第二章若干数学问题中的数学文化
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20
古希腊的 “毕达哥拉斯定理”
（约公元前500年）
宰牛传说
定理并无证明
（尼加拉瓜，1971年）
21
勾股定理的教育意义
由于勾股定理的重要性，人们有兴趣不断探 索它的新证明。现在，已有关于勾股定理的 380多种证明。
勾股定理还是对学生进行辩证思想方法教育的良 好素材。这是因为证明勾股定理的剖分法、拼补 法、拼拆法等，都渗透着进与退、分与合、动与 静、变与不变、数与形、正向与逆向、一与多等的 辩证思想方法。
10
欧几里得------
古希腊著名数学家、 欧氏几何学的开创者
亚历山大里亚的欧几里得（希腊文： Ευκλειδης ，约公元前330年—前275年）， 古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活 跃于托勒密一世（公元前323年－前283年） 时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几 何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设 ，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史 上最成功的教科书。
c2 12，1推2 出2
。
C
16
三国时期赵爽对勾股定理的证明
（约公元240年）
宋刻本《周髀算经》， （上海图书馆藏）
17
18
刘徽 关于勾股定理的证明
刘徽的证明见于他的《九章算术》注 “勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入 相补，各从其类，因就其余不动也。合成 弦方之幂”。
刘徽原图已失传。
19
Байду номын сангаас
刘徽与“出入相补”原理
《海岛算经》插图
30
ⅱ）同名正多边形复盖平面的情形（即铺
正多边形地砖的情形）
只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地 放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形 ，如图：
31
铺地 实拍（南昌 八大山人纪念馆）
32
3）“万物皆数”学说的意义和影 响
毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在 于数”，神是以数的规律创造世界的。
数学发展史上有三次数学危机。每一次数学 危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上， 也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想 解放，大大推动了数学科学的发展。
3
（一）第一次数学危机
4
一、毕达哥拉斯学派和他们的 “万物皆数”
1. 古代希腊的数学
古代希腊的地理范围包括希腊半岛、爱琴海诸岛和亚
细亚西部沿海地带。 从公元前6世纪起，逐步形成以雅典为中心的古希腊，出现 了欧洲文化的第一个高峰，古希腊数学是其中的重要组成部 分。 古代希腊的第一个著名的数学家是泰勒斯（Thales of Miletus,约前625年—前547年）
数学的魅力
第五讲
历史上的三次数学危机（1）
湘南学院数学系 李小平 Eail:lxp418@126.com
1
陈省身：
了解历史的变化，是了解这门科学的一个步骤。
2
历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的 曲折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机 的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发 展的动力。
22
第24届“国际数学家大会”（ICM）
International Congress of Mathematicians
23
24
第24届“国际数学家大会”会标的含义？
25
第24届“国际数学家大会”会标
宋刻本《周髀算经》，
（上海图书馆藏）
26
为2002北京“国际数学家大会”发行的 纪念邮资明信片 JP108
“万物皆数”学说产生了很大的影响。
二、 2 与第一次数学危机
但是，对“万物皆数”理论产生冲击的， 却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用 现在的符号，这就是 2。
34
1. 2 的发现和危机的产生 1）一个不能表成整数比的数
根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对
角线长度若记为 ，c 则 如图c:2 2
卷上另一处叙述周公后人荣方与陈
子（约公元前6、7世纪）的对话
中，则包含了勾股定理的一般形
式：“……以日下为勾，日高为
股，勾股各自乘，并而开方除之
，得邪至日。”
14
15
中国数学史上最先完成勾股定理证明： 公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀 算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图， 相当于运用面积的“出入相补”方法（刘 徽），证明了勾股定理。如图
5
一、毕达哥拉斯学派和他们的 “万物皆数”
2. 毕达哥拉斯 Pythagoras
(约前570年—前500年）
毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、 数学家、天文学家。
6
毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)
7
毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织， 但也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和 理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士 多德的思想产生很大影响。
27
作为“世界语言”和 “宇宙语言”的勾股定理
（希腊，1955年）
为与外星人联系，宇宙飞船上带去
地球人类具 代表性的物件
28
4. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说
1）“万物皆数”学说
①数是世界的法则，一切都可以归结为整数比
毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整 数，同时还包含它们的比，即正分数 n 。
8
相传“哲学”（希腊原词
意为 “智力爱好” ）和 “数学”（希腊原 词 意为“可学到的知识”） 这两个词是毕达哥拉斯本人所创。
9
3. 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献
1）数学证明的起始
泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得 证明是要有假设的: 公设、公理及定义。 许多人推测，欧几里得几何《原本》前两 卷的 大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。
2）数学抽象的提出
从实物的数与形，抽象到数学上的数与 形，本身就把数学推向了科学。
3）毕达哥拉斯定理
即“直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股 定理。
13
《周髀算经》中的 “勾股定理”
（约公元前700年）
《周髀算经》卷上记载西周开国时 期周公与大夫商高讨论勾股测量 的对话，商高答周公问时提到“ 勾广三 股修四 经隅五”，这是 勾股定理的特例。
m
②任意两条线段 a、d 都是“可公度的”
“可公度的”，意即有公共的度量单位 t 。
a
d
t
a mt
d nt
29
2） 实例 多个场合下的小整数比 ⅰ）产生谐音的各个弦的长度成小整数比 绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数
比，就会发出谐音。例如，1︰2时短弦的音高 8度，2︰3时短弦音高5度，3︰4时短弦音高4 度；当三根弦的长度之比为3︰4︰6时，就得 到谐音。
古希腊的 “毕达哥拉斯定理”
（约公元前500年）
宰牛传说
定理并无证明
（尼加拉瓜，1971年）
21
勾股定理的教育意义
由于勾股定理的重要性，人们有兴趣不断探 索它的新证明。现在，已有关于勾股定理的 380多种证明。
勾股定理还是对学生进行辩证思想方法教育的良 好素材。这是因为证明勾股定理的剖分法、拼补 法、拼拆法等，都渗透着进与退、分与合、动与 静、变与不变、数与形、正向与逆向、一与多等的 辩证思想方法。
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欧几里得------
古希腊著名数学家、 欧氏几何学的开创者
亚历山大里亚的欧几里得（希腊文： Ευκλειδης ，约公元前330年—前275年）， 古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活 跃于托勒密一世（公元前323年－前283年） 时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几 何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设 ，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史 上最成功的教科书。
c2 12，1推2 出2
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三国时期赵爽对勾股定理的证明
（约公元240年）
宋刻本《周髀算经》， （上海图书馆藏）
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刘徽 关于勾股定理的证明
刘徽的证明见于他的《九章算术》注 “勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入 相补，各从其类，因就其余不动也。合成 弦方之幂”。
刘徽原图已失传。
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Байду номын сангаас
刘徽与“出入相补”原理
《海岛算经》插图
30
ⅱ）同名正多边形复盖平面的情形（即铺
正多边形地砖的情形）
只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地 放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形 ，如图：
31
铺地 实拍（南昌 八大山人纪念馆）
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3）“万物皆数”学说的意义和影 响
毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和谐在 于数”，神是以数的规律创造世界的。
数学发展史上有三次数学危机。每一次数学 危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上， 也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想 解放，大大推动了数学科学的发展。
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（一）第一次数学危机
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一、毕达哥拉斯学派和他们的 “万物皆数”
1. 古代希腊的数学
古代希腊的地理范围包括希腊半岛、爱琴海诸岛和亚
细亚西部沿海地带。 从公元前6世纪起，逐步形成以雅典为中心的古希腊，出现 了欧洲文化的第一个高峰，古希腊数学是其中的重要组成部 分。 古代希腊的第一个著名的数学家是泰勒斯（Thales of Miletus,约前625年—前547年）
数学的魅力
第五讲
历史上的三次数学危机（1）
湘南学院数学系 李小平 Eail:lxp418@126.com
1
陈省身：
了解历史的变化，是了解这门科学的一个步骤。
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历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的 曲折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机 的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发 展的动力。
22
第24届“国际数学家大会”（ICM）
International Congress of Mathematicians
23
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第24届“国际数学家大会”会标的含义？
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第24届“国际数学家大会”会标
宋刻本《周髀算经》，
（上海图书馆藏）
26
为2002北京“国际数学家大会”发行的 纪念邮资明信片 JP108
“万物皆数”学说产生了很大的影响。
二、 2 与第一次数学危机
但是，对“万物皆数”理论产生冲击的， 却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用 现在的符号，这就是 2。
34
1. 2 的发现和危机的产生 1）一个不能表成整数比的数
根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对
角线长度若记为 ，c 则 如图c:2 2
卷上另一处叙述周公后人荣方与陈
子（约公元前6、7世纪）的对话
中，则包含了勾股定理的一般形
式：“……以日下为勾，日高为
股，勾股各自乘，并而开方除之
，得邪至日。”
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中国数学史上最先完成勾股定理证明： 公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀 算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图， 相当于运用面积的“出入相补”方法（刘 徽），证明了勾股定理。如图
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一、毕达哥拉斯学派和他们的 “万物皆数”
2. 毕达哥拉斯 Pythagoras
(约前570年—前500年）
毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、 数学家、天文学家。
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毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)
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毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织， 但也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和 理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士 多德的思想产生很大影响。
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作为“世界语言”和 “宇宙语言”的勾股定理
（希腊，1955年）
为与外星人联系，宇宙飞船上带去
地球人类具 代表性的物件
28
4. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说
1）“万物皆数”学说
①数是世界的法则，一切都可以归结为整数比
毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整 数，同时还包含它们的比，即正分数 n 。
8
相传“哲学”（希腊原词
意为 “智力爱好” ）和 “数学”（希腊原 词 意为“可学到的知识”） 这两个词是毕达哥拉斯本人所创。
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3. 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献
1）数学证明的起始
泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得 证明是要有假设的: 公设、公理及定义。 许多人推测，欧几里得几何《原本》前两 卷的 大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。
2）数学抽象的提出
从实物的数与形，抽象到数学上的数与 形，本身就把数学推向了科学。
3）毕达哥拉斯定理
即“直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股 定理。
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《周髀算经》中的 “勾股定理”
（约公元前700年）
《周髀算经》卷上记载西周开国时 期周公与大夫商高讨论勾股测量 的对话，商高答周公问时提到“ 勾广三 股修四 经隅五”，这是 勾股定理的特例。
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②任意两条线段 a、d 都是“可公度的”
“可公度的”，意即有公共的度量单位 t 。
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d
t
a mt
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2） 实例 多个场合下的小整数比 ⅰ）产生谐音的各个弦的长度成小整数比 绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数
比，就会发出谐音。例如，1︰2时短弦的音高 8度，2︰3时短弦音高5度，3︰4时短弦音高4 度；当三根弦的长度之比为3︰4︰6时，就得 到谐音。