Z-P-S空间中一类非线性算子方程解的存在性问题

则称 为 ＺＰ Ｓ空 间． ——
在 ＺＰＳ空 间 Ｅ 中， －— 记 ： ： ： ， 中 ∈Ｅ， 兰：： 其 几为 自然数．
礼
易证 下面 引理 成立．
引理 １３ 当 ｔ ０１， ． ∈（，）佗∈Ⅳ ， ≥１ 下列不等式成立 ： 十 ，
（ 一ｔ ～ｔ ） ≤
那 么 ｚ＝Ｘ在 Ｄ 中必有解．
（ ） Ｇ３
证明 不妨设 ≠ ｚ∈Ｏ 否则定理得证） 令 （） —ｔｘ ｔ ０１ ∈ ． ， Ｄ（ ． Ｘ ＝Ｘ Ａ ， ∈［ 】 下面证 明 ，，
ｋ（Ｊ）ｔ∈［，］ ［ ， ０１．事实上 ， ） 假设 ∈ｈ（Ｄ）则存 在 ｔ ［ １， ｏ∈Ｏ 使得 ＝ ｔ Ｏ ， ｏ∈ ０ ］Ｘ ， Ｄ， ０一ｔＡ ０ ｏ ｘ， 则 ｔ ０否则， ｔ ０ ＝ ｏ≠ （ 若 ｏ＝ ，由 ０一ｔＡ ｏ得 到 Ｘ ｏｘ Ｏ＝ ｐ∈ Ｄ， Ｘ ＿Ｄ 矛 盾） ｔ １否 与 ｏ∈Ｏ 且 ０≠ （
第 １ 卷 第 ２期 ３
２ １ 年 ６月 ０１
应用泛函分析学报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬｙＳ Ｓ ＦＵＮＣＴ１ Ｉ ０ＮＡＬ Ｓ ＡＰＰＬＩ Ｉ ＣＡＴＡ
、ｏ１１ ， ．３．Ｎ Ｏ． ２
Ｊ ｎｅ ２ １ ｕ ， ０１
ＤＯ ｉ． ２／ＰＪ １０ ０１ ０６ Ｉ： ０ ７４Ｓ ．． ６． １． １８ ３ １ ２ ０ 文章编号： ０ ９１２ （ １）２０６—４ １０—３７２ １０—１８ ０ ０
１ 厶 （） ； ） ０ ＝０
下列条 件：
２ （） ） ｓ ：日（）Ｖ ｓ， ８∈Ｒ 当且仅 当 Ｘ：０（ 中 ０表 Ｅ 中零元） 其 ； ３ 对 任意 实数 。≠ ０ ， ｓ ＝ （ ） ） ， ｎ（） ； ４ 对任意 的， １８ ∈Ｒ， ） ８，２ 如果 ８） １ ｆ（２ ＝１ 则 ＋ （１ ２ ＝ １ １ ＝ ，￣８） ， ｓ ＋ｓ） ； ５ 对 任意 的 ＸＹ∈Ｅ 以及 一切 ８，２ ） ， １８ ∈Ｒ＋ 有 ＋ （１ ２ ≥Ａ（ｘ８）凡（２） ， ｓ ＋８） ｆ （１， ｓ）．
再根据文献 ［ 中拓扑度的可解性知 （ —Ａ ｘ＝０ Ｄ 中有解． Ａ 在 中必有解． ３ 】 Ｉ ） 在 故 ｘ＝
类似 于定理 ２１和定 理 ２３的方法 可证 明下列定理 成立． ． ．
定理 ２４ 设 （ △） 一个 ＺＰＳ空 间， 是 Ｅ 中的有 界开集 ， ． Ｅ， 是 －— Ｄ ０∈Ｄ，ｘｔｔ ≥ｔｔ ０１． ｚ（ ） ， ∈【，］ ，
又没 Ａ： — Ｅ 是 一个紧连 续算子 且满足 ： Ｄ
， Ａ 一） ｓ ＜ｌ ）一 ｎｓ ， （ ｎ（） 厂 （ ｎ （）礼∈Ⅳ＋ ∈Ｏ ８＞０ ≥ １ ， Ｄ， ，
那么 Ａ ｘ＝ｚ在 Ｄ 中必有解 ．
（ ） Ｇ４
定理 ２５ 设 （ △ 是一个 ｚＰ Ｓ ． Ｅ， ） —— 空问， Ｄ是 Ｅ 中的有界开集， Ｄ， ｔ ≥ｔｔ ０１ ０∈ △（ ） ， ∈［ 】 ， ，．
这与 （） ２ 式矛盾） ＿同时 ， ｚ ， Ｊ 孑∈ 则由分布函数的非减性可知
（ １＞—于有 ＞ 幻。 （ 矛． （， ［． 去 ） １是ｔ１ ＜与 ∈１盾 ａ ０ 一‘１ ， 。 或 ，。。 故 Ｊ ∈ ， ） ［ ｊ ） １ ） ］
根据 文献 ［ 中拓 扑度 的同伦 不变 性 知 Ｄ ｇｈ ， ） Ｄ ｇｈ ， ）即 ３ 】 ｅ （ｌＤ， ＝ ｅ（ｏＤ， ， Ｄ ｇＩ—Ａ， ） ｅ （， ） １≠０ ｅ（ Ｄ， ＝Ｄ ｇＩＤ， ＝
． Ａ一ｌ ｎ ） （ ｌ Ｉｌ ｎ ） ｎ Ⅳ ， ∈ Ｄ ｓ ， ＞１ 厂 ｚ （ ＜，ｌ ｌ 。 （ ， ∈ ＋ ｌ ＿ ｓ Ｉ 。 Ｉ ｓ 一 ） Ｏ ，＞０
那么 Ａ 在 １ ｘ＝ ３中必 有解．
证明 类似 于定理 ２１的证 明． ．
（２ Ｇ）
， 一） ｌ ３ ） （ 一） 。 （ ， Ⅳ ， ∈ Ｄ ｓ （ １ 。 （ ＜， １ ｝ ｓ 礼∈ ＋Ｘ Ｏ ，＞０ ｚ ｓ 。 吉 ＩＩ ） ｔ。 Ｏ
又 ＜＜从 （一 。 ＞因 ， 而 ＞１ 。此 。。， ） ，～ ， ３
（ ） （ 南 ＜ 寿）
＝
㈤
＜ ， 即
Ｚ Ｐ— — Ｓ空间中一类非线性算子方程解的存在性问题
肖芳 明， 朱传 喜
南 昌大 学 数 学系，南 昌 ３ ０３ ３０１
摘要：拓扑度理论是研 究非线性算子方程解的存在性 的有力工具．利用拓扑度的方法， Ｚ Ｐ— 对 — Ｓ空间中
一
类非线性算子方程解 的存在性问题进行 了研究， 得到了若干新的结果．
２主 要结 果
定理 ２１ 设 ， △） 一个 ＺＰＳ空间， 是 Ｅ 中的一 个有界 开集， ・ 是 －— Ｄ ０∈Ｄ Ａ（，） ， ｔ￡≥ｔ
，
收稿 日期： ０ ９１—９ ２０ —１０
．
资 助 项 目： 家 自然 科 学 基 金 （０６０ ７； 西 省 自然 科 学基 金 （０７ Ｚ ２５ ） 国 ］７ １０ ）江 ２０ Ｇ Ｓ ０ １
那 么 Ａｘ：Ｘ在 中必有 解．
（ ） Ｇ１
证 明 不妨 设 Ａｘ≠ ∈Ｏ ￣ Ｊ ， Ｄ（ 定理 已证 ） 令 ｈ（） Ｘ—ｔ ｘ ｔ ０１ ∈ ． 面证 明 ． ｔ ＝ ｘ Ａ ， ∈［ 】 下 ，， （Ｊ） ｔ ０１．事实上 ， 设 ∈ （Ｄ）则 存 在 ｔ ０１， ０∈Ｏ 使得 ＝Ｘ ａ［， ∈［，】 ） 假 ， ｏ∈［，］Ｘ Ｄ， ｏ—ｔＡ ０ ｏｘ， 则 ｔ ０否则 ， ｔ ０ 由 ＝ ｏ≠ （ 若 ｏ＝ ， ０一ｔＡｘ ｏ ｏ得到 ｏ
则， ｔ 若 ｏ＝ １ 由 ＝ Ｘ ～ｔＡ ０得到 ｚ ， ｏ ｏ ｏ＝ Ｘ ， Ａ ，ｘ∈Ｏ 矛盾） ｏ 与 ｘ≠ Ｖ Ｄ ．故 ０＜ ｔ １ ｏ＜ ．由
＝Ｘ —ｔ ｏ可得到 ｏ ｏ Ａｘ
Ａｏ ｘ＝
（） ３
１０ ７
应 用 泛 函 分 析 学 报
第 １ 卷 ３
把 （）代入 到 （ ）得 到：（ 一。 （）＜ ， ）— （） 即 ， Ｇ３ ｔ 厂 ｚ） ｓ ｎ （ ｎ ｓ，
又设 Ａ： — Ｅ 是一个 紧连续算 子且满 足 ：
ｆＡ 一 ｌ （） （ ＋ｌＩ （） ∈人＋ ∈Ｏ ｓ＞０ ｌ ｌ ｓ ＜ｆ１ ＩｌＩ ｓ ， ｔ ｌ Ｉ ） Ａ ｒ， Ｄ，
那么 Ａ 在 Ｄ 中必有解． ｘ＝
（７ Ｇ）
定理 ２８ 设 （ Ｆ △） ． Ｅ， ｊ 是一个 ＺＰＳ空间， 是 Ｅ 中的有界开 集， －— Ｄ ０∈Ｄ，ｘｔ ） ， ∈【 １ ｚ（ ≥ｔｔ ０ ］ ， ，．
用 表示 一切分布 函数 的集 合， 且设 ｔ模 △ 是连续 的． 定义 １１ 】 Ｍｅｇｒ 率线性赋 范空 间 （ －【 ｎｅ 概 简称为 Ｍ—Ｎ 空 间） 一三元组 （ △）其 中 Ｅ是 Ｐ 是 Ｅ， ，
一
个 实线性 空间， 是 到 的 映象 （ Ｆ 记分布 函数 Ｆ（） ｘ 为 ， ｓ 表示 厶 在 ｔ 厶（） ∈Ｒ 的值）满 足 ，
因为 ｌｏｔ ０（ Ｉ ｌ ｘ ≠ 否则 Ｘ ∈Ｄ， Ｘ ｏ＝ 与 ｏ∈Ｏ 矛 盾 ）且 （ Ａ） ｚＰＳ空间， Ｄ Ｅ， 是 —— 有 ：≠ 且 ｝ ，
０子（若０子 ，Ｐ） （（ ＝ （（ 『≠ 则 ｌ＝由Ｎ有 ｓ杀 ） ｓ ） 否 『 （２ ／ 一） Ｉ 。 一 ／ 一）
又设 Ａ： — Ｅ是 一个 紧连续算子 且满 足 ：
．
厂 Ａ一） ｎｓ＜， 一 ） （ ， ∈ ｖ ， ∈ Ｄ ｓ ， （ 。 （ 。 ） （Ａ） ｓ 礼 ｌ Ｘ Ｏ ， ＞ 有解 ．
定理 ２７ 设 （ ＦＡ） 一个 ＺＰＳ空间， 是 Ｅ 中的有界 开集 ， ． Ｅ， ’ 是 －— Ｄ ０∈Ｄ， ｔｔ ≥ｔｔ ０ １ Ａ（，） ， ∈［，】 ．
定理 ２３ 设 （ Ａ） 一个 ｚＰＳ空间， 是 Ｅ 中的有界 开集， ∈Ｄ， ｔｔ ≥ｔｔ ０１＿ ． Ｅ， 是 —— Ｄ Ａ（，） ， ∈［ ］ ，
又设 Ａ ： — Ｅ 是 一个 紧连 续算子且 满足 ：
ｆＡ －） ｓ ＜ｆＡ）一ｎ（）ｎ∈＾ ∈９ ８ （ＸＸｎ（） （ ｎ ８ ， ， Ｄ， ＞０
关键词：Ｚ Ｐ— — Ｓ空间； 紧连续算子； 拓扑度；同伦不变性
中图分类号： Ｏ２ １３ ０１ ７９ １ ．； ７ ．１ 文献标志码： Ａ
１预 备 知识
设 Ｒ 表示所 有实数 的集合 ， Ｒ＋表示 所有 非负实数 的集合． 映象 ，： — Ｒ ＋称为分 布 函数 ， 如
果它是非减的、 左连续的， 又满足下列条件：ｎ ，ｓ＝０ｓｐ （） ． ｉｆ （） ，ｕ ｓ＝１ ｎ ｆ
又设 Ａ： 一 Ｅ 是 一个 紧连 续算子 且满足 ：
ｆ ｘ ｘ （ ＜， Ａ ２Ｘ） （ ， （ －） ｓ Ａ ｎ ） （ ＿ ２ ｎ ｓ 礼∈Ａ ∈ Ｄ， ＞０ （ ） ， Ｏ ｓ
那 么 Ａ 在 中必 有解． ｘ＝
（５ Ｇ）
定理 ２６设 （ ， △ 是一个 ＺＰＳ空间， 是 Ｅ 中的有界开集， ， （ ｔ ≥ｔｔ ０１ ． Ｅ ） －— Ｄ ０ＥＤ Ａ ｔ ） ， ∈［ ］ ， ，．
再根据文献 ［ 中拓扑度的可解性知 （ 一Ａ ｘ 在 Ｄ 中有解． Ａ 在 中必有解． ３ ］ １ ）＝ 故 ｘ＝
定理 ２２ 设 （ Ｆ Ａ）是一 个 ＺＰ Ｓ空 间， 是 Ｅ 中的 一个 有界开 集 ， ∈ Ｄ， ｔｔ ｔ ． Ｅ， ， —— Ｄ Ａ（ ）≥ ， ， ｔ ０１． ∈［，］又设 Ａ ： 一 Ｅ 是一个 紧连 续算子 ， 满足 ： 且
第２ 期
肖芳叽 等： — 间中一类非线性算子方程解的存在性问题 Ｚ Ｐ Ｓ空
１９ ６
ｔ ０１ 又设 Ａ： — Ｅ是一个紧连续算子， ∈【 ］ ，＿ 且满足：
ｆｚ－ ｌ ｎｓ ＜ｆ１ 。 ｌ｛） （） ｌｘｘ。 （） （ ｌ一ｌｉ ｓ，ｎ∈Ａ＋Ｘ∈Ｏ ８＞０ ｌ ｌ ｌ Ｉ 。 ｎ Ａ ｒ， Ｄ，