第3章动态规划(new)

中间结点集，
边集E，对于任意பைடு நூலகம்e有长度
输出：一条从起点到终点的最短路
引导例子(2/10)
一个实例
引导例子(3/10)
蛮力算法：考察每一条从某个起点到某个终点的路径， 计算长度，从其中找出最短路径。 在上述实例中，如果网络的层数为k，那么路径条数将接 近于2K。 动态规划算法：多阶段决策过程.每步求解的问题是后面
动态规划的历史（4/5）
贝尔曼，R Richard Bellman (1920～1984) 美国数学家，美国科学院院士，动态规划的创始人。 1920年8月26日生于美国纽约。1984年3月19日逝世。1941 年在布鲁克林学院毕业，获理学士学位，1943年在威斯康 星大学获理学硕士学位，1946年在普林斯顿大学获博士学 位。1946～1948年在普林斯顿大学任助理教授,1948～1952 年在斯坦福大学任副教授,1953～1956年在美国兰德公司任 研究员，1956年后在南加利福尼亚大学任数学教授、电气 工程教授和医学教授。 贝尔曼因提出动态规划而获美国数学会和美国工程 数学与应用数学会联合颁发的第一届维纳奖金（1970）， 卡内基－梅隆大学颁发的第一届迪克森奖金(1970)，美国 管理科学研究会和美国运筹学会联合颁发的诺伊曼理论奖 金(1976)。1977年贝尔曼当选为美国艺术与科学研究院院 士和美国工程科学院院士。
动态规划的基本思想
动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待 求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从 这些子问题的解得到原问题的解。
动态规划算法与分治法不同的是，经分解得到的
子问题往往不是相互独立的，有大量子问题会重复出
现。
为了避免重复计算，动态规划法是用一个表来存放
一计算过的子问题。
动态规划算法适用于求解最优化问题
通常按如何四步骤设计动态规划算法： （1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征； （2）递归定义求最优值的公式 （3）以自底向上方式计算最优值 （4）根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
引导例子（1/10）
最短路径问题描述： 输入：起点集合{ S1, S2, ..., Sn } ， 终点集合{T1, T2, ... , Tm}，
分析： 由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩连乘积 A1A2…An可以有多个计算次序。 例如： (A1(A2(A3A4 ))) 等等
(A1((A2A3 )A4))
((A1A2)(A3A4))
先考虑两个矩阵乘积的计算量
设A为raca矩阵 B为rbcb矩阵， void matrixMultiply(int **a, int **b, int **c, int ra, int ca, int rb, int cb )
动态规划的历史（2/5）
动态规划遵循的“最佳原理”简而言之， “一个最优策略的子策略总是最优的”。动态 规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决 策过程最优化的一种方法，大约产生于50年代， 由美国数学家贝尔曼（R·Bellman）等人，根 据一类多阶段决策问题的特点，把多阶段决策 问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然后 逐个加以解决。
阶段求解问题的子问题. 每步决策将依赖于以前步骤的
决策结果.
引导例子(4/10)
引导例子(5/10)
蛮力算法：考察每一条从某个起点到某个终点的路径， 计算长度，从其中找出最短路径。 在上述实例中，如果网络的层数为k，那么路径条数将接 近于2K。 动态规划算法：多阶段决策过程.每步求解的问题是后面
第3 章
学习要点:
动态规划
理解动态规划算法的概念。
掌握动态规划算法的基本要素。
掌握设计动态规划算法的步骤
通过范例学习动态规划算法设计策略
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动态规划的历史（1/5）
有许多问题，用穷举法才能得到最佳解。 苦输入量n稍大一些，计算量太大，特别对渐近 时间复杂性为输入量的指数函数的问题，计算 机 无 法 完 成 。 采 用 动 态 规 划 （ Dynamic programming）能得到比穷举法更有效的算法。 动态规划的指导思想是，在每种情况下，列出 各种可能的局部解，从局部解中挑出那些有可 能产生最佳的结果而扬弃其余，从而大大缩减 了计算量。
动态规划的历史（5/5）
贝尔曼因在研究多段决策过程中提出动态规划而闻名 于世。1957年他的专著《动态规划》出版后，被迅速 译成俄文、日文、德文和法文，对控制理论界和数学 界有深远影响。贝尔曼还把不变嵌入原理应用于理论 物理和数学分析方面，把两点边值问题化为初值问题， 简化了问题的分析和求解过程。1955年后贝尔曼开始 研究算法、计算机仿真和人工智能，把建模与仿真等 数学方法应用到工程、经济、社会和医学等方面，取 得许多成就。贝尔曼对稳定性的矩阵理论、时滞系统、 自适应控制过程、分岔理论、微分和积分不等式等方 面都有过贡献。 贝尔曼曾是《数学分析与应用杂志》及《数学生 物科学杂志》的主编，《科学与工程中的数学》丛书 的主编。已出版30本著作和7本专著，发表了600多篇 研究论文。
阶段求解问题的子问题. 每步决策将依赖于以前步骤的
决策结果.
引导例子(6/10)
前边界不变，后边界前移
引导例子(7/10)
引导例子(8/10)
引导例子(9/10)
求总长模10的最小路径
引导例子(10/10)
§3.1
矩阵连乘问题
给定n个矩阵{A1， A2，…, An},其中Ai与Ai+1 是可乘的。考 察这N个矩阵的连乘积 A1A2…An
{ if(ca!=rb) error(“Can’t multiply”);
for(i=0; i<ra; ++i)
for(j=0; j<cb; ++j)
{
c[i][j] =0; for(k=0;k<ca; ++k) c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
动态规划的历史（3/5）
动态规划开始只是应用于多阶段决策性问 题，后来渐渐被发展为解决离散最优化问题的 有效手段，进一步应用于一些连续性问题上。 然而，动态规划更像是一种思想而非算法，它 没有固定的数学模型，没有固定的实现方法， 其正确性也缺乏严格的理论证明。因此，一直 以来动态规划的数学理论模型是一个研究的热 点。