北京市中关村中学2021届高三十月月考测试数学试题

北京市中关村中学2021届高三十月月考测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合{}1,2,3,4U =，{}

2

50M x U x x p =∈-+=，若{}1,4U C M =，则p 的

值为（ ） A ．-4 B ．4

C ．-6

D ．6

2．对于函数①2y

x ，②()12

log 1y x =+，③1y x =-，④1

2x y +=，其中在区间()

0,1上单调递减的函数的序号是（ ） A ．③④

B ．①②

C ．②③

D ．①④

3．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用n a 表示解下n

（*

9,≤∈n n N ）个圆环所需的最少移动次数，{}n a 满足1n a =，且

11

21,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下4个圆环所需的最少移动次数为 （ ）

A ．7

B ．10

C ．12

D ．22

4．设,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=，则()()

a c

b

c -⋅-的最小值为（ ） A ．2-

B

2

C ．1-

D

．15．如图所示，为了测量某一隧道两侧A 、B 两地间的距离，某同学首先选定了不在直线AB 上的一点C （

ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ）

，然后确定测量方案并测出相关数据，进行计算．现给出如下四种测量方案；①测量∠A ，∠C ，b ；②测量∠A ，∠B ，∠C ；③测量a ，b ，∠C ；④测量∠A ，∠B ，a ，则一定能确定A 、B 间距离的所有方案的序号为（ ）

A ．①③

B ．①③④

C ．②③④

D ．①②④

6．已知函数f （x ）＝sinπx，g （x ）＝x 2﹣x+2，则（ ） A ．曲线y ＝f （x ）+g （x ）不是轴对称图形 B ．曲线y ＝f （x ）﹣g （x ）是中心对称图形 C ．函数y ＝f （x ）g （x ）是周期函数

D ．函数()()

f x y

g x =

最大值为

47

7．已知函数()()sin 2f x x θ=+（2

2

π

π

θ-

<<

）的图象过点10,

2P ⎛⎫

⎪⎝⎭

，将()y f x =的图象向左平移t （0t >）个单位长度得到的函数图象也过点P ，那么（ ）

A ．3

π

θ=

，t 的最小值为

3π

B ．3

π

θ=，t 的最小值为π C ．6

πθ=，t 的最小值为3π

D ．6

π

θ=

，t 的最小值为π

8．已知数列{}n a 满足2

1n n a a n tn --=+，则“0t ≥”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

9．已知函数32

()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实

数k 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞

B ．(,1]-∞-

C ．[0,)+∞

D ．(,0]-∞

10．函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域为任意()1212,x x x x ≠，有

()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫

'= ⎪-⎝⎭

恒成立，则称()f x 为恒均变函数.给出下列函数：

①()23f x x =+；②()2

23x x x f =-+；③()x

f x e =；④()cos f x x =

其中为恒均变函数的序号是（ ） A ．①③ B ．①②

C ．①②③

D ．①②④

二、填空题 11．若复数2

1i

z =

+，则||z =________. 12．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(),P a b ，且75a b +=

，则cos 22πα⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的值是______.

13．已知函数()1x f x e ax =--，()ln 1g x x ax =--，其中01a <<，e 为自然对数的底数，若0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x >，则实数a 的取值范围是___________． 14．设Q 为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Q 中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，

垂足分别为M ,N ,记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为x (Q ),点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为y (Q ).若Q 是边长为1的正方形，给出下列三个结论: ①x (Q )

②x (Q )+y (Q )

的取值范围是2,⎡⎣

③x (Q )-y (Q )恒等于0.

其中所有正确结论的序号是_________

三、双空题

15．已知△ABC 是边长为2的正三角形，O ，D 分别为边AB ，BC 的中点，则①AD AC ⋅=_____；②若OC x AB y AD =+，则x y +=_______.

四、解答题

16．在△ABC 中，sin cos()6

b A a B π=-. （1）求B ； （2）若5

c =，.求a . 从①7b =，②4

C

π

这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

17．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：3820a a +=，且5a 是2a 与14a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18．设常数R a ∈，函数()2

sin22cos f x a x x =+． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值； （2

）若π14f ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，求方程(

)1f x =[]ππ-，

上的解． 19．如图，点D 是曲线()2

2

104

y x y +=≥上的动点(点D 在y 轴左侧)，以点D 为顶点

作等腰梯形ABCD ，使点C 在此曲线上，点,A B 在x 轴上.设2CD x =，等腰梯ABCD 的面积为()S x .