常见曲线的参数方程
第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程
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距离是________．
解析：直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x －1)2＋y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到 |2| 直线 l 的距离为 2 2＝ 2. 1 ＋－1
答案： 2
x＝1＋3t， 5．(2012· 湖南十二校联考)若直线的参数方程为 y＝2－ 3t
解析：由 y＝t－1，得 t＝y＋1，代入 x＝3t＋2，得 x ＝3y＋5， 即 x－3y－5＝0.
答案：x－3y－5＝0
x＝5cos θ， 2．(教材习题改编)曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数)的左焦点
的坐标是________．
x2 y2 解析：化为普通方程为 ＋ ＝1，故左焦点为(－4,0)． 25 9
x＝2t＋2a， y＝－t
(t 为参数)，曲线
x＝2cos θ， C2： y＝2＋2sin θ
(θ 为
参数)．若曲线 C1，C2 有公共点，则实数 a 的取值范围 是________．
解析：将曲线 C1，C2 的参数方程化为普通方程， 得 C1：x＋2y－2a＝0，C2：x2＋(y－2)2＝4. 因为曲线 C1 与 C2 有公共点， |4－2a| 所以圆心到直线的距离 ≤2， 5 解得 2－ 5≤a≤2＋ 5.
[自主解答] ＝16.
由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2
π 因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝ ，所以直线l的参数 3 π x＝2＋tcos3， 方程为 y＝2＋tsinπ， 3 1 x＝2＋2t， 即 y＝2＋ 3t 2
(t为参数)．
1 x＝2＋2t， 把直线l的参数方程 y＝2＋ 3t 2
去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方 法从整体上消去参数． 2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
(完整版)高中数学极坐标与参数方程知识点
极坐标与参数方程知识点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数）（或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
常见曲线的参数方程
双曲线参数方程
04
双曲线标准形式及性质
标准形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a, b > 0$）
性质
双曲线有两个焦点，位于x轴上，距离原点的距离为$c$，其中$c^2 = a^2 + b^2$。双曲线上的任意一点到两 焦点的距离之差为定值$2a$。
椭圆性质
椭圆有两个焦点，任意一点到两焦点 的距离之和等于长轴的长度；椭圆关 于中心对称，也关于两焦点所在的直 线对称。
椭圆参数方程推导
参数方程形式
$x = acostheta, y = bsintheta$，其中$theta$为参数，表 示与$x$轴的夹角。
推导过程
由椭圆的标准形式，设$x = acostheta$，代入椭圆方程可得 $y = pm bsqrt{1 - frac{x^2}{a^2}} = pm bsqrt{1 cos^2theta} = pm bsintheta$。由于椭圆关于$x$轴对称， 故取正号，得到椭圆的参数方程。
常见曲线的参数方程
汇报人：XX
contents
目录
• 曲线基本概念与分类 • 直线与圆参数方程 • 椭圆参数方程 • 双曲线参数方程 • 抛物线参数方程 • 空间曲线参数方程简介
曲线基本概念与分
01
类
曲线定义及性质
曲线定义
曲线是动点运动时，其位置随时 间连续变化所形成的轨迹。
曲线性质
曲线具有连续性、光滑性、可微 性等性质，这些性质决定了曲线 的形态和特性。
参数方程定义
参数方程是一种通过引入参数来表示 变量间关系的方程形式。在参数方程 中，曲线的坐标被表示为参数的函数 。
曲线的参数方程
特点：参数方程 可以表示出曲线 的形状和位置
应用：在物理、 工程、计算机图 形学等领域有广 泛应用
标准形式：x=f(t), y=g(t)
参数方程： x=f(t,y), y=g(t,y)
极坐标形式： x=r*cos(θ), y=r*sin(θ)
参数方程的转换： x=f(t), y=g(t) -> x^2+y^2=f^2 (t)+g^2(t)
机械设计：参 数方程用于描 述机械零件的
形状和尺寸
建筑设计：参 数方程用于描 述建筑物的形
状和结构
电子设计：参 数方程用于描 述电子设备的
形状和电路
航空航天设计： 参数方程用于 描述飞行器的
形状和结构
物理学：描述运动物体的轨迹
计算机图形学：生成复杂的三维 图形
添加标题
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工程学：用于设计曲线形状的机 械零件
描述电磁场：参 数方程可以描述 电磁场的分布如 电场线、磁场线 等。
描述流体力学： 参数方程可以描 述流体力学中的 流场如速度场、 压力场等。
曲线的表示：参数方程可以表示各种类型的曲线如直线、圆、椭圆等
曲线的性质：参数方程可以方便地描述曲线的性质如曲率、长度、面积等
曲线的变换：参数方程可以方便地进行曲线的变换如平移、旋转、伸缩等 曲线的拟合：参数方程可以用于拟合各种类型的曲线如拟合实验数据、拟 合图像等
确定参数方程的 形式
找出参数方程中 的未知参数
利用已知条件求 解参数方程
验证求解结果是 否满足已知条件
示例1：求解参数方程x=t^2, y=t^3
示例3：求解参数方程x=t^2+3, y=t^3+4
参数方程人教版高中数学
参数方程知识精讲一．参数方程的定义在平面直角坐标系中，若曲线上的任意一点满足，并且对于的每个允许值，由方程组所确定的点都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，变量是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．二．常见曲线的参数方程1．直线标准式：经过点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．一般式：经过点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），其中．2．圆的常用参数方程为：为参数．3．圆锥曲线的参数方程椭圆的常用参数方程为：为参数．双曲线的参数方程为（为参数）．抛物线的参数方程为（为参数）．三点剖析一．方法点拨1．直线的标准式中，参数有明显的几何意义．经过点，倾斜角为的直线的参数方程为(为参数)，在直线有任一点，，即表示直线上任一点到定点的距离．若是直线上两点，所对应的参数分别为，则．2．已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法、三角法）转化为普通方程解答．3．对于直线与圆锥曲线曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里经常用到的有代数换元或三角换元．4．参数方程与极坐标的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，现将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程（参数方程）．题模精讲题模一参数方程化普通方程例1.1、曲线（θ为参数）的对称中心（）A、在直线y=2x上B、在直线y=-2x上C、在直线y=x-1上D、在直线y=x+1上例1.2、参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A、A选项B、B选项C、C选项D、D选项例1.3、曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A、（x-1）2（y-1）=1B、y=C、y=-1D、y=+1题模二直线与圆的参数方程例2.1、设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x+y+1=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A、1B、2C、3D、4例2.2、已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．例2.3、在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l:（t为参数）与曲线C:（θ为参数）相交于不同两点A，B．（1）若，求线段AB中点M的坐标；（2）若|PA|•|PB|=|OP|2，其中，求直线l的斜率．题模三参数方程的应用例3.1、设直线l：（l为参数）与曲线C：（t为参数，实数a≠0）交于不同两点，求实数a的取值范围．例3.2、已知点P（x，y）是圆x2+y2=2y上的动点，（1）求2x+y的取值范围；（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．例3.3、在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．随堂练习随练1.1、已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为____．随练1.2、直线y=2x+1的参数方程是（）A、（t为参数）B、（t为参数）C、（t为参数）D、（θ为参数）随练1.3、圆的参数方程为，则此圆的半径为______________．随练1.4、极坐标ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A、直线、直线B、直线、圆C、圆、圆D、圆、直线随练1.5、以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．随练1.6、圆C的极坐标方程为，极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求C的直角坐标方程及圆心的极坐标（2）l与C交于A，B两点，求|AB|随练1.7、在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．随练1.8、若x，y为实数，且x2+2xy﹣y2=7，则x2+y2的最小值为______．随练1.9、已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M 到直线C3：（t为参数）距离的最小值．自我总结课后作业作业1、参数方程（θ为参数）化为普通方程是（）A、2x-y+1=0B、2x+y-1=0C、2x-y+1=0，x∈[0，1]D、2x+y-1=0，x∈[0，1]作业2、曲线（t为参数）的直角坐标方程是____．作业3、在直角坐标系中，已知直线l：（s为参数）与曲线C：（t 为参数）相交于A、B两点，则|AB|=_______．作业4、已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．作业5、在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．作业6、以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-）．（Ⅰ）求直线l和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的取值范围．作业7、已知直线n的极坐标是pcos（θ+）=4，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．作业8、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：（t 为参数）与曲线C 2：（θ为参数，a＞0）．（Ⅰ）若曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，求a的值；（Ⅱ）当a=3时，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求A，B两点的距离．作业9、在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．。
高等数学特殊参数曲线
高等数学特殊参数曲线1、特殊参数曲线的定义特殊参数曲线是指由参数方程表示的曲线，其中参数的取值范围或取值特点与曲线的性质密切相关。
特殊参数曲线常见的类型有直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
2、直线的参数方程直线的参数方程一般表示为：x = a + mty = b + nt其中a、b为直线上的一点坐标，m、n为方向向量，t为参数。
通过给定的参数方程，可以确定直线上的所有点。
3、抛物线的参数方程抛物线的参数方程一般表示为：x = a + bty = c + dt + et^2其中a、b、c、d、e为常数，t为参数。
抛物线的参数方程可以描述抛物线的形状、开口方向等特征。
4、椭圆的参数方程椭圆的参数方程一般表示为：x = a + rcos(t)y = b + rsin(t)其中a、b为椭圆中心的坐标，r为椭圆的半长轴、半短轴的比值，t为参数。
通过给定的参数方程，可以确定椭圆上的所有点。
5、双曲线的参数方程双曲线的参数方程一般表示为：x = a + rsec(t)y = b + rtan(t)其中a、b为双曲线中心的坐标，r为双曲线的半长轴、半短轴的比值，t为参数。
双曲线的参数方程可以描述双曲线的形状、开口方向等特征。
特殊参数曲线是描述曲线形状的一种方式。
通过给定的参数方程，可以准确地确定曲线上的各个点。
不同类型的曲线有不同的参数方程，每个参数曲线都有其独特的性质。
掌握特殊参数曲线的参数方程是研究曲线性质和解题的重要基础。
在数学学习中，我们需要通过参数方程的形式，深入理解曲线的性质，运用相关知识解决实际问题。
参数方程及其图形(很全面的)
1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))3.螺旋线(Helical curve) 圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 85.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^311.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*36012.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=014.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做16.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b17.4叶线（一个方程做的，没有复制）18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =020.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t21.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=023. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)26. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)31.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/234.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/235.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))。
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(
t为参数），求
直线与直线 2x-y+1=0 的交点 P 和点（-1，2）的距离.
A，B中点坐标呢?
y
A M0(-1,2)
B
O
x
（1） M1M2 t1 t2
（2） t t1 t2 2
问题7.如图，已知AB、CD是中心为点O的椭圆 的两条相交弦，交点为P，弦AB、CD与椭圆长 轴的夹角分别为∠1、∠2，且∠1=∠2，求证：
问题 4.已知抛物线 x2＝4y 上的点 P(非原点)处切线与 x、 y 轴分别交于 Q、R 点，F 为抛物线的焦点。 （Ⅰ） 若PQ PR , 求的值；
（Ⅱ）若抛物线上的点 A满足PF FA .求△APR 面积的
最小值，并写出此时过 P 点的切线方程。
y
．F
P
A。
Q x
R
直线的参数方程
（2）直线
x
y
3 t sin 20（0 t为参数）的倾斜角是（ t cos 200
B
）
A.200 B.700 C.1100 D.1600
(3)直线{x 2 2t (t为参数)上与点P(2,3) y 3 2t
距离等于 2的点的坐标是 ( C )
A(-4,5)
B(-3,4)
C(-3,4)或(-1,2) D(-4,5)或(0,1)
(4)直线{x 2 t cos 300 (t为参数)的倾斜角
y 3 t sin 600
等于( D )
A.300 B.600 C . 450 D.1350
（5）：已知直线
L
的参数方程是
x 1 3t y 2 4t
常见曲线的参数方程
椭圆的参数方程
问题1.如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
l：x-y+4=0的距离最小.
y
O
x
P
问题2.已知A,B两点是椭圆 4x2 9y2 36 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
抛物线的参数方程 抛物线 y2 2 px 的参数方程为
t t
cos（t为参数） sin
思考：
uuuuuur r 由M0M te,你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗？
直线的参数方程中参数t的几何意义是：
t
表示参数t对应的点M uuuuuur r
到定点M
的距离.
0
当Muuu0uMuur与er同向时，t取正数；
当M 0 M 与e异向时，t取负数；
问题：已知一条直线经过点 M0( x0 , y0 ) ，
倾斜角 ，求这条直线的方程.
直线的普通方程为y y0 tan(x x0)
问：怎样建立直线的参数方程呢？
y
M(x,y)
M0(x0,y0)r e
(cos,sin)
O
所以，x该直线的参数方程为
x y
x0 y0
当点M 与M0重合时，t 0.
r
因为0 时，sin 0,所以方向向量e总是向上.
问题
x
y
1 3t 中 2 4t
t
的能表示距离吗?
直线参数方程的标Biblioteka 形式 直线参数方程的标准形式的特点
问题5.
（1）写出直线x y 1 0的一个参数方程______
求证：｜PA｜·｜PB｜=｜PC｜·｜PD｜