求解非线性算子方程的两步组合方法的收敛性

(5)
这里， F , G 均为定义在 D 上的非线性算子。 F 为 Fréchet 可微算子， G 为连续算子。最近，S. M.
91
吴伟笛 等
Shakhno 等通过结合算法(2)与(3)在文章[17]中首次提出了下列两步组合方法用于求解方程(5)：
−1 xn + yn xn − F ′ xn+1 = + δ G ( xn , yn ) F ( xn ) + G ( xn ) 2 对任意的 n = 0,1, . −1 xn + yn xn+1 − F ′ + δ G ( xn , yn ) yn+1 = F ( xn+1 ) + G ( xn+1 ) 2
方法的收敛性定理， 并证明了解的唯一性。另外，在最后一节中，我们还给出了一个数值例子来说明我 们理论结果。
2. 定义与引理
本节中，我们给出一些基本的定义及引理。 定义 1 [16]假设 δ G 表示由 X 到 Y 的一个线性算子。设 x, y ∈ D ，若 δ G ( x, y ) 满足条件：
δ G ( x, y )( x − y= ) G ( x) − G ( y).
(
)
(
)
(4) 闭球 U ( x0 , r0 ) ⊂ D 。假设实序列 {sn }n≥0 , {tn }n≥0 由如下定义： t0 = r0 , s0 =− r0 p, t1 =− r0 q.
tn +1 − tn + 2
b0 1 α +1 β β 4 α + 1 α + 2 ( tn − tn +1 ) + 2 a0 ( sn − tn +1 ) + c0 ( tn − tn +1 ) + ( tn − sn ) ) )( ( = β β 1 1 − a0 + c0 ( t0 − tn +1 ) + ( 3 ( t0 − sn +1 ) ) 2 ( tn − tn +1 ) ≡ Bn + 2 ( tn − tn +1 ) ,
0
(11)
其中
γ ≡ g 0 r0α +1 + ( r0 − p ) + 2r0β
β
1 − g ( 3r ) β + r β , 0 0 0 b0 1 g 0 ≡ max , a0 + c0 ; 4 (α + 1)( β + 1) 2
(12)
rd st th
Received: Jan. 3 , 2017; accepted: Jan. 21 , 2017; published: Jan. 24 , 2017 Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
lder 条件下算法(3)的收敛性问 类似[10] [11] [12]中古典割线法的收敛条件，S. M. Shakhno 研究了仅在 Hο
题。又如，文章[13]与[14]给出了二阶均差满足 Lipschitz 条件下该方法的收敛性定理。另外，文章[15]及 [16]也对算法(3)的收敛性进行了研究。特别地，当算子 F 满足下列条件时：
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吴伟笛 等
(2)存在非负常数 a0 , b0 , c0 及 α , β ∈ ( 0,1] ，使得对 ∀x, y ∈ D ，下列条件成立：
−1 A0 ( F ′ ( x ) − F ′ ( y ) ) ≤ a0 x − yLeabharlann 定理 1 假设(1)算子 A0 可逆；
(8)
α
β
−1 A0 ( F ′′ ( x ) − F ′′ ( y ) ) ≤ b0 x − y
3. 半局部收敛性定理
下面， 我们建立两步组合方法的半局部收敛性定理。 在下面的讨论中， 我们令 U ( x0 , r = )
{x :
x − x0 ≤ r}
表示以 x0 为中心以 r 为半径的闭球。假设算子 F 的一阶 F-导数 F ′ 和二阶 F ′ -导数 F ′′ ，以及算子 G 的差
x + y0 −1 设 x0 , y0 为 D 中的两点。 令 p ≡ x0 − y0 , q ≡ A0 商 δ G 均存在。 H ( x0 ) . 其中 A0 ≡ F ′ 0 + δ G ( x0 ⋅ y0 ) . 2
−1 A0 (δ F ( x, y ) − δ F ( u, v ) ) ≤ p0 x − y
(
α
+ u−v
α
),
(4)
α ∈ ( 0,1= 文章[16]给出了算法(3)的半局部收敛性以及方程(1)的解的唯一性。 这里， ] ，A0 δ F ( x0 ⋅ y0 ) 。
下面，我们考虑非线性算子方程
H ( x) ≡ F ( x) + G ( x) = 0.
则有
α
h.
x+ y F ( x) − F ( y) − F′ ( x − y) 2 = x+ y t 1 1 x+ y t + ( x − y ) − F ′′ + ( y − x ) ( x − y )( x − y ) dt (1 − t ) F ′′ 4 ∫0 2 2 2 2
假设(1) F ∈ C 2,α ( D ) 。
(2) ∀x ∈ D, F ′ ( x ) 可逆且存在非负数 M 使得 sup F ′ ( x )
x∈D
−1
≤ M.
(3) ∀x, y ∈ D, h ∈ X ，
F ′ ( x ) − F ′ ( y ) ≤ L1 x − y . F ′′ ( x ) h − F ′′ ( y ) h ≤ L2 x − y
Keywords
Semi-Local Convergence, Two-Step Combined Method, Divided Differences
求解非线性算子方程的两步组合方法的收敛性 分析
吴伟笛，沈卫平，徐丽华
浙江师范大学数学系，浙江 金华
收稿日期：2017年1月3日；录用日期：2017年1月21日；发布日期：2017年1月24日
(2)
并且在康托洛维奇型条件下给出了该算法的半局部收敛性。这里， x0 ， y0 为给定的初始值。此外， 文章[4] [5] [6] [7] [8]对该算法及其收敛性也做了一定的研究。 同样， 通过引入了差商的定义， M. Bartish 在文章[3]中给出了不同于(2)的如下两步算法来求解方程(1)：
文章引用: 吴伟笛, 沈卫平, 徐丽华. 求解非线性算子方程的两步组合方法的收敛性分析 [J]. 应用数学进展, 2017, 6(1): 90-103. /10.12677/aam.2017.61011
吴伟笛 等
摘
要
本文考虑求解非线性方程问题的两步组合方法的收敛性。在某些连续性条件下，我们给出了该方法的半 局部收敛性。 另外对算子方程的解的唯一性也做出了说明。 最后通过数值例子来说明收敛性分析的有效性。
−1 xn + yn ′ = − x F xn+ n 1 2 F ( xn ) 对任意的 n = 0,1, . −1 xn + yn xn+1 − F ′ n +1 F ( xn+1 ) y= 2
Convergence Analysis of the Two-Step Combined Method for Solving Nonlinear Operator Equations
Weidi Wu, Weiping Shen, Lihua Xu
Department of Mathematics, Zhejiang Normal University, Jinhua Zhejiang
关键词
半局部收敛性，两步组合方法，差商
1. 引言
设 X 与 Y 为 Banach 空间，且 D 为 X 中的一开凸子集。考虑非线性算子方程
F ( x) = 0
其中， F 为定义在 D 上的一个非线性算子。
(1)
众所周知，牛顿法是求解方程(1)的最著名的方法之一。其中，文献[1]及[2]研究了在算子 F 的一阶导 数满足 Lipschitz 条件下牛顿法的平方收敛性结果。 在文章[3]中，M. Bartish 首次提出了两步修正牛顿法：
x = x − δ F ( x , y ) −1 F ( x ) n n n n n+1 对任意的 n = 0,1, . −1 xn+1 − n +1 δ F ( xn , yn ) F ( xn+1 ) y=
(3)
这里， x0 ， y0 为给定的初始值， δ F 为由 X 到 Y 的有界线性算子。很多学者对算法(3)的收敛性也作 出了一定的研究。 例如， 文[9]在相对弱的康托洛维奇条件下对算法(3)的半局部收敛性进行了研究。 再如，
则称 δ G ( x, y ) 为在点 x, y 的差商。
(7)
引理 2 (Banach 引理[19]) 设 F : X → Y 的有界线性算子，I : X → Y 且为单位算子， 若 F − I < 1, 则 F 为可逆的且有
F −1 ≤