5-2单目标函数最优化

单目标函数最优化

1基本概念

（1） 设计变量（决策变量）：在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数。

（2） 最优化设计的维数：决策变量的数目称为最优化设计的维数，比如：1维、2维、3维设计问题。 （3） 设计空间：在最优化设计中由各决策变量的坐标轴所描述的空间称为设计空间。

当决策变量数目大于3时，n 维空间又称为超越空间。

注意：设计空间中的一个点（一组决策变量的值）就是一种设计方案。

（4） 目标函数：用决策变量表示的、反应所设计问题性能的函数表达式。

注意：最优化设计的过程就是选择合理的决策变量，使目标函数达到最优或找出目标函数的最小值（或最

大值）的过程。

（5） 单目标函数最优化问题：目标函数只有一个。

（6） 多目标函数最优化问题：目标函数（性能指标）有多个。 （7） 无约束优化、约束优化

（8） 线性规划（Linear Programming ，简记为LP ）：目标函数和约束条件都是自变量（包括决策变量和

非决策变量）的线性函数。

非线性规划（Nonlinear Programming ，简记为NP ）：如果目标函数和约束函数中至少有一个是自变量的非线性函数，这种规划问题就称为非线性规划问题。

2单目标函数最优化问题

exa: （生产计划问题）某企业计划生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A 、B 、C 三种不同设备上加工。每单位产品所耗用的设备工时、单位产品利润及各设备在某计划期内的工时限额如表1。试问应如何安排生产计划，才能使企业获得最大利润。

决策变量：计划期内甲、乙两种产品的产量，分别用1x 、2x 表示，其取值均为非负； 目标函数：计划期内两种产品的总利润，用z 表示，即

2143x x z +=

问题：总利润最大，即

2143m ax x x z +=

约束条件：1x 、2x 受到工时限额的约束，即

621≤+x x 8221≤+x x

622≤x

同时，甲、乙产品的产量为非负的，应有

01≥x ，02≥x

综上，该问题的数学模型（优化模型）为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥≤≤+≤++=0

,62826

..43max 212212121x x x x x x x t s x x z (1) 其中，“..t s ”为“subject to ”（受约束于）的缩写。

（2） 模型求解

方法：线性规划的图解法

图解法适用条件：2维优化问题（几何含义：XOY 二维坐标系），即只有两个决策变量。 解 ①可行域图形的确定

LP 模型所有约束条件构成的公共部分。称为可行域图形。

因为0,21≥x x ，可行域在第一象限。第一个约束条件621≤+x x 表示半平面，此半平面是以直线

621≤+x x 为边界的在其左下方第一象限部分。类似地，可求出其余约束条件表示的半平面部分(见

图1)。图中的凸多边形OABCD 即为该例的可行域图形。

图1

凸多边形（包括其边界）上的每一点，都是本例LP 模型的一个可行解。因此凸多边形区域OABCD 是该LP 模型的可行解的集合，称为可行域，可行域中使目标函数达到最大（或最小）的点为最优点，最优点对应的坐标即为LP 的最优解，相应的函数值称为最优值。 ②目标函数的等值线与最优点的确定

考虑本例的目标函数

2143x x z +=

它代表以z 为参数，-3/4为斜率的一簇平行线。

由小到大给z 赋值，如令12,4,0=z 等可得到一组平行线（见图1），而位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因而称其为等值线。垂直于这组平行线画一直线，取z 值沿此直线递增的方向，即为直线簇 2143x x z +=的法线方向（如图1），其为z 值增加最快的方向。

沿法线方向平行移动直线2143x x z +=，当移动到B 点时，z 值在可行域上达到最大，从而B 为最优点。求出B 点坐标，解

⎩⎨

⎧=+=+6

8

22121x x x x 得4*

1=x ，2*

2=x ，最优值为20max =z 。

故本例的最优生产方案为：日产甲产品4件，乙产品2件，每天可得最大利润20千元。 （3） 图解法求解工具：AutoCAD; MATLAB AutoCAD 步骤：

1） 设置极限（limits ）:（-10，-10），（10，10） 2） 设置栅格间距：0.5 3） 打开栅格；

4） 绘制可行域图形(由各个约束条件对应直线构成的闭合凸多边形)； 5） 绘制目标函数对应直线（等值线）；

6） 沿目标函数法线方向平移目标函数等值线（offset ）；

7） 确定最优解，利用目标捕捉工具获取最优解对应点坐标（id ）。 MATLAB ：

函数：linprog 函数（具体参见该函数语法手册） 求解问题：最小化问题minf(x)，约束条件为A*x<=b

格式：x=linprog(f,A,b,[],[],lb),lb 为向量X （x1,x2）的下限 实例中目标函数（1）需转换为等效的最小化形式：

2143m in x x z --=

首先输入下列系数： f=[-3;-4];

A=[1 1;1 2;0 2]; b=[6;8;6] lb=[0;0]

然后调用linprog 函数： x=linprog(f,A,b,[],[],lb)