一阶非线性微分方程

一阶线性非齐次微分方程求解方法归类

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果Q x()≡0，那么方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，那么方程称为非齐次的。

a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。

别离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()() u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()【例1】求方程dy dx y x x -+=+21132()的通解。

解：]23)1([1212dx e x c ey dx x dxx ⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c ex x +-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212=+⋅++()[()]x c x 121212由此例的求解可知，假设能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

以下几类为一阶微分方程的简捷求法1 预备知识形如()()dyP x y Q x dx+= (1) 的方程称为一阶线性方程.这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上是连续的.当()0Q x ≡时,方程(1)变为()0dyP x y dx+= (2) 方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用别离变量法求解. 形如()()n dyP x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (3) 的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解.现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解. 2 主要结果定理1 假设一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()n ndy F x F x y Q x dx⎡⎤+=⎣⎦ (4) 那么它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明将方程(4)化为 ()()()nnd F x dy F x y Q x dx dx⎡⎤⎣⎦+= ()()()n nF x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()nF x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕. 推论1 假设一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()dyF x F x y Q x dx+= (6) 那么它的通解为1()()y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰(7)定理2 假设一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0n ndy F x F x y dx⎡⎤+=⎣⎦ (8) 那么它的通解为 ()n Cy F x =(9)证明在定理1的结果1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证. 推论2 假设一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0dyF x F x y dx+= (10) 那么它的通解为 ()Cy F x =(11)定理3 假设一阶微分方程具有如下形式()ln ()()ln ()n dyP x y F y Q x y F y dx+= (12) 当1n =时,其通解为 []ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰ (13)当1n ≠时,其通解为其中ln ()F y 在所考虑区间上是连续的. 证明假设1n =,方程(12)变为 ()ln ()()ln ()dyP x y F y Q x y F y dx+= (15)此方程为可别离变量的微分方程.别离变量得[]()()ln ()dyQ x P x dx y F y =-[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx F y =-两边积分得[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰此即为方程(15)的通解表达式.假设1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()ny F y 得11()()ln ()ln ()n n dy P x Q x y F y dx F y -+=令1ln ()n z F y -=,那么定理3 假设一阶微分方程具有如下形式'()()()n dyF x F x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (12) 那么它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明将方程(12)化为 ()()()n dy dF x F x y Q x y dx dx+= []()()n d F x y y Q x dx =方程两端除以ny ,得到 1()()()nndy dF x y F x y Q x dx dx--+= 11()()()1n n n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,那么(1)ndy dz n ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()nF x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.定理3 假设一阶线性微分方程具有如下形式'()()()nnn dy F x F x y Q x y dx ⎡⎤+=⎣⎦ (0,1)n ≠ (12) 那么它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5)证明将方程(12)化为 ()()()nnn d F x dy F x y Q x y dx dx⎡⎤⎣⎦+= 方程两端除以ny ,得到 1()()()n nnn d F x dy y F x y Q x dx dx--⎡⎤⎣⎦+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,那么(1)ndy dz n ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦两边积分得 ()()nF x y Q x dx C =+⎰1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕.。

一阶非线性微分方程求解

一阶非线性微分方程求解一阶非线性微分方程是数学和物理学领域中一类重要的微分方程，它反映了物质和能量等物质间的相互作用，是近代物理学和数学理论发展的重要基础之一。

本文将介绍一阶非线性微分方程的概念、特性、分类以及常用的求解方法，并给出一个实例来加深对一阶非线性微分方程的理解。

1. 一阶非线性微分方程的概念定义：一阶非线性微分方程（Ordinary Nonlinear Differential Equations）是一类特殊的微分方程，它的求解不可能由简单的积分或积分变换来解决，而是必须用更复杂的解析方法来求解。

一阶非线性微分方程可以表示为：$$frac{dy}{dx}=f(x,y), qquad xin(a,b), yin R$$ 其中，a、b为有界区间上限和下限，f(x,y)为满足某种条件的非线性函数，y为变量，表示待求解函数。

2. 一阶非线性微分方程的特性一阶非线性微分方程的特性主要包括：（1）一阶非线性微分方程的解不能简单的利用积分或者积分变换来解决，必须利用更复杂的解析方法来求解；（2）一阶非线性微分方程的变量y连续变化，不得有任何突变现象；（3）解的多样性，y的解是一个多函数，而且每个解函数有可能是不同的，这就要求对待求解方程有足够细致的分析和计算，才能得到正确的解。

3. 一阶非线性微分方程的分类根据不同的函数f(x,y)，一阶非线性微分方程可以分为以下几类：（1）一元微分方程，即形如$frac{dy}{dx}=f(x)$的一阶非线性微分方程；（2）二元微分方程，即形如$frac{dy}{dx}=f(x,y)$的一阶非线性微分方程；（3）非线性积分方程，即形如$y=f(x)+int[f(x,y)] dx$的一阶非线性微分方程。

4. 一阶非线性微分方程的求解方法一阶非线性微分方程的解法不尽相同，其常用的求解方法有：（1）拟合法：拟合法是一种直观的、简易的求解方法，它要求将待求解方程用曲线拟合，通过简单的分析和绘图，得出方程的解。

一阶非齐次线性微分方程

一阶非齐次线性方程的解一阶非齐次线性方程比较两个方程： .)()(x q y x p y =+' ,0)(=+'y x p y 请问，你有什么想法？我想：它们的解的形式应该差不多。

但差了一点什么东西呢？⎰-=dxx p Ce y )(⎰-=dxx p e x C y )()(行吗?!)()(x q y x p y =+' 则可微且待定函数令,)(,)()(x C ex C y dx x p ⎰=-,)()()())(()()()(⎰⎰⎰----'='='dx x p dx x p dx x p e x C x p e x C e x C y 怎么办？得的表达式代入方程中及将,y y ', )()()()()()()()()(x q x p e x C e x C x p ex C dx x p dx x p dx x p =+-'⎰⎰⎰---故,)()()(x q e x C dx x p ='⎰-即,)()()(⎰='dx x p e x q x C上式两边积分，求出待定函数C dx e x q x C dx x p +=⎰⎰)()()()(为任意常数C通解为得一阶非齐线性方程的中代入,)()(⎰=-dx x p e x C y ,))(()()(C dx e x q e y dx x p dx x p +=⎰⎰⎰-以上的推导过程称为“常数变易法”。

这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。

=+'y x p y )(⎰-=dxx p Ce y )(⎰+=⎰⎰-)C dx e x q e y dx x p dx x p )()()(()()(x q y x p y =+'解 2 12.cos 的通解求方程例x e xy y x =-' ,cos )(,2)(2x e x q x x p x =-=因为所以，方程的通解为)cos ()()( 222C dx xe e ey dx x x dx x +=⎰⎰⎰---)cos ( C 222+=⎰-dx ex e e x x x )cos ( C 2+=⎰xdx e x . 2)sin (C x e x +=解.的通解求方程例 23y x y dx dy +=不是线性方程原方程可以改写为 12,y x y dy dx =-这是一个以y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中12,)(,)(y y q y y p =-=故原方程的通解为)()()( 121⎰+=⎰⎰---C dy e y e x dy y dy y . 213Cy y +==+'y x p y )(⎰-=dxx p Ce y )(⎰+=⎰⎰-) C dx e x q e y dx x p x x p )(d )()(()()(x q y x p y =+'⎰+=⎰⎰-) C dy e y q e x dy y p dy y p )()()(()()(y q x y p x =+'。

一阶迭代非线性泛函微分方程的解析解

．
７（）：ｚ（ｚ１ｚ７Ｐ（）＋ｑ（））ｚ∈ Ｃ（ｚ），
（）１
的解析解的存在性，中（）表示未知复函数，（）ｑｚ是已知的含复变量的复函数，ｑｚ其ｚ户２、（）且（）可逆．在方程（）中，先设１首
（）２
为进一步找到方程（）的解析解，２先讨论它的辅助方程ｇ（一（（）ｇ（卢）ｇｚ））＝ｑ［一（（一ｐｇｚ）Ｔｑｇ）ｑｇ卢）（（））ｇ（）一［（一ｐ（（）ｇ卢）］
显然，于可逆函数ｇ２对（）来说，方程（）和方程（）等价的．７４是定理１假设条件（～（都成立，Ｈ）Ｈ）则对任意非平凡复数叩方程（），３在原点的某邻域内存在解析解ｇｚ，ｇ０（）使（）一０ｇ（）一，０ ≠０．
接下来在条件（）（Ｈ～Ｈ）成立的情况下，讨论辅助方程（）的解析解的存在性．３设（）是方程（）５在原点的某邻域内满足初始条件（）＝（）一 ≠ ０的一个解析解．Ｏ０由方程（）４得
ｇ（）一户（）ｇ（）一ｇ（） ∈ Ｃ．（），（）７
∑ｑ：０其中＝，为任意的＝非零复数；
（）ｌｆ１Ｈ。 ≤ ；（Ｊ≠ ｒｒＨ）９， ≠ ．
引理１嘲假设条件（）立，对任意非平凡复数叩方程（）Ｈ。成则，５有一个形如

常微分方程中的几种非线性方程的解法1

2015年度本科生毕业论文（设计）常微分方程中几种非线性方程的解法教学系：数学学院专业：数学与应用数学年级：2011级姓名：杨艺芳学号：20110701011053导师及职称：刘常福教授2015年5月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。

对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。

作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。

有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。

学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。

保密的论文（设计）在解密后适用本规定。

作者签名：指导教师签名：日期：日期：杨艺芳毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主任（组长）摘要非线性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多，并且研究还不成熟。

鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义。

本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析。

如“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等方法。

在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。

这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值。

关键词：常微分方程；非线性常微分方程；通解英文目录一、引言 (1)二、线性微分方程与非线性微分方程的区别 (1)2.1线性微分方程 (1)2.2非线性微分方程 (1)三、非线性微分方程的解法 (2)3.1利用初等积分与引入新变量法 (2)3.1.1形如()(),0n F x y =型的方程分的两种情形............................23.1.2形如()()',,...,0n F y y y =型的方程. (3)3.1.3形如()()',,...,0n F x y y =型的方程........................................43.2首次积分法 (4)3.3常数变易法 (5)3.3.1引用定理3.1 (5)3.3.2形如dy y y g dx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭型的方程............................................63.3.3形如()()'y y P x e Q x +=型的方程 (6)3.3.4形如'x y xy y+=型的方程..................................................73.4可化为线性方程法 (7)3.4.1通过变换方程化为线性方程的方程 (7)3.4.2通过求导运算化为线性的方程 (8)3.4.3伯努利方程 (8)3.4.4黎卡提方程 (8)3.4.5二阶非线性方程()''',,,0F x y y y =或()''',,y f x y y =型 (9)四、结束语.....................................................................................10参考文献........................................................................................10致谢. (11)1一、引言在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说，是一个难点。

一阶非线性微分方程的解法

一阶非线性微分方程的解法微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述运动、生物、物理等领域的问题。

微分方程的解法有很多种，其中一阶非线性微分方程的解法是常见的一种。

一阶非线性微分方程的一般形式是dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是x和y的函数。

这种类型的微分方程通常不能用常规的解法来求解。

但是，有些技巧可以帮助我们解决这类问题。

1. 变量分离法变量分离法是一种常用的解法。

对于方程dy/dx=f(x,g(x))，将f(x,g(x))写成f(g(x))和g'(x)的乘积形式，即dy/f(g(x))=g'(x)dx，然后将方程两边积分，得到解y=F(g(x))。

最后将g(x)换成y，就可以得到y的解。

例如，对于方程dy/dx=2xy，将方程两边变形，得到dy/y=2xdx。

将方程两边积分，得到ln|y|=x^2+C，其中C是常数。

解y=e^(x^2+C)，再将C换成一个常数就可以得到方程的通解。

2. 齐次方程的解法如果方程dy/dx=f(y/x)，可以使用齐次方程的解法来求解。

将y/x=u代入到方程dy/dx=f(y/x)中，得到y=ux。

然后将dy/dx=u+xdu/dx代入到方程中，得到du/(u+f(x))=dx，其中f(x)等于f(y/x)。

将方程两边积分，得到ln|u+f(x)|=ln|Cx|，其中C是常数。

解出u和x的关系，即u=Cx-f(x)，然后将u和x代回到y=ux中，得到y=Cx^2-F(x)。

例如，对于方程xy'+y^2=x，将y/x=u代入方程中，得到du/((u^2-1)+u)=dx/x。

将方程两边积分，得到ln|u+1|=ln|x|+ln|C|，其中C是常数。

解出u，即u=Cx-1，然后将u代回到y=ux中，得到y=Cx/(1-Cx)。

这就是方程的通解。

3. 带入法带入法是另一种常用的解法。

对于方程dy/dx=f(x,y)，假设y=g(x)是方程的解，将y=g(x)代入方程中，得到dy/dx=f(x,g(x))。

一阶微分方程的常见类型及解法

解法多样性
一阶微分方程的解法多样，包括分离变量法、常数变易法、积分因子法等，灵活运用这些方法可以求解各种类型的一阶微分方程。
02 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程的一般形式为：$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和 $q(x)$是已知函数，且$p(x)$在所考虑的区间上连续。
应用领域
物理学、化学、工程学等领域中的实际问题，如放射性衰变、化学反应速率、电路分析等。
04 一阶常系数线性微分方程组
一阶常系数线性微分方程组的标准形式
一阶常系数线性微分方程组的一般形式为
$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数，且$p(x)$和$q(x)$的系数是常数。
03
积分因子法：通过构造一个积分因子，将原方程转化为全微分方程，从而简化求解过程。具体步骤包括：根据方程形式构造积分因子，将原方程两边同乘以积分因子，得到全微分方程，求解全微分方程得到原方程的通解。
举例与应用
举例
求解一阶常系数线性微分方程组 $y' + 2y = x$。首先写出对应的齐次方程 $y' + 2y = 0$，求出齐次方程的通解 $y = C_1e^{-2x}$。然后用常数变易法求出非齐次方程的特解 $y = frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。最后将
通解和特解相加得到原方程的通解 $y = C_1e^{-2x} + frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。
应用
一阶常系数线性微分方程组在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。例如，在电路分析中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述电路中电压和电流的关系；在经济学中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述商品价格与供求关系之间的动态变化。

一阶微分方程的四种类型

一阶微分方程的四种类型微分方程是数学分析中最重要的部分，它在各个行业均有广泛的应用，尤其在物理学、化学、生物学等学科中发挥着重要的作用。

一阶微分方程是微分方程的一个重要分类，它指初等微分方程的一次导数只有一项成分。

一阶微分方程的参数不定，因此它可以分为四种情况：线性微分方程、隐函数微分方程、非线性微分方程和椭圆型微分方程。

1、线性微分方程线性微分方程是一阶微分方程里最简单的一种，可以按照线性方程的形式表示，分数形式都是常数。

如果表示为y′+py=f(x)，这里的p和f(x)都是常数，p表示参数，f(x)表示函数值，可以用常规积分法解决。

2、隐函数微分方程隐函数微分方程是一种典型的一阶微分方程，它将其他函数的参数作为自变量进行函数求解，由于这种函数变量比较复杂，因此需要用到特殊函数积分法来解决。

如果表示为x′+ax=b(t)，这里的a和b(t)都是常数，a表示参数，b(t)表示函数值，可以用特殊积分法解决。

3、非线性微分方程非线性微分方程是比较复杂的一阶微分方程，它的参数中可以有多项，尤其是指数及对数函数，其系数可以随变量变化。

如果表示为y′+ay=f(x)，这里的a和f(x)都是可变的，a表示参数，f(x)表示函数值，可以用分类积分法解决。

4.椭圆型微分方程椭圆型微分方程是一种特殊的一阶微分方程，它的函数变量比较复杂，常常伴随着抛物线的曲线，形式为y′+ay=f(x)，f(x)可以是抛物线、三角函数或指数函数等。

由于椭圆型微分方程的参数可能是复数，可以用分类积分法或椭圆积分法解决。

总结：一阶微分方程是微分方程的重要分类，它可以分为线性微分方程、隐函数微分方程、非线性微分方程和椭圆型微分方程。

由于各自的参数不定，因此需要用不同的积分法来解决，例如线性微分方程可以用常规积分法解决，而非线性微分方程可以用分类积分法或者特殊函数积分法解决。

椭圆型微分方程则可以用分类积分法或椭圆积分法解决。

一阶非线性微分方程求解

一阶非线性微分方程求解一般来说，微分方程是一个表示物理或数学系统的描述性方程，其解表明了某些变量是如何随时间变化的。

非线性微分方程是一类综合的微分方程，其在研究物理和生物问题时有重要的意义。

本文将分析一阶非线性微分方程的求解问题以及相关的一些算法。

首先，我们介绍一阶非线性微分方程的构成。

一阶非线性微分方程定义为：$$frac{dy}{dx}=f(x,y)$$它是一个一阶次未知函数y（x）的微分方程，其中f(x,y)是一个非线性函数。

它可以用于描述系统受到外界影响时的动态变化，即变量y在x的变化下受到非线性影响时的变化。

一阶非线性微分方程的求解通常采用数值求解方式。

主要的数值求解算法有迭代法、龙格库塔法、改进Euler法、Runge-Kutta法等。

这些方法的基本思想是将原微分方程的区间分为多个小的子区间，然后在每个子区间上进行数值运算，从而试图求解原微分方程在该区间上的解。

下面以迭代法为例，简要介绍一下它的基本思想。

一般来说，迭代法通过积累步骤，从而不断更新给定位置的近似解，从而求解该微分方程。

以一阶非线性微分方程的求解为例，迭代法的具体操作如下：1.定一个初始条件，即：该微分方程的解在某一点的值；2.算该点的近似解，即根据上一步的初始条件，计算出该点的近似解；3.上一步的近似解设置为初始条件，继续上一步计算更新该点的近似解；4.复第3步，直到得到满意的解为止。

另外，还有一些其他的求解算法，比如改进Euler法、龙格-库塔法和Runge-Kutta法等，它们的求解方法也具有较高的效率，但在实际应用中，这些算法的选择要取决于微分方程本身的特性，以及求出的解需要满足的要求等。

总之，求解一阶非线性微分方程是一个复杂的问题，我们不仅要根据实际情况选择合适的求解算法，而且还要完备地熟悉每种算法的基本思想和求解步骤，并真正把握其中的关键环节，以便更好地掌握如何求解这类非线性微分方程。

本文介绍了一阶非线性微分方程的求解问题，并分析了主要的求解方法，如迭代法、改进Euler法、龙格-库塔法和Runge-Kutta法等，突出了各种求解算法的基本思想和步骤，为进一步研究一阶非线性微分方程提供了基础性的知识介绍和指导。

一阶非线性微分方程解法探析

一阶非线性微分方程解法探析作者：朱慧媛来源：《新校园(下)》2015年第06期摘要：近代物理、数学和天文学等理论研究中，经常会建立关于变量的等式，而这些变化率或者导数构建的方程就是微分方程。

这其中，不管是一阶、二阶还是多阶的微分方程，都是要基于一阶微分方程的解，然后再经过变量的替换求解多阶方程。

在此，笔者对基本的一阶非线性微分方程的求解方法展开讨论。

关键词：一阶；非线性微分方程；伯努利方程一、前言随着科学技术的发展，在很多领域出现了非线性问题，如对宇宙空间的研究、对地理环境的考查、对生物多样性的分析等，都会涉及非线性问题。

在电力生产及电力系统，或者与数学分支有交叉的研究领域，也常需要用到非线性问题的求解来分析和计算电力系统的控制问题，为电力系统提供一些有价值的理论依据。

在实际的生活中，也经常会碰到很多非线性问题。

而要解决这些问题，就需要建立不同模型的非线性方程，通过求解计算了解他们之间的对应关系。

所以，微分方程的求解过程对科学研究、社会生活和经济发展都有特殊的意义。

数学作为理论联系实际的一种最为关键的工具，更应该发挥它的巨大作用。

而众多非线性问题的高阶方程都是以一阶微分方程为基础，所以研究清楚一阶微分方程的解法，对其他问题的解决有重大的推动作用。

本文列举一阶非线性微分方程中两种常见的解法，对其展开具体的讨论和分析。

二、微分方程的定义及特点将一个未知数函数与该函数的导数以及自变量这三者联系起来建立的等式称为微分方程。

而平时所说的微分方程的阶数就是指该方程中未知数导数的最高阶数。

如像y′+P（x）y=f （x）这个方程，导数的最高阶数为一阶，所以就称之为一阶微分方程。

我们在解决一些非线性问题时第一步要做的就是建立微分方程，然后再找出能满足条件的对应函数，将这一函数代入原方程能使等式两边恒成立，这一个过程就是微分方程的求解过程，找到的这一函数就称为该微分方程的解。

如函数y=f（x）存在n阶连续导数y（n），如果有等式F（x，y，y1，yn，…，y（n））=0，那么y=f（x）就称为该微分方程的解。

一阶非线性微分方程解法探析

一阶非线性微分方程解法探析一、前言随着科学技术的发展，在很多领域出现了非线性问题，如对宇宙空间的研究、对地理环境的考查、对生物多样性的分析等，都会涉及非线性问题。

在电力生产及电力系统，或者与数学分支有交叉的研究领域，也常需要用到非线性问题的求解来分析和计算电力系统的控制问题，为电力系统提供一些有价值的理论依据。

在实际的生活中，也经常会碰到很多非线性问题。

而要解决这些问题，就需要建立不同模型的非线性方程，通过求解计算了解他们之间的对应关系。

所以，微分方程的求解过程对科学研究、社会生活和经济发展都有特殊的意义。

数学作为理论联系实际的一种最为关键的工具，更应该发挥它的巨大作用。

而众多非线性问题的高阶方程都是以一阶微分方程为基础，所以研究清楚一阶微分方程的解法，对其他问题的解决有重大的推动作用。

本文列举一阶非线性微分方程中两种常见的解法，对其展开具体的讨论和分析。

二、微分方程的定义及特点将一个未知数函数与该函数的导数以及自变量这三者联系起来建立的等式称为微分方程。

而平时所说的微分方程的阶数就是指该方程中未知数导数的最高阶数。

如像y′+P（x）y=f（x）这个方程，导数的最高阶数为一阶，所以就称之为一阶微分方程。

我们在解决一些非线性问题时第一步要做的就是建立微分方程，然后再找出能满足条件的对应函数，将这一函数代入原方程能使等式两边恒成立，这一个过程就是微分方程的求解过程，找到的这一函数就称为该微分方程的解。

如函数y=f（x）存在n阶连续导数y（n），如果有等式F（x，y，y1，yn，…，y（n））=0，那么y=f（x）就称为该微分方程的解。

而对于一阶微分方程，实际上就是该方程的一个特例，通常在寻找特解时需要规定方程的初始条件或者处值时：如x=x0时，y=y0，而x0和y0就是给定的具体值，再求出微分方程的特解。

三、微分方程的两种基本解法1.常数变易法。

非线性微分方程没有固定的解法，但是很多常见的方程也可以使用线性微分方程中的常数变易法来求解。

一阶非线性微分方程组的解法

一阶非线性微分方程组的解法微分方程是数学的一个重要分支，其应用范围十分广泛，并在物理、生物、工程等领域中扮演着重要的角色。

在微分方程的解法中，一阶非线性微分方程组是比较常见的一类。

一阶非线性微分方程组的一般形式如下：$$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=f(x,y) \\ \frac{dy}{dt}=g(x,y)\end{cases}$$其中，$x(t)$和$y(t)$是未知函数，$f(x,y)$和$g(x,y)$是已知函数。

解决这类方程组的关键在于找到它的特解或通解。

一、变量分离法对于一些简单的非线性微分方程组，我们可以采用变量分离法来求解。

具体步骤如下：1. 使方程组两边同时乘以一个合适的函数，使其变为可变量分离的形式。

例如，对于方程组$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=x^2y \\\frac{dy}{dt}=2xy^2 \end{cases}$，我们可以同时乘以$\frac{1}{x^2}$，得到$\begin{cases} \frac{1}{x^2}\frac{dx}{dt}=y \\ \frac{1}{y^2}\frac{dy}{dt}=2x \end{cases}$。

2. 将方程组变为可变量分离的形式后，我们可以对两个方程分别进行变量分离。

例如，对于上述式子，我们将第一个方程分离出来，得到$\frac{1}{x^2}\frac{dx}{dt}=y$，对两边同时积分得到$\ln|x|=-\frac{1}{2}y^2+C_1$。

同样地，将第二个方程分离出来，得到$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dt}=2x$，对两边同时积分得到$\ln|y|=x^2+C_2$。

3. 求解常数。

将上述两个式子联立，消去$\ln|x|$和$\ln|y|$，得到$(\ln|x|)^2=4(\ln|y|)+C_3$。

移项后可得到$\frac{x^2}{y^2}=C$，其中$C=e^{C_3}$。

里卡蒂方程

Riccati 方程秦源 S201801006通过一个学期常微分方程课的学习，我对一些有关常微分方程的理论和方程解法有了一定的了解，下面主要介绍一种比较特殊的一阶非线性微分方程：里卡蒂(Riccati)方程。

当一阶微分方程y’=f(x,y)的右端函数f(x,y)对y 是二次多项式时，称它为里卡蒂(Riccati)方程,其一般形式为)()()(2x r y x q y x p dxdy ++=。

(1) 里卡蒂方程是二次的非线性微分方程，在一般情况下无法用初等积分法求解，只有对一些特殊情况，或者事先知道了它的一个特解，才可以求出其通解。

下面介绍里卡蒂方程可求解的一些特殊情况，如下：1 当p(x),q(x),r(x)都是常数时，方程(1)是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。

2 当p(x)≡0时，方程(1)是一阶线性微分方程，可用公式()()()⎰⎰⎰-+=dx dx x q x r C dx x q y )(exp )()(exp 求解。

3 当r (x)≡0时，方程(1)是Bernoulli 方程，也可以求解。

4 当里卡蒂方程的形式为22xb y x l ay dx dy +=+ (2) 时，可利用变量替换z=xy,将方程(2)化为变量可分离的方程b z l az dxdz x +++-=)1(2可以用分离变量法求解。

5 若已知里卡蒂方程的一个特解，则可求得它的通解。

令y=φ(x)是里卡蒂方程的一个特解，令y=u+φ(x)代入方程(1)得：)()]()[()]()(2)[()(''22x r x u x q x u x u x p x u +++++=+ϕϕϕϕ因为y=φ(x)是里卡蒂方程的特解，所以代入得：)()()()()()('2x r x x q x x p x ++=ϕϕϕ所以2)()]()()(2['u x p u x q x x p u ++=ϕ这是一个Bernoulli 方程可以求解；或者令z=1/u)()]()()(2['x p z x q x x p z -+-=ϕ这是一阶线性微分方程，我们可以求出它的通解z=Φ(x,C),然后通过变换u=1/z 以及y=u+φ(x),可得里卡蒂方程的通解。

一阶线性非齐次方程解法推倒

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy?P(x)y?Q(x)dx1。

)一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的叫做0x)?Q(，则方程称为齐次的；如果)(xQ非齐次的。

不恒等于零，则方程称为如果式所对应的齐次方程a)首先，我们讨论1dy0x)y??P(dx2的通解问题。

dydx)P??(x y分离变量得c?ln)Plny??(xdx?两边积分得dx)?(Px?ec??y或的通解。

其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1u(x)c，即作变换换成的未知函数将的通解中的常数1?P(x)dx?eu?y? ?P(x)dx?P(x)?y?uP(x)e两边乘以得dy?P(x)dx?P(x)dx??exe)?uP(?u?dx两边求导得得代入方程1?P(x)dx dxx)P(???Q(x)u?Q(uex)e??，P(x)dx?dx?)eQ(xu?c?的通解于是得到非齐次线性方程1??dx)P(xdx)x?P(??dx?c?Qy?eex)(?将它写成两项之和P(x)dxdxx)P?(?Px)dx(???dx?ecy??Qe)?e(x?不难发现：第一项是对应的齐次线性方程的通解；2第二项是非齐次线性方程的一个特解。

1一阶线性非齐次方程的通解之结构。

由此得到非齐次通解齐次通解非齐次特解】求方程【例13y2dy2)1x???(1?dxx?(x?y?e1)??[cedx]1x?1x?解：3的通解。

322??dx??dx?2222)?1?ln((lnx?1)x?(x??e1)?e?[c?dx]1?22dx)]1c?(x??x?(?1)[?122])x?1(?[1x?(?)?c2由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

．二、贝努利方程方程dy n(n?0,1(?Qx)?y)?P(x)?y dx叫做贝努利方程。

n?0时，它是一阶线性非齐次微分方程当dy?P(x)?y?Q(x)dxn?1时，它是一阶线性齐次微分方程当dy?[P(x)?Q(x)]?y?0dxn?0,1时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性当微分方程。

一阶非线性泛函微分方程的周期解

ＳａｇａＦｓｅｅＵｉｒｔ，ｈｎｈｉ２０９）ｈｎｈｉｉｒｓｎｅｉＳａｇａ，０００ｈｉｖｓｙ
ＡｓｒｃＴｅｐｐｒｉｃｎｅｅｉｅｐｒｄｃｓｌｔｎｆｒｔｒｅｏｌｅｒｕｃｉｎｌｄｅｅｔｌｅｕｔｎ，ｎｂｔａｔｈａｅｏｃｒｄｗｔｔｅｉｉｏｕｉｓｏｆｓ —ｏｄｒｎｎｉａｎｔａｉｒｎａｑａｏｓａｄｓｎｈｈｏｏｉｎｆｏｆｉｉ
ｄｇｅｅｒｅ
１引言
近年来，函微分方程周期解得到了广泛的研究ｎ。本文首先考虑带无限偏差的非线泛］性泛函微分方程：（）（）（ｔ（）ｔ：Ｐｔ厂（ —ｒｔ）（）１
得到方程（）１没有非平凡周期解的一些最优的充分条件。
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一
阶非线性泛函微分方程的周期解
１５１
２主要结论及证明
定理１设ｐ￡，（）（）ｐ￡＞０ｐ￡≠Ｏ（）ｒ￡ ∈ＣＲ，，（），（）。存在常数ＴＯ使得ｐｔ）１＞，（＋：ｐ￡，（＋：ｒ￡，ｚ连续且ｘ（＞，（）ｒ￡）（））ｆ）ｏ（ ≠ｏ。如果） ≤１且
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第２卷第１８期
２００８年３月
ＭＡＨＥ蜘ＴＭ
数学理论与应用
（ＬＴＥＯＹＮＤＡＰ』加０ＮＨＲＡＰＩＣＡＳ
Ｖ０．８Ｎｏ１１２．
Ｍａ．０８ｒ２０

一阶非线性常微分方程

一阶非线性常微分方程微积分是数学中的一个重要分支，它研究变化和积分的过程。

其中，常微分方程是微积分中的一个重要内容。

它描述了一个变化的量如何随着时间的变化而变化。

在工程、物理、数学、经济等方向都有广泛的应用。

一阶非线性常微分方程是指方程中只有一阶导数，且方程不是线性的。

而线性方程，则是指方程中的各项都是常数或者是关于自变量的线性函数。

一阶非线性常微分方程的形式为：dy/dx=f(x,y)，其中f是一个只关于x和y的非线性函数。

可以通过一些特定的方法来求它的解。

常见的一些一阶非线性常微分方程包括：指数衰减方程y'=ky，Logistic方程y'=ay(by-c)，Malthus方程y'=ky(1-y)，Langevin方程y'=g(x)-fy。

指数衰减方程描述了一个指数函数在x轴方向上的衰减，解为y=y0e^(-kx)。

Logistic方程描述了一种生物种群数量的变化，解为y=c/(1+Ae^(-bt))。

Malthus方程描述了一种人口增长模型，解为y=y0e^(kt)。

Langevin方程是粒子在介质中的运动方程，解为y=y0+∫g(x)e^intf(n)dn。

对于这些非线性方程，它们的求解通常需要使用不同的方法。

比如说，指数衰减方程可以通过分离变量法来求解。

而对于Logistic方程，则需要使用变量代换法。

总的来说，一阶非线性常微分方程具有很多应用，它们可以描述许多自然和社会现象。

通过求解这些方程，我们可以优化工程、改善经济、控制物理系统等。

因此，学习一阶非线性常微分方程，对于我们的学习和研究都有很大的帮助。

一阶非线性具偏差变元的微分方程的振动准则

关键词ｉ线性；分方程；差变元；动性非微偏振
中图分类号ｉ编号ｉ０８— ４３２０）１— ０１ｏ１０８２（０７００３一４
考虑非线性时滞微分不等式：
（）＋口ｔＸｔｔ（）（）＋Ｐｔ（）（１ｔ）（２ｔ） … ，ｔ（））≤ ０ｔ一（），ｔ一（），（一ｔ），（）１
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３２
湖北民族学院学报（自然科学版）
第２卷５
满足初值（） ≤ｆ）ｔ（ ≤ 的解，如果（）［ ∞）ｆ在，上满足方程（）且（）＝ｔ（３，ｔ（） ≤ｆｏ． ≤￡由分步法可）知，初值问题的解存在且唯一．个解称为是振动的是指它有任意大的零点；否则，就称为是非振动的．一个方程称为是振动的是指它
（）＋（）ｉｔ＂（）］ ≥０ｔＰｔｒ［（一７ｔ）ｊ，及相应的时滞微分方程：
（）４
（）５
（）＋（）ｉｔ＂ｔ）＝０ｔＰｔｒ［（一７）］ｊ（．
（）６
关于一阶非线性具偏差变元的微分方程振动性的研究已有许多工作ｎ．特别地，】文献［］１研究了式
Ｖｏ１．
Ｏ．ｔ
Ｍａ．０７ｒ２０
一
阶非线性具偏差变元的微分方程的振动准则
于国圣，张弘强
（沙理工大学数学与计算科学学院，湖南，沙４０７）长长１０６
摘要：究了一类一阶非线性具偏差变元的微分不等式及方程解的性质，过引进一个新的变换，研通获得了其解的有关振动性质的一些新的结果，所得结果推广了相应的结果．

一阶非线性常微分方程奇解的求法

ＶｏＩ３，．ｌ１Ｎｏ４Ｊ１，２ｌｕ．０Ｏ
ＣＳＳＴＵＤＩＮＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＥＳＩＣ
高等数学研究
６５
一
阶非线性常微分方程奇解的求法
王五生，付关玲，侯宗毅
（池学院数学系，西宜州，４３０河广５６０）
支连续可微的曲线
（）２
设方程（）的通解为１
中（Ｙ，）一０，ｚ，ｃ
其中Ｃ为任意常数．一阶微分方程（）有一个特解设１
’ ：Ｙ — （Ｉ１ｚ）（ ∈ Ｊ）ｚ，（）３
以：
ｃ ∈ Ｊｃ
㈣
满足非蜕化条件
ＯｎｔｎｅｒｕｈａＰｏｎｔｏｈｅＴａｇｎｔＴｈｏｇｉｎａＣｕｂｃＣｕｖｉｒｅ
ＧＡＯａｉｎＨｕｎＪａｇ
（ａｈｎｇＩｓｉｕｅｏｆＭａｈｍａｉｓ，Ｘｉｇａｅｉａｏｌｇ，Ｘｉｇａ，ｂｉ０４０ＴｅｃｉｎｔｔｔｔｅｔｃｎｔｉＭｄｃｌＣｌｅｅｎｔｉＨｅｅ，５００，ＰＲＣ）
（一１（）一可）４。ｄｙ
（６）
牧稿日期：０９— １一１；改日期：００— ０２０００修２１３— ０．９
基金项目：西新世纪教改工程 “ 一五 ”第三批资助项目（高教广十桂
２０（００７１９号）１．６）

一阶非齐次线性微分方程

—f(—) dy
f (—) dy
1
x = e y ( fy2e y dy + C ) =-y3 + Cy .
r
y' + p( x) y = 0
7 — Ce_J P (x)dx
y'+p( x) y = q (x)
J
+ ) I y = e y = ( q (fx )e e ( —Jp(x)dx q(x)e d^x + p(x)dxdx CC /
x'+ p( y ) * * * * x = q ( y )
J xห้องสมุดไป่ตู้= e
) J ( q(y)e dy + C p(y)dy
ip(y)dy
即
C ( x) = q(x)eJ p(x)* ,
上式两边积分，求出待定函数
C ( x) = J q( x )丿"X)dxdx + C ( C为任意常数)
代入y = C(x)e'IP(x用中，得一阶非齐线性方程的通解为
y = e-I P5 ( fq(x)丿火 x腿 + C)
y e ( I q ()e
C ) =ex2 ( J cos xdx + C
) =ex2 ( sin x + C ).
例2求方程dL = * dx x + y 的通解.
不是线性方程
dx 1 解原方程可以改写为dy - yX = /，
这是一个以y为自变量的一阶非齐线性方程，其中
1
2
p( y)=——，q( y) = y ，
y
故原方程的通解为
,
以上的推导过程称为"常数变易法”。这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题,由线性问题推出相应的非线性问题。