热学(李椿 章立源 钱尚武)习题解答_第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律

第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律

3-1 设有一群粒子按速率分布如下：

试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2

V （3）最可几速率Vp

解：（1）平均速率：

18.32

864200

.5200.4800.3600.2400.12≅++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=

V (m/s)

(2) 方均根速率

37.32

2

≅∑∑=

i

i i N V N V

(m/s)

3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。

解：s m RT

V P /3951032300

31.8223

=⨯⨯⨯=

=

-μ

s m RT

V /446103214.3300

31.8883

=⨯⨯⨯⨯=

=

-πμ

s m RT

V

/4831032300

31.8333

2

=⨯⨯⨯=

=

-μ

3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。

解：μ

RT

V P 2=

代入数据则分别为：

T=100K 时 s m V P /1028.22⨯= T=1000K 时 s m V P /1021.72⨯= T=10000K 时 s m V P /1028.23⨯=

3-4 某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2时的平均速率，求T 2/T 1。

解：因μ

RT

V

32

=

πμ

2

8RT V =

由题意得：

μRT

3πμ

2

8RT =

∴T 2/T 1=8

3π

3-5 求0℃时1.0cm 3氮气中速率在500m/s 到501m/s 之间的分子数（在计算中可

将dv 近似地取为△v=1m/s ）

解：设1.0cm 3氮气中分子数为N ，速率在500~501m/s 之间内的分子数为△N ，

由麦氏速率分布律：

△ N=V V e KT

m N V KT

m

∆⋅⋅⋅-2223

2)2(4ππ

∵ V p2= 2KT

m ，代入上式

△N=

V

V V p

p

e V V V

N

∆-

-⋅⋅22

221

4ρπ

因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s ， 又s m V P /40210

28273

31.823

≅⨯⨯⨯=

- △V=1m/s （v

v p =1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N 个

3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数△N 1

与速率在1500m/s 到1510m/s 之间的分子数△N 2之比。 解： 取分子速率为V 1=3000m/s V 2=1500m/s, △V 1=△V 2=10m/s

由5题计算过程可得： △V 1=

1

2

12214V V V p p

p

e V V V

N

∆-

-⋅⋅π

△N 2=

2

22

222

14V V V p

p

p

e V V V

N

∆-

-⋅⋅π

∴ △N/△N 2=

2

12

1

)(2

1)(21)()(p

p

p V V V V p e V V e V V --⋅

其中V P =

33

1018.210

2573

31.82⨯=⨯⨯⨯-m/s v 1v p =1.375，v 2

v p

=0.687

∴ 969.0687.0375.12

2

687.02375

.1221≅⨯⨯=∆∆--e

e N N 解法2：若考虑△V 1=△V 2=10m/s 比较大，可不用近似法，用积分法求△N 1，

△N 2

dN=

dV

V V V p P

e

V N

22

34--⋅π

△N 1=⎰⎰⎰-=1

2

21

V V V V dN dN dN

△N 2=⎰⎰⎰-=3

443

V V V V dN dN dN

令X i =v i

v p

i=1、2、3、4利用16题结果:

2

2

)([0

i i

x i i V e x x erf N dN --

=⎰

π

∴ △N 1=]2

)([]2

)([2

12

2112x x i e x x erf N e x x erf N ---

--

π

π

（1）

△N 2=]2

)([]2

)([2

32

43344x x e x x erf N e x x erf N ---

--

π

π

（２）