高中排列组合问题解法大全(新版)

(2)不定向分配问题
例6六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每人两本.
(2)一人一本、一人两本、一人三本.
(3)一人四本、一人一本、一人一本.
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以 ，即 =90(种)， =360(种) =90(种)。
3.分配问题的变形问题
例8四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有 (种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有 =144(种)。
解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有 种，其余5个元素任排5个位置上有 种，故共有 种排法.
十一．圆排问题线排法:把 个不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 个普通排列： 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同， 个元素的圆排列数有 种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的 元素全排列.
结论2.一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
例7六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是 + + =90(种)。再考虑排列，即再乘以 。所以一共有540种不同的分法。
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
解析：10个点中任取4个点共有 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为 ，四个面共有 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是 种.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
解析：除甲乙外，其余5个排列数为 种，再用甲乙去插6个空位有 种，不同的排法种数是 种，选 .
三.特殊元素或特殊位置优限法：优先解决带限制条件的元素或位置，或说“先解决特殊元素或特殊位置”
七.综合问题先选后排
例17.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 种，“再排”在四个盒中每次排3个有 种，故共有 种.
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
种.
九.对等问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
例19. 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）那么不同的排法种数是
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
解析： 在 的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 种，选 .
2.基本的分配的问题
(1)定向分配问题
例5六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)甲两本、乙两本、丙两本.
(2)甲一本、乙两本、丙三本.
(3)甲四本、乙一本、丙一本.
分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：分别有 =90(种)， =60(种)， =30(种)。
十.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.
例20.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共 种，选 .
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
排列组合问题解法大全
一.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1. 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的排法种数有
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
解析：把 视为一人，且 固定在 的右边，则本题相当于4人的全排列， 种。
二.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
2.求n项展开式的项数。
例13、求 展开式中共有多少项？
解：用10个相同的小球代表幂指数10,用5个标有 、 、…、 的5个不同的盒子表示数 、 、…、 ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有 （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数 （i=1，2，…，5; ），记作 的 次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。由隔板法知，这样的放法共有 种，故 的展开式中共有 项。
例9有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？
分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有 (种)分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有 =2520(种)不同的选法。
1.基本的分组问题
例4六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本.
(3)一组四本，另外两组各一本.
分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是 =90(种)，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数 ，所以分法是 =15(种)。(2)先分组，方法是 ，那么还要不要除以 ？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有 =60(种)分法。
例10设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？
分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。先考虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共有 (种)分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以 ，所以共有 =36(个)不同的函数。
解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有 台,选 .
例16.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种
解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有 个.
解析：先取男女运动员各2名，有 种，这四名运动员混和双打练习有 中排法，故共有 种.
八.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 .
例18.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
例21.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式 种不同站法.
= = =15（个）
所以，方程 + +…+ =7的正整数解共有15个。
六.至多，至少问题排除法
例15.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有 种,选.
(3)分组方法是 =30(种)，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是 =15(种)。
通过以上三个小题的分般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m ，m ，…，m ，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是 。
= =1001（种）。
所以， 展开式中共有1001项。