221曲线的参数方程ha

（1）求常数a;
（2）求曲线C的普通方程.
1+ຫໍສະໝຸດ Baidut=5
解: (1)由题意可知:
a=1
at2=4
解得:
t=2
∴ a=1
x=1+2t
(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
由第一个方程得:
t
x 1 2
y=t2
代入第二个方程得: y ( x 1)2 , (x 1)2 4 y为所求.
2
小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
M (x, y)，那么＝t，设OM ＝r，那么由三
角函数的定义有：
cost x ,sin t y 即{x r cost (t为参数)
r
r y r sin t
这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方
程。其中参数t有明确的物理意义(质点作匀
速圆周运动的时刻)
考虑到＝t，也可以取为参数，于是有
x {
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
500
（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；
（2）沿oy反方向作自由落体运动。
y P
o
M Qx
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2 cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 2 cos 6 cos 3, y 2sin sin
2
2
所以，点M的轨迹的参数方程是
x {
cos
3
(为参数)
y sin
第二讲 曲线的参数方程
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系
的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁, 1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明
显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
例1:
已知曲线C的参数方程是
D、 ( 25 , 0); 16
2、方程
x y
sin cos
,
(为参数）
所表示的曲线上一点的坐标是
（）
A、（2，7）；B、(1 , 2); 33
C、(
1 2
,
1 2
);
D、（1，0）
训练2：
已知曲线C的参数方程是
点M(5,4)在该 曲线上.
x y
1 2t, at 2 .
(t为参数,a
R)
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
500
垂直高度为y，所以
x 100t,
y
500
1 2
gt
例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
x 1 cos
∴参数方程为
y
3
sin
(θ为参数)
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P 绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方 程。
x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。
练习1
1、曲线
x
1
t2
,
(t为参数）
与x轴的交点坐标是(
B
)
y 4t 3
A、（1，4）；B、(1265 , 0); C、(1, 3);
x {
x0
r
cos
(为参数)
y y0 r sin
对应的普通方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r2
由于选取的参数不同，圆有不同的参 数方程，一般地，同一条曲线，可以 选取不同的变数为参数，因此得到的 参数方程也可以有不同的形式，形式 不同的参数方程，它们表示 的曲线可
以是相同的，另外，在建立曲线的参 数参数时，要注明参数及参数的取值 范围。
r
c
os
(为参数)
y r sin
这也是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程
其中参数的几何意义是OM 0绕点O逆时针旋转
到OM的位置时，OM
转过
0
的角
度。
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆的参数方程，它对应的
普通方程是x2 y2 r 2, 那么，圆心在点o(x0, y0 ) 半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
2
.（g=9.8m/s2
)
令y 0, 得t 10.10s.
o
x 代入x 100t,得 x 1010m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
可以使其准确落在指定位置.
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
x，y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
2、圆的参数方程
y
M(x,y)
r
o
M0 x
如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是