河北省石家庄二中2018_2019学年高一数学下学期末考试题

河北省石家庄二中2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一.选择题：1. 已知直线l 经过()()1,1,2,3A B 两点，则l 的斜率为（） A. 2 B.23C.43D.12【答案】A 【解析】 【分析】直接代入两点的斜率公式2121y y k x x -=-，计算即可得出答案．【详解】31221k -==- 故选A【点睛】本题考查两点的斜率公式，属于基础题． 2. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A. 2 B. 3C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3. 在正项等比数列{}n a 中，374a a =，数列{}2log n a 的前9项之和为（）A. 11B. 9C. 15D. 13【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质91295=a a a a ⋅，即可解出答案．【详解】2375542a a a a ==⇒=92122292129252log +log ++log =log ()log 9log 29a a a a a a a ⋅===故选B【点睛】本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题．4. 如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（ ）A. 56B. 3C. 52D. 156【答案】D 【解析】 【分析】在三角形BCD 中，利用正弦定理求得BC ，然后在三角形ABC 中求得AB . 【详解】在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得sin 30BC ︒＝30sin135︒，所以BC ＝152在Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝23＝6.故选：D【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，属于基础题. 5. 过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A. ()()22314x y -++= B. ()()22314x y ++-= C. ()()22114x y -+-= D. ()()22114x y +++=【答案】C 【解析】 【分析】直接根据所给信息，利用排除法解题．【详解】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A 故选C【点睛】本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题． 6. 若,a b c R a b ∈>、、，则下列不等式成立的是（ ）A.11a b < B. 22a b >C.2211a bc c >++ D.||||a c b c >【答案】C 【解析】 【分析】由不等式性质证明不等式是正确的，举反例说明不等式是错误的． 【详解】若1,2a b =-=，则A 、B 均错，若0c ，则D 错，∵2110,c a b +≥>>，∴2211a bc c >++，C 正确． 故选C ．【点睛】本题考查不等式的性质，解题时一定要注意不等式的性质：“不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或除以一个负数，不等号方向改变”，这里一定要注意所乘（或除）的数一定要分正负，否则易出错． 7. 圆()()22112x y -+-=关于直线3y kx =+对称，则k值是（ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】圆()()22112x y -+-=关于直线3y kx =+对称， 所以圆心(1,1)在直线3y kx =+上，得132k =-=-. 故选B.8. 已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题： ①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥； ②若//m α，βn//，且//m n ，则//αβ； ③若m α⊥，βn//，且//m n ，则αβ⊥； ④若m α⊥，βn//，且//m n ，则//αβ． 其中正确的命题是（ ） A. ①③ B. ②④C. ③④D. ①④【答案】A 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可判断①③④的正误；举反例可判断②错误. 【详解】对于命题①，若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则//m β或m β⊂， 若m β⊂，则αβ⊥；若//m β，则过直线m 的平面γ与平面β的交线l 满足//l m ，m α⊥，l α∴⊥，又l β⊂，αβ∴⊥.命题①正确；对于命题②，若直线m 、n 同时与平面α、β的交线a 平行，且m α⊄，n β⊄， 则//m α，βn//，但α与β不平行，命题②错误； 对于命题③④，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，//n β，则过直线n 的平面μ与平面β的交线b 满足//b n ，b α∴⊥，b β⊂，αβ∴⊥，命题③正确，命题④错误.故选：A.【点睛】本题考查面面位置关系命题正误的判断，考查推理能力，属于中等题. 9. 在ABC 中，2cos 22B a c c+=（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则ABC 的形状为（ ） A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．【详解】∵2cos 22B a c c +=，∴22cos 2B a c c +=，1cos a c B c ++=，22212a c b a c ac c+-++=，整理得222+=a b c ，∴三角形为直角三角形． 故选：B ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键．10. 设点P 是函数y =点(),Q x y 满足260x y --=，则PQ 的最小值为（）A. 4 2 4【答案】B 【解析】 【分析】函数y =()221+4x y -=位于x 轴下面的部分．利用点到直线的距离公式，求出最小值．【详解】函数y =()221+40x y y -=≤，．圆心坐标(1,0),半径为2.所以min 22PQ ==【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．11. 设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）A. 4B. 10C. 5【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点A 与定点B ，进而可得22210PA PB AB +==，再利用基本不等式，即可得解． 【详解】由题意直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=可变为(1)30m x y --+=，所以该直线过定点()1,3B ， 所以2221310AB =+=，又()110m m ⨯+⨯-=，所以直线0x my +=与直线30mx y m --+=互相垂直， 所以22210PA PB AB +==，所以22102PA PB PA PB =+≥⋅即5PA PB ⋅≤，当且仅当=PA PB , 所以PA PB ⋅的最大值为5. 故选：C.【点睛】本题考查了直线位置关系判断及直线过定点的应用，考查了基本不等式的应用，合理转化条件是解题关键，属于中档题．12. 三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是2P ABC -的外接球的表面积是（ ） A. 2π B. 4πC. 8πD. 16π【答案】B 【解析】M 是线段BC 上一动点，连接PM ，∵,,PA PB PC 互相垂直，∴AMP ∠就是直线AM 与平面PBC 所成角，当PM 最短时，即PM BC ⊥时直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大． 此时62AP PM =，63PM =，在直角△PBC 中，26··123PB PC BC PM PC PC PC =⇒=+⨯⇒=． 三棱锥P ABC -扩充为长方体，1122++=，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为1R =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为244R ππ=． 选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．二、填空题13. 已知圆锥表面积等于212cm π，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为__________cm . 【答案】2cm 【解析】【分析】设出底面圆的半径，用半径表示出圆锥的母线，再利用表面积，解出半径．【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ，母线为l ，则底面圆面积为2r π，周长为2r π ，则2221122l r r l πππππ=⎧⎪⎨=+⎪⎩解得24r l =⎧⎨=⎩ 故填2【点睛】本题考查根据圆锥的表面积求底面圆半径，属于基础题． 14. 已知数列{}n a 满足11111,111n na a a +=-=++，则10a =__________.【答案】1719- 【解析】 【分析】数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为以12 为首项，1为公差的等差数列．【详解】因为11,a =所以11112a =+ 又111111n na a +-=++ 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为以12 为首项，1为公差的等差数列． 所以11=12n n a -+ 所以1010111917=10==12219a a -⇒-+ 故填1719-【点睛】本题考查等差数列，属于基础题．15. 直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为______.【答案】10【解析】 【分析】取BC 中点D ，证明ND MB //，得异面直线所成的角，然后计算． 【详解】如图，取BC 中点D ，连接,ND AD ，MN ，因为M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，所以11////MN B C BC ，111122MN B C BC ==， 即,MN BD MN BD =//，∴MNDB 平行四边形，ND BM //，∴异面直线BM 与AN 所成的角为AND ∠（或其补角），在直三棱柱111ABC A B C -中，设11BC CA CC ===，则由90BCA ∠=︒可得：AN ==，DN BM ===AD == 那么在等腰ADN ∆中12cos 10DNAND AN ∠===【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角． 16. 已知0a >，0b >，182+1a b +=，则2a b +的最小值为__________． 【答案】8 【解析】 由题意可得：()211182121116110211161102219,a b a b a b a b b a a b b a ++⎛⎫⎡⎤=++⨯+ ⎪⎣⎦+⎝⎭+⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭⎛+≥+⨯ +⎝=则2a b +的最小值为918-=. 当且仅当3,52a b ==时等号成立. 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 三、解答题17. 求适合下列条件的直线方程：()1经过点()1,3A --，倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍；()2经过点()3,4B ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【答案】（1）3330x y -+-=（2）10x y -+=或70.x y +-=【解析】【分析】（1）根据倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线．（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为±1.【详解】（1）已知3tan =3α，22tan tan 231tan k ααα===- 直线方程为33(1)y x +=+化简得3330x y -+-=（2）由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点()3,4，由点斜式得()43y x -=±-，所求直线的方程为10x y -+=或70.x y +-=【点睛】本题考查直线方程，属于基础题．18. 如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是边长为4的菱形，BC ⊥平面11ACC A ，2CB =，点1A 在底面ABC 上的射影D 为棱AC 的中点，点A 在平面1A CB 内的射影为E()1证明：E 为1A C 的中点：()2求三棱锥11A B C C -的体积【答案】（1）详见解析（283 【解析】【分析】（1）先证平面1A BC⊥平面11ACC A，说明AE⊆平面11ACC A且1AE A C⊥，根据菱形的性质即可说明E为1A C的中点．（2）根据1111A B C C A B BC B ABCV V V---==，即求出1B ABCV-即可．【详解】（1）证明：因为BC⊥面11ACC A，BC⊆平面1A BC，所以平面1A BC⊥平面11ACC A；交线为1A C过A作1AE A C⊥，则AE⊥平面1A CB，又11ACC A是菱形，1AA AC=，所以E为1A C的中点（2）由题意1A D⊥平面1,23ABC A D=111111832423323A B C C A B BC B ABCV V V---===••••=【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，利用等体积转换法求三棱锥的体积，属于基础题．19. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线34x-=相切．()1求圆O的方程；()2若圆O上有两点,M N关于直线20x y+=对称，且23MN=MN的方程；【答案】（1）224x y+=（2）250x y-+=或250x y--=【解析】【分析】（1）直接利用点到直线的距离公式求出半径，即可得出答案．（2）设出直线MN，求出圆心到直线MN的距离，利用半弦长直角三角形解出即可．【详解】解（1）00422r--==，所以圆的方程为224x y+=（2）由题意，可设直线MN 的方程为20x y m -+=则圆心到直线MN的距离d =则)2245m +=，即m =所以直线MN的方程为20x y -+=或20x y --=【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．20. 在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.【答案】（Ⅰ）5-（Ⅱ）5- 【解析】 试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及sin sin a b A B=，得2a b =.由)222ac a b c =--，及余弦定理，得2225cos 25b c a A bc ac +-===-. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin 5A =sin 4sin a A b B =，得sin sin 45a A Bb ==. 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以cos B ==.于是4sin22sin cos 5B B B ==， 23cos212sin 5B B =-=，故 ()43sin 2sin2cos cos2sin 55B A B A B A ⎛-=-=⨯-= ⎝⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.21. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）θ最小值为60°【解析】【分析】（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再结合面面垂直的判定，证得DE⊥平面ABCD，即可证得AD⊥平面BFED；（2）以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB与平面ADE法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。