2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
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2019版数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数方程是
=
=
1
2π
1
2π
(-sin),
(为参数),其中 k∈N*.
(1-cos)
-14-
第十四页，编辑于星期日：点 四十七分。
答案:C
第四页，编辑于星期日：点 四十七分。
-4-
四
渐开线与摆线
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
3.圆的渐开线和摆线的参数方程
= (cos + sin),
(1)圆的渐开线的参数方程:
(为参数).
= (sin-cos)
D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,那么画出的
渐开线的形状就不同
解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线
和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个
圆不论在什么位置建立平面直角坐标系,画出图形的大小和形状都
是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.
-3-
四
渐开线与摆线
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Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
【做一做1】 关于渐开线和摆线的叙述,正确的是(
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
)
A.只有圆才有渐开线
B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到
了不同的图形
C.正方形也可以有渐开线
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数方程是
=
=
1
2π
1
2π
(-sin),
(为参数),其中 k∈N*.
(1-cos)
-14-
第十四页，编辑于星期日：点 四十七分。
答案:C
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四
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3.圆的渐开线和摆线的参数方程
= (cos + sin),
(1)圆的渐开线的参数方程:
(为参数).
= (sin-cos)
D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,那么画出的
渐开线的形状就不同
解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线
和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个
圆不论在什么位置建立平面直角坐标系,画出图形的大小和形状都
是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.
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四
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【做一做1】 关于渐开线和摆线的叙述,正确的是(
HONGNANJUJIAO
D典例透析
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)
A.只有圆才有渐开线
B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到
了不同的图形
C.正方形也可以有渐开线
人A版数学选修4-4课件：第2讲 4 渐开线与摆线
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根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半 径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
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[再练一题]
x＝cos φ＋φsin φ， 3π π 1．当φ＝ 2 ， 2 时，求出渐开线 上的对应点A，B，并 y＝sin φ－φcos φ
【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确． 【答案】 B
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝
3＋ 6
3π
3 3－π 2 2 π －2 ＋ 6 －1
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即A、B两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r是指基圆的半 径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．
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[再练一题]
x＝cos φ＋φsin φ， 3π π 1．当φ＝ 2 ， 2 时，求出渐开线 上的对应点A，B，并 y＝sin φ－φcos φ
【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确． 【答案】 B
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[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝
3＋ 6
3π
3 3－π 2 2 π －2 ＋ 6 －1
1 ＝6 13－6 3π2－6π－36 3＋72. 即A、B两点之间的距离为 1 2 13 － 6 3 π －6π－36 3＋72. 6
《2.4渐开线与摆线》课件3-优质公开课-人教A版选修4-4精品
3������ x = 3 ������������������ 2 + 2 ������������������ 2 , ������ x= 2 , 得 即 所以当参数 φ 取 时,对应的 ������ ������ ������ 2 y = 3. y = 3 ������������������ 2 - 2 ������������������ 2 , ������ ������ ������
曲线上的点的坐标是
3������ ,3 2
.
圆的渐开线的参数方程中,字母 r 表示基圆的半径,字母 φ 是指 绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角;另外,渐开线的 参数方程不宜化为普通方程.
二、圆的摆线的参数方程 活动与探究 2 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径最大时该 摆线的参数方程. x = r(φ-������������������φ), 思路分析:根据圆的摆线的参数方程 (φ 为参数), y = r(1-������������������φ) 只需把点(2,0)代入参数方程求出 r 的表达式,根据表达式求出 r 的最 大值,再确定对应的摆线的参数方程即可.
1 ������ (φ 为参数). 1 = (1-������������������φ) ������
代入即可得圆的摆线的参数方程为
迁移与应用 2 x = 1 + 6������������������α, 已知圆 C 的参数方程是 (α 为参数)和直线 l 对应 y = -2 + 6������������������α 的普通方程是 x-y-6 2=0. (1)如果把圆心平移到原点 O,请问平移后圆和直线满足什么关 系? (2)写出平移后圆的摆线方程. (3)求摆线和 x 轴的交点.
曲线上的点的坐标是
3������ ,3 2
.
圆的渐开线的参数方程中,字母 r 表示基圆的半径,字母 φ 是指 绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角;另外,渐开线的 参数方程不宜化为普通方程.
二、圆的摆线的参数方程 活动与探究 2 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径最大时该 摆线的参数方程. x = r(φ-������������������φ), 思路分析:根据圆的摆线的参数方程 (φ 为参数), y = r(1-������������������φ) 只需把点(2,0)代入参数方程求出 r 的表达式,根据表达式求出 r 的最 大值,再确定对应的摆线的参数方程即可.
1 ������ (φ 为参数). 1 = (1-������������������φ) ������
代入即可得圆的摆线的参数方程为
迁移与应用 2 x = 1 + 6������������������α, 已知圆 C 的参数方程是 (α 为参数)和直线 l 对应 y = -2 + 6������������������α 的普通方程是 x-y-6 2=0. (1)如果把圆心平移到原点 O,请问平移后圆和直线满足什么关 系? (2)写出平移后圆的摆线方程. (3)求摆线和 x 轴的交点.
人教版选修A4-4数学课件：2.4 渐开线与摆线(共22张PPT)
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四 渐开线与摆线
探究一 探究二 思维辨析
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X 新知导学 D答疑解惑
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圆的渐开线、摆线的参数方程的理解
������ = 3cos������ + 3������sin������, 【例 1】 已知圆的渐开线的参数方程为 ������ = 3sin������-3������cos������ (φ 为参数). 根据参数方程可以看出该渐开线的基圆的半径是 ,当 π 参数 φ 取 时对应的曲线上的点的坐标是 .
四
渐开线与摆线
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四 渐开线与摆线
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学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解 圆的渐开线的参 渐开线与摆线 数方程,了解 摆线的生成 渐开线的概念及生成过程 过程及它的参数方程. 摆线的概念及生成过程 2.了解 用向量知识推导 圆的渐开线与摆线的参数方程 运动轨迹的方法和步骤.
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四 渐开线与摆线
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做一做1 半径为2的圆的渐开线的参数方程为( ������ = 2(������-sin������), A. (θ 为参数) ������ = 2(1-cos������) ������ = 2(1-sin������), B. (θ 为参数) ������ = 2(������-cos������) ������ = 2(cos������ + ������sin������), C. (θ 为参数) ������ = 2(sin������-������cos������) ������ = 2(cos������-������sin������), D. (θ 为参数) ������ = 2(sin������ + ������cos������) 答案：C
高中数学人教A版选修4-4课件：2-4渐开线与摆线
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圆的渐开线的参数方程及应用 【例1】 已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线 π π 上两点A,B对应的参数分别 是 和 , 求������, ������两点间的距离. 3 2 分析:先写出圆的渐开线的参数方程,再把点A,B对应的参数分别 代入参数方程可得A,B两点的坐标,然后使用两点之间的距离公式 可得点A,B之间的距离. 解:根据题意可知圆的半径是1, 所以其对应渐开线的参数方程是 ������ = cos������ + ������sin������, (������为参数). ������ = sin������-������cos������ π π 分别把 φ= 和 ������ = 代入,
3 2
可得 A,B 两点的坐标分别为 ������
3+ 3π 3 3-π 6
,
6
, ������
பைடு நூலகம்π 2
,1 .
根据两点之间的距离公式可得 A,B 两点间的距离为
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|AB|=
������ = 9(������-sin������), (������为参数). ������ = 9(1-cos������)
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D典例透析
高中数学新人教a版高二选修4-4精品课件：2.4_渐开线与摆线
x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
(φ 为参数)．
栏 目 链
接
根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是
__________，当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐 标是________．
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解．对
照一般情况下基圆半径为 r 的渐开线的参数方程
∴Aπ2－1，1.
栏 目 链
当 t2＝32π时，
接
x＝32π－sin32π＝32π＋1，
y＝1－cos32π＝1，
∴B32π＋1，1.
栏 目
故 A，B 两点间的距离为
链 接
|AB|＝ π＋2.
32π＋1－π2－12＋1－12＝ π＋22＝
变式 训练
2．已知一个圆的参数方程为xy＝＝33scions
半ห้องสมุดไป่ตู้为
8
的圆的渐开线参数方程为xy＝＝88scions
φ＋8φsin φ－8φcos
φ， φ
(φ 为参数)，摆线参数方程为______________．,
栏 目 链 接
答案：xy＝＝88－φ－8c8ossinφφ， (φ 为参数)
栏 目 链 接
题型1 圆的渐开线、摆线的参数方程理解
例 1 已知圆的渐开线的参数方程为：
栏
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数)可求 r 的值，然
目 链 接
后把 φ＝π2代入方程，即得对应的点的坐标．
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
x＝3cos φ＋φsin φ， y＝3sin φ－φcos φ，
栏 目 链
接
所以基圆半径 r＝3.
人教A版高中数学选修4-4课件 2.4摆线课件
第二讲参数方程 四渐开线与摆线
2.摆线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
人民教育出版社 高中 |选修4-4
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摆线的概念
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上 一个定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ．
摆线的参数方程：
x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
(φ 为参数)
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所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
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总结：
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动， 圆周上一个定点的轨迹．
(2)在圆的摆线中，圆周上定点的位置也可以由圆心角φ唯 一确定．
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[例2] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时 圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚 动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程， 画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说 明该曲线的对称轴．
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[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求 法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．
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轨迹曲线的参数方程为
x＝8t－sin t y＝81－cos t
(0≤t≤2π)
即 t＝π 时，即 x＝8π 时，y 有最大值 16.
向量OB ＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)， BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
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2.摆线
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摆线的概念
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上 一个定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ．
摆线的参数方程：
x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
(φ 为参数)
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所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
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总结：
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动， 圆周上一个定点的轨迹．
(2)在圆的摆线中，圆周上定点的位置也可以由圆心角φ唯 一确定．
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[例2] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时 圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚 动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程， 画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说 明该曲线的对称轴．
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[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求 法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．
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轨迹曲线的参数方程为
x＝8t－sin t y＝81－cos t
(0≤t≤2π)
即 t＝π 时，即 x＝8π 时，y 有最大值 16.
向量OB ＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)， BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
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高二数学人教A版选修4-4课件：第二讲 四 渐开线与摆线
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
[解] 当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 AM 的
长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量―O→B ＝(2α，2)，向量―M→B ＝(2sin α，2cos α)， ―BM→＝(－2sin α，－2cos α)，因此―OM→＝―O→B ＋―BM→ ＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 又动点 M 的坐标为(x，y)，向量―OM→＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地 滚动时圆周上一个定点的轨迹．
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
(2)l1⊥l2⇔a1a2+b1b2=0.
2.标准形式的参数方程中参数的应用 经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
xyxy00ttscions， （ ， t为参数）
(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分别为
t1,t2,则向量
的数量为t2-t1,所以
=|t2-t1|,
2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线 不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义 吗?
提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式
的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显
的几何意义,如直线x-y=0的参数方程 x 2 t ， (t为参数)
中的参数t就不具有明显的几何意义.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
x
1
tc
o
s
3
，
(t为参数)即为
x
1
(1t为t ， 参数) 2
y
3
ts
in
3
，
答案:
x
1
1(tt ，为 参y 数 3) 2
3 t. 2
y
3
3 t. 2
【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
3.摆线及其参数方程
(1)定义.
当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的 无滑动地
_____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做 _一__个__定__点. 运动
旋轮线
(2)参数方程. 设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程 是__xy__rr_（ （_1__c_soi_sn_） _） ._，(φ是参数)
2.标准形式的参数方程中参数的应用 经过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为
xyxy00ttscions， （ ， t为参数）
(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分别为
t1,t2,则向量
的数量为t2-t1,所以
=|t2-t1|,
2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线 不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义 吗?
提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式
的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显
的几何意义,如直线x-y=0的参数方程 x 2 t ， (t为参数)
中的参数t就不具有明显的几何意义.
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是
x
1
tc
o
s
3
，
(t为参数)即为
x
1
(1t为t ， 参数) 2
y
3
ts
in
3
，
答案:
x
1
1(tt ，为 参y 数 3) 2
3 t. 2
y
3
3 t. 2
【知识探究】
探究点 直线的参数方程、渐近线与摆线
3.摆线及其参数方程
(1)定义.
当一个圆沿着一条定直线_________滚动时,圆周上的 无滑动地
_____________的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做 _一__个__定__点. 运动
旋轮线
(2)参数方程. 设圆的半径为r,圆滚动的角为φ,那么摆线的参数方程 是__xy__rr_（ （_1__c_soi_sn_） _） ._，(φ是参数)
高二数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线
S 随堂练习 UITANG LIANXI
1
2
3
3.圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)圆的渐开线的参数方程:
x
= r(������������������φ + φ������������������φ), y = r(������������������φ-φ������������������φ) (φ
x y
= =
���1���1������((φ1--������������������������������������φφ)),(φ
为参数);
所求圆的渐开线的参数方程为
x
=
1 ������
y=
(������������������φ + φ������������������φ),
1 ������
x y
= =
221k1k������������((φ1--������������������������������������φφ)),(φ
为参数,k∈N*).
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
四 渐开线与摆线
-1-
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
课程目标 1.借助教具或计算机软件,观察圆在直 线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、 直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹 (渐开线).知道平摆线和渐开线的生成 过程,以及它们的参数方程. 2.通过阅读材料,知道外摆线、内摆线 的生成过程;学会摆线在实际应用中的 实例.
高中数学：2.4.2《渐开线》课件(新人教A选修4-4)
思考在：摆P线42的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
线段OA的长等于M»A的长，即OA r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3、摆线的参数方程
uuuur
r
所以 | uuuur
BM
|
(r )e2 ,即
| BM | (x r cos, y r sin) r(sin, cos)
解得
x
y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
y
x y
r(cos r (sin
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
sin ) cos )
(是参数)。
M
B
O
A
x
渐开ห้องสมุดไป่ตู้的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
＋tsin t， 2sin t－tcos t
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋ ，1－ ) 4 4 π π C．(－1－ ，1－ ) 4 4
π π B．(1－ ，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋ ，－1－ ) 4 4
的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量 OB ＝(2α，2)， 向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
返回
BM ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
返回
返回
[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
返回
[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量 O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意 点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐 M 的长和线段 AM 的长相等，记 OA 和 x 轴 开线定义，弧 A 0
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋ ，1－ ) 4 4 π π C．(－1－ ，1－ ) 4 4
π π B．(1－ ，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋ ，－1－ ) 4 4
的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量 OB ＝(2α，2)， 向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
返回
BM ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
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[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
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[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量 O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意 点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐 M 的长和线段 AM 的长相等，记 OA 和 x 轴 开线定义，弧 A 0
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
0
的长和线段 AM
x轴
正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝ A M
0
＝4θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
返回
O A ＝(4cos
θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
A M ＝(4θsin
得O M
返回
[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧
度为单位)为参数)
[思路点拨]
利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
返回
[解]
当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点
为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 M A 的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)，
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
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[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
的长和线段 AM
x轴
正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝ A M
0
＝4θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
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O A ＝(4cos
θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
A M ＝(4θsin
得O M
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[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧
度为单位)为参数)
[思路点拨]
利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
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[解]
当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点
为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 M A 的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)，
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
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[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向
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x＝ 1． 圆的渐开线 y＝
2cos t＋tsin t， 2sin t－tcos t
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋ ，1－ ) 4 4 π π C．(－1－ ，1－ ) 4 4
π π B．(1－ ，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋ ，－1－ ) 4 4
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1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆
叫做 基圆 ．
2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ． 返回
x＝4cos θ＋θsin 因此有 y＝4sin θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
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用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到 OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲 线的参数方程．
正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝ A M 0 ＝4θ.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
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OA ＝(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ， AM ＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得 OM ＝ OA ＋ AM . ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))． 又 OM ＝(x，y)，
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x＝2t－sin t， 3．摆线 y＝21－cos t
(0≤t≤2π)与直线 y＝2 的交点
的直角坐标是________．
答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)
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4．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点
Hale Waihona Puke O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨
迹方程．
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[例2]
求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，
开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧
度为单位)为参数)
[思路点拨]
利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
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[解]
当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点
为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α.
AM 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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的长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量 OB ＝(2α，2)， 向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
返回
BM ＝(－2sin α，－2cos α)， 因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
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(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑 动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程， 可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定
点相对于某一定点运动所张开的角度大小．
答案：A
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2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
解：取 φ 为参数，φ 为基圆上点与原点的连线与 x 轴 正方向的夹角． ∵直径为 10，∴半径 r＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得：
x＝5cos φ＋φsin φ， y＝5sin φ－φcos φ.
这就是所求的圆的渐开线的参数方程.
[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
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[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量 O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意 点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐 M 的长和线段 AM 的长相等，记 OA 和 x 轴 开线定义，弧 A 0
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程： y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
．
(2)摆线的参数方程： x＝rφ－sin φ
y＝r1－cos
φ
.(φ 为参数)
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[例1]
求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向