七年级数学下册培优讲义(人教版)
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【变式题组】
01．已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（）
A．20°B．40°C．50°D．80°
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝.
【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A画直线l2的垂线.⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.
又∵EF平分∠DEC（已知）
∴（）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴（）
∴AB∥DE（）
03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB∥CD．
04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.
【例４】直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°求∠BOE和∠AOC的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90°，OF⊥AB．
【变式题组】
01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的度数.
【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、∠AOC． ⑴求∠EOF的度数；⑵写出∠BOE的余角及补角.
【解法指导】解这类角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC∴∠EOC＝ ∠BOC，∠FOC＝ ∠AOC∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝ ∠BOC＋ ∠AOC＝ 又∵∠BOC＋∠AOC＝180°∴∠EOF＝ ×180°＝90°⑵∠BOE的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.
【解法指导】正确辨认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截 线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.
【变式题组】
01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有（）
A．4对B．8对C．12对D．16对
2016年最新人教版七年级下册数学培优讲义
第1讲与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
【变式题组】
01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：⑴∠ARC的对顶角是.邻补角是.⑵图中有几对对顶角，几对邻补角？
02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；
当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；
当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.
问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.
02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD．
⑴求∠AOC的度数；⑵试说明OD与AB的位置关系.
03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请出∠CBE的对顶角，并求其度数.
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2： ∠1和∠3： ∠1和∠6： ∠2和∠6：∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾，所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）
A．∠1和∠2是同旁内角
B．∠3和∠4是内错角
C．∠5和∠6是同旁内角
D．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由• ⑴∠CBD＝∠ADB；
⑵∠BCD＋∠ADC＝180°
【变式题组】
01．如图，推理填空.
⑴∵∠A＝∠（已知）
∴AC∥ED（）
⑵∵∠C＝∠（已知）
∴AC∥ED（）
⑶∵∠A＝∠（已知）
∴AB∥DF（）
02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系.
解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）
∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.
【变式题组】
01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（）
Biblioteka BaiduA．4cmB．5cm
C．不大于4cmD．不小于6cm
02如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上距离M村越来越近..在的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.
经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成了哪几对对顶角？一共构成了哪几对邻补角？
【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角.
⑶∠ACD＝∠BAC
【解法指导】图中有即即有同旁内
角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行.
⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行.
⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行.
01．已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（）
A．20°B．40°C．50°D．80°
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝.
【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A画直线l2的垂线.⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.
又∵EF平分∠DEC（已知）
∴（）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴（）
∴AB∥DE（）
03．如图，已知AE平分∠CAB，CE平分∠ACD．∠CAE＋∠ACE＝90°，求证：AB∥CD．
04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.
【例４】直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°求∠BOE和∠AOC的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF＝90°，OF⊥AB．
【变式题组】
01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的度数.
【例２】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、∠AOC． ⑴求∠EOF的度数；⑵写出∠BOE的余角及补角.
【解法指导】解这类角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC∴∠EOC＝ ∠BOC，∠FOC＝ ∠AOC∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝ ∠BOC＋ ∠AOC＝ 又∵∠BOC＋∠AOC＝180°∴∠EOF＝ ×180°＝90°⑵∠BOE的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：∠AOE.
【解法指导】正确辨认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截 线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.
【变式题组】
01．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有（）
A．4对B．8对C．12对D．16对
2016年最新人教版七年级下册数学培优讲义
第1讲与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
【变式题组】
01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：⑴∠ARC的对顶角是.邻补角是.⑵图中有几对对顶角，几对邻补角？
02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；
当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；
当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.
问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.
02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD．
⑴求∠AOC的度数；⑵试说明OD与AB的位置关系.
03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请出∠CBE的对顶角，并求其度数.
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2： ∠1和∠3： ∠1和∠6： ∠2和∠6：∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾，所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）
A．∠1和∠2是同旁内角
B．∠3和∠4是内错角
C．∠5和∠6是同旁内角
D．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由• ⑴∠CBD＝∠ADB；
⑵∠BCD＋∠ADC＝180°
【变式题组】
01．如图，推理填空.
⑴∵∠A＝∠（已知）
∴AC∥ED（）
⑵∵∠C＝∠（已知）
∴AC∥ED（）
⑶∵∠A＝∠（已知）
∴AB∥DF（）
02．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1＝∠2，试说明DE与AB的位置关系.
解：∵AD是∠BAC的平分线（已知）
∴∠BAC＝2∠1（角平分线定义）
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.
【变式题组】
01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（）
Biblioteka BaiduA．4cmB．5cm
C．不大于4cmD．不小于6cm
02如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上距离M村越来越近..在的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.
经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成了哪几对对顶角？一共构成了哪几对邻补角？
【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角.
⑶∠ACD＝∠BAC
【解法指导】图中有即即有同旁内
角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD＝∠ADB，可推得AD∥BC；根据内错角相等，两直线平行.
⑵由∠BCD＋∠ADC＝180°，可推得AD∥BC；根据同旁内角互补，两直线平行.
⑶由∠ACD＝∠BAC可推得AB∥DC；根据内错角相等，两直线平行.