合工大超越版概率习题1 副本
(合工大版)超越经典考研数学模拟试卷(15套)
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（I ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设数列{},{}n n a b 对任意的正整数n 满足1+≤≤n n n a b a ，则（ ）.（A ）数列{},{}n n a b 均收敛，且lim lim →∞→∞=n n n n a b（B ）数列{},{}n n a b 均发散，且lim lim →∞→∞==+∞n n n n a b（C ）数列{},{}n n a b 具有相同的敛散性 （D ）数列{},{}n n a b 具有不同的敛散性（2）设()f x 满足'(0)0f =，32'()[()]f x f x x +=，则有（ ）.（A ）(0)f 是()f x 的极大值 （B ）(0)f 是()f x 的极小值 （C ）(0,(0))f 是()=y f x 的拐点（D ）(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 也不是()=y f x 的拐点（3）设函数(,)f x y 在点000()P x ,y 处的两个偏导数00'()x f x ,y 、00'()y f x ,y 都存在，则（A ）(,)f x y 在点0P 处必连续 （B ）(,)f x y 在点0P 处必可微 （C ）000lim (,)lim (,)x x y y f x y =f x y →→ （D ）00lim (,)x x y y f x y →→存在（4）下列命题中正确的是（ ）.（A ）设正项级数n =1n a ∞∑发散，则1n a n≥（B ）设212n =1(+)n-n aa ∞∑收敛，则n =1n a ∞∑收敛（C ）设n =1n n a b ∞∑收敛，则22=1=1,nn n n a b ∞∞∑∑均收敛（D ）设22=1=1,n nn n a b∞∞∑∑中至少有一个发散，则n =1(+)nn ab ∞∑发散（5）设,A B 为n 阶方阵，且()()r <r AB B ，则必有（ ）.（A ）=0B （B ）=0A （C ）≠0B （D ）≠0A （6）若=0Ax 的解都是=0B x 的解，则下列结论中正确的是（ ）.（A ）,A B 的行向量组等价 （B ）,A B 的列向量组等价（C ）A 的行向量组可由B 的行向量组线性表示 （D ）B 的行向量组可由A 的行向量组线性表示（7）设随机变量011344X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭～，且1Cov(,)=8X Y ，则{}11===P Y X （A ）23 （B ）13 （C ）14 （D ）18（8）设总体2(,)X N μσ～，其中,μσ已知，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的样本，样本方差2=11()1ni i S X X n =--∑2，则2()D S =（ ）. （A ）21n σ- （B ）221n σ- （C ）41n σ- （D ）421n σ-二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）111lim()122→∞++⋅⋅⋅+=++n n n n ______________.（10）2321(cos 22x x -+=⎰_____________.（11）函数222()2()()=---+-u x y y z z x 在点(1,2,2)处方向导数的最大值是_______. （12）微分方程1'''0x y y xe =x--的通解为___________________. （13）设,A B 均为三阶方阵，且3=A ，4=B ，则1*(2)(3)-=O A B O_____________.（14）设随机变量X 的概率密度函数和分布函数分别为()f x 和()F x ，当0≤x 时，()0=F x ；当0>x 时，()()1+=f x F x ，则当0>x ，()=f x ________________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设23310⎧=-⎪⎨++=⎪⎩x t ty ty ，确定函数()=y f x ，求=022t d y dx .（16）（本题满分10分）设函数()f x 、()g x 在[,]a b 上有连续二阶导数，若()()f a g a =，()()f b g b =，00()()f x g x >，其中0(,)x a b ∈. 证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得''()''()f ξ<g ξ.（17）（本题满分10分）设(,)f u v 有二阶连续偏导数，()u ϕ有二阶导数，令22[,()]z f x y xy ϕ=-，求2zx y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设函数()f u 具有一阶连续偏导数，L 是以(1,1)A 和(3,3)B 为直径的左上半圆周，方向从A 到B ，计算曲线积分：11[()][()2]Lx xI f y dx f x dy x y y y=--+⎰.（19）（本题满分10分）将函数222()(1)ln(1)(1)f x x x x =++-+展开为x 的幂级数，并求级数1=1(1)(+1)n n n n ∞∑--的和.（20）（本题满分11分）（I ）设n 维向量组12,,,,s ⋅⋅⋅αααβ线性相关，证明：β可唯一地由12,,,s ⋅⋅⋅ααα线性表示的充要条件是12,,,s ⋅⋅⋅ααα线性无关；（II ）设4维向量组11(1,,0,0)T b =α，22(1,,1,0)Tb =α，33(1,,1,1)T b =α，4(1,,0,1)T b =β，且β可唯一地由123、、ααα线性表示，求常数1234b b b b 、、、满足的条件.（21）（本题满分11分）设三阶实对称矩阵A 的秩为2，且=AB C ，其中110011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，110011-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C ，求A 的所有特征值与特征向量，并求矩阵A 及9999A .（22）（本题满分11分）设随机变量[0,2]XU π，sin Y X =，sin()Z X a =+，其中[0,2]a π∈为常数，问a 取何值时，Y 与Z 不相关，此时Y 与Z 是否独立?（23）（本题满分11分）已知一批产品的次品率为2%，现从中任意抽取n件产品进行检验. （I）若已知n件产品中有3件次品，求n的矩估计值ˆn；（II）试利用中心极限定理，确定n至少要取多少时，才能使得次品数占总数比例不大于4%Φ=）的概率不小于97.7%.（(2)0.9772010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（II ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知当0x →时，21)ln(1)x +是比ln(1)n x +高阶的无穷小，而ln(1)nx +是比lncos x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）.（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 （2）设极限1x →=，则函数()f x 在x a =点处必（ ）.（A ）取极大值 （B ）取极小值 （C ）可导 （D ）不可导 （3）若(,)f x y 在点00(,)x y 处存在任意方向的方向导数，则（ ）. （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 处可微 （C ）0000'(,),'(,)x y f x y f x y 均存在（D ）以上结论均不正确（4）数列{}{}{}n n n a b c 、、均满足n n n a b c ≤≤(1,2,n =⋅⋅⋅). 则下列命题正确的是（ ） （A ）数列{}{}n n a c 、均收敛，则数列{}n b 收敛 （B ）数列{}{}n n a c 、均发散，则数列{}n b 发散 （C ）若级数n=1n=1n na c∞∞∑∑、均发散，则级数n=1nb∞∑发散（D ）若级数n=1n=1n na c∞∞∑∑、均收敛，则级数n=1nb∞∑收敛（5）设A 为m n ⨯矩阵，m E 为m 阶单位阵，,()m n r m <=A ，则下列结论 ①A 经初等行变换为(,)m E O ； ②A 经初等列变换为(,)m E O ； ③T A A 正定； ④T AA 正定；⑤=Ax b 必有解； ⑥=0Ax 仅有零解 中正确的个数为（ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（6）设10001000010001⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭A，0001001001001000⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭B，则以下正确的是（）.（A）0+=A B（B）A与B相似（C）A与B合同但不相似（D）A与B等价但不合同（7）根据下列函数()F x的图形，指出可作为某随机变量X的分布函数()F x的是（）.（A）（B）（C）（D）（8）设12(,,,)(1)nX X X n⋅⋅⋅>为来自总体2(0,)X Nσ～的一个简单随机样本，则下列统计量中，是2σ的无偏估计且方差最小的为（）.（A）21X（B）2X（C）2S（D）n2=11iiXn∑二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）设函数3()f x x x=，则使得()(0)nf存在的最大正整数n=__________.（10）由半圆周21x y=-1,1,2y y x=-==所围成的平面图形D的形心坐标为____________.（11）二次积分551lnydxdyy x=⎰⎰____________.（12）微分方程''2'(1)xy y +y =e +x -的特解形式为___________________.（13）设三阶矩阵122212304-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，三维列向量11t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，若向量,A αα线性相关，则t =__ （14）设随机变量()XP λ，()Y E λ，且X 与Y 独立，若已知EX EY =，则2(2)YE X =三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设0x >，证明：ln nx ne x ≥，其中n 为正整数.（16）（本题满分10分）设()f x 是区间[,]a b 上单调增加的连续函数，且()0f a <，()0b af x dx >⎰. 证明： （I ）存在点(,)a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰；（II ）存在点(,)a b η∈，使得()()af x dx f ηη=⎰.（17）（本题满分10分）若曲线()y y x =上任一点处的切线在y 轴上的截距等于该点处法线在x 轴上的截距的2倍，且该曲线过点(1,0)，求该曲线方程.（18）（本题满分10分）计算曲面积分222222(1)x dydz y dzdx z dxdyI x y z ∑+++=++⎰⎰，其中∑为上半球球面2222(0)x y z R z ++=≥的上侧.（19）（本题满分10分）求幂级数2=1(1)2n nn n x ∞-∑的收敛域与和函数.（20）（本题满分11分）确定参数,a b 的值，使线性方程组12341234234123413222354(3)3x x x x x x x x a x x x x x a x x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨++=⎪⎪++++=⎩有解，并求其解（将通解用该方程的一个的特解及其导出组的基础解系表示）.（21）（本题满分11分）设12(,,,),(1,2,,),1TT n i a a a a R i n =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅=ααα，10a ≠，T =A αα. （I ）求A 的所有特征值和特征向量； （II ）当k 为何值时，k +E A 为正交阵； （III ）当k 为何值时，k -E A 为正定阵.（22）（本题满分11分）设有四个编号分别为1,2,3,4的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记X 为至少有一个球的盒子的最小号码. （I ）求X 的分布律；（II ）若当X i =时，随机变量Y 在[0,]i 上服从均匀分布，1,2,3,4i =，求{}2P Y ≤.（23）（本题满分11分）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2(0,)X N σ～的一个简单随机样本. （I ）求2σ的极大似然估计量2ˆσ，并判断其无偏性； （II ）求估计量2ˆσ的方差； （III ）问2ˆσ是否为2σ的一致估计量?2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（III ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）已知数列{},{}n n x y 满足1n y ≥，且lim 0n n n x y →∞=，则（ ）.（A ）lim n n x →∞=∞ （B ）lim n n x →∞不存在，但不是∞（C ）lim 0n n x →∞= （D ）lim n n x →∞存在，但不是0（2）设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，则“极限0lim '()x x f x →存在”是“()f x 在0x 处可导”的（ ）.（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）设(,)f x y 在区域D 内具有二阶偏导数，则（ ）.（A ）必有22f fx y y x∂∂=∂∂∂∂ （B ）(,)f x y 在D 内必连续 （C ）(,)f x y 在D 必可微分 （D ）以上三个结论都不正确（4）设正项级数=1ln(1)nn +a ∞∑收敛，则级数=1(1)n n ∞∑-- ）.（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定 （5）设、A B 为同阶可逆方阵，具有相同的特征值，则（ ）. （A ）=AB BA （B ）存在可逆矩阵C ，使得T=C AC B（C ）存在可逆矩阵P ，使得1-=P AP B （D ）存在可逆矩阵,P Q ，使得=PAQ B（6）设n 阶方阵A 的伴随矩阵*≠A O ，若123,,ξξξ是线性方程组=Ax b 的三个互不相等的解，则=0Ax 的基础解系为（ ）. （A ）13-ξξ （B ）12-ξξ，23-ξξ（C ）12-ξξ，23-ξξ，31-ξξ（D ）12+ξξ，23+ξξ，31+ξξ（7）设Ω为样本空间，,A B 为随机事件，且满足()0P A =，()1P B =，则（ ）. （A ）,A B =∅=Ω （B ）A B ⊂ （C ）AB =∅ （D ）()1P B A -=（8）设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自2(,)X N μσ～的一个简单随机样本，2σ未知，n=11=i i X X n ∑，n2=11=()1i i S X X n ∑--2，()t n α为()t n 分布的上α分位点，则e μ的置信度为1α-的置信区间为（ ）.（A）αα22()()X X e n 1,e n 1⎛⎫ ⎪⎝⎭-- （B）αα1122(1)(1)XX e n ,e n ⎛⎫ ⎪⎝⎭---- （C）αα22exp{1)},exp{1)}X (n X (n ⎛⎫ ⎪⎝⎭-- （D）αα1122exp{(1)},exp{(1)}X n X n ⎛⎫ ⎪⎝⎭----二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）若[]x 表示不超过x 的最大整数，则211lim []nn x dx n →∞=⎰____________.（10）曲线sin y x =在点(,1)2π处的曲率圆方程为_________________.（11）设L 是上半圆周222(0,0)x y a y a +=≥>，则3222()()Lx y ds x y +=+⎰_____________. （12）设()f x 为可导函数，且,x y ∀均满足()()+()yxf x y e f x e f y +=，'(0)2f =，则()f x =_________________.（13）向量组1(1,1,2,3)T =-α，2(1,0,7,2)T=-α，3(2,2,4,6)T=-α，4(0,1,5,5)T =-α的极大线性无关组为__________________.（若有多组，只需填写一组）（14）设有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，现从中无放回地随机抽取3张，则得奖金额（单位：元）的数学期望是___________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设0x >，证明：arctan ln(1)1xx x+>+.（16）（本题满分10分）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,0)与(1,2)，且0a <，确定,,a b c 的值，使得抛物线与x 轴所围成平面图形的面积最小，并求该平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.（17）（本题满分10分）设(,)()y f x y F x =满足22220f fx y∂∂+=∂∂，其中F 具有二阶连续导数，求(,)f x y .（18）（本题满分10分）求极限2201lim cos(2)t xttt dx x y dy t+→-⎰⎰.（19）（本题满分10分）设交错级数1=1(1)(0,1,2,3,)n n n n u u n ∞≥=⋅⋅⋅∑--满足条件：（i ）1(1,2,3,)n n u u n +≥=⋅⋅⋅； （ii ）lim 0n n u →∞=.证明：1=1(1)n n n u ∞∑--收敛，且其和1S u ≤.（20）（本题满分11分）设m n ⨯A 为实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，证明： （I ）=0Ax 与T =0A Ax 同解； （II ）T T =A Ax A b （其中b 为任意n 维列向量）恒有解.（21）（本题满分11分）设三阶实对称阵A 的特征值为2,2,1，对应特征值2λ=的两个特征向量为12(1,1,0),(1,1,1)T T ==αα.（I ）证明3(0,0,1)T=α是A 的属于特征值2λ=的特征向量； （II ）求1-+A A 的各行元素之和；（III ）求正交变换=x P y ，化二次型123(,,)Tf x x x =x Ax 为标准形.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{}(,)01,G x y y x y =<<<上服从均匀分布，令0,01,0X U X <⎧=⎨≥⎩，0,121,12Y V Y <⎧=⎨≥⎩.（I ）问,X Y 是否相互独立? （II ）求协方差Cov(,)X Y ，并问,X Y 是否不相关? （III ）求协方差Cov(,)U V .（23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为,01(),120,bx x f x ax x ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩其他，样本观察值为0.5,0.8,1.5,1.5.（I ）求a 与b 的极大似然估计值； （II ）设XY e =，求{2}P Y <的极大似然估计值.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（IV ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）在下列直线中，不是．．曲线1(1)x xy e =+渐近线的为（ ）. （A ）0y = （B ）1y = （C ）y e = （D ）0x =（2）已知20lim(123)4x x x →++=21ax+bx ，则（ ）.（A ）ln 2,a b R =∈ （B ）10,ln 2a b ≠=（C ）1,ln 2a b R =∈ （D ）0,ln 2a b ≠= （3）空间曲线222241x y z L x y z ⎧++=⎨++=⎩: 在点(1,1,1)-处的切线与平面4x y z π-+=:的夹角为（ ）.（A ）0 （B ）π4 （C ）π3 （D ）π2（4）设级数=1(1)nn n a x ∞∑-在点1x =-处收敛，在点3x =处发散，则级数=13(1)()2nnn n a ∞∑-（ ）.（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不确定 （5）若n 阶实矩阵A 满足326116-+-=A A A E O ，则下列命题正确的是（ ）. （A ）-E A 可逆，+E A 也可逆 （B ）2-E A 可逆，2+E A 也可逆 （C ）3-E A 可逆，3+E A 也可逆 （D ）4-E A 可逆，4+E A 也可逆（6）设二次型T f =x Ax 的规范形为222123y y y -+，其中A 为三阶实对称矩阵，则以下结论中正确的个数为（ ）.①A 的特征值必为1,1,1- ②A 的秩为2③A 的行列式小于0 ④A 必相似于对角阵111⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⑤A 合同于对角阵111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⑥A 合同于对角阵123-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）设随机变量X 与Y 独立，且都服从[0,3]上的均匀分布，则{}1min(,)2P X Y <≤=（ ）. （A ）13 （B ）49 （C ）23 （D ）89（8）设总体2(,)X N μσ～，2σ未知，统计假设00H μμ=:，10H μμ<:. 12,,,nx x x ⋅⋅⋅为样本，x 为样本均值，2s 为样本方差，则在显著水平为α下0H 的拒绝域为（ ）. （A2(1)t n α≥- （B x u α- （C (1)x t n α≤-- （D (1)x t n α≥- 其中(0,1)U N ～，()T t n ～，数u α满足{}P U u αα>=，()t n α满足{}()P T t n αα>=二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上.（9）曲线(1)y x x =-与x 轴所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为___________.（10）设2ln 30x yz z ++=，则(1,3,1)dz-=_____________.（11）曲面22:10x y z ∑--+=在点(1,1,1)处的切平面π被柱面2214y x +=所截下部分的面积为__________.（12）设()f x 具有一阶连续导数，且满足方程0()'()x f x x tf x t dt =+-⎰，则()f x =_______（13）已知2253102x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的特征值为1,1,1---，则(,)x y =___________.（14）设总体(1,)X B p ～，1,1,1,0为来自总体X 的一个样本观察值，则2()D x 的矩估计值为_____________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设常数0a >，0b >，证明不等式：22()a ba b a b e ae be ++≤+.（16）（本题满分10分）就k 的取值讨论方程2xe kx =的实根个数.（17）（本题满分10分）利用变换t =化简微分方程2242(16(0)d y dyx y e x dx dx+-=>，并求出此微分方程的通解.（18）（本题满分10分）计算曲线积3(2)()()CI x y z dx x dy x y z dz =+++++⎰，其中C 为2221x y +=与222x y z +=-的交线，从原点看去是逆时针方向.（17）（本题满分10分）就常数p 的不同取值，讨论级数1111246p P P -+-+⋅⋅⋅的敛散性.（20）（本题满分11分）已知向量组A ：1(0,1,2,3)T =a ，2(3,0,1,2)T=a ，3(2,3,0,1)T=a ； B ：1(2,1,1,2)T =b ，2(0,2,1,1)T =-b ，3(4,4,1,3)T=b ；证明向量组B 能由向量组A 线性表示，但向量组A 不能由向量组B 线性表示.（21）（本题满分11分）已知三阶实对称矩阵A 的特征值为121λλ==，32λ=，且A 的对应于特征值1的特征向量123(,,)T x x x 满足方程12320x x x --=，求正交矩阵Q ，使得T =Q AQ Λ为对角阵.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域G ：12x ≤≤，10y x≤≤ 上服从均匀分布，记U X =，V XY =，随机事件{}u A U u =≤，{}v B V v =≤. （I ）求()u P A 、()v P B 与()u v P A B ，其中12u ≤≤，01v ≤≤；（II ）分别求U 和V 的密度函数，及U 与V 的联合密度函数，并问U 与V 是否独立?（23）（本题满分11分）设随机变量()T t n ～，12(,)F F n n ～，常数()t n α、12(,)F n n α分别满足{()}=P T t n αα>，12{(,)}=P F F n n αα>. （I ）证明22()(1,)t n F n αα=； （II ）112211(,)(,)F n n F n n αα-=；（III ）已知0.05(6) 1.943t =，求0.90(6,1)F .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（V ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里. （1）函数13()lim(1)nnn f x x→∞=+在(,)-∞+∞内（ ）.（A ）处处可导 （B ）只有一个不可导点 （C ）恰有两个不可导点 （D ）至少有三个不可导点（2）设()f x 是(,)a b 区间内的连续函数，()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数，则（ ）. （A ）当()f x 在(,)a b 内无界时，()F x 在(,)a b 内也无界 （B ）当()f x 在(,)a b 内有界时，()F x 在(,)a b 内也有界 （C ）当()f x 在(,)a b 内单调上升时，()F x 在(,)a b 内也单调上升 （D ）当()f x 在(,)a b 内单调下降时，()F x 在(,)a b 内也单调下降 （3）设D 是由曲线sin ()22y x x ππ=-≤≤和直线2x π=-，1y =所围成的的区域，f 是连续函数，则322[1()]Dx y f x y dxdy ++=⎰⎰（ ）.（A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）2（4）设1,01()2,12x x f x x x +<≤⎧=⎨-+<≤⎩，又设()f x 展开的正弦级数为=1π()=sin 2nn n S x b x ∞∑，则(7)S =（ ）. （A ）32 （B ）32- （C ）12 （D ）12- （5）若,A B 为n 阶方阵，且(,)A B 经初等行变换可化为(,)n E C ，则矩阵C 为（ ）. （A ）1-B （B ）1-A （C ）1-A B （D ）1-B A （6）已知空间曲线11112222a xb yc zd l a x b y c z d ++=⎧⎨++=⎩:，平行于平面3333a x b y c z d π++=:，则矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的秩()r =A （ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（7）设随机变量,X Y 相互独立，2(0,)X N σ～，111233Y -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～，则1X P Y ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（ ）.（A ）11()3σΦ （B ）21()3σΦ （C ）1()σΦ （D ）111()33σ+Φ （8）设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为0,min(,)0(,)min(,),0min(,)11,min(,)1x y F x y x y x y x y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则有（ ）.（A ）X 和Y 独立，且同分布 （B ）X 和Y 不独立，但同分布 （C ）X 和Y 独立，但不同分布 （D ）X 和Y 不独立，且不同分布二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）1x e dx -=⎰___________________.（10）tan 0xx +→=_________________.（11）设,f g 均可微，[,ln ()]z f xy x g xy =+，则z zxy x y∂∂-=∂∂________________. （12）微分方程'''y y y =满足初始条件(0)0y =，'(0)2y =的特解为y =_______________.（13）1234567800=000a a a a a a a a ____________________. （14）已知随机变量X 的密度函数为偶函数，1DX =，且用切比雪夫不等式估计得{}0.96P X ε<≥，则常数ε=____________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数()f x 在[,]a b 上可微，且'()f x 在(,)a b 内单调增加，又()()f a f b A ==（常数），证明：(,)x a b ∀∈，恒有()f x A <.（16）（本题满分10分）已知222'()01()xf f xx xx-=+-，且(1)ln2f=，求()f x及()()nf x.（17）（本题满分10分）求函数4(,)3f x y xy x y=--在由抛物线24(0)y x x=-≥与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值.（18）（本题满分10分）计算曲线积分22()(4)4Lx y dx y x dyx y++-+⎰，其中L 为椭圆周2244x y +=的逆时针方向.（19）（本题满分10分）设有幂级数2=112(+)n nn x nn ∞∑. 求： （I ）该幂级数的收敛半径与收敛域； （II ）该幂级数的和函数在收敛区间内的导函数.（20）（本题满分11分）设向量(1,2,1)T=α，1(1,,0)2T=β，(0,0,8)T =γ，T =A αβ，T =B βα. 求：（I ）4A ，4B ； （II ）x 为3维列向量，且满足22442=++B A x A x B x γ，求x .（21）（本题满分11分）已知三元二次型123(,,)Tf x x x =x Ax 经过正交变换=x P y 化为标准形2221232y y y -+. （I ）求行列式1*2--A A ； （II ）求3224--+A A A E .（22）（本题满分11分）若随机变量X的概率密度函数22(ln )2,>0()=0,0x X x f x x μσ--⎧≤⎩就称X 服从参数为2(,)μσ的对数正态分布.（I ） 证明X 服从参数为2(,)μσ的对数正态分布的充要条件是2ln (,)U X N μσ=～；（II ）设X 与Y 相互独立，且均服从参数为2(,)μσ的对数正态分布，证明：V XY =服从参数为2(2,2)μσ的对数正态分布.（23）（本题满分11分）设12,,,(1)n X X X n ⋅⋅⋅>为来自总体()X P λ～的样本，其中未知参数0λ>. （I ）求λ的极大似然估计ˆλ； （II ）证明ˆ()n P n λλ～.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（I ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里. （1）设ln ()sin 1xf x x x =-，则()f x 有（ ）. （A ）两个可去间断点 （B ）两个无穷间断点（C ）一个可去间断点，一个跳跃间断点 （D ）一个可去间断点，一个无穷间断点 （2）设函数()f x 在2x =处连续，且2()1lim22x f x x →=-. 函数()g x 在2x =的某邻域内可导，且2'()1lim22x g x x →=-，则（ ）. （A ）函数()f x 在2x =处导数存在， ()g x 在2x =处二阶导数存在 （B ）函数()f x 在2x =处取极小值， ()g x 在2x =处也取极小值 （C ）函数()f x 在2x =处导数存在， ()g x 在2x =处取极小值 （D ）函数()f x 在2x =处取极小值， ()g x 在2x =处二阶导数存在（3）设曲面22222{(,,)1,0}123x y z x y z z ∑++=≥:，并取上侧，则不等于．．．零的积分为（ ）. （A ）2xd y d z ∑⎰⎰ （B ）x d y d z ∑⎰⎰ （C ）2z d z d x ∑⎰⎰ （D ）z d z d x ∑⎰⎰（4）若幂级数=0(+1)nnn a x ∞∑在1x =处收敛，则级数=0nn a∞∑（ ）.（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不定 （5）设n 阶方阵12(,,,)n =⋅⋅⋅A ααα，12(,,,)n =⋅⋅⋅B βββ，(,,,)=⋅⋅⋅12n AB γγγ，记向量组（I ）：12,,,n ⋅⋅⋅ααα； （II ）：12,,,n ⋅⋅⋅βββ； （III ）：,,,⋅⋅⋅12n γγγ. 如果向量组（III ）线性相关，则（ ）.（A ）向量组（I ）与（II ）都线性相关 （B ）向量组（I ）线性相关（C ）向量组（II ）线性相关（D ）向量组（I ）和（II ）至少有一个线性相关（6）设四阶方阵1234(,,,)=A αααα，其中12,αα线性无关，3α不能由12,αα线性表示，412323=-+αααα，*A 为A 的伴随矩阵，则*()r =A （ ）.（A ）0 （B ） （C ）2 （D ）3 （7）设,X Y 为随机变量，3{0}5P XY ≤=，4{m a x (,)0}5P XY >=， 则{m i n (,)0}P X Y ≤=（ ）. （A ）（B ） （C ） （D ） （8）设随机变量(,0.1)i X B i ～，1,2,,15i =⋅⋅⋅，且1215,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立，则15=1{816}i i P X <<∑为（ ）.（A ）0.325≥ （B ）0.325≤ （C ）0.675≥ （D ）0.675≤二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）设曲线()y f x =在点(1,0)处的切线在y 轴上截距为1-，则1l i m [1(1)]n n f n→∞++=______________. （10）设为连续函数，且1[()()]1f x xf xt dt +=⎰，则()f x =_____________.（11）设(,)f x y 可微，1'(1,3)2f -=-，2'(1,3)1f -=，(2,)yz f x y x=-，则13x y dz ===（12）121220122cos cos y y y dy x dx dy x dx +=⎰⎰⎰⎰________________.（13）三阶方阵,A B 满足关系式+=E B AB ，A 的三个特征值分别为3,3,0-，则B 的特征值为_____________.（14）设22(200)χχ～，则由中心极限定理得2{240}P χ≤近似等于___________.（用标准正态分布的分布函数()Φ⋅表示）三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数π2π2()ln sin n f x x x xdx -=π-⎰，其中n 为正整数，试讨论方程()0f x =根的个数.（16）（本题满分10分）设12a =，111()(1,2,)2n n na a n a +=+=⋅⋅⋅. 证明： （I ）lim n n a →∞存在； （2）级数=11(1)nn n a a ∞+-∑收敛.（17）（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上具有二阶导数，且()0f a <，()0f b <，()0baf x dx =⎰. 证明：(,)a b ξ∃∈，使得''()0f ξ<.（18）（本题满分10分）设当0x >时，()f x 可导，且(1)2f =.（I ）试确定()f x ，使在右半平面内[2()]()y f x dx xf x dy -+为某函数(,)u x y 的全微分； （II ）求(,)u x y ； （III ）计算曲线积分[2()]()Cy f x dx xf x dy -+⎰，其中C 是右半平面内从点(1,0)到点(2,2)的任一条简单曲线.（19）（本题满分10分）设有微分方程'',1''2'0,1y y x x y y y x -=<⎧⎨-+=>⎩，试求在(,)-∞+∞内可导的函数()y y x =满足此方程，且有(0)0y =，'(0)1y =.（20）（本题满分11分）设A 为三阶方阵，并有可逆阵123(,,)P p p p ，(1,2,3)i i =p 为三维列向量，使得1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP . （I ）证明：12,p p 为()-=0E A x 的解，3p 为2()-=-E A x p 的解，且A 不可相似对角化； （II ）当211212112--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，求可逆矩阵P ，使得1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP .（21）（本题满分11分）已知二次型112312323112(,,)(,,)34325x f x x x x x x xa x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的秩为，求常数a 的值，并求一个正交变换化该二次型为标准形.（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为4,01,01(,)0,x y x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他. （I ）问,X Y 是否相互独立? （II ）设2U X =和2V Y =的密度函数分别为()U f u 和()V f v ，求(),()U V f u f v ，并指出(,)U V 所服从的分布； （III ）求22{1}PU V +≤.（23）（本题满分11分）设l n Y X =，Y 的密度函数为,0()0,0y Y e y f y y λλ-⎧≥=⎨<⎩（1λ>）. （I ）求EX ；（II ）设12,,n XX X ⋅⋅⋅为来自总体X 的简单随机样本，求E X 的极大似然估计.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（II ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）设函数在(,)-∞+∞内有定义，下列结论正确的是（ ）. （A ）若lim ()2x f x π→∞≠，则2y π=不是曲线()y f x =的水平渐近线 （B ）若0lim ()x f x →≠∞，则0x =不是曲线()y f x =的铅直渐近线（C ）若()lim1x f x x→∞=，则曲线()y f x =必有斜渐近线 （D ）以上都不对（2）设2arctan()()=lim +1n x n n e f x x →∞，则()f x （ ）.（A ）处处可导 （B ）在点1x =-处可导（C ）在点0x =处可导 （D ）在点1x =处可导（3）设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有00'(,)x f x y a =，00'(,)y f x y b =，则下列结论正确的是（ ）.（A ）00lim (,)x x y y f x y →→存在，但(,)f x y 在点00(,)x y 处不连续（B ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （C ）()0,x y d z a d x b d y =+（D ）00lim (,)x x f x y →及00lim (,)y y f x y →都存在且相等（4）设(n+1)πn πsin n xu dx x =⎰，则=1n n u ∞∑为（ ）. （A ）发散的正项级数 （B ）收敛的正项级数（C ）发散的交错级数 （D ）收敛的交错级数（5）设22221111ab c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，,,,a b c d 为互异实数，则下列说法正确的是（ ）. （A ）齐次线性方程组=0Ax 只有零解 （B ） 齐次线性方程组T=0A Ax 有非零解 （C ）齐次线性方程组T=0A x 有非零解 （D ）齐次线性方程组T=0AA x 有非零解（6）设,A B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ）.（A ）若,A B 为等价矩阵，则,A B 的行向量组等价 （B ）若,A B 的行列式相等，则,A B 为等价矩阵（C ）若=0Ax 与=0B x 均只有零解，则,A B 为等价矩阵 （D ）若,A B 为相似矩阵，则=0Ax 与=0B x 同解（7）设有随机事件,,A B C ，(),(),()(0,1)P A P B P C ∈，若C 分别与,A B 独立，A B =∅.则有（ ）.（A ）A 与B C 独立 （B ）B 与A C 独立 （C ）C 与AB 独立 （D ）,,A BC 两两独立（8）设总体2(,)X N μσ～，其中2,μσ均未知. 假设检验问题为2010H σ≤:,2110H σ>:,已知25n =，0.05α=，20.05(24)36.415χ=，且根据样本观察值计算得212s =，则检验结果为（ ）.（A ）接受0H ，可能会犯第二类错误 （B ）拒绝0H ，可能会犯第二类错误 （C ）接受0H，可能会犯第一类错误 （D ）拒绝0H，可能会犯第一类错误二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）不定积分222arctan 2(1)1xx edx x +=+⎰__________________.（10）设曲线222C x xy y a ++=:的长度为L ，则s i n ()s i n ()s i n ()s i n ()x yx y C a e b e d s e e +=+⎰_________. （11）设()y y x =是由10sin 10ln(1)x t e t x y t dt +⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩⎰所确定的函数，则0t dy dx ==______________.（12）以21C y C x x=+为通解的微分方程______________________. （13）设A 为三阶方阵，A 的第一行元素为1,2,3，行列式A 中第二行元素的余子式为1,2,3a a a +++，则常数a =__________.（14）设(,)f x y 为二维随机变量(,)X Y 的密度函数，2U Y =，V X =-，则(,)U V 的密度函数(,)U V f u v =________________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设曲线()y y x =由参数方程给出：ln x t t =，ln 1()t y t t e=>. （I ）求()y y x =的单调区间、极值、凹凸区间和拐点； （II ）求曲线()y y x =，直线1x e=-，x e =及x 轴所围平面区域的面积A .（16）（本题满分10分）求微分方程()x dyf xy y dx⋅=经变换xy u =后所转化的微分方程，并由此求微分方程22(1)y xy d x x d y +=的通解.（17）（本题满分10分）求幂级数2121(1)(1)nn n n x n∞+--∑=的收敛域及和函数()S x .（18）（本题满分10分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：（I ）2()[()()]a b b aaf x dx f x f a b x dx +=++-⎰⎰；（II ）利用（I ）计算π23π6cos (2)xI dx x x π=-⎰.（19）（本题满分10分）在椭球面222221x y z ++=上求一点P ，使得三元函数222(,,)f x y z x y z=++在点P 处沿方向=-l i j 的方向导数最大.（20）（本题满分11分）设,,A B C 均为n 阶方阵，⎛⎫=⎪-⎝⎭AA M CBC .（I ）证明：M 可逆的充要条件为,A B 均可逆； （II ）如果M 可逆，求其逆矩阵1-M .（21）（本题满分11分）设13λ=，26λ=，39λ=是三阶对称矩阵A 的三个特征值，其对应的特征向量依次为11(2,2,1)3T =-α，21(1,2,2)3T =-α，31(2,1,2)3T =-α. （I ）证明112233369TTT=++A αααααα；（II ）设(1,2,3)T=β，分别将β和nA β用123,,ααα线性表示.（22）（本题满分11分）设1()X P λ～，2()Y P λ～，且X 与Y 相互独立.（I ）证明：12()X Y P λλ++～； （II ）求已知3X Y +=时，X 的条件分布.（23）（本题满分11分）设总体X 的密度函数为22,0()0,0x x e x f x x θθ-⎧⎪>=⎨⎪≤⎩，其中(0)θθ>为未知参数，12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自总体X 的简单随机样本.（I ）求θ的极大似然估计量θ； （II ）指出θ是否为θ的无偏估计.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷（III ）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里.（1）求抛物线2y x x =+与23y x x =-的公切线为（ ）.（A ）1y x =-- （B ）1y x =-+ （C ）1y x =- （D ）1y x =+ （2）设220()(1)x t f x x e dt -=+⎰，则有（ ）.（A ）(2010)(0)0f=，11()0f x dx -=⎰（B ）(2010)(0)0f ≠，11()0f x dx -=⎰（C ）(2010)(0)0f =，11()0f x dx -≠⎰（D ）(2010)(0)0f ≠，11()0f x dx -≠⎰（3）设当0r +→，222()r C y d x x d yI x y x y -=++⎰与nr 为同阶无穷小，其中C为圆周2221x y r +=，取逆时针方向，则n 等于（ ）. （A ） （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）设()y y x =是方程22(1)0x y d x x d y +-=及条件(0)1y =的解，则120()y x dx =⎰（ ）. （A ）ln 3- （B ）l n 3 （C ）1l n 32-（D ）1l n 32（5）设12,ηη为线性方程组12311232123322x x x a x x x a x x tx a-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的两个不同解，则必有（ ）.（A ）2t =，1230a a a ++= （B ）2t ≠，312a a a =+ （C ）2t =，312a a a =+ （D ）2t ≠，312a a a ≠+（6）设二次型123(,,)T f x x x =x Ax ，其中T=A A ，a =A ，()1r a b +=E ，则（ ）.（A ）对任意的0a >，0b >，正定 （B ）对任意的0a >，0b <，正定 （C ）对任意的0a <，0b >，正定 （D ）对任意的0a <，0b <，正定 （7）已知随机变量010.250.75X⎛⎫ ⎪⎝⎭，向量12,αα线性无关，则向量组12X -αα,12X -+αα线性相关的概率为（ ）.（A ）0.25 （B ）0.5 （C ）0.75 （D ） （8）设总体X 的密度函数2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，1234,,,X X X X 为来自总体X 的简单随机样本，则(4)1234m a x (,,,)X X X X X =的密度函数为(4)()X f x =（ ）. （A ）20,0,011,1x x x x ≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩ （B ）80,0,011,1x x x x ≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩（C ）78,010,x x ⎧<<⎨⎩其他 （D ）34,010,x x ⎧<<⎨⎩其他二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上. （9）若()x x f t dt xe -=⎰，则1(ln )f x dx x+∞=⎰____________. （10）设函数()y x 满足2''(1)'xy x y x y e +-+=，且'(0)1y =. 若20()lim x y x xa x →-=，则a = （11）设()f r 在[0,1]上连续，则22221lim()n n x y x y f dxdy →∞+≤+=⎰⎰_____________.（12）已知向量222(,,)xy yz zx =A ，则(1,1,2)()grad div -=A ________________.（13）设,A B 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅为B 的n 个特征值，若存在可逆阵P ，使得11--=-+B PAP P AP E ，则12n λλλ++⋅⋅⋅=______________. （14）设(,)(0,14,90)X Y N ;;～，则{1}P X Y <-=_______________.三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）旋转曲面224z x y =+上某点M 处的切平面为π，若平面π过曲线：2x t =，y t =，3(1)z t =-上对应于1t =的点处的切线，试求平面π的方程.（16）（本题满分10分）设()Df t x y tdx d y =-⎰⎰，其中D ：01x ≤≤，01y ≤≤，[0,1]t ∈.（I ）求()f t 的表达式； （II ）证明'()0f t =在(0,1)内有且仅有一个根.（17）（本题满分10分）求数项级数=1(1)(21)!n n nn ∞-+∑的和.（18）（本题满分10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()0f a =，()1f b =，()1()f c a c b =-<<. 证明：(,)a b ξ∃∈，使得2(1)'()2()0f f ξξξξ+-=.（19）（本题满分10分）（I ）设连续函数()f x 对任意的x 均满足()()2xf x af =，其中常数(0,1)a ∈. 证明()()2n nxf x a f =，进而再证(,)x ∀∈-∞+∞，()0f x ≡； （II ）设()g x 具有二阶连续导数，且满足22()3x xg t dt x x =+⎰，求()g x 所满足的微分方程，并求()g x .。
概率论与数理统计习题册解答(合工大)
第一章 概率论的基本概念习题1—1 随机事件1.设C B A ,,表示三个事件，试将下列事件用C B A ,,表示出来： （1）C A ,都发生，B 不发生； 【 ,ABC AC B - 】 （2）三个事件中至少有一个发生; 【 A B C 】（3）三个事件中至少有两个. 【 ,AB ACBC ABC ABC ABC ABC +++ 】2．设某人对一目标接连进行三次射击，设{i A =第i 次命中}123i =（，，）；{j B =射击恰好命中j 次}0123j =（，，，）；{}0123k C k k ==三次射击至少命中次（，，，）. （1）通过321,,A A A 表示2B ; 【 2123123123B A A A A A A A A A = 】（2）通过123,,B B B 表示2C . 【 223C B B = 】3. 设,,A B C 为三个事件，指出下列各等式成立的条件. （1）A C B A =； 【 A BC ⊂ 】 （2）A B C A =； 【 B C A ⊂ 】（3）A B AB =； 【 A B = 】（4）()A B A B -=。
【 AB φ= 】习题1—2 概 率1．设111()()(),()()(),(),4816P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======求下列事件的概率： （1）()P A B C ； （2）．)(C B A P 解 （1）3317()()()()()()()()481616P AB C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=-+= (2）()9()1()16P ABC P A B C P A B C ==-=.2．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，求至少有2只配成一双的概率.解 12112542254101321C C C C C p C +==， 或 411115222241013121C C C C C p C =-= ．3．从[0,1]中随机地取两个数，求下列事件的概率：（1）两数之和小于54；（2）两数之积大于14； （3）以上两个条件均满足.解 （1）设A ：两数之和小于54， 则有133123244()132P A -⨯⨯==． （2）设B ：两数之积大于14，则有1141(1)314()ln 2142dxxP B -==-⎰．（3）11451()3113315144()ln 2ln 2142244322x dxxP AB --==--⨯⨯=-⎰．4．旅行社100人中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和 日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，在其中任意挑选一人，求此人会讲英语和日语， 但不会讲法语的概率．解 设A ：会讲英语，B ：会讲日语，C ：会讲法语．则有：()P ABC =329()()0.23100100P AB P ABC -=-=．习题1-3 条件概率1．根据对电路停电情况的研究，得到电路停电原因的一下经验数据：5%是由于变电器损坏；80%是由于电路线损坏；1%是由于两者同时损坏. 试求下列各种停电事件发生的概率。
合肥工业大学高数习题册上册答案详解
合肥工业大学2011－2012学年第一学期高等数学习题册参考解答何先枝2011 .10―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题11- 函数1．设函数2,0,()2,0,xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，求 （1）(1)f -，(0)f ，(1)f ； （2）()(0)f x f x ∆-∆，()(0)f x f x-∆-∆（0x ∆>）．【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ；（2）()(0)f x f x ∆-∆⎪⎩⎪⎨⎧<∆>∆∆-=⎪⎩⎪⎨⎧<∆∆-∆+>∆∆-=∆∆.0,1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x xx()(0)f x f x-∆-∆)0(12)2(>∆-=∆-∆-=x x x 。
■2．已知1()f x x =+()f x ．【解】令x t 1=，则2111)(t t t f ++=，故2111)(xx x f ++=。
■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数． 【证】方法1（定义法）∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有)s i n 2()s i n 2()()(112212x x x x x f x f +-+=-2sin 2cos2)(2sin sin )(21221121212xx x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212xx x x x x x x -⋅-⋅+->-⋅-⋅+-≥012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ，∴()2s i n f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。
合工大概率统计讲义(基础修改版)答案
4
pk 5 8 9 32 21 256 3 256
P(1 < ξ ≤ 3) = P(ξ = 3) + P(ξ = 2) = 93 256 .
练习.已知随机变量 X 的概率密度为 f (x) = Ae− x ( − ∞ < x < +∞) ，求（1）A ；（2）P(0 < X < 1) ；（3） X
P( ABC)
，
P((A −
C)
|
AB ∪ C)
=
P( ABC ) P( AB ∪ C)
．
（1） A, B,C 独立， P(( A − C) ∩ ( AB ∪ C)) = P( ABC) = 0.1 ,
P( AB ∪ C) = P( A)P(B) + P(C) − P( A)P(B)P(C) = 0.6 , P(( A − C) | AB ∪ C) = 1 ; 6
解：ξ 可能取值为1, 2, 3, 4 ． P(ξ = 1) = P(第一次摸到红球) = 5 , P(ξ = 2) = P(一白二红) = 3 × 6 = 9 ,
8
8 8 32
P(ξ = 3) = P(一白二白三红) = 3 × 2 × 7 = 21 , 8 8 8 256
P(ξ = 4) = P(一白二白三白四红) = 3 × 2 × 1 × 8 = 3 . 8 8 8 8 256
,
P(( A − C) | AB ∪ C) = 2 ． 7
练习 2．有两个盒子，第一个中装有 2 个红球，1 个白球，第二盒中装一半红球一半白球.现从两盒中任取一球 放在一起，现从中取一球，问：
（1）这个球是红球的概率;（2）若发现这个球是红球，问从第一盒中取出的球是红球的概率．
合肥工业大学试卷概率论与数理统计01
合肥⼯业⼤学试卷概率论与数理统计01合肥⼯业⼤学2001-2002学年2000级《概率统计》期末考试卷⼀、填空题（每⼩题３分）1、若事件A,B相互独⽴，且P(A)=0.5, P(B)=0.6, 则P(A B)=_____。
2、⼀射⼿对同⼀⽬标独⽴地进⾏四次射击。
若⾄少命中⼀次的概率为80/81，则该射⼿的命中率为_____。
3、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P(x=k)=2k e-2/k!?k=0,1,2,…..,则随机变量Y=3X-2的数学期望为E（Y）=____。
4、设随机变量X的数学期望为E（X）=,⽅差D（X）=，则对任意正数，有切⽐雪夫不等式_____。
5、设总体X～N(),已知，为来⾃总体X的⼀个样本，则的置信度为1-的置信区间为___________。
⼆、选择题（每⼩题３分）1、对任意两个事件A和B，有P(A-B)=( )。
(A) P(A)-P(B) (B) P(A)-P(B)+P(AB) (C) P(A)-P(AB) (D) P(A)+P(B)-P(AB)2、设两个相互独⽴的随机变量X和Y的⽅差分别为4和2，则3X-2Y的⽅差为（ )。
(A) 44 (B) 28 (C) 16 (D) 83、设随机变量X的概率密度为 f(x)=则k=( )。
（A) (B) 3 (C) - (D) -34、设是来⾃总体N()的简单随机样本，为样本均值，为样本⽅差，则服从⾃由度为n-1的t分布的随机变量是（）。
（A） (B) (C) (D)5、关于两随机变量的独⽴性与相关系数的关系，下列说法正确的是（）。
(A) 若X,Y独⽴，则X与Y的相关系数为0 (B) X,Y的相关系数为0，则X,Y 独⽴(C) X,Y独⽴与X,Y的相关系数为0等价 (D)以上结论都不对。
三、（６分）设15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取⼀只，作不放回抽样。
⽤X 表⽰取出次品的只数，求X的分布律。
合工大概率统计第3章
0,
F ( x,
y)
1 ey
yex ,
1 (1 x)ex ,
x 0或y 0, 0 y x, 0 x y.
求 (X ,Y ) 的分布函数 F(x, y) 的过程较为复杂．一般地，如
果 (X ,Y ) 的密度函数 f (x, y) 在平面某区域 D 上（内）为正，而
其余处均为零（见下图），即
其中 x1 x2 , y1 y2 ．
4
例 1 设二维随机变量 (X ,Y ) 的分布函数为
F(x, y) a(b arctan x)(c arctan y) ，(x, y) R2 ，
⑴求常数 a,b, c ；
⑵分别计算概率 P{X 1,Y 1} 和 P{X 1,Y 1} ．
解 ⑴由 F(, ) 1知 a(b )(c ) 1， （1.1）
结论 1 设二维连续型随机变量 (X ,Y ) 的密度函数为 f (x, y) ，则⑴
在 f (x, y) 的连续点 (x, y) 处， 2F (x, y) f (x, y) ； xy
⑵ 对平面上任一区域 D ，有 P{(X ,Y ) D} f (x, y)dxdy ．
D
【注】概率 P{(X ,Y ) D}的数值等于以 D 为底，曲面 z f (x, y)
ex , 0 y x,
f (x, y) 0
其它,
所以将整个平面划分为三块分别计算．
①当 x 0 或 y 0时（图（a ））；
y
（a）
①
③ ②
o
①
①
x
由于 f (x, y) 0 ，所以 F(x, y) 0 ．
②当 0 y x 时，（图（b ））
y
（b）
y
F(x, y)
2017合工大超越数一解析
2017合工大超越数一解析在2017年合肥工业大学超越数学一考试中，难度系数整体较高。
接下来，我们将一步一步回答这些题目，并进行详细解析。
1. (10分) 设函数f(x) = x^2 + bx - 1 (b为实数)。
如果方程f(f(x)) = 0 在区间(-∞, ∞) 上恰有两个不同的根，则b 的取值范围是多少？首先，我们要求f(f(x)) = 0 在区间(-∞, ∞) 上有两个不同的根。
也就是说，f(x)应该有一个实根，而f(f(x))的解应该是f(x)的两个实根之一。
考虑到f(f(x)) 是复合函数，我们可以分别求出f(x) 的实根。
根据韦达定理，方程f(x) = 0 的两个根之和应该等于-b，而两个根之积应该等于-1。
所以我们可以得到以下两个方程：根1 + 根2 = -b (1)根1 * 根2 = -1 (2)同时，我们还知道f(f(x)) 的解应该是f(x) 的两个实根之一。
所以我们可以得到以下两个方程：f(root1) = root1 或f(root1) = root2 (3)f(root2) = root1 或f(root2) = root2 (4)我们希望求出b 的取值范围。
首先，我们解方程(3) 。
将f(root1) 代入函数f(x) 中，我们得到：f(root1) = root1^2 + b * root1 - 1由于f(root1) = root1，我们可以将这个关系代入方程中，得到以下结果：root1 = root1^2 + b * root1 - 1整理方程，我们得到以下二次方程：root1^2 + (b-1)*root1 - 1 = 0同样地，我们也可以解方程(4) 。
将f(root2) 代入函数f(x) 中，我们得到：f(root2) = root2^2 + b * root2 - 1由于f(root2) = root2，我们可以将这个关系代入方程中，得到以下结果：root2 = root2^2 + b * root2 - 1整理方程，我们得到以下二次方程：root2^2 + (b-1)*root2 - 1 = 0现在我们得到了两个二次方程，我们可以解这两个方程来求出根1 和根2 的值。
合工大超越版概率习题1 - 副本
概率期末作业题（出题人：余丙森）1.设,,A B C 是任意三个事件,则下列各命题正确的是A.若A C B C +=+,则A B =;B.若()(),P A P B =则A B =;C.若A B A -=,则A B =∅;D.若()0P AB =,则A B =∅.2．设随机事件,A B 满足()()1/2P A P B ==和()1P A B ⋃=，则...()1.()0A AB B ABC P A BD P A B ⋃=Ω=∅⋃=-=3．若()()()E XY E X E Y =,则:A ． ()()()D XY D X D Y =; B. ()()()D X Y D X D Y -=+; C. ,X Y 不独立; D. ,X Y 独立.4.设随机变量X 的概率密度为1,2061(),1330,x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其它,2Y X =,则当14y <<时,Y的概率密度()Y f y =A.16y. B .14y. C .13y. D .12y.5．.12100,,,X X X 是来自正态总体(0,4)N 的简单随机样本，则201002212111()()80320i i i i X X ==+∑∑服从的分布为：A ．2(2)χ；B.2(100)χ；C.(0,2)N ；D.(0,400)N6．设129,,...,X X X .为来自正态总体2(,)N μσ 的简单随机样本, X 是样本均值,2S 是样本方差,则以下正确的是A .29~(9,)X N μσ; B2229~(8)Sχσ;C .3()~(9)X t Sμ-;D229()~(1,8)X F Sμ-7．设总体X 的数学期望为μ，方差为2σ，123(,,)X X X 为样本，则下列统计量中，（ ）为μ的无偏估计，且方差最小.123111A.236X X X ++ 123111B.333X X X ++123122C.555X X X ++123123D.777X X X ++8．设,A B 独立，()0.6,()0.2,(|)0.4,P A P B A P C AB =-==则()P A B C ⋃⋃=9.设随机变量,X Y 均服从2(0,)N σ分布，且1{0,0}3P X Y ≤≥=，则{0,0}_____P X Y ><=10． 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，则{2}_____.P Y ==11．(,)X Y 的联合分布为Y X 0 10 0.4a1b0.1已知随机事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立,则____,____a b ==并求{0}P X Y -=12．设随机变量X 和Y 独立同正态分布1(0,)2N ,则()______,______E X Y E X Y -=-=13．设X 服从参数为2λ=的指数分布,则)12(23+--X e E X =______,(21)D X -=14．.设来自正态总体2(,0.9)N μ的样本均值91159ii x x ===∑,则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间是 .15．设总体2~(,)X N μσ,由来自总体X 的容量为16的简单随机样本,测得样本均值31.645,X =,样本方差24S =,则检验假设0:30H μ≤使用的统计量_________其值等于____________,在显著性水平0.05α=下_______假设0H.(附:0.025(16) 2.1199t =,0.025(15) 2.1315t =,0.05(16) 1.7459t =,0.05(15) 1.7531t =)16．在区间(0,1)中随机地取出两个数,求两数之差的绝对值小于12的概率.17． 商店出售10台洗衣机，其中3台次品，现已售出1台洗衣机，在余下的洗衣机中任取两台发现均为正品，试求原先售出一台为次品的概率.18.已知随机变量,X Y 相互独立,其分布函数分别为0,01(),0141,1X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≤⎪⎩, 0,0(),011,1Y y F y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≤⎩求Z X Y =+的分布函数.19.设二维随机变量(,)X Y 在区域:02,01G x y ≤≤≤≤上服从均匀分布，记0,,1,2,,k X Y k X k k X Y k +≤⎧==⎨+>⎩，求：（Ⅰ）12(,)X X 的联合分布； （Ⅱ）当20X =时1X 的概率分布； （Ⅲ）1X 与2X 的相关系数ρ.20.设(),X Y 的联合概率密度函数为()(),01,0,c x y yx f x y ì?＃ ï=íïïî其他（1）求c; （2）讨论X Y 与的独立性； (3)求Z X Y =+的分布函数()Z F z .21. 汽车加油站共有两个加油窗口,现有三辆车,,A B C 同时进入该加油站,假设,A B 首先开始加油,当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C 加油.假设各辆车加油所需时间是相互独立的且都服从参数为l 的指数分布.（I ）求第三辆车在加油站等待加油时间T 的分布函数()T F t .（II ）证明：对任意的0,0a b >>， {|}{}P T a b T a P T b >+>=>;（III ）求第三辆车在加油站度过时间H 的方差()D H .22.设随机变量X 的密度函数为()2,11,0,ax bx c x f x ìï++-<<ï=íïïî其他.若已知7()0,(),15E X D X ==求（Ⅰ）常数,,a b c 的值；（Ⅱ）数学期望E X ；（Ⅲ）协方差()cov ,X X.23. 某生产线上生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，每箱的平均重量为50千克，标准差为5千克。
合工大超越版概率习题副本
概率期末作业题（出题人：余丙森）1.设,,A B C 是任意三个事件,则下列各命题正确的是A.若A C B C +=+,则A B =;B.若()(),P A P B =则A B =;C.若A B A -=,则AB =∅;D.若()0P AB =,则AB =∅.2．设随机事件,A B 满足()()1/2P A P B ==和()1P A B ⋃=，则...()1.()0A A B B AB C P A B D P A B ⋃=Ω=∅⋃=-=3．若()()()E XY E X E Y =,则:A ． ()()()D XY D X D Y =; B. ()()()D X Y D X D Y -=+; C. ,X Y 不独立; D. ,X Y 独立.4.设随机变量X 的概率密度为1,2061(),1330,x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其它,2Y X =,则当14y <<时,Y的概率密度()Y f y =A. BC. D5．.12100,,,X X X 是来自正态总体(0,4)N 的简单随机样本，则201002212111()()80320i i i i X X ==+∑∑服从的分布为： A ．2(2)χ；B.2(100)χ；C.(0,2)N ；D.(0,400)N6．设129,,...,X X X .为来自正态总体2(,)N μσ 的简单随机样本, X 是样本均值,2S 是样本方差,则以下正确的是A .29~(9,)X N μσ; B 2229~(8)S χσ;C .3()~(9)X t S μ-;D 229()~(1,8)X F Sμ-7．设总体X 的数学期望为μ，方差为2σ，123(,,)X X X 为样本，则下列统计量中，（ ）为μ的无偏估计，且方差最小.123111A.236X X X ++ 123111B.333X X X ++ 123122C.555X X X ++ 123123D.777X X X ++8．设,A B 独立，()0.6,()0.2,(|)0.4,P A P B A P C AB =-==则()P A B C ⋃⋃=9.设随机变量,X Y 均服从2(0,)N σ分布，且1{0,0}3P X Y ≤≥=，则{0,0}________.P X Y ><=10． 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，则{2}_____.P Y ==11．(,)X Y,则____,____a b ==并求{0}P X Y -=12．设随机变量X 和Y 独立同正态分布1(0,)2N ,则()______,______E X Y E X Y -=-=13．设X 服从参数为2λ=的指数分布,则)12(23+--X e E X =______,(21)D X -=14．.设来自正态总体2(,0.9)N μ的样本均值91159i i x x ===∑,则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间是 .15．设总体2~(,)X N μσ,由来自总体X 的容量为16的简单随机样本,测得样本均值31.645,X =,样本方差24S =,则检验假设0:30H μ≤使用的统计量_________其值等于____________,在显著性水平0.05α=下_______假设0H.(附:0.025(16) 2.1199t =,0.025(15) 2.1315t =,0.05(16) 1.7459t =,0.05(15) 1.7531t =)16．在区间(0,1)中随机地取出两个数,求两数之差的绝对值小于12的概率.17． 商店出售10台洗衣机，其中3台次品，现已售出1台洗衣机，在余下的洗衣机中任取两台发现均为正品，试求原先售出一台为次品的概率.18.已知随机变量,X Y 相互独立,其分布函数分别为0,01(),0141,1X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≤⎪⎩, 0,0(),011,1Y y F y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≤⎩求Z X Y =+的分布函数.19.设二维随机变量(,)X Y 在区域:02,01G x y ≤≤≤≤上服从均匀分布，记0,,1,2,,k X Y k X k k X Y k +≤⎧==⎨+>⎩，求：（Ⅰ）12(,)X X 的联合分布； （Ⅱ）当20X =时1X 的概率分布； （Ⅲ）1X 与2X 的相关系数ρ.20.设,X Y 的联合概率密度函数为,01,0,c xy y x f x y其他（1）求c; （2）讨论X Y 与的独立性； (3)求Z X Y =+的分布函数()Z F z .21. 汽车加油站共有两个加油窗口,现有三辆车,,A B C 同时进入该加油站,假设,A B 首先开始加油,当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C 加油.假设各辆车加油所需时间是相互独立的且都服从参数为的指数分布.（I ）求第三辆车在加油站等待加油时间T 的分布函数()T F t .（II ）证明：对任意的0,0a b ， {|}{}P T a b T a P T b ; （III ）求第三辆车在加油站度过时间H 的方差()D H .22.设随机变量X 的密度函数为2,11,0,ax bx c x f x其他.若已知7()0,(),15E X D X 求（Ⅰ）常数,,a b c 的值；（Ⅱ）数学期望E X ；（Ⅲ）协方差cov ,X X .23. 某生产线上生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，每箱的平均重量为50千克，标准差为5千克。
合工大概率统计第1章(1--2).
B．
从集合角度来讲， A
B 为 A 和 B 的并集．
11-13
2019/2/4
4. 交事件（积事件） 事件“ A, B 都发生”称为事件 A 和事件 B 的交事件或积事件， 记为 A
B 或 AB ．
从集合角度来讲， AB 为 A 和 B 的交集．显然有
E 的样本空间，记为 ．
11-7
在 E1 中，样本点为 1 “出现正面”和 2 “出现 反面” ，样本空间为 1 {1,2 } ．
在 E2 中，用 i 表示第一枚骰子出现的点数， j 表示第 二枚骰子出现的点数，则每个样本点可用二维有序数组
2019/2/4
(i, j ) 表示，其中 1 i 6,1 j 6 ，因此样本空间为
例：在 E1 中， A1 {1}； 在 E2 中． B1 {(6,6)}, B2 {(1,1),(1, 2),(2,1)} ； 其中 E1 中的 A 1 和 E2 中的 B 1 为基本事件．
11-9
2019/2/4
当随机试验 E 中所出现的样本点属于集合 A 时， 就称 随机事件 A 发生，否则就称随机事件 A 不发生．
2019/2/4
概率论与数理统计
2019/2/4
11-1
2019/2/4
概率论与数理统计
概率论
数理统计
11-2
2019/2/4
第一章 随机事件及其概率
11-3
2019/2/4
§1 随机试验与随机事件
自然界与社会生活中的两类现象：
确定性现象：结果确定 随机现象：结果不确定
合工大-超越-数学二-18年
（4） 积分I
4
tan
x
ln(1
etan x )dx
（
）
4
（A） 0
（B）1
（C）
4
（D）1 4
（5） 设F(x)
1 ex2
dv
x2 ln v
f
(u )du, 其中f
(x)为连续函数，则 lim x0
F(x) 等于 （ x3
）
（A） 2 f (0)
（Ⅱ）求极限 lim
1 n
xn (1 x)n dx.
n 0
（16）（本题满分 10 分）设有二阶微分方程 y (4x e2 y )( y)3 0.
（Ⅰ）视 x为y 的函数，变换此方程；
（Ⅱ）求此方程的通解.
（17）（本题满分 10 分）抛物线 y 3 x2与直线y 2x交于A, B两点，M是抛物线 AB 上的动点，
2018 年全国硕士研究生入学统一考试超越考研数学（二）模拟一
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设 lim ax3 bx2 cx d 4, lim ax3 bx2 cx d 2,当 1,2时，
1
dx
x (ex e y3 e y3 )dy
1 0
.
（10）设函数 f (x) (x [x]) sin 2x, 其中[x] 为取整函数，则 f (100) ( 2017 )
.
2
（11） 设y
f
( x)由
t
2
x t2 y sin
合工大概率统计第一章(3--4)
P( B) 例 3.3 设 P( A) 0 ，证明 P( B A) 1 ． P( A)
条件概率的计算方法
⑴公式法： P( B A)
P( AB) ； P( A)
⑵代入法：改变样本空间直接计算．
例 3.1 某市一项调查表明，该市有 30%的学生视力有缺陷．7%学生
听力有缺陷,3%学生视力与听力都有缺陷． （1）已知某学生视力有缺陷，求其听力有缺陷的概率； （2）已知某学生听力有缺陷，求其视力有缺陷的概率.
二、乘法公式
定理 3.1Leabharlann 注意： ⑴乘法公式是指：当 P( B) 0 时，由 P ( B ) 和 P( A B) 的 乘积来计算 P( AB) ， ⑵其中的条件概率 P( A B) 是由代入法计算的．
设 P( B) 0 ，则 P( AB) P(B)P( A B) ．
推论 3.1 设 P( A) 0 ，则 P( AB) P( A)P(B A) ．
1 P( AB) 显然 P( A B) . 表明 P( A) P( A B), P( A B) . 13 P( B)
一、条件概率
定义 3.1 在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率称为
P( AB) 条件概率，记为 P( A B) ．且当 P( B) 0 时，P( A B) ． P( B)
A3 ：该考生完全不掌握相关知识； B ：该考生选对答案；
3 1 1 1 1 3 P( B) P( Ai )P( B Ai ) 1 5 5 2 5 4 4 i 1
合肥工业大学概率论期末考试复习资料
x
f (t ) dt
④．设 Y 的分布函数为 FY ( y ) ，则
FY ( y ) P{Y y} (1). 当 y 0 时，则 FY ( y) P{Y y} P{ } 0
2 (2). 当 y 时，则 FY ( y) P{Y y} P{ } 1 4 2 (3). 当 0 y 时，如图所示 4 Y YX 2 FY ( y) P{Y y} P{X y}
所以 (U , V ) 的分布律及边缘分布律为
U V
0 1
1 4 1 4
1 2
0 1
1 4 1 4
1 2
1 2 1 2
1
所以 U 与 V 相互独立．
1 x 4. 设随机变量 X 的概率分布密度为 f ( x) e , x ． 2 （1）求 X 的数学期望 EX 和方差 DX ； （2）求 X 与 X 的协方差，并问 X 与 X 是否不相关？
2 2 2 2
（反证既得） X , X 不独立，故 X , X 不独立。
2
2
e ( x ) , x , 5. 设总体 X 的概率密度函数为 f ( x) ，其 x . 0, 中 0 和 都是参数， 又设 X1 , , X n 为该总体的简单随机样 本，而 x1 , xn 为样本观察值， （Ⅰ）设 已知，求 的最大似 ˆ． ˆ． 然估计 （Ⅱ）设 已知，求 的矩估计
（2）由于 U , V 为离散型随机变量，且
P{U 1,V 1} P{X 0, Y 0} D中x 0, y 0部分的面积 1 ， D的面积 4 1 1 同理 P{U 0, V 0} ， P{U 0, V 1} ， 4 4 1 P{U 1, V 0} ， 4
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概率期末作业题（出题人：余丙森）
1.设A,B,C是任意三个事件,则下列各命题正确的是
A.若 A C = B C ,贝U A=B；
B.若P(A)=P(B),贝U A=B；
C.若 A _ B = A,贝U AB = ；
D. 若P(AB ) =0 ,贝U A B = .
2 •设随机事件A, B 满足P(A) =P(B) =1/2 和P(A B) =1，则
A. A B - “
B. AB =0
C.P(A_. B)=1
D.P(A_B)=0
3.若E(XY ) =E(X ) E(Y) ，则:
A . D(XY ) =D(X )D (Y) J B. D (X _Y) = D (X ) D (Y )；
C. X ,Y不独立；
D. X , Y独立.
1
,—2 £X £0
6
1
f(x)=< — , 1cx<3，丫 = X2,则当1cyc4 时，丫3
0, 其它
的概率密度J（y）二
5. .X—X2,必00是来自正态总体N (0, 4)的简单随机样本，则
20 100
一(7 XJ2•—('• XJ2服从的分布为：
80 i $ 320 i -21
A. 2 (2) ；
B. 2 (100) ；
C. N (0, 2) ；
D. N (0, 400)
值,S2是样本方差，则以下正确的是
—2
2 9S 2
A .9X ~ N (9 ) ；
B - - (8)
；C .坐)~t(9) ；D 9(X J)- F(1,8) S S
4.设随机变量X的概率密度为
6.设X-X2,..., X9 .为来自正态总体N（」,；「2）的简单随机样本，X是样本均
1 1
7.设总体X 的数学期望为,方差为匚2,(X i ,X 2,X 3)为样本，则下列统计量 中，( )为J 的无偏估计，且方差最小.
1
1 1
1 1
1 A. — X 1
X 2
-X 3 B.
X 「 X 2 X 3 2
3 6
3
3
3
1
2 2
1
2 3 C. — X 1
X 2
X 3
D. — X 1 X 2
X
5
5
5
7
7 7
8.设 A, B 独立，P (A) =0.6, P(B 一 A) =0.2, P(C | AB ) =0.4,贝 U
P(A B 一 C)=
1
9.设随机变量X ,Y 均服从N( 0打2分布，且P ｛X 岂0, 丫 _0｝二―,则
3
P ｛X 〉0,丫 £0》 _______________
1 次独立重复观察中事件｛X 乞-｝出现的次数，则P ｛Y =2｝二
2
11. (X ,Y)的联合分布为
已知随机事件｛X =0｝与｛X Y =1｝相互独立，则 _________ , b =
并求 P ｛ X 一丫 = 0｝
1
12.设随机变量X 和丫独立同正态分布N (0,)，则
2
E(X —Y) = _______ , E X -Y = _________
13.设X 服从参数为& =2的指数分布，则E (e 」X - 2X 2 +1) = ___________ , D(2 X -1)=
1
9
10. 设随机变量X 的概率密度函数为f(x)
2x, °,
0 ：：: x ::: 1 用丫表示对X 的3
14..设来自正态总体N(~0.92)的样本均值x二-a X j =5,则未知参数」的置信水
9 =
平为0.95的置信区间是_____________________ .
15•设总体X 〜N —2),由来自总体X 的容量为16的简单随机样本，测得样本均
值X = 31.645,,样本方差S 2 =4 ,则检验假设H 0 :」乞30使用的统计量
_________ 值等于 ______________ 在显著性水平a =0.05下 __________ 假设
.(附：t °.025 (16) = 2.1 199 ,t °.025 (15) = 2.1315 ，―佝 =1.7459
,⑴(15) = 1.7531 )
16•在区间(0,1)中随机地取出两个数，求两数之差的绝对值小于 1的概率.
2
17.商店出售10台洗衣机，其中3台次品，现已售出1台洗衣机，在余下的洗 衣机
中任取两台发现均为正品，试求原先售出一台为次品的概率 .
18.已知随机变量X ，丫相互独立,其分布函数分别为
求Z =X Y 的分布函数.
19.设二维随机变量(X,Y)在区域G:0_x_2,0_y_t h 服从均匀分布，记
0, X < k,
X k 二
k =1,2，求：
k, X Y ■ k,
(I) (X 「X 2
)的联合分布；(U)当X 2
的相关系数T.
20.设(X ,Y )的联合概率密度函数为 f (x,y )二
-0时X !的概率分布；(川)X !与X 2
多c (x y ), 0 # y X 1
才0,
其他
(1 )求C ； (2)讨论X 与Y 的独立性;
⑶求Z = X Y 的分布函数F Z (z).
21.汽车加油站共有两个加油窗口 ,现有三辆车A, B,C 同时进入该加油站，假设A, B 首先开
始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车 C 加油.假设各辆车加油所需时间是相
互独立的且都服从参数为l 的指数分布.
(I )求第三辆车在加油站等待加油时间
T 的分布函数F/t).
(II )证明：对任意的 a > 0, b > 0 , P{T > a+ b | T > a} = P{T > b}; (III )求第三辆车在加油站度过时间
H
的方差D (H ).
0,
X £0
1
F X (X )
, 0 _
x ：：: 1
14
0, y ： 0
F Y (y) = { y, 0 兰 y v 1
1, 1 兰y
22. 设随机变量X的密度函数为f(x)=替+ bx+ c, - ^ x< h若已知
'丿？0, 其他.
E(X)= 0, D(X) = 7
,求(I)常数a,b,c 的值；(H)数学期望 E X ;(川)协方差cov (X , X ). 15
23. 某生产线上生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，每箱的平均重量为
50千克，标准差为5千克。
现用最大载量为5吨的汽车来承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装载多少箱产品才能保障不超载的概率大于0.975?
24. 设总体X服从参数为■的泊松分布，对-c • (0,1)，问cX - (1 -c)S2是否为，的
无偏估计？
25. 设总体X在区间［0, 71］上服从均匀分布，X!，…，X n是来自总体的简单随机样
1 n
本，* = _ X i ,X(n)=m ax( X-…，X n),
n i 二
(1) 求二参数二的矩估计量，最大似然估计量；
(2) 求常数a,b使f=aX,d2 =bX⑴均为二的无偏估计，并比较其谁更有效
26.已知总体X可能的取值为0,1, 2, X1,X2,鬃X n是来自总体X的样本，如果
2
P{ X = 2} = (1- q) .EX = 2(1 - q) (0 < q < 1),
27.设某种农作物的亩产量x〜N(〜二2)，
量x = 258 kg，标准差s = 9kg .
(I)问可否认为■1- 250 ?( ：• =0.05 ) 附：(t°.°25 (8) =2.3060 ，t°.°5 (8) =1.8595 ，(U)问可否认为 C <10 ?( ：• =0.05 ) 附：(3「a 2 (8) =2.733 ，/「a2 (8) =15.507 ，今随机抽取9块田，测得其平均亩产t o.025 (9) = 2.2622 ，t°.o5 (9) = 1.8331 )
0.975
2 (8) =2.180 ，0.025 2 (8) =17.535 )
(I )求X的概率分布; (II )求q的矩估计量，并讨论其无偏性; (III )若样本观测值为0,1,1, 2，求q的极大似然估计值工.。