高中数学北师大版选修2-2《导数的四则运算》word导学案

第4课时导数的四则运算

1.掌握导数的四则运算法则.

2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

你能利用导数的定义推导f(x)·g(x)的导数吗?若能,请写出推导过程.

问题1:基本初等函数的导数公式表:

①若f(x)=c,则f'(x)=;

②若f(x)=xα(α∈Q),则f'(x)=;

③若f(x)=sin x,则f'(x)=;

④若f(x)=cos x,则f'(x)=;

⑤若f(x)=a x,则f'(x)=(a>0);

⑥若f(x)=e x,则f'(x)=;

⑦若f(x)=log a x,则f'(x)=(a>0,且a≠1);

⑧若f(x)=ln x,则f'(x)=.

问题2:导数运算法则

①[f(x)±g(x)]'=;

②[f(x)·g(x)]'=;

③[]'=(g(x)≠0) .

④从导数运算法则②可以得出

[cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'=,

也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘以函数的导数,即[cf(x)]'=.

问题3:运用导数的求导法则,可求出多项式f(x)=a0+a1x+…+a r x r+…+a n x n的导数.

f'(x)=.

问题4:导数法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)的拓展有哪些?

(1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形:

若y=f1(x)±f2(x)±…±f n(x),则y'=.

(2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a,b为常数).

(3)[f(x)±c]'=f'(x).

1.函数f(x)=sin x+x的导数是().

A.f'(x)=cos x+1

B.f'(x)=cos x-1

C.f'(x)=-cos x+1

D.f'(x)=-cos x+x

2.设f(x)=x ln x,若f'(x0)=2,则x0=().

A.e2

B.e

C.

D.ln 2

3.函数f(x)=x3+4x+5的图像在x=1处的切线在x轴上的截距为.

4.求下列函数的导数.

(1)y=2x3-3x2+5x-4;

(2)y=cos x(sin x+1)+ln 5;

(3)y=.

求函数的导数

求下列函数的导数:

(1)f(x)=a2+2ax-x2;(2)f(x)=.

求曲线的切线方程

已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程;

(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.

导数公式的综合应用

已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O为坐标原点,试在直线AB左侧的抛物线上求一点P,使△ABP的面积最大.

求下列函数的导数:

(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);

(2)y=1+sin cos ;

(3)y=-2x.

(1)求曲线y=x cos x在x=处的切线方程;

(2)求曲线y=在点(1,1)处的切线方程.

点P是曲线y=e x上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.

1.函数y=的导数是().

A. B.

C. D.

2.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于().

A.-1

B.-2

C.2

D.0

3.设曲线f(x)=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=.

4.已知曲线C1:y=x2与曲线C2:y=-(x-2)2,直线l与C1和C2都相切,求直线l的方程.

(2013年·江西卷)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f'(1)=.

考题变式(我来改编):

答案

第4课时导数的四则运算

知识体系梳理

问题1:①0②αxα-1③cos x④-sin x⑤a x ln a⑥e x⑦⑧

问题2:①f'(x)±g'(x)②f'(x)g(x)+f(x)g'(x)③④cf'(x)cf'(x)

问题3:a1+2a2x1+…+ra r x r-1+…+na n x n-1

问题4:f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x)

基础学习交流

1.A f'(x)=(sin x)'+x'=cos x+1.

2.B∵f'(x)=x'ln x+x(ln x)'=ln x+1,∴f'(x0)=ln x0+1=2,解得x0=e.

3.-∵f'(x)=3x2+4,∴切线的斜率k=f'(1)=7,∵切点为(1,10),∴切线方程为y-10=7(x-1),即

y=7x+3.令y=0,得x=-,∴切线在x轴上的截距为-.

4.解:(1)y'=6x2-6x+

5.

(2)y'=(cos x)'(sin x+1)+cos x(sin x+1)'+(ln 5)'

=-sin x(sin x+1)+cos x cos x=cos 2x-sin x.

(3)y'==.

重点难点探究

探究一:【解析】(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=2a+2x.

(2)f'(x)=()'===x sin x+x2cos x.

[问题]求函数的导数是对谁求导?导数的运算法则正确吗?

[结论](1)求导是对自变量的求导,要分清表达式中的自变量.本题的自变量是x,a是常量.(2)不正确,商的求导法则是:分母的平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.

于是,正确解答为:

(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=-2x+2a.

(2)f'(x)=()'=

=.

【小结】1.利用导数公式求函数的导数时,一定要将函数化为八个基本函数中的某一个,再套用公式求导数.

2.求函数的导数时应注意以下几点:

(1)要遵循先化简函数解析式,再求导的原则.

(2)化简时注意化简的等价性,避免不必要的运算失误.

(3)求导时,既要重视求导法则,更要注意求导法则对导数的制约作用.

探究二:【解析】(1)∵y'=2x+1,∴y'|x=1=3.

∴直线l1的方程为y=3(x-1)=3x-3.

设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点P(x0,+x0-2),

则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).