线性代数性质公式整理

三、行列式展开公式
n 阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即
|A|按 i 行展开的展开式
四、行列式的公式
|A|按 j 列展开的展开式
1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；
2.关于副对角线的 n 阶行列式的值
3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果 A 和 B 分别是 m 阶和 n 阶矩阵，则
，···， ，使得
七、矩阵的秩
1.求秩的主要方法：经过初等变换矩阵的秩不变；如果 A 可逆，则 2.矩阵的秩——设 A 是 m×n 矩阵，若 A 中存在 r 阶子式不等于 0，且所有 r+1 阶子式均为 0，
则称矩阵 A 的秩为 r，记成 r(A)，零矩阵的秩规定为 0。
3.矩阵的秩的性质——
矩阵 A 中非零子式的最高阶数是 r
组一定是线性无关的。
证明：证明线性无关通常的思路是：用定义法(同乘或拆项重组)，用秩(秩等于向量个数 则线性无关)，齐次方程组只有零解或反证法。 4.重要定理——
①n 维向量组
线性相关 齐次方程组
有非零解
②n 个 n 维向量
③ 个 n 维向量必线性相关。
④如果
线性相关，则
必线性相关。
⑤如果 n 维向量组
称为组合系数。 ，使得
则称向量 是向量
的线性组合，或者说向量 可由
线性表出。
②设有两个 n 维向量组(Ⅰ)
；(Ⅱ)
；如果(Ⅰ)中每个向量 都可由(Ⅱ)
中的向量
线性表出，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出。
如果(Ⅰ) 、(Ⅱ)这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。
等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。
3.相等——n 维向量
相等，即
4.运算—— n 维向量 (加法)
， (数乘)
， (内积)
，
，
，
，称
为向量 的长度。
特别地，如
，则称 正交
二、线性表出、线性相关
，等号成立当且仅当
1.线性组合——m 个 n 维向量
及 m 个数
所构成的向量
称为向量组
的一个线性组合，数
2.线性表出——
①对 n 维向量
和 ，如果存在实数
个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用
表示排列
的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇 排列。
阶与 3 阶行列式的展开——
，
5.余子式与代数余子式——在 n 阶行列式
中划去 所在的第 i 行，第 j 列
的 元 素 ， 剩 下 的 元 素 按 原 来 的 位 置 排 法 构 成 的 一 个 n-1 阶 的 行 列 式
A 中每一个 r 阶子式全为 0 A 中有 r 阶子式不为 0
特别地，
；
若 A 是 n 阶矩阵，
若 A 是 m×n 矩阵，则 4.矩阵的秩的公式——
；
当 时，
；
；
若 A 可逆，则
若 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×s 矩阵，AB=O，则
分块矩阵
。
八、分块矩阵
1.概念——将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵(或子块)，
必线性相关。
若 n 维向量组
可由
三、极大线性无关组、秩
线性表出，且
线性无关，则
1.概念——设向量组
中，有一个部分组
，满足条件
①
线性无关；
②再添加任一向量
，向量组
必线性相关；(向量组
中任何
一个向量 必可由
线性表出)
则称向量组
是向量组
的一个极大线性无关组。
注：只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组。 一个线性无关的向量组的极大线性无关组是该向量组本身。 向量组的极大线性无关组一般不唯一,但其极大线性无关组的向量个数是一样的。
3.某行如有公因子 k，则可把 k 提出行列式记号外。
4. 如 果 行 列 式 某 行 ( 或 列 ) 是 两 个 元 素 之 和 ， 则 可 把 行 列 式 拆 成 两 个 行 列 式 之 和 ：
5.把某行的 k 倍加到另一行，行列式的值不变：
6.代数余子式的性质——行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式 乘积之和为 0
称为 的余子式，记为 ；称
为 的代
数余子式，记为 ，即
。
6.伴随矩阵——由矩阵 A 的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如
，
称为 A 的伴随矩阵，记作 。
二、行列式的性质
1.经过转置行列式的值不变，即
→行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为 0.
ABC 为同型矩阵，则
1.加法——
2.数乘——
3.乘法 ABC 满足可乘条件 注意一般情况下
对角矩阵 对角矩阵的逆矩阵
4.转置——
；
5.伴随矩阵——
；
；
6.方阵的幂—— 注意
；
；
；
；
；
7.特殊方阵的幂 (求 )—— ①若秩 例如 P218 ②特殊的二项式展开
，从而
③分块矩阵 ④特征值、特征向量、相似 ⑤简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。
的某行(列)的每个元素，
(互换)互换 A 的某两行(列)，(倍加)将 A 的某行(列)元素的 k 倍加到另一行(列)。称为初等变
换。
3.初等矩阵——由 E 经过一次初等变换所得的矩阵
倍乘初等矩阵
互换初等矩阵
倍加初等矩阵 4.等价矩阵——矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B，则称 A 与 B 等价，记成 。若
数学归纳法——①验证 n=1 时命题正确；假设 n=k 时命题正确；证明 n=k+1 时，命题正确。 ②验证 n=1 和 n=2 时命题都正确，假设 n<k 命题正确，证明 n=k，命题正
确。 ③对于 n 阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。
2.抽象型行列式——通常与矩阵一起考，利用行列式的性质(倍加、提公因数 k、拆项)等来 恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。
⑦正交阵：
矩阵称为正交阵，即
⑧初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。
⑨伴随矩阵：见(一.
五、可逆矩阵
1.主要定理：若 A 可逆则 A 的逆矩阵唯一且|A|不为 0。行列式不为 0 则矩阵可逆。
2.概念——设 A 是 n 阶方阵如果存在 n 阶矩阵 B 使得
成立，则称 A 是可逆矩阵
或非奇异矩阵，B 是 A 的逆矩阵，记成
②用行列式的按行或列展开的公式。由于 的值与 的值没有关系，故可以构造一个新 的行列式|B|，通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。P205 例 20
③利用行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式 乘积之和为 0 的性质 ④根据伴随矩阵 的定义，通过求 再来求和。
一、矩阵的概念及运算
把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。
由于不同的需要，同一个矩阵有不同的方法分块，可以行分块，以列分块等。
2.分块矩阵的运算——对矩阵适当地分块处理(要保证相对应子块的运算能够合理进行)，就
有如下运算法则：
若 B,C 分别是 m 阶与 s 阶矩阵，则
，
若 B,C 分别是 m 阶与 s 阶可逆矩阵，则
2. 秩 — — 向 量
的极大线性无关组中所含向量的个数 r 称为向量组的秩。记为
。(
)
如果向量组(Ⅰ)
可由 (Ⅱ)
线性表出，则
3.注意—— 求向量组的极大无关组时，只能都作行变换(或都做列变换)，不能混合行列变换。 如果只是求向量组的秩，则可以混合行列变化。
四、施密特正交化、正交矩阵
1.正交矩阵——设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 是正交矩阵
；
；
②初等变换
③用定义求 B，使得 AB=E 或 BA=E，则 A 可逆且 ④分块矩阵，设 B,C 都可逆，则
；
六、初等变换、初等矩阵
1.主要结论：用初等矩阵 P 左乘 A，所得 PA 矩阵就是矩阵 A 做了一次和矩阵 P 同样的行变
换；若是右乘就是相应的列变换。
2.初等变换——设 A 是 矩阵，(倍乘)用某个非零常数
线性无关，则它的延伸组
必线性无关。
⑥n 维向量 可由
线性表出 非齐次方程组
有解
⑦向量组
线性相关 至少有一个向量 由其余 s-1 个向量线性表出。
⑧向量组
线性无关，而向量组向量组
线性相关，则向量 可由
线性表出，且表示方法唯一。
⑨设有两个 n 维向量组Ⅰ)
；(Ⅱ)
，如果向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)
线性表出，且 ，则
矩阵 A 是一个表格，而行列式|A|是一个数。
二、矩阵的运算
1.(加法) 设 A、B 是同型矩阵，则
2.(数乘) 3.(乘法) 若 A 为 m×s 矩阵，B 为 s×n 矩阵，则 A、B 可乘，且乘积 AB 是一个 m×n 矩阵。
记成
，其中
4.转置 将矩阵 A 的行列互换得到矩阵 A 的转置矩阵
三、矩阵的运算规则
☆利用单位矩阵 3.行列式|A|是否为 0 的判定
恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。
若 A=[
]是 n 阶矩阵，那么
行列式|A|=0
矩阵 A 不可逆 秩 r(A)<n
Ax=0 有非零解 0 是矩阵 A 的特征值 A 的列(行)向量线性相关。 因此，判断行列式是否为 0，常用：①秩；②齐次方程组是否有非零解；③看特征值是 否为 0；④反证法；⑤若|A|=k|A|，且 k≠1 时也能得出|A|=0 4.代数余子式求和 ①按定义直接计算求和；
4.范德蒙行列式
5.抽象 n 阶方阵行列式公式 (矩阵)
若 A、B 都是 n 阶矩阵， 是 A 的伴随矩阵，若 A 可逆，
是 A 的特征值：
；
； |AB|=|A||B|；
；
；
； 若 ，则
，且特征值相同。
一般情况下：
五、行列式的计算
1.数字型行列式 将行列式化为上下三角，再按行或列展开；
化简技巧：①将每列(行)都加到同一列(行)，或者将每列(行)ki 倍都加到同一列(行)。 ②逐行(或逐列)相加 ③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式
，则后者称为 A 的等价标准形。(A 的等价标准型是与 A 等价的所有矩阵中的最简
矩阵。) 5.初等矩阵与初等变换的性质——
①初等矩阵的转置仍然是初等矩阵； ②初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵
，
，
③
左行右列
④当 A 时可逆矩阵时，则 A 可作一系列初等行变换成单位矩阵，即存在初等矩阵 ，
一、相关概念
1.行列式——n 阶行列式
线性代数
第一章 行列式
是所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
的代数和，这里
是 1，2，···n 的一个排列。当
号；当
是奇排列时，该项的前面带负号，即
是偶排列时，该项的前面带正
这里
表示对所有 n 阶排列求和。式称为 n 阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一
，
若 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×S 矩阵且 AB=O，对 B 和 O 矩阵按列分块有
即 B 的列向量是齐次方程组 线性表出 P214
的解。
一、n 维向量的概念与运算
第三章、向量
维向量——n 个有序数组
所构成的一个有序数组成为 n 维向量，记成
或
，分别称为 n 维行向量或 n 维列向量，数 称为向量的第 i 个分量。 2.零向量——所有分量都是 0 的向量称为零向量，记为 0
四、特殊矩阵
设 A 是 n 阶矩阵： ①单位阵：主对角元素为 1，其余元素为 0，记成 ②数量阵：数 k 与单位矩阵 E 的积 kE 称为数量矩阵。 ③对角阵：非对角元素都是 0 的矩阵称为对角阵，记成
④上(下)三角阵：当
，有 的矩阵称为上(下)三角阵。
⑤对称阵：满足
，即
⑥反对称阵：满足
，即
， 的对称阵称为反对称阵。
向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。
向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。
等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价。
3.线性相关、无关——对于 n 维向量
，如果存在不全为零的数
，使得
则称向量组
线性相关，否则称它线性无关。
关于线性无关，只要
不全为零，必有
，或者，当且仅
当
时，才有
显然，含有：零向量，相等向量，坐标成比例的向量组都是线性相关的，而阶梯形向量
第二章 矩阵
矩阵——m×n 个数排成如下 m 行 n 列的一个表格
称为是一个 m×n 矩
阵，当 m=n 时，矩阵 A 称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵。如果一个矩阵所有元素都是 0，则称为 零矩阵，记作 O。
两个矩阵
，
，如果 m=s，n=t，则称 A 与 B 是同型矩阵
两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A=B。
3.可逆的充要条件——①存在 n 阶矩阵 B 使得 AB=E
②
，或秩 r(A)=n，或 A 的列(行)向量线性无关
③齐次方程组 Ax=0 只有零解 ④矩阵 A 的特征值不全为 0
4.逆矩阵的运算性质——若
若 A，B 可逆，则
；特别地
若 可逆，则 注意，即使 A,B,A+B 都可逆，一般地 5.求逆矩阵的方法——①若