2011年高考数学试题分类汇编三角函数(附答案)
2011年高考试题解析数学(理)分项版之专题5-三角函数1答案
一、选择题 1、2、３、【答案】C.【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即s i n ϕ<，所以72,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得7()s i n (2)6f x x π=+，由7222262k x k πππππ-++剟，得563k x k ππππ--剟，故选C.4、答案： D解析：由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 2A=2sinA ，即sinB （sin 2A+cos 2A ）=2sinA ，故sinB=2sinA ，所以2ba=； 5、答案： A解析：217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6、【答案】 C 【解析】()()2442βππβαα+=+-- cos()cos[()()]2442βππβαα∴+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα+++1322634353333399+=⨯+⨯== 故选C7、8、9、【答案】D 【解析】设BD a =,则由题意可得:2,BC a = 32AB AD a ==,在ABD ∆中,由余弦定理得：222cos 2AB AD BD A AB AD +-==⋅22232432()2a a a ⨯-⨯=13，所以sin A =21cos A -=223，在△ABC 中，由正弦定理得，s i n s i n A B B C C A =，所以322sin 223aa C a =，解得sin C =66，故选D. 10、答案：B 解析：由3sin cos 1x x -≥，即1sin()62x π-≥，解得522,666πππππ+≤-≤+∈k x k k z ，即22,3k x k k zππππ+≤≤+∈，所以选 B.11、【答案】B 【解析】：令1y x =，2cos y x =，则它们的图像如图故选B12、解析：选A 。
《2011年高考数学试题分类汇编三角函数》
a3 ，求函数 f ( x) 的解析式． 13 1 解： (Ⅰ )由 q = 3, S 3 = 得 a1 = ，所以 an = 3n− 2 ； 3 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 a3 = 3 ，因为函数 f ( x) 最大值为 3，所以 A = 3 ， π π π 又当 x = 时函数 f ( x) 取得最大值，所以 sin( + ϕ ) = 1 ，因为 0 < ϕ < π ，故 ϕ = ， 6 3 6 π 所以函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) = 3sin(2 x + ) 。 6
(a + 4) 2 = a 2 + (a − 4)2 − 2a (a − 4) cos120� ，则 a = 10 ，所以三边长为 6,10,14.△ABC 的面 1 积为 S = × 6 × 10 × sin120� = 15 3 . 2 π 安徽文(15)设 f ( x) = a sin 2 x + b cos 2 x ，其中 a，b ∈ R，ab ≠ 0，若 f ( x ) ≤ f ( ) 对一切则 6 7π π 11π x ∈ R 恒成立，则① f ( ② f( ) ＜ f ( ) ③ f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数 )=0 10 5 12 π 2π ⎤ ⎡ ④ f ( x) 的单调递增区间是 kπ + , kπ + (k ∈ Z ) ⎢ 6 3 ⎥ ⎣ ⎦ ⑤存在经过点（a ，b）的直线与函数的图 f ( x) 像不相交
2011三角函数高考真题
一、选择题（共29小题）1、（2011•重庆）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A、B、C、1D、2、（2011•天津）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）A、f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B、f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C、f（x）在区间[3π，5π]上是减函数D、f（x）在区间[4π，6π]上是减函数3、（2011•天津）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）A、B、C、D、4、（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=（）A、﹣B、C、﹣1D、15、（2011•上海）若三角方程sinx=0 与sin2x=0 的解集分别为E，F，则（）A、E⊊FB、E⊋FC、E=FD、E∩F=∅6、（2011•陕西）方程|x|=cosx在（﹣∞，+∞）内（）A、没有根B、有且仅有一个根C、有且仅有两个根D、有无穷多个根7、（2011•山东）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A、B、C、2D、38、（2011•山东）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（）A、8B、2C、D、9、（2011•辽宁）已知函数，y=f（x）的部分图象如图，则=（）A、B、C、D、10、（2011•湖北）已知函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为（）A、{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z}B、{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}C、{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}D、{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}11、（2011•安徽）已知函数f（x）=sin（2x+ϕ），其中ϕ为实数，若对x∈R恒成立，且，则f（x）的单调递增区间是（）A、B、C、D、12、（2010•重庆）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A、B、C、D、13、（2010•重庆）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A、ω=1，φ=B、ω=1，φ=﹣C、ω=2，φ=D、ω=2，φ=﹣14、（2010•天津）如为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A、向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B、向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C、向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D、向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变15、（2010•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A=（）A、30°B、60°C、120°D、150°16、（2010•上海）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A、一定是锐角三角形B、一定是直角三角形C、一定是钝角三角形D、可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形17、（2010•上海）（上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能（）A、不能作出这样的三角形B、作出一个锐角三角形C、作出一个直角三角形D、作出一个钝角三角形18、（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A、B、C、D、319、（2010•江西）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=（）A、B、C、D、20、（2011•重庆）若△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（）A、B、C、D、21、（2011•浙江）若0＜a＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A、B、﹣C、D、﹣22、（2011•上城区）已知0＜α＜π，满足3sin2α=sinα，则cos（π﹣α）等于（）A、B、﹣C、D、﹣23、（2011•辽宁）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A、﹣B、﹣C、D、24、（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A、B、C、D、25、（2011•福建）若tanα=3，则的值等于（）A、2B、3C、4D、626、（2010•陕西）对于函数f（x）=2sinxcosx，下列选项中正确的是（）A、f（x）在（，）上是递增的B、f（x）的图象关于原点对称C、f（x）的最小正周期为2πD、f（x）的最大值为227、（2010•陕西）函数f（x）=2sinxcosx是（）A、最小正周期为2π的奇函数B、最小正周期为2π的偶函数C、最小正周期为π的奇函数D、最小正周期为π的偶函数28、（2010•福建）计算1﹣2sin222.5°的结果等于（）A、B、C、D、29、（2008•海南）=（）A、B、C、2D、答案与评分标准一、选择题（共29小题）1、（2011•重庆）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A、B、C、1D、考点：余弦定理的应用。
2011年高考数学试题分类汇编 专题三角函数 理
2011年高考试题数学（理科）三角函数一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为（A ）【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===故选D. 2. (2011年高考山东卷理科6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23【答案】C【解析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ,故选C.3.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】C.【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. 【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知(A) 答案： D解析：由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 2，即sinB （sin 2A+cos 2A ），故，所以ba= 5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） (A) 79- (B) 19- (C) 19 (D)79答案： A解析：217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6.(2011年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+=（A ）3 （B ）3- （C ）9 （D ）9-【答案】 C 【解析】：()()2442βππβαα+=+-- cos()cos[()()]2442βππβαα∴+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα+++1333399=⨯+== 故选C 7. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （ ）A 54-B 53-C 32D 43 解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B8.(2011年高考全国新课标理11)设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 解析：()2s i n ()4f x x πωϕ=++，所以2ω=，又f(x)为偶函数，,424k k k z πππϕπϕπ∴+=+⇒=+∈，())2f x x x π∴=+=，选A9. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△ABC 中，D 是边AC上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ==，则sin C 的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】设BD a =,则由题意可得:2,BC a =AB AD ==,在ABD ∆中,由余弦定理得：222cos 2AB AD BD A AB AD +-==⋅2232a a ⨯-13，所以sin A=3，在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin AB BC C A =，所以2sin C =，解得sin CD.10．(2011年高考湖北卷理科3)已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈ B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ 答案：Bcos 1x x -≥，即1sin()62x π-≥，解得522,666πππππ+≤-≤+∈k x k k z ，即22,3k x k k z ππππ+≤≤+∈，所以选B.11．(2011年高考陕西卷理科6)函数()cos f x x =在[0,)+∞内（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两一个零点（D ）有无穷个零点 【答案】B 【解析】：令1y =2cos y x =，则它们的图像如图故选B12.(2011年高考重庆卷理科6)若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则ab 的值为（A ）43(B) 8-(C)1 (D) 23解析：选A 。
2011年高考数学试题汇编-三角函数(含答案)
2011年高考数学试题汇编-三角函数一， 角的定义、诱导公式与三角恒等变换1.（辽宁7）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= （A ）79-（B ）19-（C ）19 （D ）79【答案】A2.（福建3）若tan α=3，则2sin 2cos a α的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】D3.（全国新课标5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ） （A ）45-（B ）35-（C ）35 （D ）45【答案】B4.（浙江6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（ ） A ．33 B ．33-C．539D ．69-【答案】C5.（重庆14）已知1s i n c o s 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则c o s 2s i n 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________【答案】142-6.（全国大纲理14）已知a ∈（2π，π），sinα=55，则tan2α=__________【答案】43-7.（江苏7）已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________【答案】948.（上海理6）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是_______千米。
【答案】6二， 三角函数的性质1.（山东6）若函数()sin f x x ω=(ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （ ） A ．3 B ．2 C ．3/2D ．2/3 【答案】C2.（湖北3）已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为 A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈【答案】B3.（全国新课标11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则 （A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增【答案】A4.（安徽9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭（B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭（C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭（D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭【答案】C 5.（上海8）函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为_______ 。
2011年高考题(三角函数)
2011年高考题汇总(三角函数部分)第一部分 选择题1（2011安徽理数）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对x R ∈ 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是 （ ） A ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2（2011福建理数）若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值等于 （ ）A 2B 3C 4D 6 3（2011福建文数）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 24αα+=，则tan α= （ ）A2B3C D4（2011湖北理数）已知函数()cos f x x x =-，x R ∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为 （ ） A ,3x k x k k Zππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B 22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C 5,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ D 522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ 5（2011湖南理数）由直线3x π=-，3x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）A12B 1 C2D6（2011湖南文数）曲线sin 1sin cos 2x y x x=-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为 （ ）A 12- B 12C 2-D27（2011辽宁理数）△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2sin sin cos a A B b A +=，则b a= （ ）A B C D 8（2011辽宁文数）已知函数()tan()(0,)2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如图，则()24f π= （ ）A 2+B C2D 2-9（2011全国卷I 理数）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （ ） A 45-B 35-C35D4510（2011全国卷I 理数）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -= （ ）A ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 11（2011全国卷I 文数）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p ，角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为 （ ）A BC D12（2011全国卷I 文数）若4sin 5a =-，a 是第三象限角，则sin 4a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A 10-B10C 10-D1013（2011全国卷II 理数）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （ ） A13B 3C 6D 914（2011山东理数）若点(,9)a 在函数3x y =的图像上，则tan6a π的值为 （ ）A 0B 3C 1D 15（2011山东理数）若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （ ） A 3 B 2 C32D2316（2011陕西理数）函数()cos f x x =在[)0,+∞内 （ ）A 没有零点B 有且仅有一个零点C 有且仅有两个零点D 有无穷多个零点 17（2011陕西理数）设集合{}22cos sin ,M y y x x x R==-∈，1N x x x R i ⎧⎫=-<∈⎨⎬⎩⎭i 为虚数单位，则M N 为 （ ）A ()0,1B (]0,1C [)0,1D []0,1 18（2011陕西文数）方程cos x x =在(),-∞+∞内 （ ）A 没有根B 有且仅有一个根C 有且仅有两个根D 有无穷多个根 19（2011上海文数）若三角方程sin 0x =与sin 20x =的解集分别为,EF ，则 （ ） A E F ∅ B E ÙF C E F = D E F =∅20（2011四川理数）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是 （ ） A 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦ B ,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭21（2011天津理数）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A = （ ）A 30︒B 60︒C 120︒D 150︒22（2011天津文数）如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将sin ()y x x R =∈的图像上的所有的点 （ ）A 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变23（2011浙江理数）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是 （ ）A []4,2--B []2,0-C []0,2D []2,4 24（2011浙江文数）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若c o s s i n a A b B =，则2sin cos cos A A B += （ ） A 12-B12C 1-D 125（2011重庆理数）若△ABC 的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且60C =︒，则a b 的值为 （ ）A 43B 8-C 1D 2326（2011重庆文数）若△ABC 的内角,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B = （ ）A4B34C16D1116第二部分 填空题27（2011安徽理数）已知△ABC 的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为_____________。
2011年高考真题二：三角函数、解三角形、平面向量
专题二 三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．(2011年高考湖北卷)已知函数f ()x ＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f ()x ≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 2．(2011年高考重庆卷)已知向量a ＝()1，k ，b ＝()2，2，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．(2011年高考四川卷)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝()a ，b .从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则mn＝( )A.215B.15C.415D.134．(2011年高考山东卷)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32 C ．2 D ．35．(2011年高考浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．16．(2011年高考辽宁卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．127．(2011年高考陕西卷)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x i ＜1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1]8．(2011年高考大纲全国卷)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.79．(2011年高考大纲全国卷)设函数f ()x ＝cos ωx ()ω>0，将y ＝f ()x 的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 10．(2011年高考湖北卷)若向量a ＝()1，2，b ＝()1，－1，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π4 11．(2011年高考重庆卷)若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.111612．(2011年高考课标全国卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 二、填空题13．(2011年高考大纲全国卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝__________. 14．(2011年高考课标全国卷)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.15．(2011年高考江苏卷)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x的值为________． 16．(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．17．(2011年高考安徽卷)设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．18．(2011年高考江西卷)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.19．(2011年高考上海卷)在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.20．(2011年高考重庆卷)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝__________. 21．(2011年高考福建卷)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b 等于________． 22．(2011年高考安徽卷)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．23．(2011年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.三、解答题24．(2011年高考四川卷)已知函数f ()x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . ()1求f ()x 的最小正周期和最小值；()2已知cos ()β－α＝45，cos ()β＋α＝－45，0<a <β≤π2，求证：[]f ()β2－2＝0.25．(2011年高考山东卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos Ccos B＝2c －a b .(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．26．(2011年高考湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 ，a ，b ，c 满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．27．(2011年高考湖北卷)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b＝2，cos C ＝14.()1求△ABC 的周长； ()2求cos ()A －C 的值．28．(2011年高考重庆卷)设函数f ()x ＝sin x cos x －3cos ()π＋x cos x ()x ∈R . ()1求f ()x 的最小正周期；()2若函数y ＝f ()x 的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g ()x 的图象，求y ＝g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．29．(2011年高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值．专题二 三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．【解析】选B.∵f ()x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴f ()x ≥1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12， ∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z . 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .2．【解析】选D.a ＋b ＝()1，k ＋()2，2＝()3，k ＋2. ∵a ＋b 与a 共线，∴k ＋2－3k ＝0，解得k ＝1.∴a ·b ＝()1，1·()2，2＝4. 3．【解析】选B.向量α的坐标有()2，1，()2，3，()2，5，()4，1，()4，3，()4，5，共6种情况，以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形共有C 26＝15个． 以a ，b 为邻边所作平行四边形的面积为 S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝|a ||b |1－cos 2〈a ，b 〉＝|a ||b | 1－()a ·b 2|a |2|b |2＝|a |2|b |2－()a ·b 2. 分别以a ＝()2，1，b ＝()4，1；a ＝()2，1，b ＝()4，3；a ＝()4，5，b ＝()2，3为邻边的平行四边形面积为2，故m ＝3，所以m n ＝315＝15.4．【解析】选B.∵y ＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由y ＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 5．【解析】选D.∵a cos A ＝b sin B ， ∴sin A cos A ＝sin B sin B ， 即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1. 6．【解析】选D.由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.7．【解析】选C.M ＝{y |y ＝|cos 2x |，x ∈R }＝{y |0≤y ≤1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x i ＜1＝{x ||－x i|＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，则M ∩N ＝[0,1)．8．【解析】选B.∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，∴|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝1＋4＋4×⎝⎛⎭⎫－12＝5－2＝3. ∴|a ＋2b |＝ 3.9．【解析】选C.由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6. 10．【解析】选C.2a ＋b ＝2()1，2＋()1，－1＝()3，3， a －b ＝()1，2－()1，－1＝()0，3， ()2a ＋b ·()a －b ＝9.|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3. 设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∴α＝π4.11．【解析】选D.由6sin A ＝4sin B ＝3 sin C 得sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由正弦定理知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4， 不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ()k >0，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝()22＋42－32k 22×2k ×4k＝1116.12．【解析】选D.∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2cos 2x ， 当0<x <π2时，0<2x <π，故f (x )＝2cos 2x 在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减． 又当x ＝π2时，2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2＝－2，因此x ＝π2是y ＝f (x )的一条对称轴． 二、填空题13．【解析】∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴()2cos α2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 【答案】－5514．【解析】∵a 与b 是不共线的单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又k a －b 与a ＋b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0. ∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0.(θ为a 与b 的夹角) ∴(k －1)(1＋cos θ)＝0.又a 与b 不共线， ∴cos θ≠－1，∴k ＝1. 【答案】115．【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2得tan x ＝13，tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝12(1－tan 2x )＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132＝49. 【答案】4916．【解】法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.法二：设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 【答案】517．【解析】由f (x )≤⎪⎪⎪⎪f (π6)对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴． 又f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 的周期为π， ∴f ⎝⎛⎭⎫11π12＝f ⎝⎛⎭⎫π6＋3π4可看作x ＝π6的值加了34个周期， ∴f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0.故①正确． ∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30， ∴7π10和π5与对称轴的距离相等． ∴⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②不正确． ∵x ＝π6是对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2kx ，k ∈Z . ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，tan φ＝b a ＝13，∴a ＝3b .∴f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6或f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z . 由于f (x )的解析式不确定，∴单调递增区间不确定，故④不正确． ∵f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a ，∴－a 2＋b 2≤f (x )≤a 2＋b 2.又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0. ∴－a 2＋b 2<b <a 2＋b 2，∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图象相交．故⑤不正确． 【答案】①③ 18．【解析】b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.又因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.【答案】－6 19．【解析】法一：如图，在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD ＝7，cos ∠BAD ＝32＋(7)2－122×3×7＝5714，∴AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos ∠BAD ＝3×7×5714＝152.法二：∵AD →＝AB →＋BD →，∴AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝|AB →|2＋|AB →||BD →|·cos 120°＝9＋3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝152. 【答案】15220．【解析】∵cos α＝－35且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＝－45，∴tan α＝43.【答案】4321．【解析】a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1. 【答案】1 22．【解析】由(a ＋2b )·(a －b )＝－6得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴12－2×22＋1×2×cos 〈a ，b 〉＝－6，∴cos 〈a ，b 〉＝12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.【答案】π323．【解析】根据正弦定理应有a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.【答案】523三、解答题24．【解】(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.()2证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[]f ()β2－2＝4sin 2π4－2＝0.25．【解】(1)由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin A sin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ．因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2. 26．【解】(1)由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0.从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，故C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12，所以当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2.综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 27．【解】()1∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.()2∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝ 1－⎝⎛⎭⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A＝ 1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴cos ()A －C ＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.28．【解】()1f ()x ＝12sin 2x ＋3cos 2x＝12sin 2x ＋32()1＋cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 故f ()x 的最小正周期为T ＝2π2＝π.()2依题意g ()x ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g ()x 为增函数， 所以g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.29．【解】(1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos ⎝⎛⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218.。
高考数学真题解析分项版05三角函数 文
2011年高考试题解析数学（文科）分项版05 三角函数一、选择题:1. （2011年高考山东卷文科3)若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为（A ）【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===故选D. 2. （2011年高考山东卷文科6)若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C) 2 (D)34. （2011年高考海南卷文科11)设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++,则( )A.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4x π=对称 B.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称 C.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线4x π=对称D.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】因为())44f x x ππ=++=)2x π+=2x ,故选D.5. （2011年高考福建卷文科9)若α∈（0， 2π），且2sin α+1cos 24α=，则tan α的值等于A.B. C.D. 【答案】D【解析】因为α∈（0，2π），且2sin α+1cos 24α=，所以2sin α+221cos sin 4αα-=,即21cos 4α=,所以cos α=12或12-(舍去),所以3πα=,即tan α=选D.6.（2011年高考浙江卷文科5)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 【答案】 D【解析】：由余弦定理得：2sin ,2sin ,a R A b R B ==2sin cos 2sin sin R A A R B B ∴=2sin cos sin A A B =即则222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=，故选D7. (2011年高考天津卷文科7)已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数 【答案】A 【解析】由题意知26ππω=,解得13ω=,又1sin()132πϕ⨯+=,且πϕπ-<≤,所以3πϕ=,所以1()sin()33f x x π=+,故A 正确.8.（2011年高考辽宁卷文科12)已知函数()tan()(1,||)2f x A x πωϕωϕ=+><, y=f(x)的部分图像如图,则()24f π=(A)22 答案：B解析：函数f(x)的周期是32882πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故22πωπ==，由tan 1,3tan 20,8A A ϕπϕ=⎧⎪⎨⎛⎫⋅+= ⎪⎪⎝⎭⎩得,14A πϕ==.所以()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故tan 224244f πππ⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9. （2011年高考陕西卷文科6)方程cos x x =在(),-∞+∞内 (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （D ）有无穷多个根 【答案】C【解析】：令1||y x =，2cos y x =，则它们的图像如图 故选C10.（2011年高考全国卷文科7)设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C 【解析】()cos[()]cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3x x ωπωω-= 22()663k k Z k ωπππω∴-=+∈⇒=--z 则1k =-时min 6ω=故选C11. （2011年高考江西卷文科10)如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在原点O 处，一顶点及中心M 在Y 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿X 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）【答案】A【解析】根据中心M 的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M 的位置会先变高，当C 到底时，M 最高，排除CD 选项，而对于最高点，当M 最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B ,选A.12. （2011年高考四川卷文科8)在△ABC 中，sin 2A ≤ sin 2B+ sin 2C-sinBsinC,则A 的取值范围是 （A ）(0,]6π （B ）[,)6ππ(C) (0,]3π（D ）[,)3ππ 答案：C解析：由正弦定理，得222a b c bc ≤+-，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，则1cos 2A ≥,0A π<<,03A π∴<<. 13．（2011年高考重庆卷文科8)若△ABC 的内角，,,ABC 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =A B ．34C D ．1116【答案】D二、填空题：13.（2011年高考江西卷文科14)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且sin θ=y=_______. 16.(2011年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ1272【解析】由图象知：函数()sin()f x A wx φ=+的周期为74()123πππ-=，而周期2T wπ=，所以2w =，由五点作图法知：23πφπ⨯+=，解得3πφ=，又所以函数())3f x x π=+，所以(0)f =3π=17.(2011年高考安徽卷文科15)设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交 以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）. 【答案】①③【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像.【解析】()sin 2cos2)f x a x b x x ϕ=+=+…1()sin cos 06332f a b b πππ=+=+…，由题意()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则122a b +对一切则x ∈R 恒成立，即222231442a b a b ab +++…，2230a b +剠0恒成立，而223a b +…，所以223a b +==，此时0a =>.所以()sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.①1111()2sin 01266f b πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故①正确； ②774713()2sin 2sin 2sin 10563030f b b b πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 21713()2sin 2sin 2sin 5563030f b b b πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，19. （2011年高考福建卷文科14)若△ABC 的面积为3，BC =2，C=︒60，则边AB 的长度等于_____________. 【答案】2【解析】由于△ABC 的面积为3，BC =2，C=︒60122AC =⨯⋅,所以AC=2,△ABC 为正三角形,所以AB=2.20．（2011年高考湖北卷文科6)已知函数()cos ,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ 答案：Acos 1x x -≥，即1sin()62x π-≥，解得22()3k x k k z ππππ+≤≤+∈，所以选A.三、解答题：22. （2011年高考山东卷文科17)（本小题满分12分） 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（I ） 求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cos C 2c-a =cos B b=2sin sin sin C AB -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA =2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.23.(2011年高考安徽卷文科16) (本小题满分13分)在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【命题意图】：本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。
【数学】福建省各地市2011年高考最新联考分类汇编(5)三角函数
福建省各地市2010-2011学年下学期高考数学最新试题分类大汇编：第5部分 三角函数一、选择题：1. (福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查文科下列各选项中，与sin2011°最接近的数是（ A ）A.12-B.12C.2D.2-2．(福建省厦门市2011年高三质量检查文科)已知α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点34(,),cos 55α-则的值为（ D ）A ．45B ．34-C ．45-D ．35-3．(福建省厦门市2011年高三质量检查文科)将函数2sin y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为（ C ） A ．sin(2)14y x π=-+B ．22cos y x =C ．22sin y x =D ．cos 2y x =-4．(福建省厦门市2011年高三质量检查理科)已知函数()sin()f x A x ωϕ=+图象如右图所示，则(0)f 等于（ A ）A ．12B ．2C ．2D ．45．(福建省古田县2011年高中毕业班高考适应性测试文科)ABC ∆的外接圆半径R 和ABC ∆的面积都等于1，则sin sin sin A B C =（ D ）A ．14B ．2C ．4D ．126. (福建省四地六校联考2011届高三第三次月考理科)给出下面的3个命题：（1）函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2π；（2）函数)23sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；（3）45π=x 是函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴. 其中正确命题的个数是（ C ） A ．0 B ．1C ．2D ．37. (福建省四地六校联考2011届高三第三次月考理科)已知22ππθ-<<，且s i n c o s ,a θθ+=其中()0,1a ∈，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（ C ）A ．3-B ．3 或13C ．13-D ．3-或13- 8、(福建省三明市2011年高三三校联考文科)已知锐角△ABC 的面积为33,BC ＝4,CA ＝3, 则角C 的大小为( B )A. 75°B. 60°C. 45°D. 30° 二、填空题：9．(福建省莆田市2011年高中毕业班质量检查理科)如右图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在角α的终边上，且||4cos OA α=，则当[,]83ππα∈时，点A 的纵坐标y 的取值范围是。
(含详解)2011年-2017年新课标高考数学三角函数与解三角分类汇编(理)附答案
2011-2017新课标三角函数分类汇编一、选择题【2011新课标】5. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ B ）（A ）45-（B ）35-（C ）35 （D ）45【2011新课标】11. 设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( A )（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增【2011新课标】12. 函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于( D )（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8【2012新课标】9. 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
则ω的取值范围是（ A ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2 ()D (0,2]【解析】592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈合题意 排除()()B C【2013新课标1】12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝cn ＋an 2，c n ＋1＝bn ＋an2，则( B ) A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【答案】1111111111202b a c c a c c a c =->>∴->∴>且b 111111111120b a a c a a c b a c ∴-=--=->∴>>11111111111222a b c a a c c a c a c -<∴--<∴>∴>又111111112(2)22n n n n n n n n b c c a b c a b c a ++++++=+∴+-=+-由题意，b1120222n n n n n n n n b c a b c a a b c a ∴+-=∴+==∴+=11111112(2)22n n n n n n n n n c b a b bb c b a b a b ++++----=∴--==-又由题意，111111111()()()22n n n n b a a b b a b a -+∴-=-∴-=--11111111111()(),2()()22n n n n n b a b a c a b a b a --∴=+--=-=---21111111111111333311()()()()()222222n n n a a aa S a ab a a b a --⎡⎤⎡⎤∴=------+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 222122*********()()()0)4444n a a a b a b a -⎡⎤⎡⎤=---->⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单调递增（可证当n=1时【2014新课标1】8．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ C ） A. 3α﹣β=B. 3α+β=C. 2α﹣β=D. 2α+β=【答案】由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα， sin （α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A ，B 后验证C ， 当时，sin （α﹣β）=sin （）=cosα成立。
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f (x)
f
(
)
对
x R 恒成立，且
f
(
)
f
( ) ，则
f
(x)
的单调递增区间是
6
2
（A）
k
3
,k6(kZ)（B）
k
,
k
2
(k
Z)
（C）
k
6
,
k
2 3
(k
Z
)
（D）
k
2
,
k
(k
Z
)
【答案】C.
【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.
【解析】若 f (x)
.
6.(2011 年高考浙江卷理科 6)若 0＜＜
，-
＜＜
0 ， cos(
) 1，
22
4
3
cos(
)
3 ，则 cos( )
42 3
2
3
（A）
3
（B） 3 3
53
（C）
（D） 6
9
9
【答案】 C
【解析】：
(
)
(
) cos(
)
cos[(
)
(
)]
2
4 42
2
4 42
cos(
) cos(
)
sin(
) sin(
)
4 42
4 42
1 3 2 2 6 3 4 3 5 3 故选 C
33 3 3
9
9
7. (2011 年高考全国新课标卷理科 5)已知角 的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重
合，终边在直线 y 2x 上，则， cos 2 （ ）
2011年数学高考分类汇编解答题(理)01——三角函数
01 三角函数1. （天津卷理）15．（本小题满分13分）已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小． 【解析】15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分. （I ）解：由2,42x k k Z πππ+≠+∈，得,82k x k Z ππ≠+∈. 所以()f x 的定义域为{|,}82k x R x k Z ππ∈≠+∈ ()f x 的最小正周期为.2π （II ）解：由()2cos 2,2a f a =得tan()2cos 2,4a a π+=22sin()42(cos sin ),cos()4a a a a ππ+=-+ 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin a aa a a a a a+=+-- 因为(0,)4a π∈，所以sin cos 0.a a +≠因此211(cos sin ),sin 2.22a a a -==即由(0,)4a π∈，得2(0,)2a π∈.所以2,.612a a ππ==即 2. （北京理）15．（本小题共13分） 已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-。
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
【解析】（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π （Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以 于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1. 3. （四川理）17、 已知函数73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈ (1)求()f x 的最小正周期和最小值； （2）已知44cos(),cos(),(0)552a πββααβ-=+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=解析：7733()sin cos cos sin cos cos sin sin 44442sin()4f x x x x x x x x πππππ=+++=-=-max 2,()2T f x π∴==（2）4cos()cos cos sin sin (1)54cos()cos cos sin sin (2)5cos cos 00cos 022βααβαββααβαβαβππαβββ-=+=+=-=-=<<≤⇒=⇒=2()(())20f f ββ∴=-=4. （全国大纲卷理）17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，，求C ．【解析】17．解：由a c +=及正弦定理可得s i n s i n 2s i n .A CB +=…………3分又由于90,180(),A C B A C -=︒=︒-+故c o s s i n 2s i n ()C C A C ++s i n (902)C =︒+c o s 2.C=…………7分cos 2,C C C += c o s (45)c o s2C C ︒-= 因为090C ︒<<︒， 所以245,C C =︒-15C =︒5. （江西卷理）17（本小题满分12分）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin CC C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值. 解：（1）已知2sin 1cos sin C C C -=+ 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin22222C C C C C C C -+=-+∴ 整理即有：012sin 22cos 22sin 02sin 2sin 22cos 2sin22=⎪⎭⎫⎝⎛+-⇒=+-C C C C C C C 又C 为ABC ∆中的角，02sin≠∴C412sin 2cos 2cos 2sin 2412cos 2sin 212cos 2sin 222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=-∴C C C C C CC C43sin 432cos 2sin2=⇒=∴C C C （2）()8422-+=+b a b a()()2,2022044442222==⇒=-+-⇒=++--+∴b a b a b a b a又47sin 1cos 2=-=C C ，17cos 222-=-+=∴C ab b a c 6. （山东卷理）17．（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b．（I ）求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S 。
2011年高考数学 第四章 第三节三角函数的图像
同步检测训练一、选择题 1．(2009·某某皖北联考一)定义一种运算(a ，b )(c ，d )＝ad －bc ，将函数f (x )＝(1，sin x )(3，cos x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案：C解析：f (x )＝(1，sin x )(3，cos x )＝cos x －3sin x ＝2cos(x ＋π3)，向左平移φ(φ>0)个单位得y ＝2cos(x ＋π3＋φ)，由于它是偶函数，则φ的最小值是2π3，故选C.2．(2009·某某质检)关于函数y ＝sin2x －3cos2x 图象的对称性，下列说法正确的是()A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点(π3，0)对称D ．关于点(π6，0)对称答案：D解析：y ＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)，经验证函数图象关于(π6，0)对称，故选D.3．(2009·某某六市一模)已知f ′(x )是函数f (x )＝sin x 的导数，要得到y ＝f ′(2x ＋π3)的图象，只需将y ＝f (2x )的图象()A ．向左平移个π6个单位B ．向右平移5π6个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移5π12个单位答案：D解析：f ′(x )＝cos x ，f ′(2x ＋π3)＝cos(2x ＋π3)＝cos2(x ＋π6)，f (2x )＝sin2x ＝cos2(x －π4)，则要得到y ＝f ′(2x ＋π3)的图象，只需将y ＝f (2x )的图象向左平移5π12个单位，故选D.4．(2007·某某)如下图，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π的简图是()答案：A解析：当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D. 而x ＝－π6时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－12，排除C ，故选A. 5．(2007·某某)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A ．关于点(π3，0)对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称答案：A解析：T ＝π⇒ω＝2⇒f (π3)＝sin(2π3＋π3)＝0∴f (x )关于(π3，0)对称，故选A.6．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是()A ．y =sin(x +π6)B ．y =sin(2x -π6)C ．y =cos(4x -π3)D ．y =cos(2x -π6)答案：D解析：本题考查三角函数的图象．当x ＝π12时y ＝1由此可排除A 、B.由图可知，此函数的周期T ＝4(π12＋π6)＝π∴ω＝2ππ＝2故选D.7．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin(2x ＋π4)的图象上所有的点的()A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度答案：C解析：y ＝2cos x ＝2sin(x ＋π2)，y ＝2sin(2x ＋π4)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin(x ＋π4)的图象，再向左平移π4个单位得到y ＝2sin(x ＋π2)的图象．故选C.8．(2009·市东城区)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象()A ．关于点(π3，0)对称B ．关于点(5π3，0)对称C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称答案：B解析：∵函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，∴ω＝12；∴f (x )＝2sin(12x ＋π6)．而f (x )＝sin x 的图象关于点(kπ，0)(k ∈Z )对称，∴12x ＋π6＝kπ⇒x ＝2kπ－π3(k ∈Z )；即函数f (x )＝2sin(12x ＋π6)的图象关于点(2kπ－π3，0)(k ∈Z )对称；又f (x )＝sin x 的图象关于直线x ＝kπ＋π2(k ∈Z )对称，∴12x ＋π6＝kπ＋π2⇒x ＝2kπ＋23π(k ∈Z )；即函数f (x )＝2sin(12x ＋π6)的图象关于直线x ＝2kπ＋23π(k ∈Z )对称，结合选项，故选B.二、填空题9．(2009·市西城区)对于函数f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，h (x )＝x ＋π3， 有如下四个命题：①f (x )－g (x )的最大值为2；②f [h (x )]在区间[－π2，0]上是增函数；③g [f (x )]是最小正周期为2π的周期函数；④将f (x )的图象向右平移π2个单位可得g (x )的图象．其中真命题的序号是________． 答案：①②解析：f (x )－g (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)≤2，故①正确；当x ∈[－π2，0]时，x ＋π3∈[－π6，π3]，函数f [h (x )]＝sin(x ＋π3)为增函数，故②正确；函数g [f (x )]＝cos(sin x )的最小正周期为π，故③错误；将f (x )的图象向左平移π2个单位可得g (x )的图象，故④错误．10．(2009·东城3月·12)关于函数f (x )＝sin x (cos x －sin x )＋12给出下列三个命题：(1)函数f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；(2)直线x ＝π8是函数f (x )的图象的一条对称轴；(3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝22sin2x 的图象向左平移π4而得到．其中正确的正确序号是________．(将你认为正确命题序号都填上) 答案：(1)(2)解析：f (x )＝sin x (cos x －sin x )＋12＝12sin2x －12(1－cos2x )＋12＝ 22sin(2x ＋π4)．对于(1)，x ∈[π2，5π8]，2x ＋π4∈[5π4，3π2]，则函数f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数，(1)正确；对于(2)，验证直线x＝π8是函数f (x )的图象的一条对称轴，则(2)正确；对于(3)，函数f (x )的图象可以由函数y ＝22sin2x 的图象向左平移π8而得到，则(3)不正确；故填(1)(2)．11．(2009·某某丹阳高级中学一模)给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是________．①若cos α＝cos β，则α－β＝2kπ，k ∈Z ；②函数y ＝2cos(2x ＋π3)的图象关于x ＝π12对称；③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π.答案：①②④ 解析：对于①，若cos α＝cos β，则α－β＝2kπ或α＋β＝2kπ或k ∈Z ，①不正确；对于②，函数y ＝2cos(2x ＋π3)的图象关于点(π12，0)对称，则②不正确；对于③，经验证函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数，则③正确；对于④，函数y ＝sin|x |不是周期函数，则④不正确；综上所述，应填①②④.三、解答题 12．(2009·某某市二调)已知向量a ＝(sin x,23cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设f (x )＝a ·b －1.(1)若x ∈[0，π2]，求f (x )的值域；(2)(理)若函数y ＝f (x )的图象按向量m ＝(t,0)作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，求向量m 的坐标．(文)若函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝α(α>0)对称，求α的最小值．解：(1)f (x )＝a ·b －1＝2sin2x ＋23sin x cos x －1＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)．x ∈[0，π2]⇒2x －π6∈[－π6，5π6]⇒sin(2x －π6)∈[－12，1]⇒f (x )的值域y ∈[－1,2]．(2)(理)由(1)可设平移后的函数解析式为y ＝2sin[2(x ＋φ)－π6]，即y ＝2sin[2x ＋(2φ－π6)]，∵其图象关于原点对称，∴2φ－π6＝kπ，k ∈Z .即φ＝π12＋kπ2，k ∈Z .令k ＝0得所求的φ＝π12.因此所求的m ＝(－π12，0)．(文)由题设，2α－π6＝kπ＋π2(k ∈Z )，即α＝kπ2＋π3(k ∈Z )．∵α>0，∴当k ＝0时，αmin ＝π3.13．(2009·某某六市一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点(3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．解：∵f (x )是R 上的偶函数，且0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin(ωx ＋π2)＝cos ωx .又∵图象关于点(3π4，0)对称，∴f (3π4)＝0.即cos 3π4ω＝0，3π4ω＝kπ＋π2，k ∈Z ，∴ω＝43k ＋23，k ∈Z .又f (x )在[0，π2]上是单调函数，∴π2ω≤π，∵ω>0，∴0<ω≤2，即0<43k ＋23≤2，∴－12<k ≤1，k ∈Z .∴k ＝0或k ＝1，∴ω＝23或ω＝2.14．(2008·某某一中)已知函数f (x )＝12cos2x －sin x cos x －12sin2x .(1)求f (x )的最小正周期和函数f (x )图象的对称轴的方程； (2)求f (x )的单调增区间；(3)函数y ＝cos2x 的图象可以由函数f (x )的图象经过怎样的变换得到？解：(1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. f (x )的最小正周期为T ＝π，函数f (x )图象的对称轴的方程为x ＝kπ2－π8(k ∈Z )．(2)f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－5π8，kπ－π8(k ∈Z )． (3)先将f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位，再将图象上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的2倍．15．已知函数f (x )＝A sin 2(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)，且y ＝f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)．(1)求φ；(2)计算f (1)＋f (2)＋…＋f (2008)．解：(1)y ＝A sin2(ωx ＋φ) ＝A 2－A2cos(2ωx ＋2φ)． ∵y ＝f (x )的最大值为2，A >0， ∴A 2＋A2＝2，A ＝2. 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0， ∴12×2π2ω＝2，ω＝π4. ∴f (x )＝22－22cos(π2x ＋2φ)＝1－cos(π2x ＋2φ)．∵y ＝f (x )过(1,2)点，∴cos(π2＋2φ)＝－1.∴π2＋2φ＝2kπ＋π，k ∈Z ， ∴2φ＝2kπ＋π2，k ∈Z ，∴φ＝kx ＋π4，k ∈Z .又∵0<φ<π2，∴φ＝π4.(2)解法一：∵φ＝π4，∴y ＝1－cos(π2x ＋π2)＝1＋sin π2x .∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋1＋0＋1＝4. 又∵y ＝f (x )的周期为4,2008＝4×502. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2008)＝4×502＝2008.解法二：∵f (x )＝2sin2(π4x ＋φ)，∴f (1)＋f (3)＝2sin2(π4＋φ)＋2sin2(3π4＋φ)＝2，f (2)＋f (4)＝2sin2(π2＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4. 又y ＝f (x )的周期为4,2008＝4×502. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2008)＝4×502＝2008.。
11月13日三角函数大题理科解答题高考题目及答案
2011年高考数学解答题专题攻略——三角函数 一．2011年高考大纲对三角函数的考试范围和考试要求： 考试内容：角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα，tanαcotα=1.正弦、余弦的诱导公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考试要求：(1)了解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A ，ω，φ的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形. 二．2011年高考三角函数分析与预测：三角函数解答题是高考中必考题，在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考中的得分点．三角函数的考查有以下一些类型与特点：1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是sin()y A x ωϕ=+的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.高考试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材，且高于教材。
2011—2020年新课标全国卷1理科数学分类汇编三角函数、解三角形(解析在下面)
2011-2020高考新课标1卷理科三角函数、解三角形一、选择题【2020，9】．已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．53 B ．23 C ．13 D ．59【2020，7】.设函数()cos()6f x x πω=+在[,]ππ-的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为（ ）A.109πB.76πC.43πD.32π【2019，11】关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(,)2ππ单调递增③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ）A.①②④B.②④C.①④D.①③ 【2019，5】函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为（ ） A. B.C. D.解答： ∵()()()2sin ()cos x x f x x x ---=-+-=2sin cos x xx x+-+()f x =-， ∴()f x 为奇函数，排除A ，又22sin 4222()02cos22f πππππππ++==>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，排除C ，()22sin ()01cos f πππππππ+==>++，排除B ，故选D.【2018，16】已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________． 【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13(2,2),44k k k -+∈Z【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．12【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增二、填空题【2020，16】.如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠= .【2015，16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 ． 【2014，16】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【2013，15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________． 【2011，16】在ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最大值为 ． 三、解答题【2019，17】.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-. （1）求A ；（222a b c +=，求sin C .【2018，17】（12分）在平面四边形ABCD 中，90ADC =︒∠，45A =︒∠，2AB =，5BD =． ⑴求cos ADB ∠； ⑵若2DC =，求BC ．【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长．【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ．3．三角函数、解三角形（解析版）一、选择题【2020，9】．已知(0,)απ∈，且3cos28cos5αα-=，则sinα=（）A．5B．23C．13D．5解答：由3cos28cos5αα-=，得23(2cos1)8cos5αα--=，得23cos4cos40αα--=，化为(3cos2)(cos2)0αα+-=，得2cos3α=-，那么5sinα=【2020，7】.设函数()cos()6f x xπω=+在[,]ππ-的图像大致如下图，则()f x的最小正周期为（）A.109πB.76πC.43πD.32π解析：∵4cos()096ππω-+=，∴42()962k k Zπππωπ-+=-∈，∴9322kω=-+，根据图像可知2413||99ππππω<+=，2||ππω>，∴18||213ω<<，故取0k=，则32ω=，∴2243||32Tπππω===，故选C.【2019，11】关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(,)2ππ单调递增③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ）A.①②④B.②④C.①④D.①③解答：因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，①正确， 因为52,(,)632ππππ∈，而52()()63f f ππ<，所以②错误， 画出函数()f x 在[],ππ-上的图像，很容易知道()f x 有3零点，所以③错误， 结合函数图像，可知()f x 的最大值为2，④正确，故答案选C. 【2019，5】函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为（ ） A. B.C. D.解答： ∵()()()2sin ()cos x x f x x x ---=-+-=2sin cos x xx x +-+()f x =-，∴()f x 为奇函数，排除A ，又22sin 4222()02cos22f πππππππ++==>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，排除C ，()22sin ()01cos f πππππππ+==>++，排除B ，故选D.【2018，16】已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．解答：∵()2sin sin 2f x x x =+，∴()f x 最小正周期为2T π=，∴2'()2(cos cos 2)2(2cos cos 1)f x x x x x =+=+-，令'()0f x =，即22cos cos 10x x +-=，∴1cos 2x =或cos 1x =-. ∴当1cos 2=，为函数的极小值点，即3x π=或53x π=,当cos 1,x =-x π= ∴5()3f π=()3f π=，(0)(2)0f f π==，()0f π=∴()f x 最小值为 【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D ；【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈ZC ．13(,),44k k k -+∈ZD ．13(2,2),44k k k -+∈Z解析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k πππππ<+<+∈Z ，解得124k -＜x ＜324k +，k ∈Z ，故单调减区间为（124k -，324k +），k ∈Z ，故选D ． 【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．3-B ．3C ．12-D ．12解析：sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin30-=+=，选D ．. 【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()f x，则y=()f x在[0,π]上的图像大致为（）【解析】：如图：过M作MD⊥OP于Ｄ，则PM=sin x，OM=cos x,在Rt OMP∆中，MD=cos sin1x xOM PMOP=cos sinx x=1sin22x=，∴()f x1sin2(0)2x xπ=≤≤，选B.【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sintancosβαβ+=，则A.32παβ-=B.22παβ-=C.32παβ+=D.22παβ+=【解析】∵sin1sintancos cosαβααβ+==，∴sin cos cos cos sinαβααβ=+()sin cos sin2παβαα⎛⎫-==-⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x xπω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．[12，54] B．[12，34] C．（0，12] D．（0，2]【解析】因为0ω>，2xππ<<，所以2444xππππωωωπ⋅+<+<⋅+，因为函数()sin()4f x xπω=+在（2π，π）上单调递减，所以242342πππωππωπ⎧⋅+≥⎪⎪⎨⎪⋅+≤⎪⎩，解得1524ω≤≤，故选择A.【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x xπωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x-=，则（）A．()f x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B．()f x在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 解析：()2sin()4f x x πωϕ=++，所以2ω=，又f(x)为偶函数，,424k k k z πππϕπϕπ∴+=+⇒=+∈，()2sin(2)2cos22f x x x π∴=+=，选A. 【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B. 二、填空题【2020，16】.如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1AC =，3AB AD ==，AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠= .解析：3AB =1AC =，AB AC ⊥，∴2BC =， 同理6DB =3AE DA ==30CAE ∠=︒，1AC =.∴2222cos EC AE AC AE AC EAC =+-⨯⨯⨯∠3312311=+-=.在BCF ∆中，2BC =，1FC EC ==，6FB DB ==∴2221461cos 22214FC BC FB FCB FC BC +-+-∠===-⨯⨯⨯⨯.【2015，16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 .解析: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长，在BCE ∆中，75B C ∠=∠=，30E ∠=，2BC =，由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE =6+2；平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠=，30FCB ∠=，由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得62BF =-，所以AB 的取值范围为(62,6+2)-.【2014，16】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .【解析】：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-，∴222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=，224b c bc bc =+-≥，∴1sin 32ABC S bc A ∆=≤， 【2013，15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________. 解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin cos 55x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，令cos α＝5，sin α＝5-， 则f (x )＝5sin(α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )有最大值5，即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝2555-=-. 【2011，16】在ABC 中，60,3B AC ==，则2AB BC +的最大值为 ． 解析：0120120A C C A +=⇒=-,0(0,120)A ∈,22sin sin sin BC ACBC A A B==⇒= 022sin 2sin(120)3cos sin sin sin AB ACAB C A A A C B==⇒==-=+； 2AB BC ∴+=3cos 5sin 28sin()27sin()A A A A ϕϕ+=+=+，故最大值是27三、解答题【2019，17】.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-. （3）求A ；（42b c +=，求sin C .解答：（1）由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=结合正弦定理得222b c a bc +-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.（22b c +=sin 2sin A B C +=,()sin 2sin A A C C ++=sin()2sin 3C C π++=,1cos 2C C -=sin()6C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-<又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin sin()66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4+=.【2018，17】（12分）在平面四边形ABCD 中，90ADC =︒∠，45A =︒∠，2AB =，5BD =．⑴求cos ADB ∠； ⑵若DC =，求BC ．解答：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得：52sin 45sin ADB =∠,∴2sin ADB ∠=, ∵90ADB ∠<,∴223cos 1sin 5ADB ADB ∠=-∠=. （2）2ADB BDC π∠+∠=,∴cos cos()sin 2BDC ADB ADBπ∠=-∠=∠，∴cos cos()sin 2BDC ADB ADBπ∠=-∠=∠,∴222cos 2DC BD BC BDC BD DC+-∠=⋅⋅,∴2252522=⋅⋅.∴5BC =. 【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【解析】（1）∵ABC △面积23sin a S A =．且1sin 2S bc A =，∴21sin 3sin 2a bc A A =，∴223sin 2a bc A =，∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =．（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =，∵πA B C ++=， ∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=， 又∵()0πA ∈，，∴60A =︒，3sin A ，1cos 2A =，由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=ABC △周长为3+【2016，17】ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长． 【解析】⑴ ()2cos cos cos C a B b A c +=，由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=，∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，，∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C =，∵()0πC ∈，，∴π3C =⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅，221722a b ab =+-⋅，()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅，∴6ab =，∴()2187a b +-=，5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝11732cos 30424+-︒=，故P A ＝2.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA sin sin(30)αα=︒-，α＝4sin α，所以tan α，即tan ∠PBA【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ． 【解析】（1）根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=，因为cos sin 0a C C b c +--=，所以0sin 2sin 2sin )sin 2(3cos )sin 2(=--+C R B R C A R C A R ， 即0sin sin sin sin 3cos sin =--+C B C A C A ，（1）由三角形内角和定理，得C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=，代入（1）式得0sin sin cos cos sin sin sin 3cos sin =---+C C A C A C A C A ， 化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-， 因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即21)6sin(=-πA ， 而π<<A 0，6566πππ<-<-A ，从而66ππ=-A ，解得3π=A ．（2）若2a =，△ABC1）得3π=A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=43cos 233sin 21222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=8422c b bc ， 从而解得2=b ，2=c ．。
2011三角函数高考题详解
（一）选择题1、若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= (A)23 (B)32(C) 2 (D)3 2、在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是 （A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B += (A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 4．若a ∈（0， 2π），且sin 2a+cos2a=14，则tana 的值等于A ．22B ．33C ．2D ．35、已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数6、曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ．22-D ．22（二）填空题7、 ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为________．答案：4315 8．已知a ∈（3,2ππ），t a n 2,c o s αα=则=答案：55-9．函数2sin cos y x x =-的最大值为 。
答案：510．在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0075,60CAB CBA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是 千米。
湖北各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编：5 三角函数
湖北省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第5部分：三角函数一、选择题：2．（湖北省黄冈市2011年3月份高三质量检测理科)已知复数24(,),1i a bi a b R i ++=∈+函数()2tan()6f x x b πα=++图象的一个对称中心可以是（ D ) A ．(,0)6π-B ．(,0)18π-C ．(,1)6π-D ．(,1)9π5．（湖北省黄冈市2011年3月份高三质量检测文科）函数()sin()f x x Q =+的图象按向量(,0)3a π平移后,它的一条对称轴6x π=，则Q 的一个可能值是 （ B ）A ．512πB ．23πC ．6πD ．12π7。
(湖北省襄阳市2011年3月高中调研统一测试高三文科)将函数sin(6)4y x π=+图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位,得到的函数图象的一个对称中心是（ C ) A ．(8π，0） B ．(4π,0） C ．(2π，0） D ．(16π，0) 5. (湖北省八市2011年高三年级三月调考理科）点是函数的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ D )A.的最小正周期是TiB.的值域为［O, 4］C.的初相为 D 。
在上单调递增1. （湖北省八市2011年高三年级三月调考文科）向量，且，则锐角a 的值为（ B ）A 。
B 。
C 。
D 。
6。
（湖北省八市2011年高三年级三月调考文科） 点是函数一的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为，则( D )A 。
的最小正周期是 B.的值域为［O ， 4] C 。
的初相为 D 。
在上单调递增4．(湖北省黄冈中学等八校2011届高三第二次联考理科)若满足条件60,3,C AB BC a =︒==的ABC ∆有两个,那么a 的取值范围是（ C ）A ．（1，2）B ．(2,3）C ．(3,2)D ．（1，2） 5．（湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考理科）函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图像如图所示，πϕπ-<<,则ϕ的值为 （ A ）A ．3π-B ．6π-C ．233ππ--或 D ．566ππ--或4．（湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考文科)设函数()f x 满足：对任意x R ∈,都有()(),()()2f x f x f x f x π+=---=且，则()f x 可以是（ D ) A ．sin ||x B ．|cos |xC ．sin 2xD ．cos 2x3.（湖北省武汉市2011年2月高中毕业生调研测试理科)在ΔABC中,巳知，则的值为( D ）A.B 。