离散数学第八章

离 散 数 学
8.4 平面图
8.4.1 平面图的基本概念
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
定义8.7 设G是一个连通的平面图(指G的某个平面嵌入), G的边将G所在的平面划分成若干个区域, 每个区域称 为G的一个面. 其中面积无限的区域称为无限面或外部 面, 常记成R0. 包围每个面的所有边所构成的回路称 为该面的边界, 边界的长度称为该面的次数, R的次数 记为deg(R). ★对于非连通的平面图G有k(k≥2)个连通分支,则G的无 限面R0的边界由k个回路围成.
1 3 5
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
2
4
6
8.1 二部图
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匹
配
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
定义8.2 设G=<V,E>为无向图, E*E, 若E*中任意两 条边均不相邻, 则称E*为G中的匹配(或边独立集). ① 若在E*中再加入任何1条边就都不是匹配了,则称E* 为极大匹配. ② 边数最多的极大匹配称为最大匹配, 最大匹配中的 元素(边)的个数称为G的匹配数, 记为1(G),简记为1. 注意: 今后常用M表示匹配. 设M为G中一个匹配. vV(G), 若存在M中的边与v关联, 则称v为M的饱和点, 否则称v为M非饱和点, 若G中每个顶点都是M饱和点, 则称M为G中完美匹配.
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8.4 平面图
8.4.1 平面图的基本概念
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
定义8.6 一个图G若能以这样的方式画在平面上；除顶点 处外无边交叉出现, 则称G为平面图. 画出的无边交叉出 现的图称为G的一个平面嵌入.无平面嵌入的的图称为非 平面图.
图中,(2)是(1)(K4)的平面嵌入, 所以(1)是平面图.(2) 是平面图.(3),(5)都不是平面图, 即K5和K3,3都不是平 面图. (4),(6)分别是(3),(5)交叉最少的画法.
点, 于是若G满足t条件, 则G一定满足相异性条件,
但反之不真.
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例8.1 某中学有3个课外小组: 物理组、化学组、生物组.
今有张、王、李、赵、陈5名同学.若已知: (1) 张、王为物理组成员, 张、李、赵为化学组成员, 李、 赵、陈为生物组成员;
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
(2) 张为物理组成员, 王、李、赵为化学组成员, 王、李、 赵、陈为生物组成员; (3) 张为物理组和化学组成员, 王、李、赵、陈为生物组
8.1 8.2 8.3 8.4
二部图 欧拉图 哈密尔顿图 平面图
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8.1 二部图(P286-287)
定义8.1 若能将无向图G=<V,E>的顶点集V划分成两个子集 V1和V2(V1∩V2=),使得G中任何一条边的两个端点一个 属于V1,另一个属于V2,则称G为二部图(也称为偶图). V1,V2称为互补顶点子集,此时可将G记成G=<V1,V2,E>. 若V1中任一顶点与V2中每个顶点有且仅有一条边相关联, 则称二部图G为完全二部图(或完全偶图). 若V1 =n, V2=m, 则记完全二部图G为Kn,m.
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8.1 二部图
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Hall定理
Hall定理中的条件称为“相异性条件”, 定理8.3中
的条件称为“t条件”, 满足t条件的二部图, 一定满
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足相异性条件.
事实上, 由条件(1)可知, V1中k个顶点至少关联kt条
边. 由条件(2)可知, 这kt条边至少关联V2中的k个顶
V2={v1,v2,v3,v4,v5}的完备匹配, 图中粗边所示的匹配就是 其中的一个, 即选张为物理组组长, 李为化学组组长, 赵 为生物组组长.
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G2不满足t条件, 但满足相异性条件, 因而也存在完备
匹配, 图中粗边所示匹配就是其中的一个完备匹配.
G3不满足t条件, 也不满足相异性条件, 因而不存在完
8.2 欧拉图(即一笔画问题)
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例.
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图中(1)(2)(3) 不是欧拉图, (4) 是欧拉图.
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8.2 欧拉图(即一笔画问题)
例.
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
图1是欧拉图; 图2不是欧拉图, 但存在欧拉通路; 图3既不是欧拉图, 也不存在欧拉通路.
成员.
问在以上3种情况下能否各选出3名不兼职的组长？
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解: 设v1,v2,v3,v4,v5分别表示张,王,李,赵,陈; u1,u2,u3分别
表示物理组,化学组,生物组; 在3种情况下作二部图分别
记为G1,G2,G3, 如下图所示.
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G1满足t=2的t条件, 所以, 存在从V1={u1,u2,u3}到
8.1 二部图
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完备匹配
定义8.3 设G=<V1,V2,E>为一个二部图, M为G中一个最大匹 配, 若M=min{V1,V2}, 则称M 为G中的一个完备匹配, 此 时若V1 ≤V2, 则称M为V1到V2的一个完备匹配. 如果V1= V2, 这时M为G中的完美匹配.
V1)|V1|, 但它仍然不是哈密尔顿图. 说明：该条件不能作为判断哈密尔顿图的充分条件.
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8.3 哈密尔顿图
定理8.7(充分条件) 设G＝<V,E>是n(n≥3)阶无向简单图. 如果G中任意两个不相邻的结点u,vV. 均有： d(u)+d(v)n-1， 则G中存在哈密尔顿通路. 推论 设G＝<V,E>是n(n≥3)阶无向简单图, 如果对任意两 个不相邻的结点u,vV, 均有: d(u)+d(v)n 则G中存在哈密尔顿回路, 即G是哈密尔顿图.
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(1)既无欧拉回路, 也无欧拉通路. (2)中存在欧拉通路, 但无欧拉回路, 即为半欧拉图. (3)中存在欧拉回路, 即为欧拉图.
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8.3 哈密尔顿图
1895年爱尔兰数学家威廉.哈 密尔顿首先提出了在正十二面 体上的一个数学游戏, 即能否在
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
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8.3 哈密尔顿图
a d
a
f
g
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
(1)
图(1) 删除节点a.
b
e
c (2)
图(2)删除V1={a,b,c,d,e,f,g}
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8.3 哈密尔顿图
例:
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
在 图 中 , 虽 然 对 任 意 的 结 点 集 合 V1, 都 满 足 p(G-
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8.2 欧拉图(即一笔画问题)
有向图的欧拉回路判定定理
定理8.5 一个有向图D是欧拉图,当且仅当D是强连通的,且所 有顶点的入度等于出度.一个有向图D是半欧拉图,当且仅当 D是单向连通的,且恰有两个奇度顶点,其中一个入度比出度 大1,另一个入度比出度小1.而其余Hale Waihona Puke Baidu点的入度均等于出度.
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第 八 章 一 些 特 殊 的 图
在图 (1)中的匹配有： {e1},{e1,e7},{e5},{e4,e6}. 其中， {e5},{e1,e7},{e4,e6}是极大匹配, {e1,e7},{e2,e6}是最 大匹配, 匹配数1=2. 图中不存在完美匹配. 在图(2)中匹配有：{e2,e5},{e3,e6},{e1,e7,e4} 所有匹配是极大匹配, {e1,e7,e4}是最大匹配, 同 时也是完美匹配, 匹配数为3.
如图所示的图上找到一条初级 回路, 使它经过每个城市恰好一
次, 这个问题就是“周游世界问
题”. 这样的通路(回路)就是哈 密尔顿通路(回路).
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8.3 哈密尔顿图
定义8.5 经过图中每个顶点一次且仅一次的通路(回路) 称为哈密尔顿通路(回路). 存在哈密尔顿回路的图称为 哈密尔顿图. 只存在哈密尔顿通路的图称为半哈密尔 顿图.
8.2 欧拉图(即一笔画问题)
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无向图的欧拉图及其判断
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
定义8.4 经过图中每条边一次且仅一次并且行遍图中每个 顶点的通路(回路), 称为欧拉通路或欧拉迹(欧拉回路或 欧拉闭迹). 存在欧拉回路的图, 称为欧拉图.只存在欧 拉通路的图, 称为半欧拉图. 定理8.4 无向图G为欧拉图当且仅当G是连通的, 且G中无奇 度顶点. 无向图G为半欧拉图,当且仅当G是连通的且G中 有两个奇度顶点. 注: 若无奇度顶点, 则通路为回路; 若有两个奇度顶点, 则它们是欧拉通路的端点.
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8.3 哈密尔顿图
例 : 在右图中 , 任意两个结点的度数之 和为 4, 结点数为 6, 即有 4 6, 但它仍然 是哈密尔顿图. 说明: 该条件是不完备的.
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
§关于有向图的哈密尔顿回路与通路 定理8.8 在n(n≥2)阶有向图D=<V,E>中, 如果所有有 向边均用无向边代替, 所得无向图中含生成子图Kn, 则有向图D中存在哈密尔顿通路. 推论 n(n≥3)阶有向完全图为哈密尔顿图. 注: 到目前为止, 只能根据定义判断一个图是否为哈 密尔顿图, 只有在特殊情况下才有判断方法.
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
存在完备
匹配吗?
存在完美
匹配吗?
8.1 二部图 离
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Hall定理
定理8.2 设二部图G=<V1,V2,E>, V1≤V2, G中存在从V1 到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k个顶点(k=1,2,… V1)至少邻接V2中的k个顶点. 定理8.3 设二部图G=<V1,V2,E>, 如果 (1) V1中每个顶点至少关联t(t＞0)条边; (2) V2中每个顶点至多关联t条边, 则G中存在V1到V2的完备匹配.
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第 八 章 一 些 特 殊 的 图
图(1)所示为连通的平面图, 共有3个面R0,R1,R2. R1的边界为回路v1v3v4v1,deg(R1)=3. R2的边界为回路v1v2v3v1,deg(R2)=3. R0的边界为复杂回路v1v4v5v6v5v4v3v2v1, deg(R0)=8.
备匹配, 故选不出3名不兼职的组长来.
8.2 欧拉图(即一笔画问题)
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§哥尼斯堡七桥问题
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格 尔河上有7座桥, 将河中的两个岛和河岸连结, 如图所示. 城中的居民经常沿河过桥散步, 于是提出了一个问题: 能否一次走遍7座桥, 而每座桥只许通过一次, 最后仍回 到起始地点. 这就是七桥问题, 一个著名的图论问题. 大 数学家欧拉那里证明了这样的走法不存在.
在下图中, (1)所示为K2,3,
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
(2)所示为K3,3. K3,3是重 要的完全二部图, 它与K5一 起在平面图中起着重要作用.
8.1 二部图
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二部图的判断定理
定理8.1 一个无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇 数长度的回路. 如图8.2 均无奇数长度的回路, 都是二部图. 其中图(2)所示为K2,3,图(3)所示为K3,3.
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8.3 哈密尔顿图
证明: 设C为G中的一条哈密尔顿回路. (1) 若V1中的顶点在C上彼此相邻, 则 p(C-V1)=1≤ V1 (2) 设V1中的顶点在C上存在r(2≤r≤ V1)个互不相邻, 则 p(C-V1)= r≤V1 一般说来,V1中的顶点在C上既有相邻的, 又有不相邻的, 因 而总有 p(C-V1)≤ V1. 又因为C是G的生成子图, 故 p(G-V1)≤ p(C-V1)≤ V1.
第 八 章 一 些 特 殊 的 图
例: 图中(1)是半哈密尔顿图, (2) 为哈密尔顿图, (3)既 不是半哈密尔顿图也不是哈密尔顿图.
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8.3 哈密尔顿图
哈密尔顿图的判定
定理8.6 (必要条件) 若无向图G=<V,E>是哈密尔顿图, 则
对V的任意的非空真子集V1, 都有p(G-V1)≤V1. 其中, p(G-V1)为从G中删除V1(删除V1中各顶点及关联的 边)后所得图的连通分支数. 推论 若无向图G=<V,E>是半哈密尔顿图, 则对V的任意的 非空真子集V1, 都有p(G-V1)≤V1+1. 注: 利用该定理可以判断某些图不是哈密尔顿图.