高三数学文科函数专题

一、知识回顾
1、函数零点的概念：对于函数)(x f ,方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，即)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点
⇔函数)(x f y =有零点。

3、函数零点的求法：
（1）（代数法）求方程0)(=x f 实数根；（2）（几何法）数形结合法，求图象交点个数。

4、零点存在性定理(函数零点的判定)
若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )＜0，则在区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有一个零点，即相应方程f (x )＝0在区间(a ，b )内至少有一个实数解．
即：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．
[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．
5.二分法：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是连续不断的一条曲线，且0)()(<⋅b f a f ，通过不断地把函数)(x f y =的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点
逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

注意：求曲线)(x f y =和)(x g y =的交点的横坐标，实际上就是求函数)()()(x g x f x F -=的零点，即求方程
0)()(=-x g x f 的根。

6.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系
Δ＝b 2－4ac Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象
与x 轴的交点 (x 1，0)，(x 2，0)
(x 1，0) 无交点 零点个数
2
1
1.已知函数2log (0)(),3(0)
x
x x f x x >⎧=⎨≤⎩则1
[()]4f f 的值是（ ） A.19-
B. －9
C.1
9
D.9 2. 设函数1
()ln (0),3f x x x x =->则关于()y f x =正确的是（ ）
A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点，
B 在区间1
(,1),(1,)e e 内均无零点。

C 在区间1
(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1
(,1)e
内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

3. (15·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
－1，x ≤1，
1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )
A.（1
2
，0）
B.（－2,0）
C.1
2
D.0
4.已知函数23)(2
3
+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，则a 的取值范围是( )
A ．)3,(--∞
B ．]3,(--∞
C ．)0,3(-
D ．)0,3[-
5. 函数()⎩⎨
⎧>+-≤-=1
,341
,442
x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 6.已知函数1
()1log (01),()a f x x a a f x -=+>=/且是()f x 的反函数，若)(1
x f
-的图象经
过（3,4），则a = ( )3 C. 3 3 D. 27. (14·湖北，文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1，3}
B ．{－3，－1，1，3}
C ．{2－7，1，3}
D ．{－2－7，1，3}
8. (15·温州十校联考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)
D ．(3，4)
9. 函数f (x )＝2x －2
x
－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，3)
B ．(1，2)
C ．(0，3)
D ．(0，2)
10.函数y = log 2 ( x 2 – 5x – 6 )单调递减区间是（ ）
A ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞-25,
B ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,25
C ．()1,-∞-
D ．(+∞,6)
11.f(x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5 x |的零点个数为( )
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
12.已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，4
B ．(4，＋∞)
C ．(0，2)
D ．(2，＋∞)
13. (15·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋34，x ≥2，
log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有
两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.
14. (13年天津，文）函数1log 2)(05-=x x f x
的零点个数为 。

15．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是_________________
16.已知函数2
1(04)()2(40)
x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨-≤<⎪⎩，则111(4)()4f f --+=_________
17.函数6
2430
1+-=
+x x y , ]1,0[∈x 的值域是 ．
18. （13年陕西，文）已知函数.,)(R x e x f x
∈= 证明：曲线)(x f y =与曲线12
12
++=x x y 有唯一的公共点.
19.已知函数3
21()23
f x x bx x a =
-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）当[1, 3]x ∈时，求函数()f x 的最大值．
20.已知函数)4,1()(2
3
M bx ax x f 的图象经过点+=，曲线在点M 处的切线恰好与直线
09=+y x 垂直。

（1）求实数b a ,的值；（2）若函数m m m x f 求上单调递增在区间,]1,[)(+的取值范围。

21．设函数()f x 的定义域为R ，若()f x x ≤对一切实数x 均成立，则称函数()f x 为Ω函数． （I ）求证：若函数()f x 为Ω函数，则(0)0f =；
（II ）试判断函数1()sin f x x x =、()2e e 1x x f x -=+和()322e e 1
x x x f x =+中哪些是Ω函数，并说
明理由；
（III ）若()f x 是奇函数且是定义在R 上的可导函数，函数()f x 的导数()f x '满足
|()|1f x '<，试判断函数()f x 是否为Ω函数，并说明理由.。