Banach空间中非线性算子不动点的收敛性定理

15 巴拿赫不动点定理

1.5 Banach 不动点定理及应用巴拿赫不动点定理(Banach Fixed Point Theorem )，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理．许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法．1.5.1 Banach 不动点定理及推论定义 1.5.1 不动点(Fixed points)设X 是一个非空集合，:A X X →为映射，如果存在x X ∗∈满足()A x x ∗∗=，则称x ∗为映射A 的不动点．例如(1)从R 到R 上的映射2:f x x →有两个不动点，即0x =和1x =．(2)从2R 到2R 上的映射:(,)(,)f x y y x →有无穷多个不动点，即直线y x =上的所有点均是不动点．设f 是空间X 到自身的映射，方程()0f x =的求解可转化为求映射:()T x f x x α→+的不动点，其中常数0α≠(显然当Tx x ∗∗=时，即()f x x x α∗∗∗+=，可得()0f x ∗=)．关于不动点的定理，最简单而又最广泛应用的是著名的压缩映射原理．定义 1.5.2 压缩映射(Contraction mapping)设X 是一个度量空间，:A X X →为映射，如果存在常数(0,1)α∈，对于任何,x y X ∈，有(,)(,)d Ax Ay d x y α≤则称A 为X 上的压缩映射．称常数α为压缩系数．显然压缩映射是连续映射．下面的压缩映射原理是由Banach 于1922年给出的，也称为Banach 不动点定理．定理 1.5.1 Banach 不动点定理(压缩映射原理Contraction mapping principle )设X 是完备的度量空间，:A X X →是压缩映射，则A 在X 中具有唯一的不动点，即存在唯一的x ∗，使得()x A x ∗∗=．证明任取0x X ∈，构造点列{}n x ：10()x A x =，21()x A x =，32()x A x =，43()x A x =，…，1()n n x A x −=，…．下面证明 (1)证{}n x 为基本列；(2)证n x x ∗→，()x A x ∗∗=；(3)证x ∗的唯一性．(1)证{}n x 为基本列．因为A 是压缩映射，所以不妨设(,)(,)d Ax Ay d x y α≤，其中(0,1)α∈，记100(,)d x x c =，于是有2110100(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤； 23221210(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤；34332320(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤；…… ……1112120(,)(,)(,)n n n n n n n d x x d Ax Ax d x x c αα−−−−−−=≤≤．因此对于正整数k 有1121(,)(,)(,)(,)n n k n n n n n k n k d x x d x x d x x d x x +++++−+≤+++L110()n n n k c ααα++−≤+++L0(1)1n k c ααα−=−01nc αα≤−0→ (n →∞) 故{}n x 为基本列．(2)证n x x ∗→，()x A x ∗∗=．因为X 是完备的度量空间，所以基本列{}n x 收敛，不妨设n x x ∗→(n →∞)；又知压缩映射是连续映射以及1()n n x A x −=，于是lim n n x x ∗→∞=1lim ()n n A x −→∞=1(lim )n n A x −→∞=Ax ∗=．(3)证x ∗的唯一性．若存在1x X ∗∈且11()x A x ∗∗=，那么111(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x α∗∗∗∗∗∗=≤于是1(1)(,)0d x x α∗∗−≤，从而1(,)0d x x ∗∗≤，即1x x ∗∗=．□注1 Banach 不动点定理给出了在完备度量空间X 中求解不动点的迭代法，即1x X ∀∈，由1n n x Ax +=(1,2,n =L )获得不动点n x x ∗→．第n 次迭代后的近似解n x 与不动点x ∗的误差估计：根据上述定理证明的第二部分知0(,)1nn n k d x x c αα+≤−，于是令k →∞有01000(,)(,)(,)111n n nn d x x c d x x d Ax x αααααα∗≤==−−−．即00(,)(,)1nn d x x d Ax x αα∗≤−．注 2 Banach 不动点定理中的两个条件压缩性和空间的完备性都是十分重要的．例如当(,)(,)d Ax Ay d x y <时，未必存在不动点．设:A →R R ，()arctan 2A x x x π=+−，那么,x y ∀∈R ，有(,)d Ax Ay Ax Ay =−(arctan )(arctan )22x x y y ππ=+−−+−(arctan arctan )x y x y =−−−2()1x yx y ξ−=−−+(由Lagrange 中值定理知存在(,)x y ξ∈或(,)y x ξ∈) 22()1x y ξξ=−+(,)x y d x y <−=．但是，当Ax x =时，方程arctan 2x π=无解，因此映射A 在R 中没有不动点．Lagrange 中值定理：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，在开区间(,)a b 内可导，那么在(,)a b 内至少存在一点ξ(a b ξ<<)，使得()()()()'f b f a f b a ξ−=−．推论 1.5.1 设X 是完备的度量空间，映射:A X X →是闭球0(,)B x r 上的压缩映射，并且00(,)(1)d Ax x r α≤−，其中(0,1)α∈是压缩系数，那么A 在0,)B x r 中具有唯一的不动点．证明显然0,)B x r 是完备度量空间X 的闭子集，所以0,)B x r 是完备的子空间．0,)x B x r ∀∈，有0(,)d x x r ≤，于是0000(,)(,)(,)d Ax x d Ax Ax d Ax x ≤+0(,)(1)d x x r αα≤+−(1)r r αα≤+−r ≤即0(,)Ax B x r ∈．可见A 是完备度量空间0(,)B x r 到0,)B x r 上的压缩映射，因此A 在0,)B x r 中具有唯一的不动点．□设映射:A X X →，记n nA AA A =64748L ，那么映射:n A X X →．推论 1.5.2 设X 是完备的度量空间，映射:A X X →，如果存在常数(0,1)α∈和正整数n ，使得,x y X ∀∈有(,)(,)n n d A x A y d x y α≤那么A 在X 中存在唯一的不动点．证明显然n A 是压缩映射，所以n A 在X 中存在唯一的不动点x ∗，即n x A x ∗∗=．于是1()()n n n A Ax A x A A x Ax ∗+∗∗∗===可得Ax ∗也是n A 的不动点，由不动点的唯一性知：Ax x ∗∗=．同时易得2A x x ∗∗=，3A x x ∗∗=，…，n A x x ∗∗=下面证明x ∗的唯一性．设存在1x X ∗∈且11()x A x ∗∗=，得112A x x ∗∗=，113A x x ∗∗=，…，11n A x x ∗∗=，那么11(,)(,)d x x d Ax Ax ∗∗∗∗==K 1(,)n n d A x A x ∗∗=1(,)d x x α∗∗≤于是1(1)(,)0d x x α∗∗−≤，从而1(,)0d x x ∗∗≤，即1x x ∗∗=．□1.5.2 Banach 不动点定理的应用◇ 求方程的近似解定理 1.5.2 设:f →R R 是可微函数，且()1'f x α≤<，则方程()f x x =具有唯一解．证明根据Lagrange 中值定理知存在(,)x y ξ∈，使得()()()()'f x f y f x y x y ξα−=−≤−，因此f 是完备度量空间R 上的压缩映射，于是由压缩映射原理知，()f x x =具有唯一解．例 1.5.1 求方程510x x +−=的根．解显然函数5()1g x x x =+−的导函数为4()510'g x x =+>，即g 单调递增，且115()0232g =−<，(1)1g =，所以原方程只有一个根而且在(0.5,1)内．原方程可写为 51x x −=由于51x −不是一个压缩映射，即54(1)5'x x −=在(0.5,1)内并不小于1．将上式改造为5(1)x x λλ−=，即为5(1)(1)x x x λλ−+−=，于是当(0.5,1)x ∈及(0,1)λ∈时有54[(1)(1)]15'x x x λλλλ−+−=−−1λ<−．令14λ=，531()(1)44f x x x =+−，那么在(0.5,1)上()f x 满足 3()14'f x << 于是得()f x 是(0.5,1)上的压缩映射，取00.75x =，由迭代1()n n x f x +=可得10.7521x =，20.7533x =，30.7540x =，40.7544x =， 50.7546x =，60.7547x =，70.7548x =，80.7548x =，…．若取8x 作为不动点x ∗的近似解，其误差为80.750.75210.750.000810.75nx x ∗−≤−=−．□◇ 解线性代数方程组定理 1.5.3 设1111n n nn a a A a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L M M L ，1nn x x x ⎛⎞⎜⎟=∈⎜⎟⎜⎟⎝⎠M R ，1n n b b b ⎛⎞⎜⎟=∈⎜⎟⎜⎟⎝⎠M R ，若对每个1i n ≤≤，矩阵A 满足11n ij j a =<∑，即11max 1nij i nj a α≤≤==<∑，则线性方程组Ax b x +=具有唯一解x ∗．证明在n R 上定义距离1(,)max{i i i nd x y x y ≤≤=−，其中T 12(,,,)n n x x x x =∈L R ，T 12(,,,)n n y y y y =∈L R ，易验证(,)n d R 是完备的度量空间．令映射:(,)(,)n n T d d →R R 为Tx Ax b =+．记T 12(,,,)n Tx u u u u ==L ，T 12(,,,)n Ty v v v v ==L ，于是11111n i j j n n ni j n j a x b u u u a x b ==⎛⎞+⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠+⎜⎟⎝⎠∑∑M M ，11111n i j j nn ni j n j a y b v v v a y b ==⎛⎞+⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠+⎜⎟⎝⎠∑∑M M ．因此1(,)max{}i i i nd Tx Ty u v ≤≤=−11max{()}nij j j i nj a x y ≤≤==−∑111max{}max{}nij j j i ni nj a x y ≤≤≤≤=≤⋅−∑(,)d x y α=由11max 1nij i nj a α≤≤==<∑可知T 是压缩映射，从而存在唯一的不动点x ∗，即线性方程组Ax b x +=具有唯一解x ∗，且可根据迭代1n n x Ax b +=+求得方程的近似解．□◇ 证明隐函数存在定理定理 1.5.4 设二元函数(,)F x y 在区域{(,),}x y a x b y ≤≤−∞<<+∞上连续，关于y 的偏导数存在，且满足条件0(,)'y m F x y M <≤≤，其中m ，M 是正常数，则存在连续函数()y f x =，[,]x a b ∈满足：[,]x a b ∀∈，(,())0F x f x =．证明在完备度量空间[,]C a b 中定义映射T ：()[,]x C a b φ∀∈，1()()()(,())T x x F x x Mφφφ=−．由于(,)F x y 是连续函数，所以[,]T C a b φ∈，即:[,][,]T C a b C a b →．下面证T 是压缩映射．设,[,]C a b φϕ∈，根据微分中值定理得，存在(0,1)θ∈，使得11()(,())()(,())T T x F x x x F x x M Mφϕφφϕϕ−=−−+ 1()()[(,())(,())]x x F x x F x x Mφϕϕφ=−+− 1()()[(,()(()())](()()'y x x F x x x x x x Mφϕφθϕφϕφ=−++−− (1)()()mx x Mφϕ≤−−．记1mMα=−，显然01α<<，于是有T T φϕαφϕ−≤−，因此 [,](,)max ()()()()x a b d T T T x T x φϕφϕ∈=−[,]max ()()x a b x x αφϕ∈≤−(,)d αφϕ=因此T 是压缩映射，由压缩映射原理知存在唯一的()[,]f x C a b ∈，使得()()()Tf x f x =即(,())0F x f x =，[,]x a b ∈．□◇ 在微分方程方面的应用设(,)f t x 在矩形区域00{(,),}D t x t t a x x b =−≤−≤连续，那么存在0M >使得(,)t x D ∀∈有(,)f t x M ≤，进一步假定(,)f t x 关于变量x 满足李普希兹(Lipshitz)条件：存在常数K ，12(,),(,)t x t x D ∀∈有1212(,)(,)f t x f t x K x x −≤−，那么有微分方程为00d (,)d ()xf x t tx t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2.4) 定理 1.5.5 (皮卡德Picard 定理)满足上述条件的微分方程(2.4)在区间00[,]t t ββ−+上有唯一解，其中1min{,,}2b a M Kβ=．证明设00[,]J t t ββ=−+，则J 上的连续函数组成的空间()C J 是完备的度量空间，显然()C J 的子集0{(),()}E x x C J x t x M β=∈−≤是闭集，于是E 也是完备的度量空间．通过积分可将微分方程(2.4)写成积分方程00()(,())d tt x t x f x τττ=+∫．()x t E ∀∈定义：00()()(,())d tt Tx t x f x τττ=+∫，下面验证Tx E ∈．由于(,)f t x 在在矩形区域00{(,),}D t x t t a x x b =−≤−≤连续，所以()()Tx t 在00[,]J t t ββ=−+上连续， 00()()Tx t x =，以及00()()(,())d tt Tx t x f x τττ−=∫(,())d tt f x τττ≤∫0M t t ≤−M β≤，于是Tx E ∈，即T 映射为:T E E →．再证T 是压缩映射．根据李普希兹条件得1212()()()()(,())d (,())d ttt t Tx t Tx t f x f x ττττττ−=−∫∫012max Jt t K x x τ∈≤−−12(,)Kd x x β≤又由β的定义知12K αβ=≤，于是1212(,)(,)d Tx Tx Kd x x β≤，即T 是压缩映射．因此T 在E 中存在唯一的不动点x ∗，即存在00[,]J t t ββ=−+上的连续函数x ∗，满足积分方程0()(,())d tt x t x f x λτττ=+∫，两边微分可得x ∗是微分方程(2.4)的唯一解，并且x ∗是迭代序列012,,,,,n x x x x L L 的极限，其中010()(,())d tn n t x t x f x τττ+=+∫．□◇ 在积分方程方面的应用设(,)K t τ在矩形区域{(,),}D t a t b ττ=≤≤连续，()[,]f x C a b ∈，且[,]t a b ∀∈有(,)d baK t M ττ≤<+∞∫，那么费雷德霍姆(Fredholm)积分方程为()()(,)()d ba x t f t K t x λτττ=+∫． (2.5)定理 1.5.6 对于任意的()[,]f x C a b ∈，当1Mλ<时，Fredholm 积分方程(2.5)有唯一连续解()x t ∗，并且函数()x t ∗是迭代序列012,,,,,n x x x x L L 的极限，其迭代过程为1()()(,)()d bn n a x t f t K t x λτττ+=+∫．证明设()()()(,)()d bn aTx t f t K t x λτττ=+∫，由(,)K t τ的连续性知，T 是从[,]C a b 到[,]C a b 上的映射:[,][,]T C a b C a b →．(),()[,]x t y t C a b ∀∈有(,)max{()()()()a t bd Tx Ty Tx t Ty t ≤≤=−max{(,)()d (,)()d }b baaa t bK t x K t y λτττλτττ≤≤=−∫∫max{(,)[()()]d }baa t bK t x y λττττ≤≤=−∫max{(,)()()d }baa t bK t x y λττττ≤≤≤−∫max{()()}a bM x y τλττ≤≤≤−(,)Md x y λ=由于1M λ<，即T 是压缩映射，根据压缩映射原理知T 在[,]C a b 上存在唯一的不动点()x t ∗，即为Fredholm 积分方程的唯一连续解，且函数()x t ∗是迭代序列012,,,,,n x x x x L L 的极限，其迭代过程为1()()(,)()d bn n ax t f t K t x λτττ+=+∫．□◇ 牛顿迭代法的证明牛顿迭代法（Newton's method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），它是牛顿在 17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要．牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，而且其最大优点是在方程的单根*()0f x =附近具有平方收敛，该法还可以用来求方程的重根、复根，另外该方法广泛用于计算机编程中．定理 1.5.6 设f 是定义在[,]a b 上的二次连续可微的实值函数，*x 是f 在(,)a b 内的单重零点，那么当初值0x 充分靠近存*x 时，由关系式1()n n x g x +=，()()()n n n 'n f x g x x f x =−所定义的迭代序列收敛于*x ．证明因为*()0f x =，依据中值定理可得***1()()()()'f x f x f x f x x k x x ξ=−=−≤−．由于*x 是f 的单重零点，所以存在*x 的某闭邻域*1()(,)U x a b ⊂，使得*1()x U x ∀∈，()0f x ≠，而且()"f x 连续．于是2()[()]"'f x f x 在*1()U x 上有界2k ，所以*1()x U x ∀∈，有 2*21222[()]()()()()()1()[()][()]'""'''f x f x f x f x f x g x k f x k k x x f x f x −=−=≤≤−．显然当*1212x x k k −<时，1()2'g x <．令**2121(){}2U x x x x k k =−<以及***12()()()U x U x U x =I ，于是()g x 在邻域*()U x 内为压缩映射，根据压缩映射原理可知命题成立．□。

banach空间中的积分算子不动点定理及其应用

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序Banach空间中非线性映射的不动点定理

２０ＳｉｅｈＥｇｇ０７ｃ．Ｔｃ．ｎｎ．
。
爨论文甏
《
数学
序Ｂｎｃ问中非线性ａａｈ空映射的不动点定理
邹玉梅
（山东科技大学信息科学与工程学院，青岛２６１）６５０
摘
要
在更广泛的条件下给出了序Ｂｎｃａａｈ空间上非线性映射的不动点定理，广了现有文献中的一些主要结果。推
维普资讯
第７卷
第１９期
２００７年１０月
科
学
技
术
与
工
程
＠
Ｖｏ．Ｎｏ１Ｏｃ．２７１７．９ｔ００
１７ —８９２０）９４０ —４６１１１（０７１— ８１０
ＳｉｎｅＴｃｎｌｇｎｎｉｅｒｎｃｅｃｅｈｏｏｙａｄＥｇｎｅｉｇ
ｒＨ）［，１］（＋）（ ≤ｒ（＋Ｔ）ｒ ≤ ｒ（＋Ｔ）］ｒＴ）＋（）＜１［，，［（ｒ］。
对任给ｒＨ）＜，ｉ（＜１由ｌｌｍｌ
知存在ｎ，。使得
＝（＜１可ｒＨ）＜，
（）中： — Ｅ是线性正算子满足７＝Ｔ，１式Ｅ ’
锥，规常数是 Ⅳ；映射： —Ｅ连续且满足：正设Ｅ（ｉ）在线性正算子： —Ｅ，足，是存Ｅ满＋
可逆的，，（＋Ｔ） ≥ ∈Ｐ，使得对任意的Ｍ且，

banach空间的四个基本定理

banach空间的四个基本定理
巴拿赫空间是函数空间中一个重要的概念，并且有四个基本定理与之相关。

这四个定理被称为巴拿赫空间的基本定理，它们分别是完备性定理、闭图像定理、开映射定理和逆定理。

1. 完备性定理：巴拿赫空间是一个完备的度量空间。

也就是说，任何一个柯西序列（Cauchy sequence）在巴拿赫空间中都有一个极限点。

这个定理保证了巴拿赫空间的内部结构是完整的，没有任何缺陷。

2. 闭图像定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个闭集。

这个定理说明了有界线性算子在巴拿赫空间中的性质，它保证了算子的连续性和稳定性。

3. 开映射定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个开集。

这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的映射性质，即保持开集的映射。

4. 逆定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的逆算子也是有界的。

这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的可逆性，即存在一个有界逆算子。

这四个基本定理是巴拿赫空间理论的基础，它们描述了巴拿赫空间的
一些重要性质。

这些定理不仅在函数空间中有广泛的应用，还在数学分析的其他领域中起到了重要的作用。

它们为我们研究函数空间中的问题提供了有力的工具和方法。

Banach空间中复合算子的不动点定理

第17卷第2期数学研究与评论V o l .17N o .21997年5月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ONM ay 1997Banach 空间中复合算子的不动点定理Ξ李　凤　友(天津师范大学数学系,300074)摘　要　本文给出Banach 空间中集值与单位增算子的不动点定理,它推广了文[1]—[4]中相应的结果.关键词　Banach 空间,集值复合增算子,弱上半闭,拟弱紧集,不动点.分类号　AM S (1991)47H 10 CCL O 177.91定义1[1]　设X 是具有半序结构的H au sdo rff 拓扑空间.若对于X 中任意两个网{x Α Α∈+},{y Α Α∈+},x Α→Σx ,y Α→Σy 且x Α≤y Α,ΠΑ∈+,就有x ≤y ,则称X 是一个半序拓扑空间.注　文中x Α→Σx 表按X 中拓扑Σ网收敛于x .定义2　设E 是Banach 空间,P 是E 中锥,E 中半序由P 导出,D <E .若对于D 中网{x Α Α∈+},x Α→w x ,且x Α≤x ,ΠΑ∈+,蕴含x ∈D ,则称D 为X 中弱上半闭集.定义3　设E 是B anach 空间,P 是E 中锥,D <E .若对于D 中每一可数全序子集{x n },都存在子列{x n k }<{x n },使得x n k →w x ∈E ,则称D 是E 中拟弱紧集.定义4　设E 是Banach 空间,P 是E 中锥,D <E .若对于D 的每一全序子集N ,都存在N 的至多可数子集{x n }在N 中弱稠(即对于任一x ∈N ,存在{x n k }<{x n },使得x n k →w x ),则称D 是E 中拟弱可分集.注　文中x n →wx 表{x n }弱收敛于x .定义5[2]　设X 是半序集,D <X ,A :D →2D 是集值算子.若Πx ,y ∈D ,x ≤y 及u ∈A y ,都存在v ∈A y ,使得u ≤v ,则称A 是一个集值增算子.引理1　设E 是Banach 空间,P 是E 中锥,E 中半序由P 导出,则E 按弱拓扑是一半序拓扑空间.定理1　设X 是半序集,Y 是Banach 空间,P 是Y 中锥.D <X 非空,B :D →Y 是增算子,C :BD →2B D 是集值增算子,T :B D →D 是增算子且B D 是Y 中弱上半闭集,令A =T CB .若i )　B D 是Y 中拟弱可分的拟弱紧集;ii )　Πx ∈D ,B A (x )是Y 中弱序列紧集;iii )　ϖx 0∈D 及u 0∈A x 0,使得B x 0≤B u 0,则A 在D 中有不动点.Ξ1994年2月18日收到.1996年6月6日收到修改稿.在单值映射下可得下面定理定理2　设X是半序集,Y是Banach空间,P是Y中锥,D是X中非空子集,B:D→Y是增算子,C:B D→D是增算子且B D是Y中弱上半闭集.令A=CB.若i)　B D是Y中拟弱可分的拟弱紧集;ii)　ϖx0∈D,使得x0≤A x0,则A在D中有不动点.推论　设X是半序集,D=[u0,v0]是X中序区间,Y是Banach空间,B:D→Y是增算子,C:[B u0,B v0]→X,A=CB.若i)　u0≤A u0,A v0≤v0;ii)　B D是Y中拟可分的拟紧集,则A在D中有不动点.注　定理1和定理2是文[1]-[4]在Banach空间中相应定理的推广.参　考　文　献[1]　孙经先,非连续的增算子的不动点定理及其含间断项的非线性方程的应用,数学学报,31:1(1988),101-107.[2]　孙经先,增算子的不动点和广义不动点,数学学报,32:4(1989),457-463.[3]　Sun J ingx ian and Sun Yong,S o m e f ix ed p oin t theore m s of increasing op era tors,A pp l.A nal.23(1986),23-27.[4]　郭大钧,非线性泛函分析,山东科技出版社,1985.Som e F ixed Po i n t Theorem s for Com positeOperators i n Banach SpacesL i F engy ou(D ep t.of M ath.,T ianjin N o rm al U niversity)AbstractIn th is p ap er,w e give som e fixed po in t theo rem s fo r m u lti2valued and single valued in2 creasing op erato rs in B anach sp aces,w h ich generalizes the co rresponding resu lts of[1]-[4].Keywords　B anach sp ace,m u lti2valued com po site increasing op erato r,w eak ly upp er2sem i2 clo sed set,quasi2w eak ly com p act,set fixed po in t.。

任意Banach空间中的非线性Lipschitz强伪压缩算子不动点的迭代逼近

一
用强伪压缩映射迭代方法逼近不动点和求方程（）和（）的解已被广泛研究４５
证明了下列定理：
个映射称为增生的，对每个， ∈ 若Ｙ（）２
。［］中，者文４作
Ｄ（）有 —Ｙ ∈Ｊ —ｙ，得，（）／｝
如果ｆ是恒等算子，由不等式（）一（）出：１３得是后一强伪压缩的当且仅当（一是后一强增生的，，）
即ＶＹ∈ Ｄ（）有不等式成立，Ｔｌ —Ｙｌｌｌ≤ ｌ —Ｙ＋ｒ（一 —ｋ）一（ｌ［，１，一
文章编号：０６一４４２０）１— ０５— ３１０ｏ６（０８００２０
任意Ｂｎｃ间中的非线性Ｌｐｃｉ强伪压缩算子ａａｈ空ｉｓｈｔｚ
不动点的迭代逼近
刘俊先，马建珍
（台学院数学系，北邢台０４０）邢河５０１
维普资讯
第３２卷第１期
２００８年２月
南昌大学学报（理科版）
ＪｕｎｌｆａｃａｇＵｉｒｔ（ａｕａＳｉｃ）ｏｒａｎｈｎｎｖｓｙＮｔｒｌｃｎｅｏＮｅｉｅ
Ｖｏ．２Ｎｏ．１３１Ｆｅ２Ｏ８ｂ．０
（ｉ）＜Ｃ０＜１／≥ ０，＂ｔ
映射称为ｋ一强增生的，若对每个，Ｙ∈ Ｕ，
有 — ）∈Ｊｘ—ｙ和ｋ＞０（Ｙ（）实数，使得（ｘ— ， —Ｙ）≥ ｋｌ —ＹｌＵ（）ｌｌ（）３等价地，有不等式成立

第5讲巴拿赫不动点定理

An x∗ = x∗
下面证明
x∗
的唯一性．设存在
x∗ 1
∈X
且
x∗ 1
=
A(
x∗ 1
)
，得
A2
x∗ 1
=
x∗ 1
，A3
x∗ 1
=
x∗ 1
，…，An
x∗ 1
=
x∗ 1
，
那么
d
(
x∗
,
x∗ 1
)
=
d ( Ax∗ , Ax1∗ )
=…
=
d
(
An
x∗
,
An
x∗ 1
)
≤
α
d
(
x∗ 1
,
x
∗
)
于是
(1
−
α
)d
(
4
44
f ' (x) < 3 < 1 4
于是得 f (x) 是 (0.5,1) 上的压缩映射，取 x0 = 0.75 ，由迭代 xn+1 = f (xn ) 可得 x1 = 0.7521 ， x2 = 0.7533 ， x3 = 0.7540 ， x4 = 0.7544 ，
x5 = 0.7546 ， x6 = 0.7547 ， x7 = 0.7548 ， x8 = 0.7548 ，…．
d (xn
,
xn−1 )
=
d
( Axn−1,
Axn−2
)
≤
α
d (xn−1,
xn − 2
)
≤
α
c n−1 0
．
因此对于正整数 k 有
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西安电子科技大学理学院杨有龙

锥b-banach空间上非扩张映射的不动点定理

锥b-banach空间上非扩张映射的不动点定理不动点定理：1、Banach空间上的非扩张映射：Banach空间是定义域与值域都为实数的函数f，它满足：(1) 存在常数c≥0，使得f所有输出的距离都不超过c个数量级；(2) f在定义域中有界；(3) f有叉和一致的微分；(4) f是连续的。

2、不动点定理：设K是一个Banach空间，f为K上的非扩张映射，x*是K上的一个点，若当x既不到x*身上，也不超过x*身上时，都有f(x)=x，则称x*为f在K上的不动点。

若K上存在不动点，则此不动点为f在K上的全局不动点，而K上的任意其他点都不会是K上不动点。

3、不动点定理的证明：设K为一个Banach空间，f为K上的一个非扩张映射。

首先，假设K上存在不动点x*，由于f是非扩张映射，所以f(x)与x的距离不超过c个数量级，其中c是f的一个常数。

假设存在K上的点x，使得它在x*身上或者超过x*身上，则由前面式知，此时f(x)的距离至少与x*的距离是c个数量级的，也就是说，此时f(x)和x*不可能再相等，即x*不可能是K上的不动点。

所以，如果K上存在不动点x*，那么x*即是K上的全局不动点。

4、不动点定理的应用：不动点定理是拓扑学中一个非常重要的定理，在数学、物理和工程等各个领域都有其重要应用领域。

例如，在物理学中，由于粒子或者其他物体系统的自发运动可能会进入到稳定的不动点，而这时候用不动点定理去研究物体的运动可以模拟物理场景的运动规律，从而达到事半功倍的效果；在工程学中，控制理论中也有不动点定理的应用，用于模拟各种系统的稳态行为；在经济学中，由于经济系统也可能像物理和工程系统一样进入到稳定的不动点，因此可以用不动点模型去分析经济行为的可能性和规律性，从而便于经济的决策制定。

8Banach空间与不动点定理

3 x, y X,
则称 x 为x的范数，称（x, ）为线性赋范空间。
完备的线性赋范空间称为Banach空间。
例8.1 1）在n维欧氏空间Rn中，x (x1 , x2 , ..., xn ) Rn，
令 x
n x ，则 x 成为R 中的范数， 2 i i1 n
(Rn , )为一个Banach空间。

H x | f(x) r。
(*)式表示整个闭球S(, r)位于
超平面H的一侧，即包含在H 中。

H
H

H+ r

S( , r)
定理8. 4 (凸集分离定理,Separating Theorem )
设X Banach空间，A, B X为两个凸集，
A B ，其中有一个凸集有内点，则必存在一个
f(x) f x x r
(*)
f(x) f x x r
(*)
设H x | f(x) r, 在几何上,称H为X中的一个
超平面 Hyperplane。超平面的特性是它可以把
整个空间分隔为互相隔离的两部分H 和H ：
H x | f(x) r,
若令y f(x), 则(x, y) | x S , y f(x)是S T的一个
子集，称这个子集是f的图像。
4 如果我们对f : S T，从T中任取一个元素y T，则x | f(x) y称为y的原象。记为f1 (y) x | f(x) y。
f1 (y)可以是空集，也可能是S中的一个非空子集。
(结合律）
7）( ）x＝x y (数乘分配律） 8）（x+y)=x+y (数乘分配律）

banach 不动点定理

banach 不动点定理
Banach不动点定理是数学中的一个重要定理，它是函数分析学中的基本定理之一。

该定理的核心思想是，对于某些特定的函数，它们总是存在一个不动点，即一个点在函数作用下不发生变化。

这个定理在实际应用中有着广泛的应用，例如在微积分、物理学、经济学等领域中都有着重要的应用。

Banach不动点定理的证明过程比较复杂，但其基本思想是通过构造一个逐步逼近的过程，使得函数序列趋近于一个不动点。

具体来说，假设有一个函数f(x)，我们可以通过不断迭代f(x)来逼近其不动点。

具体来说，我们可以从一个任意的起始点x0开始，然后通过不断迭代f(x)来得到一个序列{x0, f(x0), f(f(x0)), ...}。

如果这个序列收敛于一个极限值x*，那么x*就是f(x)的一个不动点。

Banach不动点定理的重要性在于它为我们提供了一种通用的方法来证明某些函数存在不动点。

这个定理的应用非常广泛，例如在微积分中，我们可以通过Banach不动点定理来证明某些微分方程存在解；在物理学中，我们可以通过该定理来证明某些物理模型存在稳定的平衡点；在经济学中，我们可以通过该定理来证明某些经济模型存在稳定的均衡点。

Banach不动点定理是数学中的一个重要定理，它为我们提供了一种通用的方法来证明某些函数存在不动点。

该定理的应用非常广泛，它在微积分、物理学、经济学等领域中都有着重要的应用。

因此，
深入理解和掌握该定理对于我们的学术研究和实际应用都有着重要的意义。

banach不动点定理的证明

Banach不动点定理是一个非常重要的结果，它描述了以下情况：给定一个赋范线性空间，如果一个连续线性算子在这个空间上有一个不动点，那么这个不动点就是唯一的。

换句话说，Banach不动点定理表明，如果一个函数在某个空间上的定义域内有一个不动点，那么这个不动点就是该函数在该空间上的唯一驻点。

让我们来看看这个定理的证明。

假设X是一个赋范线性空间，T是X上的一个线性算子。

设P是T的不动点。

我们首先需要证明P是唯一的。

为此，我们需要构造一个等价关系（或者说是有序关系）π(x) = π(y)当且仅当x-y = ε时与P有关的等价关系。

为了实现这一点，我们需要使用线性映射的极限性质。

假设T的限制TT(x)和T的限制TT(y)都存在。

由于T是连续的，我们可以得出x-y属于T的定义域，即存在ε> 0使得T(x-y) = ε。

由于T是线性的，我们可以得出TT(x-y) = T(ε) = 0。

因此，如果π(x) = π(y)，那么x-y = ε成立。

因此，我们得到了一个等价关系π(x) = π(y)当且仅当x-y = ε，这与我们的定义相符。

现在假设存在另一个点Q属于T的定义域，并且Q与P不等价。

这意味着存在ε> 0使得Q-P = ε成立。

这意味着存在两个不同的点x和y满足x-y = ε。

这意味着存在ε/2 > 0使得x-y的补集与π(x)的补集与π(y)的补集都不相等。

根据我们的假设T的定义域的定义和π的定义，我们有Tx -Ty = ε/2，这意味着x-y=ε/2并不成立，这显然是矛盾的。

因此Q不能属于T的定义域，这证明了唯一性P和Q不唯一π的实例点定义集合σπ表示所有的实例点的集合它构成π的一度划分所以所有P与T都重合不含有异类的其他成员σπ对每个pi也这样根据前一个论证显然这已经说明了我们的第一步骤的所有关键要素——X的一个赋范线性子空间S=XT且该子空间对π是第一度划分π对S的所有实例点构成σπ并且所有实例点都属于S这就是Banach不动点定理的证明过程。

Banach空间及其相关定理

课程论文课程现代分析基础学生姓名学号院系专业指导教师二Ｏ一五年十二月四日目录1 绪论 (1)2 Banach空间基本概念 (1)2.1拟范数定义及例子 (1)2.2 Banach空间 (2)2.3 Banach空间中线性变换及其性质 (3)3 一致有界定理及其推论 (4)3.1问题 (4)3.2基本概念 (4)3.3一致有界定理及其推论 (5)3.4一致有界性定理及其推论的应用 (6)4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 (7)4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 (7)4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 (9)4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 (9)5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 (9)5.1开映射定理 (10)5.2逆算子定理 (11)5.3闭图像定理 (12)6 总结 (14)参考文献 (16)Banach空间及其相关定理南京理工大学自动化学院，江苏南京摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。

首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。

然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。

最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。

关键词：Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理1 绪论巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。

数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。

从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。

Banach空间非单调算子方程新的不动点定理

满足某些序条件的非单调算子方程解的存在唯一性及迭代收敛性，出了新的不动点定理并给出了此迭代得的误差估计，得结果是某些已知结果的本质改进和推广．所
关键词：正规锥；非对称迭代；子方程；算不动点
中半序是由锥Ｐ导出．
定义１５设 “ ∈Ｅ，。［］。 ∈Ｅ， “ ＜，Ｄ一［。］：｛ “ 有。。称 “ ，。＝Ｉ。＝
。为Ｅ中的序区间．｝
定义２设非空集ＤＣＥ，子Ａ：算Ｄ×Ｄ— Ｅ称为反向混合单调算子，如果（）对每个固定的ｖＡ（，在Ｄ上关于 “是单调递减的，Ｖ“ ＜ “ ∈［。］有１ＥＤ， “ ）即 “，，。
在唯一性及迭代收敛性，出了新的不动点定理并给出了此迭代的误差估计，文改进了文献［］得本４的主要结
果，当然也统一和改进其它一些文献的结果．
以下总假设Ｅ是一个实Ｂｎｃａａｈ空间，是Ｅ中的正规锥，为Ｐ的正规常数，ＰＮ表示Ｅ中的零元素，Ｅ
于在适当的序条件下的非线性单调算子问题，用迭代方法得出了许多好的结果［］本文利用一种非对应３，称迭代格式进一步研究了既没有连续性条件也没有紧性条件而只满足某些序条件的非单调算子方程解的存
定义３５设Ａ：［Ｄ× ＤＥ是Ｄ上的算子，果存在 ∈Ｄ，得Ａ（，） — 如使一，则称是算子Ａ

实Banach空间中一类非线性算子不动点的收敛定理

因∑ Ｃ＝∞，ｎ所以ｅ
一０故ｌ川一ｌ（一 ∞ 。，ｌ一０ｎ）
：（１一Ａ）＋ＡｘＴ收敛于的唯一不动
推论１设为实Ｂｎｃａａｈ空问，Ｄ为的非空子集，映射ＴＤ— Ｄ为算子，：设为的不动点，Ａ ∈（，）常数，对任意的。∈Ｄ，０１为则Ｋ迭代序列｛｝。：：
收稿日期：０７０３２０ — ９—０
作者简介：吕桂稳
女
１７９４年出生
讲师
基金项目：石家庄铁道学院科研专项基金（９）Ｑ０资助项目；家庄铁道学院青年专项基金（３）石Ｑ３资助项目
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７６
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２卷第４０期
石家庄铁道学院学报（自然科学版）
ห้องสมุดไป่ตู้
Ｖ．０ｏ。２．１Ｎ４
２７２ＯＲＡＩＡＨＡＧＲＩＡＳＴＴＮＴＲＬＣＮＥＤｃ２７０年１月ＪＵＮＬＦＨＩＵＮＬＹＮＴＵＥ（ＡＵＡＩＣ）ｅ０００ＳＪＺＡＷＩＩＳＥ．０
石家庄铁道学院学报（自然科学版）
第２０卷
中的实数列，ｎ：。ｎ，当 ∑ ／３（）则
ｎ
ｎ
： ∞ 时，ｉｎ：０ｍＡｌ。
＝Ｉ
２主要结果
定理１设Ｅ为实Ｂｎｃａａｈ空问，Ｄ为Ｅ的非空子集，映射ＴＤ— Ｄ为算子，：设为的不动点，设
证明：因为对Ｖ０＜ ≤ １有ｅｐ＝１＋＋＋… ＋＋… ，，ｘ

banach空间四个基本定理

banach空间四个基本定理
1. Banach空间完备定理：一个Banach空间就是一个完备的度
量空间，即每个柯西序列都收敛于该空间中的确切点。

具体地，如果在Banach空间中取一个柯西序列，那么它一定收敛于一
个该空间中的点。

2. 闭图像定理：这个定理涉及到线性算子，它指出，如果线性算子是一个Banach空间到另一个Banach空间的映射，并且满足一些条件，那么它的图像（即所有可能的输出）是另一个Banach空间。

3. 开映射定理：如果一个线性算子从一个Banach空间映射到
另一个Banach空间，而且是连续的，那么它要么是「开映射」，即将开集映射成另一个空间中的开集；要么是「单射」，即每个输入只对应一个输出（不能出现多个输出映射到同一输出的情况）。

4. Hahn-Banach定理：这个定理是关于线性算子和Banach空
间的最基本的定理之一。

它指出，在所有的线性算子中，存在一个「Hahn-Banach算子」，使得它的定义域是一个给定的线
性子空间，并且满足对于这个子空间中的任意元素，其值（即它的输出）与其他满足某些特定条件的线性算子的值相同。

这个定理被视为线性算子理论的基石，因为它非常广泛地应用于各种数学分支领域和物理学中。

Banach空间

整个空间分隔为互相隔离的两部分H 整个空间分隔为互相隔离的两部分 H − 和 H +：
H − = {x | f ( x ) ≤ r} ,
H+ H
H
−
H + = {x | f ( x ) ≥ r}。
(*)式表示整个闭球S( θ, r)位于式表示整个闭球S
超平面H的一侧，即包含在H 超平面 H 的一侧，即包含在 H 中。
使这个超平面H分离凸集A和B，
≤ α, 即 f( x ) ≥ α,
或
x∈A x∈B
A
B H
A ⊂ H − = {x | f (x) ≤ α}
B ⊂ H − = {x | f (x) ≥ α}
定义 S1 × ⋅ ⋅ ⋅ × S n = {(s1 , ⋅ ⋅ ⋅, sn ) ：si ∈ S i , i = 1, ⋅ ⋅ ⋅, n}
若对任意x X, 与之对应，并满足: 若对任意x ∈ X,有一个确定的实数 x 与之对应，并满足:
( 1)
∀x ∈ X, x ≥ 0, 且 x = 0 ⇔ x = 0 ；
( 2)
( 3)
x及数 ∀x及数λ， λx = λ ⋅ x ；
∀x, y ∈ X, x + y, ⋅ ）为线性赋范空间。范数，称（赋范空间。
且
f =1 ，
r，当 x ∈ S ( θ, r ) 时， x ≤ r，就有
f(x ) ≤ f ⋅ x = x ≤ r
(*)
f(x ) ≤ f ⋅ x = x ≤ r
(*)
在几何上, 设H = {x | f( x ) = r} , 在几何上,称H为X中的一个
超平面 ( Hyperplane ) 。超平面的特性是它可以把

Banach空间中非膨胀映象和α-逆强增生算子的强收敛性

其中｛和｛）［１和【２】０）是０）０ａ中的两个序列．，，如果｛）｛｝和满足
＝
０∑ ＝。∑ ｌ＋一Ｉ ∞和 ∑ ＋一小＜。，。，１＜ｎ。
ｎ＝于ＦｘＳｎＶ（，）在ｉｒｂｔｉ（）ＩＣＡ的公共元素．
Ｂａａｈ空间中非膨胀映象和Ｏ逆强增生算子的强收敛性ｎｃＬ一
胡良根，王朝ｚ王金平，
１宁波大学数学系，．宁波３５１１２１２．同济大学应用数学系，上海２０９００２
摘要：在２一致光滑的Ｂａａｈ空间中，一ｎｃ引入一种新的迭代算法研究非膨胀映象的不动点集与一逆强增生算子的变分不等式解集的公共元素，并获得了迭代算法的强收敛性定理．而且应用这些结果考虑了非膨胀
代序列：对任意的Ｘ ∈ 序列｛）０Ｃ，定义为
Ｘ＋＝ｌ４（一Ｏ）Ｐ一Ａｘ）Ｖ他≥ ０－１ｌｓｘｃ，（．１）３
其中对某ａｂ０１，）ａｂ和对某Ｃｄ０２） ∈［ｄ他们在Ｈｌｅ空间中证明了， ∈（，）｛ ∈（，）， ∈（，，Ｃ】，．ｉｒｂｔ迭代序列（．弱收敛于ＦｘＳｎＶ（，）１）３ｉ（）ＩＣＡ的公共元素．
变分不等式问题是对任意的Ｕ∈Ｃ，寻找一点Ｖ∈Ｃ使得
（Ｕ—ＶＡ），ｖ ≥０
（．）１１
这些点称为问题（）１的解，变分不等式解集记为Ｖ（，）即，ｘｃＡ＝｛ＩＣ，ｖ（，）ｕ∈Ｃ： —ＶＡ）（，ｖ≥ ０Ｖ，ｕ∈ｃ）变分不等式问题最早是由Ｓａｐｃｈ［研充为了寻找变分不等式（．问题的解或．ｔｍａｃｉａ］１）１

Banach空间中可数算子族的不动点集和广义混合均衡问题的公共解的强收敛性

Banach空间中可数算子族的不动点集和广义混合均衡问题的
公共解的强收敛性
倪仁兴;徐亚军
【期刊名称】《高校应用数学学报（A辑）》
【年(卷),期】2024(39)1
【摘要】在自反Banach空间框架中,提出一类新的收缩投影算法,来逼近一闭Bregman拟渐近非扩张可数算子族的不动点集和广义混合均衡问题的公共解,建立了一闭Bregman拟渐近非扩张可数算子族的不动点集和广义混合均衡问题的公共解的强收敛性结果,并用一数值例子来支撑文中所得的结果.无论算子族从有限个到可数个,还是算子从Bregman相对非扩张到Bregman拟渐近非扩张等方面,均对Jantakarn K和Kaewcharoen A(2021)的结果进行了的拓展和补充.
【总页数】16页(P73-88)
【作者】倪仁兴;徐亚军
【作者单位】绍兴文理学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Banach空间中广义混合平衡问题与无限族Hemi-相对非扩张映象不动点问题的CQ方法
2.Banach空间中的Φ-强增生算子方程解及Φ-半压缩算子不动点的存在与逼近问题
3.Banach空间中可数无限族连续伪压缩映象公共不动点的强收敛定理
4.Hilbert空间中逼近广义均衡问题和有限族非扩张映射不动点集的公共解新的迭代方法
5.Banach空间中可数非扩张映像族公共不动点迭代算法
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不动点迭代法及其收敛定理

显然, p越大,收敛速度也就越快
那么, 如何确定 p, 从而确定收敛阶呢？
如果迭代函数 ( x )在精确解x * 处充分光滑, 即处处可导
将( x)在x * 作Taylor 展开, 有
( x ) ( x *) ( x *)( x x *)
( x *)
2!
( p)
x n1

xn
f ( xn ) f ' ( xn )
Newton迭代法又称切线法.
4. Newton迭代法收敛定理
' f ( x*) 0 ,且在 x* 的邻域定理设 f(x*)=0, '' 上 f 存在, 连续, 则可得
（1）Newton迭代公式在单根情况下至少2阶收敛;
( xn1 x* ) f '' ( x* ) c （2）lim * 2 ' * 2 f (x ) n ( xn x )
迭代法xk 1 ( xk )就收敛
|xk x*| 对于预先给定的误差限即要求
由(6)式,只要
L xk xk 1 1 L 1 L xk xk 1 --------(8) L
因此,当

迭代就可以终止, xk可以作为方程的近似解
定义1：如果存在 x * 的某个邻域 R : x x * ，使迭代过程
因此原方程的解为
x * x7 = 0.090525
由定理1的(7)式出, L或| ( x)|在[a , b]上越小, 迭代法收敛就越快
迭代法收敛速度
设ek xk x *
定义1.
若存在实数p 1和c 0满足
ek 1 lim p k e k

Banach空间中一类非单调算子方程解的存在性定理

一
（）２
证令Ｂ一６＋（一ｂＡ：，ＥＤ．任给，１）ｒ对ＥＤ，当 ≤ 时，由条件ｉ）知
Ｂ —Ｂｒ＝６＋（ —６Ａ一［（ —６Ａ］（：１）６＋１）一６ — ）１ｂ（）＋（－）Ａ —Ａ
定义２算子Ａ：ＤＣＥ－Ｅ称为增算子，－－－￣如果对于任意，Ｙ∈Ｄ，且 ≤ ，含Ａｒ蕴 ≤Ａ．定义３算子Ａ：ＤＣＥ－Ｅ称为减算子，－－－￣如果对于任意３， ∈Ｄ，７Ｙ且 ≤Ｙ蕴含Ａ ≤ Ａ．，
≥ ６ — ）（ —６６ — ）（ — １一（＋１）（／６）．
所以Ｂｒｙ即Ｂ： — Ｅ为增算子．： ≤Ｂ，Ｄ由条件ｉ知ｉ）
Ｂ —Ｂｕｕ—ｂ＋（ —６Ａｕｂ＋（ —６Ａ“ 一６＂ “ ＋（ —６（ —Ａ“ ｙ１） —Ｅｕ１）］（－）１）ＡｕＵ）
程的某些已知结果．
［键词］锥与半序；算子；算子；动点关增减不［中图分类号］０１７９７．１［献标识码］Ａ文［文章编号］１７—４４２０）３０６—４６２１５（０８０—０７０
关于增（）减算子的不动点理论已有许多研究。卜引，一般对算子和锥附加的条件均比较强．文对但本
ｉｉ）存在正有界线性算子Ｋ： — Ｅ，Ｅ使得Ａ —Ａ“ ≤Ｋ（－ “ ，Ｕ ≤“ ≤ ；２７）。 ≤ ｉ）存在正有界线性算子Ｌ，： — Ｅ，ｉｉＭＥ使得