新课标人教A版 高中数学必修四241平面向量数量积的物理背景及其含义(共33张PPT)

当 __________ _ 时 a b 为负; 90 180



90 时 a b 为零; 当_______


此时两向量 垂直即a b

当______ 0 时 a b =|a||b|;





180 时 a b | a || b | . 当______
如图,等边三角形ABC中,求： （1）AB与AC的夹角＿＿＿＿； 60 （2）AB与BC的夹角________ ． 120 C

C
'
120
A
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通过平移 变成共起点！
60

1200
B
D
1
问题情境:
情境1:前面我们学习了平面向量的加法、减法 和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘” 呢？
算，得到向量“数量积”的概念。
W F S cos
a b | a | | b | cos
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这就是本节课所 要学习的平面向 量的数量积
4
2.4.1平面向量数量积的物 理背景及其含义
已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 , 我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积
14:00
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平面向量数量积的运算率:
(1)交换律： a b b a
(2)数乘结合律：( a) b (a b) a (b)
(3)分配律：(a b) c a c b c
b cos 0
a
b cos 0
b
b cos 0
a
O
b
B
A
B
O
A
b cos b
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b cos b
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平面向量数量积的几何意义:
B
b

O
a
a b a b cos
A
| b | cos
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的 方向上的投影数量 b cos 的乘积.
o
a b
解：a b a b cos120
o
1 2 4 ( ) 10 2
练习：课本 106页 1
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向量的数量积是一个数量，那么它何时 为正，何时为负，何时为零？


a b | a || b | cos


0 90_ 时 a b 为正； 当 __________
(或内积),记作 a b .
平面向量数量积的定义:
a b a b cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0．
a0 0
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注意： (1) 两个向量的数量积是一个实数， 不是向量． (2) 两个向量的数量积称为内积，写 成 ab．
即 ab
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ab
a cos ( b cos )叫做向量 a 在 b 方向上 (向量 b 在 a 方向上)的投影.
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向量 b 在方向 a 上的投影是数量,不是向量, 什么时候为正，什么时候为负？ b cos
B b

B b

B b
O
a
B1 A
B1
O
aA
O( B1 )
a
A
当为直角时 投影为0;
当为锐角时 投影为正值;
当为钝角时 投影为负值;
（3）
│ b 在向量 a 方向上的投影， b │cosθ叫做向量
a │cosθ叫做向量 │ a 在向量 b 方向上的投影.
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b O
A1
B
B
b

a
A
O
a
B1 A
| OA 1 | a cos
| OB1 | b cos
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练习：课本 106页 2 10
a b 0, 则 | a || b | cos 0, 向量数量积的性质 180 ,cos 1, a 0, cos 1, 设a、 b是非零向量 co s 0, 9 0 , b . b | 则 a b | a || 2 a b ( 1 ) a b 0 ______; 0 , cos 1, 则 a b | a || a b |a | a || a || a |
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3．已知向量 a，b 满足|a|＝4，a·(a－b)＝12，则向量 b 在向量 a 方向上的投影等于________．
解析： ∵a (a b) a a a b
|a | |a || b | cos
2
16 4 |b |cos 12 .
| b | cos 1.
ab
7
注意： (3) 向量的数量积和实数与向量的积 (数乘)不是一回事．
数量积 a b | a || b | cos 的结果是一个
数量(实数)； 实数与向量的积(数乘)还是一个向量．
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例1 :已知 a 5， b 4， a与b的夹角为 120 ，求



| a || b |； (2)当 a 与 b 同向时， a b ______





| a | 或 | a | _____ a . 特别地a a a ____
| a || b | . (3)当 a 与 b 反向时， a b _______



2

2

2
(4)| a b| ___ || b | | a
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当且仅当两向量 共线时等号成立
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平面向量数量积几何意义
如图，作出│ b │cosθ，并说出它的几何意义； │ a │cosθ的几何意义有是什么？ B B B
b
O
θ
b
a
(1)
B1 A
┐
θ B1 O
┐
(2)
b θ a ┓ a A O A (B1)
情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s， 那么该力对此物体所做的功为多少？
F

s
┓
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2
θ O
F
F θ S

位移S
A
一个物体在力 F 的作用下产生位移 S , 那么力
F 所做的功
W=
F S F S cos
θ表示力 F 的方向与位移S 的方向的夹角。
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我们将功的运算类比到两个向量的一种运