偏微分方程 PDE-Ch1
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《偏微分方程》第一章 绪论
第 3页
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔· 贝努利也研 究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问 题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的 影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了 这门学科的内容。 偏 微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学 物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问 题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶， 他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的 研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三 维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏 微分方程的发展的影响是很大的。
一件不容易的事情, 甚至是不可能的.
8
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《偏微分方程》第一章 绪论
1.1.3. 偏微分方程的阶
第 9页
在偏微分方程的研究中, “阶”是一个非常基本的概念. 所谓 偏微分方程的阶, 就是方程中实际所含未知函数的偏导数中的最 高阶数。 前面例子：
一阶偏微分方程 一阶偏微分方程 二阶偏微分方程 二阶偏微分方程 二阶偏微分方程 三阶偏微分方程
2u 2 xn
12
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机动
《偏微分方程》第一章 绪论 第13页
由线性算子的定义，我们可得关于线性方程的如下 叠加原理. 定理. (1)若 u1 , u2 , 也是它的解。 (2)若 u1 , u2 , 也是它的解。 (3)若 u i 是线性非齐次方程 Lu fi 的解(i=1,2, …, m)，则 是Lu f i 的解。
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《偏微分方程》第一章 绪论 第11页
一般的线性齐次偏微分方程可写为 Lu 0 一般的线性非齐次偏微分方程可写为 Lu f ( x1, x2 , , xn ) 其中L是u的某一线性偏微分算子。例如
(Laplace算子)
等等. 所谓线性算子, 是指对任意的函数u, v及常数c, 总有
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《偏微分方程》第一章 绪论 第10页
1.1.4. 线性偏微分方程 如果方程中关于未知函数及其各阶偏导数都是线性的, 则称 它为线性偏微分方程。 例子：
一阶线性偏微分方程 二阶线性偏微分方程
在线性偏微分方程中, 不含有u及它的偏导数的项称为自由项; 当自由项为零时, 称方程为线性齐次方程。 当自由项不为零时, 称方程为线性非齐次方程。
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《偏微分方程》第一章 绪论 第21页
ut a2 (uxx uyy uzz ) f (x, y, z, t )
当f≥0时表示热源, 当f≤0表示热汇。 如果物体内无热源或热汇, 则温度函数u (x, y, z, t )所满足的 方程是
ut a2 (uxx uyy uzz ) 0
4
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《偏微分方程》第一章 绪论
1.1 基本概念 1.1.1 什么是偏微分方程
第 5页
定义. 把含有未知函数(多元函数)及其偏导数的函数方程，称 为偏微分方程。 设
Leabharlann Baidu
x ( x1 , x2 ,, xn )
u( x) u( x1, x2 ,, xn )
实自变量 未知函数
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《偏微分方程》第一章 绪论 第23页
uxx uyy uzz 0
它被称为三维Laplace方程。
2 2 2 利用Laplace算子 2 2 2 ，三维Laplace方程写成 x y z
u 0
对于函数 u u( x1 , x2 ,
一阶完全非线性偏微分方程
一般地, 我们又把拟线性偏微分方程及完全非线性偏微分方 程, 统称为非线性偏微分方程.
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《偏微分方程》第一章 绪论 第17页
几个经典方程
例1.1.1 弦振动方程 弹性弦的振动问题,是一个很有意义而且十分重要的古典问题。 问题: 给定一根两端固定的拉紧的具有弹性的、均匀的、非常柔软 的细线, 其长为l, 在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动, 求弦上各点的运动规律.
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《偏微分方程》第一章 绪论 第12页
注：Lu可视为线性算子L作用在函数u上。例如
2 2 2 2 2 Lu ( 2 a 2 2 2 )u t xn x1 x2 2 2 2 2u u u u 2 2 a 2 2 2 t xn x1 x2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 xn 2 2 2 2u 2u u ( 2 2 2 )u 2 2 x1 x2 xn x1 x2
(*)
在适当情况下, 方程中描述空间坐标的自变量数目可以减少. 例如当物体是各向同性的均匀细杆时, 如果它的侧面不产生热交 换(即绝热), 且在同一截面上温度的分布是相同的, 则温度函数u 仅与坐标x及时间t有关, 这时得到的就是一维热传导方程
ut a2uxx 0
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《偏微分方程》第一章 绪论 第15页
1.1.5. 非线性偏微分方程 我们把不是线性偏微分方程的偏微分方程统称为非线性偏 微分方程。在非线性偏微分方程中， 如果关于未知函数的所有 最高阶偏导数都是线性的, 则称它为拟线性偏微分方程。
二阶拟线性偏微分方程 二阶拟线性偏微分方程 三阶拟线性偏微分方程
第 7页
如果给定一个函数 u ( x) , 将它及它对自变量的各阶偏导 数代入方程(1.1.1), 能使(1.1.1)成为恒等式, 则称函数是偏微分方 程(1.1.1)的解。
我们知道, 一个常微分方程如果有解, 就必有无穷多个解,
其表现形式是依赖于一个或几个任意常数的通解. 于是自然会 想到偏微分方程的通解也会含有任意元素.
《偏微分方程》第一章 绪论 第19页
类似地可导出二维波动方程和三维波动方程, 它们 的形式分别为
utt a2 (uxx uyy ) f ( x, y, t ) utt a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t )
二维波动方程可视为薄膜的振动所满足的运动规律, 即在平 面上放置一个框架, 对于固定在该框架上作微小横振动的薄膜上 各点的运动规律. 三维波动方程表示的是声波、电磁波的传播所 满足的规律. 类似地，我们可考虑函数 u u( x1 , x2 ,
2 2 Laplace算子 2 2 x1 x2
, xn , t ) 的n维Laplace方程，利用
2 2 写成 xn
u ux1x1 ux2 x2
Du (ux1 , ux2 ,
, uxn )
则偏微分方程的一般形式为
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《偏微分方程》第一章 绪论
第 6页
其中是F自变量x，未知函数u及u的有限多个偏导数的已知函数. 例如关系式
等都是偏微分方程.
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《偏微分方程》第一章 绪论
1.1.2. 偏微分方程的解
无外力作用 外力作用下
其中f(x, t)表示单位质量在点x处时刻t所受的外力。 最后, 我们指出, 在上述弦振动方程中只含有两个自变量x和t, 一个自变量x表示位置, 另一个自变量t表示时间. 由于它描述的 是弦的振动或波动现象, 而且又只含有一个空间变量x, 因而它又 称为一维波动方程.
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i 1 m
, um 是线性齐次方程 Lu 0 的解，则
, um 是线性非齐次方程 Lu f 的解，则
(c1 c2 cm 1)
u u1 u2
um
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《偏微分方程》第一章 绪论 第14页
由于积分运算也是一个线性运算，故叠加原理还 有下面的表现形式。 (4) 若 Lu f ( x, y) ，其中 x ( x1 , x2 ,, xn ) 是自变量，而
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《偏微分方程》第一章 绪论
教材及参考资料
第 4页
教 材：偏微分方程(第三版) ，陈祖墀，高教出版社。 参考书目： 1. 数学物理方程(第二版),谷超豪、李大潜等,高教出版社。 2. 现代偏微分方程导论, 陈恕行, 科学出版社。 3.偏微分方程讲义(俄罗斯数学教材选译)，高教出版社。
y ( y1, y2 , , ym ) 是参数，则
Ludy f ( x, y )dy
u u ( x; y )
L udy f ( x, y )dy
LU f ( x, y )dy
U udy u ( x; y )dy
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在拟线性偏微分方程中, 由最高阶偏导数所组成的那一部 分, 称为方程的主部; 若主部内的系数都是常数或是自变量的 已知函数, 这时方程被称为是半线性的。
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《偏微分方程》第一章 绪论 第16页
对于既不是线性也不是拟线性的偏微分方程, 就称它为完全 非线性偏微分方程.
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《偏微分方程》第一章 绪论
通解为
第 8页
例. 后面我们可以求出偏微分方程 uxx u yy 0 的
u ( x y) ( x y)
其中 , 是任意二阶可微函数。 Q. E. F.
令人感到十分遗憾的是，在偏微分方程中, 除了少数几个特 别简单的例子以外, 求通解是很困难的. 而且即使求得了通解, 要 想利用所给的伴随条件将其表达式中的任意元素确定出来, 也是
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《偏微分方程》第一章 绪论 第18页
我们可利用动量定理来建立数学模型, 导出弦振动 方程(略) (可参见任何一本数学物理方程教材，例如，姜礼尚，陈 亚浙，数学物理方程讲义，高等教育出版社)。
2 2u u 2 a 0 2 2 t x
2 2u u 2 a f ( x, t ) 2 2 t x
, xn , t )的n维波动方程
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《偏微分方程》第一章 绪论 第20页
例1.1.2 热传导方程 在三维空间中, 考察一均匀、各向同性的物体G, 假定其内部 有热源, 并且与周围介质有热交换, 求物体内部温度的分布和变化 规律。 问题: 设函数u (x, y, z, t )为物体G在点(x, y, z)处时刻t的温度, 求u所 满足的方程。 我们可利用能量守恒定律和富里叶(Fourier)热传导定律来建 立数学模型, 导出热传导方程 (略) 。
《偏微分方程》第一章 绪论 第22页
写成教材上的形式就是
ut a2u
(1.1.3)
如果考虑的是一个薄片的热传导, 当它的侧面绝 热时, 便得到二维的热传导方程
ut a2 (uxx uyy ) 0
例1.1.3 拉普拉斯(Laplace)方程 在前面所研究的温度分布问题中, 如果经过相当长的时间以后, 物体内各点的温度随时间的推移而发生的变化已不显著, 这时我 们就说温度分布趋于定常, 数学上可近似地用ut=0表示。这样一 来，热传导方程(*)就变成
《偏微分方程》第一章 绪论
第 1页
偏微分方程课件
主讲：
1
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《偏微分方程》第一章 绪论
第 2页
绪 论
偏微分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉的著作 中最早提出了弦振动的二阶方程, 随后不久, 法国数学 家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊 的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。 1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成 的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不 同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开 创了偏微分方程这门学科。
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《偏微分方程》第一章 绪论
第 3页
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔· 贝努利也研 究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问 题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的 影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了 这门学科的内容。 偏 微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学 物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问 题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶， 他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的 研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三 维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏 微分方程的发展的影响是很大的。
一件不容易的事情, 甚至是不可能的.
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《偏微分方程》第一章 绪论
1.1.3. 偏微分方程的阶
第 9页
在偏微分方程的研究中, “阶”是一个非常基本的概念. 所谓 偏微分方程的阶, 就是方程中实际所含未知函数的偏导数中的最 高阶数。 前面例子：
一阶偏微分方程 一阶偏微分方程 二阶偏微分方程 二阶偏微分方程 二阶偏微分方程 三阶偏微分方程
2u 2 xn
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机动
《偏微分方程》第一章 绪论 第13页
由线性算子的定义，我们可得关于线性方程的如下 叠加原理. 定理. (1)若 u1 , u2 , 也是它的解。 (2)若 u1 , u2 , 也是它的解。 (3)若 u i 是线性非齐次方程 Lu fi 的解(i=1,2, …, m)，则 是Lu f i 的解。
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《偏微分方程》第一章 绪论 第11页
一般的线性齐次偏微分方程可写为 Lu 0 一般的线性非齐次偏微分方程可写为 Lu f ( x1, x2 , , xn ) 其中L是u的某一线性偏微分算子。例如
(Laplace算子)
等等. 所谓线性算子, 是指对任意的函数u, v及常数c, 总有
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《偏微分方程》第一章 绪论 第10页
1.1.4. 线性偏微分方程 如果方程中关于未知函数及其各阶偏导数都是线性的, 则称 它为线性偏微分方程。 例子：
一阶线性偏微分方程 二阶线性偏微分方程
在线性偏微分方程中, 不含有u及它的偏导数的项称为自由项; 当自由项为零时, 称方程为线性齐次方程。 当自由项不为零时, 称方程为线性非齐次方程。
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《偏微分方程》第一章 绪论 第21页
ut a2 (uxx uyy uzz ) f (x, y, z, t )
当f≥0时表示热源, 当f≤0表示热汇。 如果物体内无热源或热汇, 则温度函数u (x, y, z, t )所满足的 方程是
ut a2 (uxx uyy uzz ) 0
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《偏微分方程》第一章 绪论
1.1 基本概念 1.1.1 什么是偏微分方程
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定义. 把含有未知函数(多元函数)及其偏导数的函数方程，称 为偏微分方程。 设
Leabharlann Baidu
x ( x1 , x2 ,, xn )
u( x) u( x1, x2 ,, xn )
实自变量 未知函数
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《偏微分方程》第一章 绪论 第23页
uxx uyy uzz 0
它被称为三维Laplace方程。
2 2 2 利用Laplace算子 2 2 2 ，三维Laplace方程写成 x y z
u 0
对于函数 u u( x1 , x2 ,
一阶完全非线性偏微分方程
一般地, 我们又把拟线性偏微分方程及完全非线性偏微分方 程, 统称为非线性偏微分方程.
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《偏微分方程》第一章 绪论 第17页
几个经典方程
例1.1.1 弦振动方程 弹性弦的振动问题,是一个很有意义而且十分重要的古典问题。 问题: 给定一根两端固定的拉紧的具有弹性的、均匀的、非常柔软 的细线, 其长为l, 在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动, 求弦上各点的运动规律.
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《偏微分方程》第一章 绪论 第12页
注：Lu可视为线性算子L作用在函数u上。例如
2 2 2 2 2 Lu ( 2 a 2 2 2 )u t xn x1 x2 2 2 2 2u u u u 2 2 a 2 2 2 t xn x1 x2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 xn 2 2 2 2u 2u u ( 2 2 2 )u 2 2 x1 x2 xn x1 x2
(*)
在适当情况下, 方程中描述空间坐标的自变量数目可以减少. 例如当物体是各向同性的均匀细杆时, 如果它的侧面不产生热交 换(即绝热), 且在同一截面上温度的分布是相同的, 则温度函数u 仅与坐标x及时间t有关, 这时得到的就是一维热传导方程
ut a2uxx 0
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《偏微分方程》第一章 绪论 第15页
1.1.5. 非线性偏微分方程 我们把不是线性偏微分方程的偏微分方程统称为非线性偏 微分方程。在非线性偏微分方程中， 如果关于未知函数的所有 最高阶偏导数都是线性的, 则称它为拟线性偏微分方程。
二阶拟线性偏微分方程 二阶拟线性偏微分方程 三阶拟线性偏微分方程
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如果给定一个函数 u ( x) , 将它及它对自变量的各阶偏导 数代入方程(1.1.1), 能使(1.1.1)成为恒等式, 则称函数是偏微分方 程(1.1.1)的解。
我们知道, 一个常微分方程如果有解, 就必有无穷多个解,
其表现形式是依赖于一个或几个任意常数的通解. 于是自然会 想到偏微分方程的通解也会含有任意元素.
《偏微分方程》第一章 绪论 第19页
类似地可导出二维波动方程和三维波动方程, 它们 的形式分别为
utt a2 (uxx uyy ) f ( x, y, t ) utt a2 (uxx uyy uzz ) f ( x, y, z, t )
二维波动方程可视为薄膜的振动所满足的运动规律, 即在平 面上放置一个框架, 对于固定在该框架上作微小横振动的薄膜上 各点的运动规律. 三维波动方程表示的是声波、电磁波的传播所 满足的规律. 类似地，我们可考虑函数 u u( x1 , x2 ,
2 2 Laplace算子 2 2 x1 x2
, xn , t ) 的n维Laplace方程，利用
2 2 写成 xn
u ux1x1 ux2 x2
Du (ux1 , ux2 ,
, uxn )
则偏微分方程的一般形式为
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其中是F自变量x，未知函数u及u的有限多个偏导数的已知函数. 例如关系式
等都是偏微分方程.
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1.1.2. 偏微分方程的解
无外力作用 外力作用下
其中f(x, t)表示单位质量在点x处时刻t所受的外力。 最后, 我们指出, 在上述弦振动方程中只含有两个自变量x和t, 一个自变量x表示位置, 另一个自变量t表示时间. 由于它描述的 是弦的振动或波动现象, 而且又只含有一个空间变量x, 因而它又 称为一维波动方程.
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, um 是线性齐次方程 Lu 0 的解，则
, um 是线性非齐次方程 Lu f 的解，则
(c1 c2 cm 1)
u u1 u2
um
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《偏微分方程》第一章 绪论 第14页
由于积分运算也是一个线性运算，故叠加原理还 有下面的表现形式。 (4) 若 Lu f ( x, y) ，其中 x ( x1 , x2 ,, xn ) 是自变量，而
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《偏微分方程》第一章 绪论
教材及参考资料
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教 材：偏微分方程(第三版) ，陈祖墀，高教出版社。 参考书目： 1. 数学物理方程(第二版),谷超豪、李大潜等,高教出版社。 2. 现代偏微分方程导论, 陈恕行, 科学出版社。 3.偏微分方程讲义(俄罗斯数学教材选译)，高教出版社。
y ( y1, y2 , , ym ) 是参数，则
Ludy f ( x, y )dy
u u ( x; y )
L udy f ( x, y )dy
LU f ( x, y )dy
U udy u ( x; y )dy
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在拟线性偏微分方程中, 由最高阶偏导数所组成的那一部 分, 称为方程的主部; 若主部内的系数都是常数或是自变量的 已知函数, 这时方程被称为是半线性的。
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对于既不是线性也不是拟线性的偏微分方程, 就称它为完全 非线性偏微分方程.
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通解为
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例. 后面我们可以求出偏微分方程 uxx u yy 0 的
u ( x y) ( x y)
其中 , 是任意二阶可微函数。 Q. E. F.
令人感到十分遗憾的是，在偏微分方程中, 除了少数几个特 别简单的例子以外, 求通解是很困难的. 而且即使求得了通解, 要 想利用所给的伴随条件将其表达式中的任意元素确定出来, 也是
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《偏微分方程》第一章 绪论 第18页
我们可利用动量定理来建立数学模型, 导出弦振动 方程(略) (可参见任何一本数学物理方程教材，例如，姜礼尚，陈 亚浙，数学物理方程讲义，高等教育出版社)。
2 2u u 2 a 0 2 2 t x
2 2u u 2 a f ( x, t ) 2 2 t x
, xn , t )的n维波动方程
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《偏微分方程》第一章 绪论 第20页
例1.1.2 热传导方程 在三维空间中, 考察一均匀、各向同性的物体G, 假定其内部 有热源, 并且与周围介质有热交换, 求物体内部温度的分布和变化 规律。 问题: 设函数u (x, y, z, t )为物体G在点(x, y, z)处时刻t的温度, 求u所 满足的方程。 我们可利用能量守恒定律和富里叶(Fourier)热传导定律来建 立数学模型, 导出热传导方程 (略) 。
《偏微分方程》第一章 绪论 第22页
写成教材上的形式就是
ut a2u
(1.1.3)
如果考虑的是一个薄片的热传导, 当它的侧面绝 热时, 便得到二维的热传导方程
ut a2 (uxx uyy ) 0
例1.1.3 拉普拉斯(Laplace)方程 在前面所研究的温度分布问题中, 如果经过相当长的时间以后, 物体内各点的温度随时间的推移而发生的变化已不显著, 这时我 们就说温度分布趋于定常, 数学上可近似地用ut=0表示。这样一 来，热传导方程(*)就变成
《偏微分方程》第一章 绪论
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偏微分方程课件
主讲：
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绪 论
偏微分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉的著作 中最早提出了弦振动的二阶方程, 随后不久, 法国数学 家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊 的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。 1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成 的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不 同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开 创了偏微分方程这门学科。