北京市中关村中学2021届高三十月月考测试数学试题

北京市中关村中学2021届高三十月月考测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,2,3,4U =，{}250M x U x x p =∈-+=，若{}1,4U C M =，则p 的值为（ ） A ．-4 B ．4C ．-6D ．62．对于函数①2yx ，②()12log 1y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间()0,1上单调递减的函数的序号是（ ） A ．③④B ．①②C ．②③D ．①④3．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用n a 表示解下n（*9,≤∈n n N ）个圆环所需的最少移动次数，{}n a 满足1n a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下4个圆环所需的最少移动次数为 （ ）A ．7B ．10C ．12D ．224．设,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=，则()()a cbc -⋅-的最小值为（ ） A ．2-B2C ．1-D．15．如图所示，为了测量某一隧道两侧A 、B 两地间的距离，某同学首先选定了不在直线AB 上的一点C （ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ），然后确定测量方案并测出相关数据，进行计算．现给出如下四种测量方案；①测量∠A ，∠C ，b ；②测量∠A ，∠B ，∠C ；③测量a ，b ，∠C ；④测量∠A ，∠B ，a ，则一定能确定A 、B 间距离的所有方案的序号为（ ）A ．①③B ．①③④C ．②③④D ．①②④6．已知函数f （x ）＝sinπx，g （x ）＝x 2﹣x+2，则（ ） A ．曲线y ＝f （x ）+g （x ）不是轴对称图形 B ．曲线y ＝f （x ）﹣g （x ）是中心对称图形 C ．函数y ＝f （x ）g （x ）是周期函数D ．函数()()f x yg x =最大值为477．已知函数()()sin 2f x x θ=+（22ππθ-<<）的图象过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，将()y f x =的图象向左平移t （0t >）个单位长度得到的函数图象也过点P ，那么（ ）A ．3πθ=，t 的最小值为3πB ．3πθ=，t 的最小值为π C ．6πθ=，t 的最小值为3πD ．6πθ=，t 的最小值为π8．已知数列{}n a 满足21n n a a n tn --=+，则“0t ≥”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数32()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞10．函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域为任意()1212,x x x x ≠，有()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'= ⎪-⎝⎭恒成立，则称()f x 为恒均变函数.给出下列函数：①()23f x x =+；②()223x x x f =-+；③()xf x e =；④()cos f x x =其中为恒均变函数的序号是（ ） A ．①③ B ．①②C ．①②③D ．①②④二、填空题 11．若复数21iz =+，则||z =________. 12．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(),P a b ，且75a b +=，则cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是______.13．已知函数()1x f x e ax =--，()ln 1g x x ax =--，其中01a <<，e 为自然对数的底数，若0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x >，则实数a 的取值范围是___________． 14．设Q 为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Q 中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ,N ,记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为x (Q ),点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为y (Q ).若Q 是边长为1的正方形，给出下列三个结论: ①x (Q )②x (Q )+y (Q )的取值范围是2,⎡⎣③x (Q )-y (Q )恒等于0.其中所有正确结论的序号是_________三、双空题15．已知△ABC 是边长为2的正三角形，O ，D 分别为边AB ，BC 的中点，则①AD AC ⋅=_____；②若OC x AB y AD =+，则x y +=_______.四、解答题16．在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ； （2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4Cπ这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.17．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：3820a a +=，且5a 是2a 与14a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18．设常数R a ∈，函数()2sin22cos f x a x x =+． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值； （2）若π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解． 19．如图，点D 是曲线()22104y x y +=≥上的动点(点D 在y 轴左侧)，以点D 为顶点作等腰梯形ABCD ，使点C 在此曲线上，点,A B 在x 轴上.设2CD x =，等腰梯ABCD 的面积为()S x .（1）写出函数()S x 的解析式，并求出函数的定义域；（2）当x 为何值时，等腰梯形ABCD 的面积最大？求出最大面积. 20．设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 21．数字()1,2,3,...,2n n ≥的任意一个排列记作()12,,...,n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合.集合(){12,,...,n nnA a a a S=∈任意整数,.1,i j i j n ≤<≤都有}i j a i a j -≤-，集合(){12,,...,n n n B a a a S =∈任意整数,,1,i j i j n ≤<≤都有}i j a i a j +≤+（1）用列举法表示集合33,A B ； （2）求集合nn A B 的元素个数；（3）记集合n B 的元素个数为n b ，证明：数列{}n b 是等比数列.参考答案1．D 【分析】 转化条件得2,3M ，所以方程250x x p -+=的两根分别为2和3，即可得解.【详解】集合{}1,2,3,4U =，若{}1,4U C M =，∴{}{}2502,3M x U x x p =∈-+==， ∴方程250x x p -+=的两根分别为2和3， ∴236p =⨯=.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的概念和运算，属于基础题. 2．C 【分析】根据常见函数的单调性结合函数图象的变换逐一判断，即可得解. 【详解】 函数2yx 为开口朝上，对称轴为0x =的二次函数，其在()0,∞+单调递增，故①不满足；函数()12log 1y x =+的图象是由函数12log y x =的图象向左平移1个单位长度得到的，函数12log y x =在()0,∞+上为减函数，故②满足；当()0,1x ∈时，11y x x =-=-，其在()0,1x ∈单调递减，故③满足； 函数12x y +=的图象是由函数2x y =的图象向左平移1个单位长度得到的，函数2xy =在R 上单调递增，故④不满足.故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的变换和常见函数的单调性，属于基础题. 3．A 【分析】由递推式依次计算． 【详解】由题意知21212111=-=⨯-=a a ，32222124=+=⨯+=a a ，43212417=-=⨯-=a a ，故选：A. 【点睛】本题考查由递推式求数列的项，解题时按照递推公式依次计算即得． 4．D 【分析】根据题意得a b ⊥，a b →→+，进而得()2cos ,c a b a b c ⋅+=+，再根据数量积的运算得()()12cos ,12a c b c a b c -⋅-=-+≥-. 【详解】解：因为,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=，所以a b ⊥，a b →→+，所以()cos ,2cos ,c a b c a b a b c a b c ⋅+=++=+所以()()()21a c b c a b a c b c c c a b -⋅-=⋅-⋅-⋅+=-⋅+1,12a b c =+≥-故选：D. 【点睛】本题考查向量的模的计算，数量积计算，考查运算能力与化归转化思想，是中档题. 5．B 【分析】根据正弦定理以及余弦定理，即可对每个选项进行逐一判断分析，作出选择. 【详解】对①：由,A C ∠∠，可求得B ∠，再根据正弦定理b ABsinB sinC=，求得AB 即可；对②：由三个角无法确定三角形，故无法计算AB 的值；对③：根据余弦定理2222AB a b abcosC =+-，即可求得AB 的值； 对④：由,A B ∠∠，可求得C ∠，再根据正弦定理AB asinC sinA=，即可求得AB 的值. 综上所述：①③④可以求得AB . 故选：B . 【点睛】本题考查应用正弦定理和余弦定理，解决测距问题，属基础题目. 6．D 【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f （x ）＝sinπx，为轴对称图形，且其中一条对称轴为x 12=， g （x ）＝x 2﹣x+2＝（x 12-）274+，为轴对称图形，且其对称轴为x 12=， 故y ＝f （x ）+g （x ）＝sinπx+（x 2﹣x+2）是轴对称图形，且其对称轴为x 12=，A 错误； 对于B ，g （x ）＝x 2﹣x+2，不是中心对称图形，则曲线y ＝f （x ）﹣g （x ）不是中心对称图形，B 错误；对于C ，g （x ）＝x 2﹣x+2不是周期函数，f （x ）g （x ）＝（sinπx）（x 2﹣x+2）不是周期函数，C 错误；对于D ，g （x ）＝x 2﹣x+2＝（x 12-）274+，当x 12=时，g （x ）取得最小值74， 而f （x ）＝sinπx，当x 12=时，f （x ）取得最大值1， 则函数()()f x yg x =最大值为47；D 正确； 故选D ． 【点睛】本题考查函数的对称性、周期性和最值，推理求解能力，关键掌握函数的性质，属于基础题． 7．C【分析】 先求出6πθ=，再得到()y f x =的图象向左平移t （0t >）个单位长度得到的函数()sin 226g x x t π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，接着建立方程1sin 262t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最后求t 的最小值即可.【详解】解：因为函数()()sin 2f x x θ=+的图象过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1sin 2θ=，因为22ππθ-<<，所以6πθ=，所以函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭()y f x =的图象向左平移t （0t >）个单位长度得到的函数()sin 226g x x t π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数()sin 226g x x t π⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象也过点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 262t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则t 的最小值满足5266t ππ+=，解得3t π=.故选：C 【点睛】本题考查利用三角函数的图象变换求参数值、利用三角函数值求角，是基础题. 8．A 【分析】先根据数列{}n a 为递增数列求得t 的取值范围，再根据集合关系判断即可得答案. 【详解】解：若数列{}n a 是递增数列，则2-1-0n n a a n tn =+>，即()0n n t +>，由于*n N ∈，所以0n t +>对任意的*n N ∈成立， 所以1t >-.由于[)()0,1,+∞⊆-+∞，故“0t ≥”是“数列{}n a 为递增数列”充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件，是基础题. 9．A 【分析】根据题意将存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立转化为()()00f x f x -=-有根，再根据方程变形可得，原问题转化为22x x k -=有根，进而转化为22y x x =-与y k =的图象有交点，根据数形结合即可求出结果． 【详解】∵32()2f x x x x k =+--且00()()f x f x -=-，323222x x x k x x x k ∴-+--=-+--（） 整理得22x x k -= ，∴原问题转化为22y x x =-与y k =的图象有交点， 画出22y x x =-的图象如下：当1x =时，1y =-，由图可知，1k ≥-． 故选：A ． 【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题． 10．B 【分析】针对每一个函数，分别计算出()()1212f x f x x x --与122x x f +⎛⎫' ⎪⎝⎭，检验两者是否恒相等，即可得解. 【详解】 对于①，()()()1212121223232f x f x x x x x x x -+-+==--，1222x x f +⎛⎫'= ⎪⎝⎭，满足()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'= ⎪-⎝⎭，故①为恒均变函数；对于②，()()()2211221212122323x x x x f x f x x x x x -+--+-=-- ()()()121212121222x x x x x x xx x x -+--==+--，12121222222x x x x f x x ++⎛⎫⎛⎫'=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'= ⎪-⎝⎭，故②为恒均变函数；对于③，当11x =，20x =时，()()121212121x x f x f x e e e x x x x --==---，121122212x x x x f e e e ++⎛⎫'==≠- ⎪⎝⎭即此时()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'≠ ⎪-⎝⎭，故③不为恒均变函数； 对于④，当12x π=，20x =时，()()12121212cos cos 2f x f x x x x x x x π--==---，12122sin sin 224x x x x f ππ++⎛⎫⎛⎫'=-=-=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即此时()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫'≠ ⎪-⎝⎭，故④不为恒均变函数. 故选：B . 【点睛】本题考查了导数的计算，考查了运算能力和对于新概念的理解，属于中档题. 11【分析】根据||||z z =以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案. 【详解】因为21i z =+，所以2||||||1z z i==+2|1|i ===+.【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题. 12．2425-【分析】利用三角函数的定义表示出,a b ，由此求得sin cos αα+的值，利用同角三角函数的基本关系式，结合诱导公式、二倍角公式求得所求表达式的值. 【详解】∵在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(),P a b ，∴由任意角的三角函数的定义得，sin ,cos b a αα==. ∵75a b +=，可得：7sin cos 5αα+=，∴两边平方可得：2249sin s cos in cos 225αααα=++，可得：4912sin cos 25αα+=，解得：242sin cos 25αα=， ∴242sin 22sin cos 225cos παααα⎛⎫+=-=-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：2425- 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式和二倍角公式，属于中档题. 13．21(0,)e【分析】根据常用不等式1x e x >+，可转化为()00g x >，然后使用分离参数ln 1<-x a x x，并构造函数()ln 1=-x h x x x，利用导数研究该函数的最值，简单计算可得结果. 【详解】令()1=--xM x e x ，()0,x ∈+∞则()1'=-xM x e ，当()0,x ∈+∞时，()0'>M x所以()M x 在()0,∞+单调递增，所以()()00M x M >= 所以1x e x >+由01a <<，所以当()0,x ∈+∞时，()10=-->xf x e ax故若0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x > 转化为0(0,)x ∃∈+∞，()00g x > 则()000ln 10=-->g x x ax ，即000ln 1<-x a x x 令()ln 1=-x h x x x ，()22ln -'=xh x x若()20,x e∈时，()0h x '>，若()2,x e ∈+∞时，()0h x '<所以函数()h x 在()20,e递增，在()2,e +∞递减所以()()22222ln 11≤=-=e h x h e e e e所以210a e <<，即210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查导数的应用，本题难点在于对()10=-->xf x e ax 的理解，同时等价转化，化繁为简，同时掌握常用的不等式，比如1x e x >+，属中档题.14．①②③． 【分析】易得(),()x Q y Q 与正方形Q 的位置无关,故可以考虑将正方形确定在原点,再绕着原点旋转分析所有情况即可. 【详解】如图由题易得(),()x Q y Q 与正方形Q 的位置无关,故将正方形ABCD 确定在原点,则只需考虑当正方形ABCD 绕着原点旋转的所有情况即可.当正方形边均平行于坐标轴时取最小值()()1x Q y Q ==.且}()()maxx Q y Q αα==对①,()x Q ⎡∈⎣,故①正确对②, ()()2()x Q y Q x Q ⎡+=∈⎣,故②正确.对③,因为}()()maxx Q y Q αα==,故()()0x Q y Q -=,故③正确.故答案为①②③ 【点睛】本题主要考查新定义的函数题型.利用数形结合的思想以及三角函数分析即可.属于中等题型. 15．3 12【分析】建立平面直角坐标系，根据题意写出各点坐标，利用向量的坐标运算计算即可.【详解】以D 为原点建立平面直角坐标系，如图，则()(()0,0,,1,0D A C()11,0,2B O ⎛-- ⎝⎭，()(0,3,1,AD AC =-=-，故(2013AD AC ⋅=⨯+=.因为(33,,1,22OC AB ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，OC x AB y AD =+，所以((3,1,0,22x y ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭)(),x x y =-+，)2x y ∴-=+，故12x y +=.故答案为:3；12. 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题. 16．（1）3π（2）7b =时，8a =；4C π时，5352a【分析】（1）利用正弦定理边化角得sin cos()6B Bπ，再根据两角和与差的正弦、余弦公式变形可得sin()03Bπ，再根据角的范围可得结果；（2）若选①7b =，根据余弦定理可得结果；若选②4C π，先求出sin A ，再根据正弦定理可得结果. 【详解】（1）因为sin cos()6b A a B π=-，sin sin a b A B=， 所以sin sin sin cos()6B A A Bπ. 又因为sin 0A ≠，所以sin cos()6BBπ，即31sin cos sin 2B B B . 所以sin()03B π.又因为2333B πππ-<-<，所以03B π，所以3B π=.（2）若选①7b =，则在△ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得25240a a --=，解得8a =或3a =-（舍）.所以8a =. 若选②4Cπ，则62sin sin()sin cos cos sin34344A B C ππππ，由正弦定理sin sin a cA C=， 622，解得5352a . 所以535a. 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式，考查了正弦定理、余弦定理，属于基础题. 17．（1）21n a n =-；（2）21n nS n =+ 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式； （2）利用裂项相消法求和． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵3820a a +=，且5a 是2a 与14a 的等比中项，∴()()()121112920413a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩，解得11a =，2d =， ∴12(1)21n a n n =+-=-. （2）由（1）得21n a n =- ∴1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴123n n S b b b b =++++111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+ 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，数列求和，属于中档题． 18．(1)0a =;(2)5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-. 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【详解】（1）∵()2sin22cos f x a x x =+，∴()2sin22cos f x a x x -=-+，∵()f x 为偶函数， ∴()()f x f x -=，∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+， ∴2sin20a x =， ∴0a =；（2）∵π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴2ππsin2cos 1124a a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴a =∴()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，∵()1f x =∴π2sin 2116x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭∴πsin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴ππ22π64x k +=-+，或π52π2πZ 64x k k +=+∈，， ∴5ππ24x k =-+，或13ππZ 24x k k =+∈，， ∵[]ππx ∈-，， ∴5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==- 【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（1）()(()2101x S x x =+<<；（2）当12x =时()S x 取到最大值，()max S x ==【分析】（1）设点(),D x y -，则根据题意得2AB =，()2241y x=-，故()(()2101x S x x =+<<；（2）令()()2434884,01f x Sx x x x x ==--++<<，研究函数的单调性，进而得()f x 的最值，进而得()S x 的最大值.【详解】解：（1）根据题意，设点(),D x y -，由D 是曲线()22104y x y +=≥上的动点得：()2241y x =-，由于椭圆与x 轴交点为()1,0±，故2AB =，所以()()()(()122121012x y x y x S x x =+=+=+<<即：()(()2101x S x x =+<<（2）结合（1），对()(()2101x S x x =+<<两边平方得：()()()()222434341142214884x x x x x x x x S x =+-=--++=--++，()01x <<令()()2434884,01f x Sx x x x x ==--++<<，则()()()232'162488121f x x x x x =--+=-+-，所以当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在12x =处取到最大值，()max 274f x =，所以当12x =时，()S x 取到最大值，()max 2S x ==. 【点睛】本题考查利用导数研究实际问题，考查数学应用能力与计算能力，是中档题. 20．（1）答案见解析：（2）不存在 【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+，()22211'1a x ax f x x x x -+=+-=， 令()221,4g x x ax a =-+∆=-，①当22a -≤≤时，0∆≤，()'0f x ≥，故()f x 在()0,∞+上单调递增， ②当2a <-时，>0∆，()0g x =的两根都小于零，在()0,∞+上，()'0f x >， 故()f x 在()0,∞+上单调递增，③当2a >时，>0∆，()0g x =的两根为12x x ==， 当10x x <<时，()'0f x >；当12x x x <<时，()'0f x <；当2x x >时，()'0f x >； 故()f x 分别在()()120,,,x x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. （2）由（1）知，2a >， 因为()()()()1212121212ln ln x x f x f x x x a x x x x --=-+--. 所以()()1212121212ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+⋅--, 又由（1）知，121=x x ，于是1212ln ln 2x x k ax x -=--，若存在a ，使得2k a =-，则1212ln ln 1x x x x -=-，即1212ln ln x x x x -=-，亦即222212ln 0(1)x x x x --=>（*） 再由（1）知，函数()12ln h t t t t=--在()0,∞+上单调递增， 而21>x ，所以22212ln 112ln10x x x -->--=，这与（*）式矛盾， 故不存在a ，使得2k a =-.21．(1)(){}31,2,3A =,()()()(){}31,2,3,1,3,2,2,1,3,3,2,1B = ；(2) n n A B 的元素个数为1；(3)证明见解析 【分析】(1)集合3A 属于单调递增排列,集合3B 属于实数对,利用列举法表示集合33,A B 即可； (2)根据题意知(){}1,2,3,...,n A n =、()1,2,3,...,n n B ∈,所以n n A B ⊆．所以集合nn A B 的元素个数为1．(3)由(2)知,0n b ≠.先求得22b =.当3n ≥时,考虑n B 中的元素()12,,...,n a a a .分类讨论：假设(),1k a n k N k n +=∈≤≤与n a n =两种情况,再结合等比数列的定义进行证明． 【详解】(1)(){}31,2,3A =,()()()(){}31,2,3,1,3,2,2,1,3,3,2,1B = (2)考虑集合n A 中的元素()12,,...,n a a a .由已知,对任意整数,.1,i j i j n ≤<≤都有i j a i a j -≤-, 所以i j a i i a j j -+≤-+, 所以<i j a a .由,i j 的任意性可知,()12,,...,n a a a 是1,2,3,...,n 的单调递增排列, 所以(){}1,2,3,...,n A n =.又因为当(),1k a k k N k n +=∈≤≤时,对任意整数,.1,i j i j n ≤<≤ 都有i j a i a j ≤++.所以()1,2,3,...,n n B ∈,所以n n A B ⊆. 所以集合nn A B 的元素个数为1.(3)由(2)知,0n b ≠.因为()(){}21,2,2,1B =,所以22b =. 当3n ≥时,考虑n B 中的元素()12,,...,n a a a .(i)假设(),1k a n k N k n +=∈≤≤.由已知, ()11k k a k a k ++≤++,所以()111k k a a k k n +≥+-+=-, 又因为11k a n +≤-,所以+11k a n =-.依此类推,若k a n =,则+11k a n =-,+22k a n =-,n a k =.①若1k =,则满足条件的1,2,3,...,n 的排列()12,,...,n a a a 有1个.②若2k =,则234,1,2,...,2n a n a n a n a ==-=-=.所以11a =.此时满足条件的1,2,3,...,n 的排列()12,,...,n a a a 有1个.③若2k n <<,只要()121,,...,k a a a -是1,2,3,...,1k -的满足条件的一个排列,就可以相应得到1,2,3,...,n 的一个满足条件的排列.此时,满足条件的1,2,3,...,n 的排列()12,,...,n a a a 有1k b -个.(ii)假设n a n =,只需()121,,...,n a a a -是1,2,3,...,1n -的满足条件的排列,此时满足条件的1,2,3,...,n 的排列()12,,...,n a a a 有1n b -个.综上23111...,3n n b b b b n -=+++++≥.因为3221142b b b =++==,且当4n ≥时, ()2321111...2n n n n b b b b b b ---=++++++=,所以对任意,3n N n +∈≥,都有12n n b b -=. 所以{}n b 成等比数列.【点睛】本题主要考查了集合的新定义推导以及等比数列的证明,需要根据题意分情况进行讨论,结合集合间的基本关系进行分析.属于难题.。