高中数学 第3章 不等式 章末归纳总结 新人教B版必修5

专题研究
专题一 不等式与函数、方程的问题 不等式和函数、方程联系紧密，相互渗透．不等式的应用 主要体现在：利用不等式求函数的定义域、值域、最值；利用 不等式讨论方程的根及有关性质．
已知函数 f(x)＝log3mx2x＋2＋8x1＋2的定义域为 R， 求实数 m 的取值范围．
[分析] 函数 f(x)的定义域为 R 等价于mx2x＋2＋8x1＋2>0 恒成 立．
2．注重体验数学知识的形成过程 例如就一元二次不等式解集的求法而言大家并不会感到困 难，但理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之 间的关系，则要经历观察、思考、探究的过程：从具体的二次 函数与一元二次方程的关系出发，利用二次函数图象的直观 性，借助方程的根是二次函数的两个零点，观察二次函数图象 上任意一点P(x，y)在图象上移动，随着点P的横坐标x变化，点 P的纵坐标y的变化情况，在获得感性认识的前提下，自己归纳 总结出一元二次不等式解集的求法，进行由特殊推广到一般．
[解析] (1)设方程的两根为 x1、x2，则由题意可得：
△＝m2－10m＋9≥0
x1＋x2＝3－m＞0
，
x1·x2＝m＞0
解得 m 的取值范围是(0,1]．
(2)设 f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，由题意得，
△＝m2－10m＋9≥0
f0＝m＞0
0f＜2＝3－23mm－＜22＞0
，
解得23＜m≤1.
[解析] 由题意，得mx2x＋2＋8x1＋2>0 恒成立， 又∵x2＋1>0，∴mx2＋8x＋2>0 恒成立． 当 m＝0 时，8x＋2>0，∴x>－14不合题意． 当 m≠0 时，则有mΔ＝>064－8m<0 ， ∴m>8. 综上可知实数 m 的取值范围是 m>8.
实数m取何范围的值时，方程x2 ＋(m－3)x＋m＝0的两根满足：(1)都是正根；(2)都在(0,2)内．
(2)B 值判断法
B>0
B<0
Ax＋By＋ 直线 Ax＋By＋C＝ 直线 Ax＋By＋C＝
C>0
0 上方
0 下方
Ax＋Byபைடு நூலகம் 直线 Ax＋By＋C＝ 直线 Ax＋By＋C＝
C<0
0 下方
0 上方
主要看不等号与 B 的符号是否同向，若同向则在直线上方；
若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫 B 值判断法．
2．分式不等式的求解 解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化 为整式不等式(组)求解．即gfxx≥0⇒gfxx·≠gx0≥0 ⇒f(x)·g(x)>0， 或 f(x)＝0. gfxx>0⇒f(x)·g(x)>0.
3．简单高次不等式的求解 解高次不等式常用的方法有两种： (1)将高次不等式f(x)>0(或<0)中的多项式f(x)分解成若干个 不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化 为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式 解集的并集．
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
不等式 第三章
章末归纳总结 第三章
1 知识结构
2 学后反思
4 专题研究
3 规律总结
5 解题模板
知识结构
学后反思
1．注意利用问题情境，激发学习数学的兴趣 内在动力是数学学习的根本动力，在学习过程中应该充分 利用问题情境，调动学习数学的兴趣．本章内容有着丰富的实 际背景，除了教材中的实例还有很多很好的相关的素材，学习 过程中应该充分给予挖掘，并针对自己的实际提高整体效果．
3．要关注基础知识的落实 现实世界的实际背景反映了数学的本质，数学的学习离不 开实践，“做数学”是最有效的数学学习方法．因此，在学习 过程中应该重视基础的落实，将常规的练习和探究性问题有机 结合起来，给自己创造更多的实践机会，在“做数学”的过程 中落实基础．
规律总结
1．一元二次不等式的解法 (1)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配 方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q，或x<q；若(x－ p)(x－q)<0，则p<x<q，有口诀“大于取两边，小于取中间”． (2)图象法：先将不等式化为ax2＋bx＋c>0(或<0)(其中a>0) 的形式，解出对应方程ax2＋bx＋c＝0的解，再画出函数y＝ax2 ＋bx＋c的图象，借助图象写出原不等式的解集．
设a∈R，关于x的一元二次方程 7x2 － (a ＋ 13)x ＋ a2 － a － 2 ＝ 0 有 两 个 实 根 x1 、 x2 ， 且 0<x1<1<x2<2，求a的取值范围．
[分析] 令 f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，它的图象是开 口向上的抛物线，它在(0,1)和(1,2)区间内与 x 轴相交，则有
4．三个“二次”的关系及应用 二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为 二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函 数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而 讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相 联系，通过二次函数的图象及性质来解决． 一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的 根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即二次 函数的零点．
(2)穿根法：①将不等式化为标准形式：一端为0，另一端 为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积．
②求出各因式为0时的实数根，并在数轴上标出． ③自最右端上方起，用曲线自右至左依次由各根穿过数 轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不 过)． ④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解 集．
三个“二次”关系的应用主要体现在以下几个方面： (1)解一元二次不等式． (2)已知二次函数的值域，求其定义域． (3)已知一元二次方程解的情况，求方程中参数的取值范 围． (4)已知一元二次不等式的解集，求不等式中参数的值． (5)解决不等式恒成立的相关问题．
5．判断二元一次不等式表示平面区域的方法 (1)特殊点定域法 当C≠0时，取原点(0,0)，当原点使Ax＋By＋C≥0成立时， 不等式表示含原点的区域；否则，表示不含原点的区域；当C ＝0时， 可取点(1,0)或(0,1)来判断．