 2
（D） (2 A∗)−1 = A−1 2| A|
1、16
⎛ − 2 13 22 ⎞
2、
⎜ ⎜
−
2
− 17
⎟ 20 ⎟
⎜ ⎝
4
29 − 2⎟⎠
5、 b = −1 6、2
三、(共 10 分)
⎛1 ⎜
0
0
⎞ ⎟
3、
⎜ ⎜
10 1
⎜5
1 5
⎟
0
⎟ ⎟
⎜ 3 2 1⎟
⎜ ⎝
10
5
2
⎟ ⎠
4、 a=15
1 x y z 1− x2 x y z
x100
解： D =
⎛1⎞
6、已知向量α
=
⎜⎟ ⎜2⎟
，令
A
=
αα
Τ ,则齐次线性方程组
Ax
=
0 的基础解系所含
⎜ ⎝
3 ⎟⎠
解向量的个数为____________.
三、(共 10 分)
1xyz
得分 评卷人
x100
计算四阶行列式 D =
.
y010
z 001
第3页
五、(共 12 分)
第4页
得分 评卷人
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ −1⎟⎞
λ 3
=
3
对应的特征向量为 α 3
=
k3 (1,1,1)Τ , k3
≠
0 ――――3
分
课程名称 线性代数 考试班级
任课教师
命题教师
考试形式
审核人 意见
教研室意见 (签字)
闭卷
答卷纸(张)
系(部)意见 (签字)
参加考试 学生人数
试卷类型
A
(A、B)
草稿纸(张)
1
审核人签名：
试题参考答案及评分标准