复习第三章求解导热问题的有限差分法
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内容 （1）显式差分格式 1、差分格式 （2）完整隐式差分格式 （3）六点差分格式 （1）内节点法 （2）外节点法
2、直接差分法
1
第一节 差分格式 一 . 概述 1. 差分格式 实际导热问题必然涉及边值条件，在有限差分法 中它们也必须差分化。 因此，我们需要研究的不仅是差分方程本身，而 且是包括全部内部区域和所有边界上的差分方程所组 成的代数方程组。又称为差分格式。 2. 非稳态导热方程的完整的差分格式（步骤）
T n t i 2T n x 2 i
) ( 0 x L , t 0)
T n t i
2
左边用向前差商近似：
( )
(
T n x 2 i
Tin1 Tin t
n n Ti n 2 T T 1 i i 1
右边用中心差商近似：
)
( x ) 2
10
第一节 差分格式
二. 显式差分格式
Ti n1 Ti n t
a
n n Ti n 2 T T 1 i i 1
( x ) 2
即显式差分方程。 ④式 由②式离散得：Ti 0
T0 (i 2,3,, m 1) ⑤式
11
第一节 差分格式 注意边界节点在初始时刻的温度值应由边界条件来提供。 由③式所示的边界条件在离散区域内表示为给定边 界节点在时刻t＝0，1，2，…的温度值，即：
8
第一节 差分格式
T T 2 导热方程： a 2 (〈 0 x L, t 0) t x
初始条件： T ( x,0) T0 边界条件：T (0, t ) T ( L, t ) Tw 目标是求 T ( x, t )
①式 ②式
③式
9
第一节 差分格式 二. 显式差分格式
由（ 1 ）式在x xi，t t n处， ( ) a(
(n 1,2,...;i 2,3,...m 1)
同样：
Ti 0 T0 (i 2,3,...m 1)
n T1n Tw , Tm Tw (n 0,1,2,...)
(8)式
17
第一节 差分格式 该方程截断误差为O（Δt，Δx2），对Δt有一阶精度。 由于（8）式不能直接独立求解，必须通过求解线性方 程组才能得到各节点在n+1时刻的温度值。因而，这种差 分格式称为隐式差分格式。
3
图
1-1 区 域 离 散 化
第一节 差分格式 ② 在所有内节点（内单元）上建立差分方程。 建立差分方程的方法：差商代替微商；直接 差分法或单元热平衡法。 ③ 将初始条件与边界条件亦以相应的差分形式来 表示，并与内节点一起组成完整的差分格式。 方程与节点数恰好对应。 ④ 选用适当的数值计算方法求解线性代数方程组， 将求解过程编制成计算机程序，上机运行得到温 度场。
n T1n Tw , Tm Tw (n 0,1,2,...)
式中，
f
at ( x ) 2
或f
t C p ( x ) 2
13
第一节 差分格式 求解⑦式步骤： a. 设过程开始时各节点温度为Ti0（i＝1，2，…，m）， 则T10与Tm0由边界条件提供，其余的Ti0 （i＝2，3…m－1） 由初始条件提供，这样第0排上温度即可全部求得。 b. 利用方程⑦中的第1式，可计算第1排上所有内节点的温 度Ti1（i＝2，3，…，m-1），再利用第3式即边界条件得 到Ti1与Tim ，这样第1排的温度又可全部求得。 c. 依次类推，直至求得所有的Tin值。 每个节点均可单独求解。这种格式称为“显式差分格式”。
14
第一节 差分格式 三. 完整隐式差分格式 将①式应用于节点i时，在tn+1 时刻 ，则：
( )
T n 1 t i
a(
2T n 1 x 2 i
)
左边按温度对时间的一阶向后差商近似，右边为 中心差商，则：
( )
T n 1 t i
Hale Waihona Puke Baidu
Ti
n1
Ti t
n
15
第一节 差分格式
2
第一节 差分格式 ① 将物体或计算所涉及的区域进行离散化。 区域离散化的具体处理方法：
有两种，一种是将求解区域划上网格线，如图1 －1所示。网格线的交点即为节点。
另一种是将区域划分成若干单元，以单元体内的 一点作为节点，如图1－1c所示。 无论何种方法，单元与节点总是一一对应的。将 图1－1b与图1－1c重叠在一起（见图1－1d），一般 称落在区域内的节点为内节点，在边界上的节点为边 界节点。
T1n Tw
n Tm Tw
（n＝0，1，2，…）
⑥式
12
第一节 差分格式 将④，⑤，⑥式联立，得完整差分格式：
n n n Ti n1 f Ti ( 1 2 f ) T f T 1 i i 1
⑦式
（n＝1，2，…；i＝2，3，…，m－1）
Ti 0 T0 (i 2,3,...,m 1)
右边用中心差商近似：
(
T n 1 2 i x
2
)
n1 n1 n1 Ti 1 2Ti Ti 1 2
( x )
Ti
n1
Ti t
n
a(
n1 n1 n1 Ti 1 2Ti Ti 1 2
( x )
)
16
第一节 差分格式
Ti
n 1
Ti
n
n1
5
第一节 差分格式 3. 区域和时间的离散表示方法
xi 记为i，t n 记为n。而 x i 在 t n 时刻的温度 T ( xi , tn )
则记为 Ti
n
。
6
（1）
Δx－距离步长 Δt－时间步长
xi (i 1)x tn n t
图1-2 区域与时间的离散及其表示方法
第一节 差分格式 （2）不同差分格式的讨论 为简化设计，下面讨论不同的差分格式时以一维非 稳导热方程为例，其中所包含的边值条件则以一组最简 单的情况为代表。 令一维区域的长度为L，材料的各项热物性值均为常 数且已知，初始条件已知为T0，边界条件则为边界上的 温度固定并已知为Tw。这样就构成了下面的方程组：
t ( ) 2
(T
n 1 i 1
2Ti
n1
n 1
T
n1 i 1
n 1 i 1
)
t 令f ( 2 ，则： )
Ti Ti
n
f (T
n1 i 1
2Ti
T
)
n1 n1 Ti n Ti n1 (1 2 f ) f Ti f T 1 i 1
2、直接差分法
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第一节 差分格式 一 . 概述 1. 差分格式 实际导热问题必然涉及边值条件，在有限差分法 中它们也必须差分化。 因此，我们需要研究的不仅是差分方程本身，而 且是包括全部内部区域和所有边界上的差分方程所组 成的代数方程组。又称为差分格式。 2. 非稳态导热方程的完整的差分格式（步骤）
T n t i 2T n x 2 i
) ( 0 x L , t 0)
T n t i
2
左边用向前差商近似：
( )
(
T n x 2 i
Tin1 Tin t
n n Ti n 2 T T 1 i i 1
右边用中心差商近似：
)
( x ) 2
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第一节 差分格式
二. 显式差分格式
Ti n1 Ti n t
a
n n Ti n 2 T T 1 i i 1
( x ) 2
即显式差分方程。 ④式 由②式离散得：Ti 0
T0 (i 2,3,, m 1) ⑤式
11
第一节 差分格式 注意边界节点在初始时刻的温度值应由边界条件来提供。 由③式所示的边界条件在离散区域内表示为给定边 界节点在时刻t＝0，1，2，…的温度值，即：
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第一节 差分格式
T T 2 导热方程： a 2 (〈 0 x L, t 0) t x
初始条件： T ( x,0) T0 边界条件：T (0, t ) T ( L, t ) Tw 目标是求 T ( x, t )
①式 ②式
③式
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第一节 差分格式 二. 显式差分格式
由（ 1 ）式在x xi，t t n处， ( ) a(
(n 1,2,...;i 2,3,...m 1)
同样：
Ti 0 T0 (i 2,3,...m 1)
n T1n Tw , Tm Tw (n 0,1,2,...)
(8)式
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第一节 差分格式 该方程截断误差为O（Δt，Δx2），对Δt有一阶精度。 由于（8）式不能直接独立求解，必须通过求解线性方 程组才能得到各节点在n+1时刻的温度值。因而，这种差 分格式称为隐式差分格式。
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图
1-1 区 域 离 散 化
第一节 差分格式 ② 在所有内节点（内单元）上建立差分方程。 建立差分方程的方法：差商代替微商；直接 差分法或单元热平衡法。 ③ 将初始条件与边界条件亦以相应的差分形式来 表示，并与内节点一起组成完整的差分格式。 方程与节点数恰好对应。 ④ 选用适当的数值计算方法求解线性代数方程组， 将求解过程编制成计算机程序，上机运行得到温 度场。
n T1n Tw , Tm Tw (n 0,1,2,...)
式中，
f
at ( x ) 2
或f
t C p ( x ) 2
13
第一节 差分格式 求解⑦式步骤： a. 设过程开始时各节点温度为Ti0（i＝1，2，…，m）， 则T10与Tm0由边界条件提供，其余的Ti0 （i＝2，3…m－1） 由初始条件提供，这样第0排上温度即可全部求得。 b. 利用方程⑦中的第1式，可计算第1排上所有内节点的温 度Ti1（i＝2，3，…，m-1），再利用第3式即边界条件得 到Ti1与Tim ，这样第1排的温度又可全部求得。 c. 依次类推，直至求得所有的Tin值。 每个节点均可单独求解。这种格式称为“显式差分格式”。
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第一节 差分格式 三. 完整隐式差分格式 将①式应用于节点i时，在tn+1 时刻 ，则：
( )
T n 1 t i
a(
2T n 1 x 2 i
)
左边按温度对时间的一阶向后差商近似，右边为 中心差商，则：
( )
T n 1 t i
Hale Waihona Puke Baidu
Ti
n1
Ti t
n
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第一节 差分格式
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第一节 差分格式 ① 将物体或计算所涉及的区域进行离散化。 区域离散化的具体处理方法：
有两种，一种是将求解区域划上网格线，如图1 －1所示。网格线的交点即为节点。
另一种是将区域划分成若干单元，以单元体内的 一点作为节点，如图1－1c所示。 无论何种方法，单元与节点总是一一对应的。将 图1－1b与图1－1c重叠在一起（见图1－1d），一般 称落在区域内的节点为内节点，在边界上的节点为边 界节点。
T1n Tw
n Tm Tw
（n＝0，1，2，…）
⑥式
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第一节 差分格式 将④，⑤，⑥式联立，得完整差分格式：
n n n Ti n1 f Ti ( 1 2 f ) T f T 1 i i 1
⑦式
（n＝1，2，…；i＝2，3，…，m－1）
Ti 0 T0 (i 2,3,...,m 1)
右边用中心差商近似：
(
T n 1 2 i x
2
)
n1 n1 n1 Ti 1 2Ti Ti 1 2
( x )
Ti
n1
Ti t
n
a(
n1 n1 n1 Ti 1 2Ti Ti 1 2
( x )
)
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第一节 差分格式
Ti
n 1
Ti
n
n1
5
第一节 差分格式 3. 区域和时间的离散表示方法
xi 记为i，t n 记为n。而 x i 在 t n 时刻的温度 T ( xi , tn )
则记为 Ti
n
。
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（1）
Δx－距离步长 Δt－时间步长
xi (i 1)x tn n t
图1-2 区域与时间的离散及其表示方法
第一节 差分格式 （2）不同差分格式的讨论 为简化设计，下面讨论不同的差分格式时以一维非 稳导热方程为例，其中所包含的边值条件则以一组最简 单的情况为代表。 令一维区域的长度为L，材料的各项热物性值均为常 数且已知，初始条件已知为T0，边界条件则为边界上的 温度固定并已知为Tw。这样就构成了下面的方程组：
t ( ) 2
(T
n 1 i 1
2Ti
n1
n 1
T
n1 i 1
n 1 i 1
)
t 令f ( 2 ，则： )
Ti Ti
n
f (T
n1 i 1
2Ti
T
)
n1 n1 Ti n Ti n1 (1 2 f ) f Ti f T 1 i 1